Om de trigonometriska funktionerna

Om de trigonometriska funktionerna

Analys360 (Grundkurs) Blandade uppgifter

När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort.

Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet.

Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen!

Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet!

Övning 1 Skissera följande kurvor i planet. Bestäm för var och en av dem vilken orientering de har (när t växer).

a) c(t) = (t, t²)_{, 0}≤t≤_1.

b) c(t) = (t², t), 0≤t≤_1.

c) c(t) = (sin t, t), 0≤t≤2π.

Övning 2 Bestäm konstanten så att funktionen

f(x) =





 arctan1

x, x>0, e^ax−₁

x , x<0 kan utvidgas till en kontinuerlig funktion iR.

Övning 3 Beräkna höger- och vänstergränsvärdena av funktionen

arctan x² x−₁ då x går mot 1.

Övning 4 Skissera följande grafer

a) y=x−_{arctan 2x,} b) y= √^2x

1+x²−_{arctan x}

c) ^x+₂

x²+1+2 arctan x.

Har de ingående funktionerna ett största eller minsta värde?

Övning 5 Av fyra lika brädor vill man göra en ränna med lodräta sidor.

α

Vilken vinkel ska bottenbrädorna bilda med varandra för att rännan ska rymma så mycket som möjligt?

Övning 6 Bestäm värdemängden för funktionen

f(x) =arcsinx²−₁

x²+1−2 arctan x, x∈_R.

Övning 7 Beräkna och förenkla derivatan av

g(x) =lnsin x

x² , 0<x<π.

Övning 8 Bestäm amplitud och fasförkjutning för a) f(x) =sin x+cos x, b) f(x) =√

3 sin 3x−_{cos 3x} c) f(x) = −4 sin 2x+3 cos 2x.

Övning 9 Vilket är det största och minsta värdet funktionen x → cos x+2 sin x kan anta?

Övning 10 Lös ekvationerna

a) sin x·_{cos x}= ¹

4, b) cos²x−_sin²x=

√ 3 2 c) _{cos x}+_{sin x}= √¹

2, d) _{cos 2x}+_{3 cos x}−₁=₀ e) sin 4x=cos 3x, f) cos 2x=3 sin x+2.

Övning 11 Lös ekvationerna

a) _{sin 3x}=

√ 3

2 , b) _{3 sin x}=

√ 3 2 c) _sin³x=_{3 sin x,} d) _cos²x−_sin²x= ¹

2, e) cos⁴x−sin⁴x= ¹

2, f) cos⁴x+sin⁴x= ¹ 2. Övning 12 Beräkna följande gränsvärden

a) lim

x→₀ sin 5x

3x , b) lim

x→₀

sin(_{sin x})

sin x , c) lim

x→₀⁺(sin x)^x Övning 13 Beräkna de två gränsvärdena

a) lim

x→₀ tan x

x , b) lim

x→₀ x arctan x.

Övning 14 Ett flygplan flyger på 5000 meters höjd med den konstan- ta hastigheten 600 km/h mot en punkt rakt ovanför en radarobserva- tör.

θ

600 km/h

15 km

5000 m

Hur snabbt ändrar sig elevationsvinkeln (den vinkel från markplanet som observatören ser planet under) i det ögonblick när det horison- tella avståndet från observatören till planet är 15 km?

Övning 15 a) En planet rör sig längs ellipsen x²/9+y²/4=1.

Hur nära kommer planeten punkten(1, 0)?

b) En komet rör sig längs hyperbelgrenen x²−y² = 1, x≥ _0.

Hur nära kommer kometen punkten(0, 1)?

Övning 16 Utred alla implikationer mellan följande utsagor:

A : −₁≤x≤_{0, B :}

∑

k=100

x^kär konvergent, C : arcsin x≤₀

D : x∈V_fdär f(t) = ^{2 arctan}(t) −π

2π , E : |_3x+2| ≤x+2.

Övning 17 Beräkna följande gränsvärde

limh→0

f(^π₆+h) −f(^π₆) h då f(x) =tan(2x).

Övning 18 Bestäm ett 5:e-gradspolynom p(x)_{sådant att} sin(5θ) =p(sin θ)

för alla θ och använd sedan detta till att bestämma ett uttryck för sin(_π/5)_.

Övning 19 Bestäm gränsvärdet lim_x→∞ x³+ln x x³arctan x. Övning 20 Existerar gränsvärdet lim

x→₀ sin|x|

x ? Övning 21 Skissera grafen till funktionen

f(x) =x+2 arctan1 x.

Övning 22 En kontinuerligt deriverbar funktion är udda och har ett lokalt maximum i x= 1 och inget annat lokalt extremvärde i(0, 1). Om det dessutom gäller att derivatan är noll i x= 0, vilken typ av stationär punkt är det då? Vad gäller om funktionen istället är jämn?

Övning 23 Om man ska visa att en funktion av en variabel har ett lokalt minimum i origo kan man använda olika metoder, exempelvis

a) studera derivatans teckenväxling nära origo

b) göra en direkt uppskattning av funktionen nära origo c) visa att funktionen har sitt minsta värde i origo Pröva dessa metoder på följande tre funktioner

f(x) =x²−x³, g(x) =e^|x|, h(x) =x sin x.

Vilken metod föredrar du de tre fallen?

Övning 24 Visa att funktionen f(x) =ln(1+e^2x) −2e^x·_arctan(e^x) är avtagande för alla x.

Övning 25 Beräkna gränsvärde

xlim→₁

sin(x−₁) x²+x−2. Övning 26 Skissera grafen till funktionen f(x) =x−_arctan( ^x

x+1).

Ange speciellt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter.

Övning 27 Visa att arctan(√ ^x

1−x²) =arcsin x, |x| <₁ både rent geometriskt, och genom att använda analys.

Övning 28 Två långa befintliga plank bildar vinkel π/4 med varand- ra. Med hjälp av ett 10 m långt staket önskar man avgränsa en kolon- nilott mellan planken.

10 m

π/4 x

Hur ska vinkeln x väljas för att kolonnilotten ska få så stor area som möjligt?

Övning 29 Låt f vara en funktion som är definierad för alla reella tal.

Utred alla sanna implikationer mellan påståendena

A : x f(x)är udda, B : f(x)är jämn,

C : (x²+1)f(x)är jämn, D : f(x) =^q|x|

Övning 30 Kurvan y=_arctan(x−₁)_{där x}>0, har en tangent med ekvationen y=x/2+c. Bestäm konstanten c.

Övning 31 Bestäm största och minsta värde av f(x, y) =x²+x(y²− 1)på enhetscirkeln x²+y²=1.

Övning 32 Betrakta funktionen

f(x) = ^x

2−_sin(πx) −₂

x , x>0.

a) Visa att den har minst ett nollställe b) Har den ett största eller minsta värde då

(i) x>0, (ii) 1≤x≤_2, (iii) 1≤x<2.

Övning 33 En filmduk på en vägg är 4 meter hög och fastsatt 2 meter över golvet. På vilket avstånd x från duken ska du sitta för att få en så stor betraktningsvinkel som möjligt, och hur stor är den? Vi mäter betraktningsvinkel från golvet.

Övning 34 En 1 m hög tavla skall hängas på ett museum så att den undre kanten befinner sig 2 m ovanför golvet. På vilket avstånd x från tavlan skall en besökare som är 160cm lång ställa sig för att maximera betraktningsvinkeln θ?

Övning 35 För vilka x gäller att

ln(1+4x) >arctan(3x)?

Övning 36 Uttrycket

cos(arcsin(1−_2x))

kan förenklas till ett uttryck som inte innehåller några trigonometris- ka funktioner. Vilket?

Övning 37 Visa att det för alla x gäller att

arctan(x+1) +arctan(x−₁) =arctan(^x 2−x). Övning 38 För vilka θ konvergerar serien

∑

cos^kθ?

Beräkna i förekommande fall serien.

Övning 39 Visa att funktionen

f(x) =e^xsin(x), −^π

4 ≤x≤^3π 4

är inverterbar och bestäm(f⁻¹)⁰(0). Bestäm värdemängd och defini- tionsmängd för f och f⁻¹. Är inversen deriverbar på hela sin defini- tionsmängd?

Övning 40 För vilka värden på x är funktionen

f(x) =

∑

k=0

sin²(x)cos^k(x)

definierad? Är den kontinuerlig? Om inte, hur kan vi omdefiniera den i en punkt så att den blir kontinuerlig?

Övning 41 Låt p beteckna ett polynom och sätt

f(x) =







(1−x)e^−x2+arctan x x<0

p(x) 0≤x≤₁

2+_{2 ln x} x>₁ .

a) Bestäm p av lägsta möjliga grad, så att f blir kontinuerlig.

b) Bestäm p av lägsta möjliga grad, så att f blir deriverbar.

Övning 42 Lös ekvationen cos³x+sin⁵x=1.

Övning 43 Mellan två punkter ligger en rak järnvägsräls som är 1 mil lång. En mörk natt smyger en skämtare ut till spåret, delar det, och svetsar fast en bit räls som är 1 m lång. Resultatet blir att rälsen står i en cirkelbåge. Frågan är hur högt över marken denna båge är som mest (se figuren nedan)

θ 10000 m 10001 m

h

a) Uttryck höjden h i vinkeln θ och bestäm en ekvation för θ.

b) Använd Newtons metod för att beräkna ett närmevärde på θ och använd detta till att beräkna h. Använd miniräknare eller motsvarande.

c) Beräkna θ och h genom att istället använda Maclaurinutveck- lingar.

Svar

Övning 1 Skriv om ekvationerna i de bekanta(x, y)-koordinaterna.

a) y=x² b) x=y²⇔y=√

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x y

c) x=sin y

−1 −0.5 0.5 1

2 4 6

x y

Övning 2 a=π/2.

Övning 3 Högergränsvärdet är π/2 medan vänstergränsvärdet är

−_π/2.

Övning 4 Graferna nedan

a) b)

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2

x y

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1 1 2

x y

c)

−4 −2 2 4

−4

−2 2 4

x y

a) och c) saknar största och minsta värde. b) antar sitt minsta värde då x= −√

3 och sitt största då x=√ 3.

Anmärkning I c) finns ett lokalt maximum i x=1 och ett lokalt mini- mum i x=3 vilka inte är lätta att identifiera från figuren.

Övning 5 2 arccos(

√ 3−₁

2 ) ≈137^◦ Övning 6 [−^π₂,^3π₂]

Övning 7 _{tan x}¹ −²_x Övning 8 a) √

2 respektive π/4, b) 2 respektive 11π/6, c) 5 respektive arccos(−⁴₅).

Övning 9 ±√ 5

Övning 10 kär ett godtyckligt heltal:

a) x= ₁₂^π +kπ, x= ^5π₁₂+kπ, b) x= ±₁₂^π +kπ,

c) x= ^7π₁₂+k2π, x= −₁₂^π +k2π d) x= ±^π₃+k2π,

e) x= ₁₄^π +k^2π₇, x= ^π₂+k2π,

f) x= ^3π₂ +k2π, x= −^π₆+k2π, x= ^7π₆ +k2π.

Övning 11 kär ett godtyckligt heltal:

a) x= ^π₉+k^2π₃ eller x= ^2π₉ +k^2π₃, b) x=arcsin ¹

2√

3+k2π eller x=π−_arcsin ¹

2√ 3+k2π c) x=kπ

d) x= ±^π₆+kπ, e) x= ±^π₆+kπ, f) x= ^π₄+k^π₂

Övning 12 a) 5/3, b) 1, c) 1 Övning 13 a) 1, b) 1.

Övning 14 12 rad/h

Övning 15 a) Kortaset avståndet är 4/√ 5.

b) Kortaste avståndet är√ 3/2.

Övning 16 B: −₁<x<1, C: −₁≤x≤_{0, D:} −₁<x <0, E: −₁≤x≤0, så vi har alltså

A⇔C⇔E⇐D⇒_B.

Övning 17 Gränsvärdet är derivatan av f i punkten π/6, och alltså 8.

Övning 18 Additionsformlerna för sinus och cosinus ger att p(x) =_5x−_20x³+_16x⁵_.

Detta har nollställen i x=0 och x = ± q5±√

5

8 . a=sin(π/5)måste vara ett av dessa, eftersom p(a) =0, och måste ligga mellan 0 och 1/√

2=sin(π/4). Enda kandidaten är

sinπ 5 =

s 5−√

5 8 . Övning 19 _π²

Övning 20 Nej. Högergränsvärdet är 1 men vänstergränsvärdet−_1.

Övning 21 Funktionen är inte definierad då x = 0 men y-axeln är inte en asymptot.

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−2 2 4

x y

Övning 22 Origo måste vara en terrasspunkt om f är udda, men ett lokalt minimum om f är jämn. Notera att en jämn, deriverbar funk- tion alltid måste ha en lokal extrempunkt i origo eftersom om vi deri- verar likheten f(−x) = f(x)och sätter in x=0 i resultatet, så får vi att f⁰(0) =0.

Övning 23

Övning 24 f⁰(x) = −2e^xarctan(e^x) <0 för alla x.

Övning 25 1/3

Övning 26 Funktionen är inte definierad då x= −1 men denna linje är inte en asymptot.

−3 −2 −1 1 2

−4

−2 2

x y

Övning 27 För det analytiska beviset, bilda skillnaden mellan höger- och vänsterled och derivera.

Övning 28 Arean ges av A(x) = 50√

2 sin(x)sin(^3π₄ −x)där 0 ≤ x≤3π/4. Arean blir som störst då x=3π/8.

Övning 29 A, B, C är ekvivalenta. D medför A, B, C.

Övning 30 c=π/4−1. Tangenten ifråga är från punkten med x= 2.

Övning 31 Största värdet är 2, minsta är noll. Parametrisera kurvan så problemet blir ett endim-problem.

Övning 32 a) f(x) → _{∞ då x} → _{∞ och f}(x) → −_{∞ då x} → 0⁺, så enligt satsen om mellanliggande värden finns minst ett nollställe.

b) (i) Nej, (ii) Ja, (iii) Ja.

Övning 33 Avståndet är 2√

3 och vinkeln 30 grader Övning 34 x=0.2√

14 m Övning 35 x>0.

Övning 36 2√ x−x² Övning 37 Derivera!

Övning 38 Den konvergerar om θ6=kπ, där k är ett heltal. Serien är då 1/(1−cos θ).

Övning 39 (f⁻¹)⁰(0) =1. Vf= [−^e−π/4√

2 ,^e3π/4√

2 ] =D_f−1, V_f−1 =D_f = [−^π₄,^3π₄ ]. Inversen är inte deriverbar i ändpunkterna av sitt defini- tionsområde.

Övning 40 f är definierad för alla x och

f(x) =

(1+_{cos x} x6=kπ

0 x=kπ

där k är ett heltal. Eftersom 1+cos(kπ) =1+ (−1)^kär den inte kon- tinuerlig i punkter x=2kπ. Där måste den omdefinieras så att den är 2.

Övning 41 a) p(x) =x+1, b) p(x) =1+x²

Övning 42 x = k^π₂, k heltal. Att dessa är lösningar ser man direkt.

Vad gäller för andra x?

Övning 43 a) Ekvationerna är

h=5000(1−cos θ)/ sin θ och 10001 sin θ=10000θ.

b) θ= 0.0245 och h=61.2 m. Vilket är ett förvånansvärt stort tal

c) Ungefär samma resultat, enklare räkningar.