METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - 1. panel

9

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - 1. panel

(VMT 5 FS 2307 ©H&H) Metoda konečných prvků (Finite Element Method - FEM) je numerická metoda pro analýzu struktur a těles. Zpravidla je možné řešit touto metodou problémy, které klasickými postupy nelze úspěšně řešit. Metoda pokrývá celou šíři fyzikálních aplikací: statika, dynamika, akustika, teplo, elektromagnetické pole, elektrostatika, piezoelektrické jevy a proudění. FEM řeší tyto problémy soustavou lineárních rovnic, jejichž konstrukce a řešení lze efektivně provádět za použití výpočetní techniky.

Historie FEM se datuje od roku 1906, kdy šlo o pokus nahradit těleso soustavou elastických prutů. Vlastnosti prutů byly voleny tak, aby posunutí v uzlech prutů odpovídalo posunutí v odpovídajících bodech tělesa. Tento model postupně přešel v dnes již dobře známé metody analýzy struktur. FEM byla poprvé popsána Courantem v roce 1941, nebyla však akceptována pro neexistenci prostředků řešení rozsáhlých soustav lineárních rovnic. V roce 1953 byla rovnice tuhosti poprvé popsána v

maticovém tvaru, to umožnilo její řešení na počítači. Velký rozmach zaznamenala FEM v leteckém průmyslu.

Širší aplikace i v ostatních odvětvích nastoupily až s napsáním rozsáhlých programů využívajících FEM v průběhu 60. a 70. let. Nyní je na trhu mnoho programů FEM různé velikosti, s různými možnostmi řešení a různé ceny. Existuje řada verzí, které lze provozovat i na standardu IBM- PC.

1.1 Úvod do FEM - Diskretizace

Základním principem FEM je diskretizace (rozdělení) tělesa na malé části (prvky), které jsou matematicky snadno popsatelné.

Obr. 1.1 ukazuje diskretizaci: a) klasické řešení, b) čtyř prvkový model.. Klasické řešení problému vyžaduje napsání diferenciální rovnice pro plynule se zužující prut, řešení rovnice pro osové posunutí

u

jako funkce

x

v mezích

0;L

. Naproti tomu řešení FEM spočívá v rozdělení (diskretizaci) prutu na čtyři konečné prvky různých, ale konstantních průřezů. V těchto prvcích prodloužení roste lineárně se vzdáleností

x.

Prodloužení jednotlivých prvků je pak dáno vztahem

( ) _e

e /

e F L E S

L = ⋅ ⋅

∆

. Výsledné prodloužení celého prutu je pak součtem prodloužení jednotlivých prvků.

Uvedená diskretizace je základem tzv. deformační metody. Jejím zobecněním vznikla nejužívanější varianta FEM.

Teoretickým základem FEM je Lagrangeův variační princip.

Příklad na obr. 1.2 je model osově symetrického dopředného protlačování, složený z obdélníkových prvků (elements). V detailu jsou černými tečkami znázorněny uzly (nodes) nebo uzlové body, které určují místa spojení jednotlivých prvků. Pouze prostřednictvím těchto uzlů lze definovat zatížení nebo potlačení stupňů volnosti.

1.2 Aproximační funkce - charakteristická vlastnost prvku

Fyzikální vlastnosti tělesa, posunutí, napětí, teplota atd. lze nahradit funkcí prostorových souřadnic. Tato funkce se nazývá aproximační funkcí nebo také funkcí tvaru.

Na obr. 1.3 je funkce

T

, která charakterizuje rozložení teploty na rovinné obdélníkové desce. Tuto neznámou funkci nahradíme v jednotlivých uzlech aproximační funkcí, která musí mít tolik členů, kolik má prvek uzlů. Pro trojúhelníkový prvek tak vznikne např. polynom třetího stupně

( x, y ) )

, (1.1)

y

a x a a

₁

+

₂

+

₃

= Φ

který se snaží přiblížit k funkci

T

. Koeficienty

a

rovnice (1.1) získáme na základě řešení polynomu pro všechny tři uzly trojnúhelníkového prvku, tj. řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých:

( x, y

_i

10

3 3 3 2 1 3

2 3 2 2 1 2

1 3 1 2 1 1

y a x a a

y a x a a

y a x a a

+ +

= Φ

+ +

= Φ

+ +

= Φ

(1.2)

Obdélníkový prvek se čtyřmi uzly má polynom o řád vyšší:

(1.3)

y a xy a x a

a

₁

+

₂

+

₃

+

₄

= Φ

Polynomy pro prvky s více uzly získáme z Pascalova trojúhelníku (obr. 1.4).

Rozhodnutí, který prvek s kterou aproximační funkcí použít, nemá jednoznačná pravidla. Jeden prvek může dát více či méně přesný

výsledek v závislosti na tvaru, okrajových podmínkách a druhu analýzy. Většinou se vše řídí zkušenostmi a znalostmi řešitele v oboru FEM a matematiky.

Obecně však platí, že s rostoucím počtem uzlů prvku roste přesnost aproximační funkce i celkového výsledku analýzy. Není-li k dispozici matematický přesný prvek, lze řešení nahradit diskretizací na větší počet méně přesných prvků. S rostoucím počtem uzlů prvků a s rostoucím počtem samotných prvků rostou i nároky na kapacitu a výkon výpočetní techniky.

1.3 Interpolace Interpolace je postup, jímž se

přibližně určuje hodota funkce ( )

) ^{f x v}

bodě , jsou-li známy její hodnoty v jiných bodech intervalu

( a b x ∈ ,

b , . a Interpolace je základem FEM. Malá část složitého pole, může být modelována jednoduchým polem. Lineární interpolační pole na obr. 2.1 lze s úspěchem použít při dostatečně velkém počtu prvků. Prvky založené na kvadratickém nebo kubickém poli mohou poskytnout přesnější výsledek, může jich být méně, ale prvky budou mnohem složitější.

Stupeň spojitosti . Pro následné použití si uvedeme označení pro stupeň spojitosti funkce nebo pole. Pole (funkce) má stupeň spojitosti tehdy, jsou-li -té derivace pole (funkce) spojité. Pak funkce má C stupeň spojitosti, je-li funkce spojitá, ale její první derivace spojitá není.

Cm

) ^m f

( x f

f =

⁰

Literatura

SERVÍT, R. aj.: Teorie pružnosti a plasticity II. Praha, SNTL 1984. 424 s.

NĚMEC, J. aj.: Pružnost a pevnost ve strojírenství. Praha, SNTL 1989. 600 s.

MOYZES, R.: Diplomová práce. Ostrava, VŠB-TU 1994. 41 s.

VALENTA, J. aj.: Novodobé metody výpočtů tuhosti a pevnosti ve strojírenství. Praha, SNTL 1975. 528 s.