Kap 5 – Trigonometri och komplettering kurs 3c

Kap 5 – Trigonometri och komplettering kurs 3c

1

GENOMGÅNG 5.1

2

• Cosinus, Sinus & Tangens

• Exakta värden

• Två speciella trianglar

• Cirkelns ekvation

• Enhetscirkeln

TRIGONOMETRI

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

sin 3

v  5 4

cosv  5 3

tanv  4

TRIGONOMETRI

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

sinv a

 b cosv c

 b tanv a

 c

TRIGONOMETRI

Definitioner

motstående katet

sin hypotenusa

v a

 b

närliggande katet

cos hypotenusa

v c

 b

motstående katet tan närliggande katet

v a

 c

TANGENS

Definitioner

motstående tan närliggande

v a

 c

Var har du sett detta förr??

y x





( ) ( )

f x h f x h

  f x'( ) y '

Kärt barn har många namn.

k ^dy_dx

TRIGONOMETRI

Definitioner

2 30 1

sin  

2 60 1

cos  

3 30 1

tan  



 



 



  30

2 sin ¹ 1



 



 



  60

2 cos ¹ 1



 



 



  30

3 tan ¹ 1

Tvåspeciella trianglar

sin 45 1

  2 1

tan 45 1

  1 sin 30 1

  2 3

cos30

  2 cos 45 1

  2

tan 30 1

  3 cos 60 1

  2 sin 60 3

  2 3

tan 60 3

  1 

OBS!

1 2

2  2

1 3

3  3

2 2 2

1

2 2



 

3 3 3

1

3 3



 

OBS!

1 2

2  2

Exakta värden

Finns i formelhäftet!!

OBS!

Tangen för 90° ???

Varför är inte tan 90° definierat?

Uppgift 4114, sid209

1 3 1

3

1 2

3 2 1

2

1 2 3

2

1 2

1 3

3  3

Cirkelns ekvation

  



r

 x a   y b 

( , ) punkt på cirkelranden x y  ( , ) cirkelns medelpunkt a b 

cirkelns radie

r 

Cirkelns ekvation

2 2

1 1

y x

y x













  ²  ²

r2  x a  y b

  ² ²

2

2 2 2

2 2 2

2 2

1 0 0

1

1 1

x y

x y

y x

y x

   

 

 

 

Cirkelns ekvation – ett exempel

En cirkel har radien r = 4 och medelpunkten (3,-1).

Bestäm denna cirkels ekvation.

  



r

 x a   y b 

 

   

4

 x  3  y   1

Cirkelns ekvation är

  



16  x  3  y  1

Cirkelns ekvation – ett exempel

Ligger punkten (5, 2) på cirkelranden, innanför cirkeln Eller utanför? ^{16 }  ^{x 3} ^{2  y 1} ²

Vi sätter in x = 5 och y = 2 i ekvationens högerled:

  



HL  5 3  2 1  2  3  13

Eftersom HL < 16 (= r²) ligger punkten innanför cirkeln.

ENHETSCIRKELN

x x v

y y v







 cos 1

sin 1

Vad vinner man på att sätta

radien till värdet 1?

ENHETSCIRKELN

x y

Radien = 1 längdenhet

 P

sin

 cos



 sin cos

( ^, )

x-

koordinat y-

koordinat

sin(180°- v) = sin v

sin v₁ = sin v₂ = 0,72

cos(180°- v) = -cos v

cos v₁ = - cos v₂

- 0,69

0,69

28

• Areasatsen

• Sinussatsen

• Cosinussatsen

Triangelsatserna

GENOMGÅNG 5.2

AREASATSEN

motstående / hypotenusa

mult. båda led med 2,8

SINUSSATSEN

SINUSSATSEN

a

Ett exempel

Vi vill veta längden av

sidan BC (a)

SINUS- OCH AREASATSERNA

Beräkna sidorna a ^och c i triangeln ABC.

SINUS- OCH AREASATSERNA

Beräkna arean av triangeln ABC.

5, 4 a  7,9

c 

69,7

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

Hur skall vi rita den 3:e sidan?

Vi får alltså 2 fall, nämligen…

och

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

Sinussatsen ger

B sin

0 , 15 0

, 37 sin

0 ,

10 



4728...

0,90272253 0

, 10

0 , 37 sin 0

,

sin B  15   



 



 



  

 ^ 64,5

0 , 10

0 , 37 sin 0

, sin ¹ 15

B

  ^{ }

 sin^1 0,902722534728 64,5 B

Vi får 2 fallB₁ ≈ 64,5°

B₂ ≈ 180° - 64,5° = 115,5°

NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?

B

≈ 64,5°

B

≈ 180° - 64,5° = 115,5° sin(180°- v) =

sin v

COSINUSSATSEN

Med egen text:

Kvadraten på sidan c är lika med kvadraten på sidan a plus kvadraten på sidan b minus produkten av 2 gånger a gånger b gånger cosinus för C

COSINUSSATSEN

2 2 2

2 cos

c  a  b  ab  C

DE TRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA FÖR GODTYCKLIGA VINKLAR

Absolutbelopp

y  x

Absolutbelopp

5 5 5 5

x x

 





Rotekvationer

 

 

2 2

2 2

2

1 2

2 2 2

2 0

0,5 0,5 2 0,5 2, 25

0,5 1,5 1

2

x x

x x

x x

x x x

x x x x

 

 

 

  

  

 

 

 



Varför är x = -1 en falsk rot?

LärarDalle

Sammanfattning Kapitel 4

C:a 23 minuter

Matteboken.se

Repetition av Kapitel 4