ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE.

ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE.

Bakalářská práce

Studijní program: B1101 – Matematika

Studijní obory: 7504R015 – Matematika se zaměřením na vzdělávání 7507R036 – Anglický jazyk se zaměřením na vzdělávání Autor práce: Martina Chlumská

Vedoucí práce: RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D.

Podˇ ekov´ an´ı

Dˇekuji RNDr. Martinˇe ˇSim˚unkov´e, Ph.D. za veden´ı a pomoc a dˇekuji sv´e rodinˇe za podporu a trpˇelivost.

Anotace

Tato bakal´aˇrsk´a pr´ace se zab´yv´a analytick´ym pojet´ım kuˇzeloseˇcek.

Hlavn´ım c´ılem pr´ace je poskytnout ˇcten´aˇri n´avod, jak z grafick´eho zn´azornˇen´ı kuˇzeloseˇcky sestavit jej´ı obecnou rovnici, a naopak, jak naj´ıt kuˇzeloseˇcku, kter´a je zad´ana obecnou rovnic´ı. V prvn´ı ˇc´asti pr´ace jsou zopakov´any a rozˇs´ıˇreny stˇredoˇskolsk´e znalosti o kuˇzeloseˇck´ach. Po zaveden´ı d˚uleˇzit´ych pojm˚u je uk´az´ano nˇekolik postup˚u, kter´e je moˇzn´e pro pˇrechod mezi rov- nic´ı kuˇzeloseˇcky a jej´ım grafick´ym zn´azornˇen´ım pouˇz´ıt. Vyuˇzita je pˇredevˇs´ım transformace soustavy souˇradnic. Jednotliv´e postupy jsou doplnˇeny ˇreˇsen´ymi pˇr´ıklady. V z´avˇeru pr´ace jsou struˇcnˇe shrnuty a zopakov´any pojmy line´arn´ı algebry, kter´e byly v pr´aci pouˇzity. Znalost tˇechto pojm˚u je nezbytn´a pro porozumˇen´ı textu.

Kl´ıˇ cov´ e pojmy

Kuˇzeloseˇcka, rovnice kuˇzeloseˇcky, transformace, line´arn´ı algebra.

Annotation

This bachelor thesis deals with the analytical concept of conic sections.

The main aim of this work is to give us a guide how to make a general equation of conic section from its graphical representation, and on the con- trary how to find the conic section that is given by a general equation. In the first part of this work, the high-school attainment about conic sections is revised and upgraded. After setting of important terms several methods are shown here. These methods can be used for a changeover from the conic section equation to its graphical representation. The transformation of coor- dinate system is mainly used for that. Each of these methods is supported with solved problems. Linear algebra terms used in this work are briefly sum- marised and revised in the last part of this bachelor thesis. Knowing these terms is necessary for understanding the text.

Key words

Conic section, equation of conic section, transformation, linear algebra.

Obsah

Seznam symbol˚u 9

1 Uvod´ 10

2 Historick´y ´uvod 11

3 Kuˇzeloseˇcky na ZˇS a SˇS 12

4 Kart´ezsk´a a line´arn´ı soustava souˇradnic 12

4.1 Kart´ezsk´a soustava souˇradnic . . . 13

4.2 Line´arn´ı soustava souˇradnic . . . 14

4.3 Transformace souˇradnic v rovinˇe . . . 14

5 Kuˇzeloseˇcky a jejich vlastnosti 19 5.1 Definice kuˇzeloseˇcky . . . 19

5.2 Pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s kuˇzeloseˇckou . . . 20

5.3 Klasifikace kuˇzeloseˇcek . . . 21

5.4 Asymptotick´e smˇery kuˇzeloseˇcky . . . 22

5.5 Hlavn´ı smˇery kuˇzeloseˇcky . . . 22

5.6 Stˇred kuˇzeloseˇcky, singul´arn´ı bod . . . 24

6 Od rovnice ke kuˇzeloseˇcce 26 6.1 Od rovnice ke kuˇzeloseˇcce na SˇS . . . 26

6.2 Kvadratick´a forma . . . 27

6.3 Zkoum´an´ı stˇred˚u . . . 32

7 Od kuˇzeloseˇcky k rovnici 38 7.1 Od kuˇzeloseˇcky k rovnici na SˇS . . . 38

7.2 Transformace . . . 38

8 Z´avˇer 42

9 Dodatek 43

Literatura 50

Seznam obr´ azk˚ u

1 Kart´ezsk´a soustava souˇradnic . . . 13

2 Line´arn´ı soustava souˇradnic . . . 15

3 Transformace souˇradnic . . . 17

4 Pˇr´ıklad 1 – elipsa na SˇS . . . 28

5 Pˇr´ıklad 1 – parabola . . . 30

6 Pˇr´ıklad 2 – hyperbola . . . 32

7 Pˇr´ıklad 2 – hyperbola . . . 37

8 Elipsa – rovnobˇeˇzn´a osa . . . 38

9 Transformace soustavy . . . 39

10 Pˇr´ıklad – elipsa . . . 41

11 Symetrie . . . 47

Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u

A matice

detA determinant matice A E jednotkov´a matice

A⁻¹ inverzn´ı matice k matici A A^T transponovan´a matice

C mnoˇzina vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel R mnoˇzina vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel

−

→v vektor kxk norma

1 Uvod ´

Na kuˇzeloseˇcky je moˇzn´e pohl´ıˇzet dvˇema zp˚usoby – a to geometricky a analyticky. V geometrick´em pojet´ı jsou kuˇzeloseˇcky bud’ definov´any jako rovinn´e kˇrivky, vznikaj´ıc´ı pr˚unikem roviny a rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy, nebo jako mnoˇziny bod˚u dan´ych vlastnost´ı. V t´eto pr´aci se ale budeme zab´yvat pˇr´ıstupem druh´ym, analytick´ym, kde jsou kuˇzeloseˇcky vn´ım´any jako mnoˇziny vˇsech bod˚u jejichˇz souˇradnice splˇnuj´ı obecnou rovnici kuˇzeloseˇcky. Z´akladn´ı ˇ

ctyˇri typy kuˇzeloseˇcek (rovnice, elipsa, parabola a hyperbola) zn´ame jiˇz ze stˇredn´ı ˇskoly, zaj´ımav´e ale jsou i dalˇs´ı ´utvary, kter´e dan´a rovnice popisuje a kter´ym jsme na stˇredn´ı ˇskole zat´ım nevˇenovali pozornost, tzv. degenerovan´e kuˇzeloseˇcky.

Hlavn´ım c´ılem n´asleduj´ıc´ıho textu je uk´azat, jak sestavit obecnou rov- nici pro graficky zadanou kuˇzeloseˇcku a naopak jak naj´ıt kuˇzeloseˇcku, kter´a je zadan´a obecnou rovnic´ı. Zat´ımco pˇrechod od rovnice ke kuˇzeloseˇcce je v literatuˇre pomˇernˇe pˇrehlednˇe zpracov´an, opaˇcn´y postup – od kuˇzeloseˇcky k rovnici, se v literatuˇre t´emˇeˇr neobjevuje. V textu je uvedeno nˇekolik po- stup˚u, u kaˇzd´eho z nich je uveden ˇreˇsen´y pˇr´ıklad. Pro snaˇzˇs´ı porozumˇen´ı a n´azornost je text doplnˇen obr´azky.

V prvn´ı ˇc´asti textu jsou shrnuty a rozˇs´ıˇreny stˇredoˇskolsk´e znalosti o kuˇzeloseˇck´ach, kter´e jsou pro tento pˇrechod mezi obecnou rovnic´ı kuˇzeloseˇcky a jej´ım grafick´ym zn´azornˇen´ım tˇreba. Na konci pr´ace je pak struˇcnˇe shrnuto a zopakov´ano to, co je k takov´emu pˇrechodu od rovnice ke kuˇzeloseˇcce a od kuˇzeloseˇcky k rovnici potˇreba zn´at – nˇekter´e pojmy a ope- race line´arn´ı algebry (maticov´y poˇcet, vektory, vlastn´ı ˇc´ısla, apod.) a tak´e nˇekter´e d˚uleˇzit´e geometrick´e pojmy, kter´e jsou v prvn´ı ˇc´asti pr´ace pouˇzity.

Znalost tˇechto pojm˚u a postup˚u je nezbytnˇe nutn´a k porozumˇen´ı textu.

2 Historick´ y ´ uvod

Pojem kuˇzeloseˇcka byl zn´am jiˇz uˇcenc˚um ve starovˇeku. Prvn´ım z nich byl Menechmos (kolem roku 350 pˇr.n.l.), kter´y se zdvojen´ım krychle pokouˇsel ˇreˇsit jeden z klasick´ych probl´em˚u geometrie, tzv. delsk´y probl´em. Obyvatel´e mˇesta Delos mˇeli bohu Apoll´onovi postavit nov´y olt´aˇr ze zlata, kter´y mˇel b´yt stejn´eho tvaru jako olt´aˇr st´avaj´ıc´ı, ale jeho objem mˇel b´yt dvojn´asobn´y.

Menechmos ˇreˇsil tento probl´em, kter´y vede na algebraickou rovnici 2x³ = a³, pomoc´ı pr˚useˇc´ık˚u kuˇzeloseˇcek y = 2x² a xy = a³. Pˇritom si byl jiˇz vˇedom toho, ˇze kaˇzd´a kuˇzeloseˇcka je pr˚unikem rotaˇcn´ı kuˇzelov´e nebo v´alcov´e plochy a roviny.

Samotn´e pojmy, kter´e dnes pro oznaˇcen´ı kuˇzeloseˇcek pouˇz´ıv´ame (tj. elipsa, parabola a hyperbola) zavedl ve sv´ych osmi knih´ach o kuˇzeloseˇck´ach Apollonios z Pergy (kolem roku 200 pˇr.n.l.). V tˇechto knih´ach jsou pod´any zcela nov´e definice kuˇzeloseˇcek a rotaˇcn´ıch tˇeles – kuˇzeloseˇcky definoval nejen pomoc´ı ˇrez˚u kuˇzele rovinou, ale tak´e jako geometrick´e m´ısto bod˚u urˇcit´ych vlastnost´ı. Apollonios jiˇz znal pojmy jako sdruˇzen´e pr˚umˇery, asymptoty a ohniska kuˇzeloseˇcek, jeho knihy jsou dodnes fascinuj´ıc´ı pro jejich

´

uplnost.

Dalˇs´ı rozkvˇet kuˇzeloseˇcek pˇrich´az´ı aˇz v 17. stolet´ı a souvis´ı s astrono- mick´ymi objevy Johannese Keplera (1571 – 1630) a Isaaca Newtona (1643 – 1727). V t´eto dobˇe J. Kepler objevil, ˇze se planety pohybuj´ı po eliptick´ych drah´ach, jejichˇz jedno ohnisko leˇz´ı ve stˇredu Slunce. Tyto elipsy maj´ı velmi malou v´ystˇrednost a jen velmi m´alo se liˇs´ı od kruˇznic. Keplerovy z´akony byly pozdˇeji potvrzeny objevem Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akonu. Uˇzit´ım tohoto z´akona lze dok´azat, ˇze i druˇzice planety Zemˇe se pohybuj´ı po kuˇzeloseˇck´ach a jejich jedn´ım ohniskem je stˇred Zemˇe.

Analytick´a geometrie kuˇzeloseˇcek vznikla z´aroveˇn s analytickou geometri´ı.

Jej´ı z´aklad poloˇzil Ren´e Descartes (1596 – 1650) ve sv´em spisu G´eometrie, kde jiˇz pohl´ıˇz´ı na nˇekter´e algebraick´e rovnice druh´eho stupnˇe jako na rovnice kuˇzeloseˇcek. Z jeho jm´ena (Cartesius – latinsk´y pˇrepis) tak´e vznik´a n´azev kart´ezsk´a soustava souˇradnic. Ve stejn´e dobˇe, p´ıˇse pojedn´an´ı o analytick´e geometrii tak´e jin´y francouzsk´y matematik Pierre de Fermat (1602 – 1665), je ale vyd´ano aˇz po jeho smrti, a proto je za zakladatele analytick´e geometrie povaˇzov´an Descartes.

S analytickou geometri´ı kvadrik pˇrich´az´ı aˇz v 18. stolet´ı Leonhard Euler (1707 – 1783). ´Uplnou klasifikaci kvadrik pod´av´a Augustin L. Cauchy (1789 – 1857). [1] [7]

3 Kuˇ zeloseˇ cky na Zˇ S a Sˇ S

Pˇrestoˇze se ˇz´aci s kuˇzeloseˇckami setk´avaj´ı jiˇz na z´akladn´ı ˇskole (kruˇznice, grafy, apod), samotn´y pojem kuˇzeloseˇcka a jej´ı rovnice jsou zav´adˇeny aˇz na stˇredn´ı ˇskole (analytick´a geometrie). Prob´ır´any jsou obvykle pouze ˇctyˇri z´akladn´ı typy kuˇzeloseˇcek – kruˇznice, elipsa, parabola a hyperbola, tedy kuˇzeloseˇcky tzv. prav´e. ˇZ´aci znaj´ı rovnice tˇechto kuˇzeloseˇcek (obecn´e a stˇredov´e/vrcholov´e) a nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı pojmy, kter´e s kuˇzeloseˇckami souvis´ı (oh- nisko, ˇrid´ıc´ı pˇr´ımka, hlavn´ı osa, excentricita, asymptota, apod), um´ı urˇcit vz´ajemnou polohu pˇr´ımky a kuˇzeloseˇcky nebo dvou kuˇzeloseˇcek a ˇreˇsit jed- noduˇsˇs´ı metrick´e ´ulohy. Tak´e um´ı ze zadan´ych parametr˚u rovnice sesta- vit, pˇr´ıpadnˇe ze zadan´e rovnice urˇcit druh kuˇzeloseˇcky a sestavit rovnice asymptot a teˇcen.

4 Kart´ ezsk´ a a line´ arn´ı soustava souˇ radnic

V Euklidovsk´e rovinˇe lze k bodu A pˇriˇc´ıst vektor −→u , v´ysledkem je bod B t´eto roviny, tedy B = A + −→u .

Stejnˇe tak jeden vekor je urˇcen dvˇema body tak, ˇze plat´ı −→u = B − A (vektor −→u je rozd´ılem bod˚u B a A). Toto pˇriˇc´ıt´an´ı a odeˇc´ıt´an´ı bod˚u splˇnuje dvˇe navz´ajem ekvivalentn´ı podm´ınky

(A + u) + −→v = A + (−→u + −→v ) (B − A) + (C − B) = C − A .

D´ale kaˇzd´ym dvˇema vektor˚um −→u , −→v z Euklidovsk´e roviny je pˇriˇrazeno re´aln´e ˇc´ıslo −→u .−→v zvan´e skal´arn´ı souˇcin dan´ych vektor˚u a to tak, ˇze jsou splnˇeny tyto podm´ınky

−

→u .−→v = −→v .−→u

(a.−→u + b.−→v ).−→w = a.(−→u .−→w ) + b.(−→v .−→w ); a, b ∈ R

−

→u 6=−→

0 ⇒ −→u .−→u > 0.

C´ıslo k−ˇ →u k =√

−

→u .−→u je velikost vektoru −→u . Vzd´alenost AB bod˚u A, B je rovna kB − Ak.

Uhel γ dvou nenulov´´ ych vektor˚u −→u ,−→v je d´an vztahem cos γ =

−

→u .−→v k−→u k.k−→v k.

Je tedy zˇrejm´e, ˇze nenulov´e vektory −→u ,−→v jsou na sebe kolm´e pr´avˇe tehdy, je-li jejich skal´arn´ı souˇcin nulov´y. [1] [5]

4.1 Kart´ ezsk´ a soustava souˇ radnic

Kart´ezsk´a soustava souˇradnic je v Euklidovsk´e rovinˇe d´ana bodem P (ten je obvykle oznaˇcovan´y jako poˇc´atek) a uspoˇr´adanou dvojic´ı dvou navz´ajem kolm´ych jednotkov´ych vektor˚u −→e ,−→

d . Kaˇzd´y vektor −→u , kter´y leˇz´ı v t´eto rovinˇe, se d´a pr´avˇe jedn´ım zp˚usobem zapsat ve tvaru

−

→u = u.−→e + v.−→ d .

Uspoˇr´adan´a dvojice re´aln´ych ˇc´ısel (u, v) pˇredstavuje souˇradnice vektoru −→u vzhledem k b´azi {−→e ,−→

d }.Kaˇzd´y jej´ı bod X m˚uˇzeme jednoznaˇcnˇe zapsat ve tvaru

X = P + x.−→e + y.−→ d ,

jsou tedy definov´any kart´ezsk´e souˇradnice x, y bodu X vzhledem ke zvolen´e kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic {P, −→e ,−→

d }. (Obr. 1)

Obr´azek 1: Kart´ezsk´a soustava souˇradnic

Jestliˇze je pˇr´ımka p v t´eto rovinˇe urˇcena jedn´ım bodem A a nenulov´ym vektorem −→u , pak m˚uˇze b´yt kaˇzd´y jej´ı bod zaps´an ve tvaru

X = A + t.−→u , kde t ∈ R.

Tento tvar oznaˇcujeme jako parametrick´e vyj´adˇren´ı pˇr´ımky p. Je-li X = [x, y], A = [a, b] a −→u = (u, v), m˚uˇzeme tuto rovnici rozepsat do jednotliv´ych souˇradnic

x = a + t.u, y = b + t.v.

Vylouˇcen´ım parametru t z tˇechto dvou rovnic z´ısk´ame po jednoduch´ych

´

uprav´ach neparametrick´e vyj´adˇren´ı pˇr´ımky

px + qy + r = 0, kde alespoˇn jeden z koeficient˚u p, q 6= 0,

kter´e naz´yv´ame obecn´a rovnice pˇr´ımky; vektor −→p = (p, q) je na tuto pˇr´ımku kolm´y.[1] [5]

4.2 Line´ arn´ı soustava souˇ radnic

Line´arn´ı soustava souˇrednic je d´ana bodem P a dvˇema vektory −→e ,−→ d , kter´e jsou line´arnˇe nez´avisl´e, ale (na rozd´ıl od vektor˚u v kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic) nemus´ı b´yt ani navz´ajem kolm´e, ani jednotkov´e. I v tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı, ˇze kaˇzd´y vektor −→u m˚uˇze b´yt jednoznaˇcnˇe zaps´an ve tvaru

−

→u = u.−→e + v.−→ d , a tedy i kaˇzd´y bod lze zapsat ve tvaru

X = P + x.−→e + y.−→ d .

Stejnˇe jako v kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic dost´av´ame vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e zobrazen´ı roviny na mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ych dvojic re´aln´ych ˇc´ısel. (Obr.

2)

4.3 Transformace souˇ radnic v rovinˇ e

Mˇejme v rovinˇe pevnˇe zvolenou line´arn´ı soustavu souˇradnic {P, −→e ,−→ d } a dalˇs´ı line´arn´ı soustavu souˇradnic {P⁰,−→

e⁰,−→

d⁰}. Bod P⁰ m´a vzhledem k prvn´ı soustavˇe souˇradnice [p, q], vektor−→

e⁰ souˇradnice (α, β) a vektor−→

d⁰ souˇradnice (γ, δ). Vektory −→

e⁰ a−→

d⁰ jsou nez´avisl´e, proto plat´ı α.δ − β.γ 6= 0. Oznaˇc´ıme-li souˇradnice bodu X dan´e roviny vzhledem ke druh´e soustavˇe souˇradnic x⁰, y⁰, pak m˚uˇzeme ps´at

X = P⁰+ x⁰.−→

e⁰ + y⁰.−→ d⁰.

Obr´azek 2: Line´arn´ı soustava souˇradnic

Jedn´a se o vztah mezi geometrick´ymi objekty, zvol´ıme si novou soustavu a pomoc´ı p˚uvodn´ı soustavy urˇc´ıme souˇradnice.



 x y 1



=



 p q 1



+ x⁰



 α β 0



+ y⁰



 γ δ 0



 M˚uˇzeme tedy ps´at

 x y



= p q



+ x⁰ α β



+ y⁰ γ δ



Rozep´ıˇseme-li rovnici

X = P⁰+ x⁰.−→

e⁰ + y⁰.−→ d⁰ pro jednotliv´e souˇradnice, dost´av´ame

x = αx⁰+ γy⁰+ p, y = βx⁰+ δy⁰+ q.

Tyto tranformaˇcn´ı rovnice ud´avaj´ı vztah mezi souˇradnicemi x⁰, y⁰ (druh´a soustava) a souˇradnicemi x, y (p˚uvodn´ı soustava) t´ehoˇz bodu X.

M´a-li vektor −→u = (u, v) vzhledem ke druh´e soustavˇe souˇradnic souˇradnice (u⁰, v⁰), pak m˚uˇzeme ps´at

−

→u = u⁰−→

e⁰ + v⁰−→ d⁰.

Po rozeps´an´ı t´eto rovnice do souˇradnic, dost´av´ame x = αu⁰+ γv⁰,

y = βu⁰ + δv⁰.

Pomoc´ı tˇechto rovnic transformujeme souˇradnice vektoru.

Jestliˇze jsou obˇe soustavy souˇradnic kart´ezsk´e, jsou tedy vektory −→ e⁰,−→

d⁰ jednotkov´e a navz´ajem kolm´e a proto plat´ı

α²+ β² = 1, γ²+ δ² = 1, αγ + βδ = 0.

Pak zvol´ıme ´uhel ω tak, aby α = cos ω a β = sin ω (´uhel ω je orientovan´y

´

uhel, kter´y mezi sebou sv´ıraj´ı vektory −→e a−→

e⁰ - ot´aˇc´ıme kart´ezskou soustavu souˇradnic). Mus´ı tedy platit i vztahy γ = − sin ω a δ = cos ω (resp. γ = sin ω a δ = − cos ω; v z´avislosti na tom, na kterou stranu soustavu ot´aˇc´ıme). [1]

[4] Transformaˇcn´ı rovnice, vyjadˇruj´ıc´ı vztah mezi souˇradnicemi t´ehoˇz bodu X vzhledem ke dvˇema kart´ezsk´ym soustav´am, maj´ı tvar

x⁰ = x cos ω + y sin ω, y⁰ = y cos ω − x sin ω, a naopak

x = x⁰cos ω − y⁰sin ω, y = y⁰cos ω + x⁰sin ω.

V pˇr´ıpadˇe, ˇze P 6= P⁰ maj´ı transformaˇcn´ı rovnice tvar x = x⁰cos ω − y⁰sin ω + p, y = y⁰cos ω + x⁰sin ω + q.

Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost m˚uˇzeme vztah zapsat i maticovˇe

 x⁰ y⁰



=

 cos ω sin ω

− sin ω cos ω

  x y

 ,

Obr´azek 3: Transformace souˇradnic

K transformaci soustavy souˇradnic lze pˇristupovat ze dvou pohled˚u – lze bud’ ot´aˇcet objektem na jednu stranu (aktivn´ı transformace – afinita) nebo objekt z˚ust´av´a na m´ıstˇe a ot´aˇc´ıme soustavu na druhou stranu (pasivn´ı transformace – zp˚usob uv´adˇen´y v t´eto kapitole). [10]

5 Kuˇ zeloseˇ cky a jejich vlastnosti

5.1 Definice kuˇ zeloseˇ cky

Kuˇzeloseˇcku m˚uˇzeme definovat jako rovinnou kˇrivku, kter´a vznik´a pr˚unikem roviny a rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy = geometrick´y pˇr´ıstup. Podle

´

uhlu, kter´y sv´ır´a rovina s osou rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochou m˚uˇzeme rozliˇsit ˇ

ctyˇri z´akladn´ı typy kuˇzeloseˇcek

• kruˇznice - rovina kolm´a na osu rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy

• elipsa - rovina sv´ır´a s osou rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy ´uhel menˇs´ı neˇz 90^◦, ale vˇetˇs´ı neˇz polovina vrcholov´eho ´uhlu kuˇzelov´e plochy

• parabola - rovina rovnobˇeˇzn´a s pr´avˇe jednou z pˇr´ımek kuˇzelov´e plochy

• hyperbola - rovina sv´ır´a s osou roteˇcn´ı kuˇzelov´e plochy ´uhel menˇs´ı neˇz polovina vrcholov´eho ´uhlu kuˇzelov´e plochy

V pˇr´ıpadˇe, ˇze rovina proch´az´ı vrcholem kuˇzelov´e plochy, vznikaj´ı tzv. dege- nerovan´e kuˇzeloseˇcky. V t´eto pr´aci se ale budeme upˇrednostˇnovat n´asleduj´ıc´ı analytick´y pˇr´ıstup ke kuˇzeloseˇck´am. [7] [3]

Pˇredpokl´ad´ame-li, ˇze se nach´az´ıme v rovinˇe (dvourozmˇern´em eukli- dovsk´em nebo afinn´ım prostoru), kde je pevnˇe zvolena kart´ezsk´a soustava souˇradnic dan´a poˇc´atkem P a dvojic´ı vektor˚u −→e , −→

d , potom mnoˇzinu vˇsech bod˚u X = [x, y] leˇz´ıc´ıch v t´eto rovinˇe, jejichˇz souˇradnice splˇnuj´ı rovnici

ax²+ 2bxy + cy²+ 2dx + 2ey + f = 0, (1) nazveme kuˇzeloseˇckou.

V´yraz na lev´e stranˇe rovnice lze vyj´adˇrit v maticov´em tvaru

x y 1





a b d b c e d e f





| {z }

A



 x y 1





| {z }

X

= (X)^TA(X) =

= ((ax + by + d)x + (bx + cy + e)y + (dx + ey + f )) =

= ax²+ 2bxy + cy²+ 2dx + 2ey + f

Definice. Necht’ je d´ana rovnice (1), v n´ıˇz je alespoˇn jedno z ˇc´ısel a, b, c r˚uzn´e od nuly, popˇr´ıpadˇe jej´ı libovoln´y nenulov´y n´asobek. Pak mnoˇzinu vˇsech bod˚u X = [x, y], jejichˇz souˇradnice vyhovuj´ı rovnici (1), nazveme

kuˇzeloseˇckou o rovnici (1). Body jejichˇz souˇradnice t´eto rovnici vyhovuj´ı, jsou jej´ımi body.

Pokud rovnici nevyhovuj´ı souˇradnice ˇz´adn´eho bodu, oznaˇcujeme tuto kuˇzeloseˇcku jako form´alnˇe re´alnou. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ji naz´yv´ame kuˇzeloseˇckou bodovˇe re´alnou. [1]

5.2 Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky s kuˇ zeloseˇ ckou

Hledejme pr˚useˇc´ıky pˇr´ımky p dan´e bodem M = [m, n] a nenulov´ym vek- torem −→u = (u, v), tedy

p : x = m + ut, y = n + vt, a kuˇzeloseˇcky dan´e rovnic´ı (1).

Maticov´y z´apis rovnice pˇr´ımky



 x y 1



=



 m

n 1





| {z }

M

+t



 u v 0





| {z }

U

,

dosazen´ım do (1) dost´av´ame

(M + tU )^TA(M + tU ) = t²U^TAU + 2tM AU + M^TAM, tedy rovnici ve tvaru

At²+ 2Bt + C = 0.

Potom mohou nastat tyto pˇr´ıpady [1]

• A 6= 0, B² − AC > 0, rovnice m´a dva r˚uzn´e re´aln´e koˇreny → pˇr´ımka m´a s kuˇzeloseˇckou pr´avˇe dva r˚uzn´e spoleˇcn´e body

• A 6= 0, B² − AC = 0, rovnice m´a jeden dvojn´asobn´y koˇren → pˇr´ımka m´a s kuˇzeloseˇckou pr´avˇe jeden spoleˇcn´y bod

• A 6= 0, B² − AC < 0, rovnice nem´a re´aln´e koˇreny → pˇr´ımka nem´a s kuˇzeloseˇckou ˇz´adn´y spoleˇcn´y bod (pˇr´ımka kuˇzeloseˇcku neprot´ın´a)

• A = 0, B 6= 0, rovnice je line´arn´ı a m´a pr´avˇe jeden koˇren → pˇr´ımka m´a s kuˇzeloseˇckou pr´avˇe jeden spoleˇcn´y bod

• A = 0, B = 0, C 6= 0, rovnice nem´a ˇz´adn´y koˇren → pˇr´ımka nem´a s kuˇzeloseˇckou ˇz´adn´y spoleˇcn´y bod

• A = 0, B = 0, C = 0, kaˇzd´e t splˇnuje rovnici → kaˇzd´y bod dan´e pˇr´ımky je z´aroveˇn i bodem kuˇzeloseˇcky (pˇr´ımka je ˇc´ast´ı kuˇzeloseˇcky)

5.3 Klasifikace kuˇ zeloseˇ cek

Jak jiˇz bylo v pˇredchoz´ım textu ˇreˇceno rozliˇsujeme ˇctyˇri z´akladn´ı typy tzv. prav´ych neboli nedegenerovan´ych kuˇzeloseˇcek (v pˇr´ıpadˇe, ˇze kruˇznici povaˇzujeme za samostatnou kuˇzeloseˇcku). Kromˇe nich ale existuj´ı jeˇstˇe de- generovan´e kuˇzeloseˇcky – ty vznikaj´ı pr˚unikem kuˇzelov´e plochy rovinou proch´azej´ıc´ı vrcholem kuˇzelov´e plochy.

Oznaˇcme

∆ =      

a b d b c e d e f

δ =    

a b b c

    .

Definice. Kuˇzeloseˇcka, pro n´ıˇz je determinant ∆ roven nule, se naz´yv´a singul´arn´ı (neprav´a, nevlastn´ı, degenerovan´a) kuˇzeloseˇcka. Kuˇzeloseˇcka pro n´ıˇz je determinant ∆ r˚uzn´y od nuly se oznaˇcuje jako regul´arn´ı (prav´a, vlastn´ı, nedegenerovan´a). D˚ukaz lze naj´ıt v [4]

Kuˇzeloseˇcky pak m˚uˇzeme klasifikovat n´asledovnˇe Regul´arn´ı kuˇzeloseˇcky ∆ 6= 0

• δ 6= 0 → stˇredov´a kuˇzeloseˇcka

– jetsliˇze δ > 0, ∆ < 0 → imagin´arn´ı elipsa – jestliˇze δ > 0, ∆ > 0 → elipsa

– jestliˇze δ < 0 → hyperbola

• δ = 0 → nestˇredov´a kuˇzeloseˇcka – jestliˇze δ = 0 → parabola Sigul´arn´ı kuˇzeloseˇcky (∆ = 0)

• jestliˇze δ < 0 → dvˇe r˚uznobˇeˇzky

• jestliˇze δ > 0 → bod

• jestliˇze δ = 0 → dvˇe r˚uzn´e rovnobˇeˇzky, dvˇe spl´yvaj´ıc´ı rovnobˇeˇzky (pˇr´ımka) nebo pr´azdn´a mnoˇzina

5.4 Asymptotick´ e smˇ ery kuˇ zeloseˇ cky

Mˇejme kuˇzeloseˇcku = ax²+ 2bxy + cy²+ 2dx + 2ey + f = 0, oznaˇcme δ =

a b b c

    tzv. mal´y determinant kuˇzeloseˇcky.

Vˇeta. Je-li δ > 0, kuˇzeloseˇcka nem´a ˇz´adn´y asymptotick´y smˇer - o takov´e kuˇzeloseseˇcce ˇr´ık´ame, ˇze je eliptick´eho typu.

Je-li δ = 0, kuˇzeloseˇcka m´e pr´avˇe jeden asymptotick´y smˇer – ˇr´ık´ame, ˇze kuˇzeloseˇcka je parabolick´eho typu.

Je-li δ < 0, m´a kuˇzeloseˇcka dva r˚uzn´e asymptotick´e smˇery – ˇr´ık´ame, ˇze kuˇzeloseˇcka je hyperbolick´eho typu.

Re´aln´a pˇr´ımka, kter´a nem´a s kuˇzeloseˇckou spoleˇcn´y ˇz´adn´y bod a jej´ı smˇer je asymptotick´y, se naz´yv´a asymptota t´eto kuˇzeloseˇcky. D˚ukaz v [4]

Definice. Smˇer v rovinˇe dan´y nenulov´ym vektorem −→u = (u, v) se naz´yv´a asymptotick´ym smˇerem kuˇzeloseˇcky k, jestliˇze plat´ı

au²+ 2buv + cv² = 0, coˇz m˚uˇzeme pˇrepsat do tvaru (v 6= 0)

u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, u

v = −bu + cv au + bv. Hled´ame tedy takov´e re´aln´e ˇc´ıslo λ, aby platilo

u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = −λv,

bu + cv = λu.

Rovnice asymptoty je d´ana stˇredem a asymptotick´ym smˇerem.

5.5 Hlavn´ı smˇ ery kuˇ zeloseˇ cky

Mˇejme kuˇzeloseˇcku ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0, pak smˇery urˇcen´e nenulov´ymi vektory −→u = (u, v) a −→

u⁰ = (u⁰, v⁰) naz´yv´ame sdruˇzen´ymi smˇery kuˇzeloseˇcky, pr´avˇe tehdy, plat´ı-li vztah

auu⁰+ b(uv⁰+ u⁰v) + cvv⁰ = 0.

M˚uˇzeme ps´at

u v
 a b b c

  u⁰ v⁰



= u(au⁰+ bv⁰) + u(bu⁰ + cv⁰)

Definice. Hlavn´ım smˇerem kuˇzeloseˇcky nazveme takov´y smˇer, kter´y je sdruˇzen´y se smˇerem k nˇemu kolm´ym.

Mˇejme d´any dva libovoln´e sdruˇzen´e smˇery, kter´e jsou urˇceny vektory

−

→u = (u, v) a −→

u⁰ = (u⁰, v⁰), kde u⁰ = −bu − cv, v⁰ = au + bv. Smˇery urˇcen´e vektory u, u⁰ jsou na sebe kolm´e, pr´avˇe tehdy, jsou-li vektory (−v, u) a (−bu − cv, au + bv) line´arnˇe z´avisl´e. Tedy existuje ˇc´ıslo λ takov´e, ˇze plat´ı

au + bv = λu, bu + cv = λv.

Tuto soustavu uprav´ıme na tvar

(a − λ)u + bv = 0, bu + (c − λ)v = 0.

Tato soustava m´a vzhledem k nezn´am´ym u, v nenulov´e ˇreˇsen´ı jen tehdy, je-li determinant soustavy rovn´y nule, tedy

a − λ b b c − λ

= 0

Vypoˇc´ıt´ame koˇreny λ a dosad´ıme je do soustavy, vektory −→u , −→

u⁰ urˇcuj´ı hledan´e hlavn´ı smˇery kuˇzeloseˇcky.

D˚ukaz je podrobnˇe proveden v [4].

Vˇeta. Kaˇzd´a kuˇzeloseˇcka m´a alespoˇn dva k sobˇe kolm´e hlavn´ı smˇery.

• parabola – jeden z tˇechto hlavn´ıch smˇer˚u je asymptotick´ym smˇerem pa- raboly, druh´y hlavn´ı smˇer je k nˇemu kolm´y

• elipsa, hyperbola – pr´avˇe dva hlavn´ı smˇery

• kruˇznice – nekoneˇcnˇe mnoho hlavn´ıch smˇer˚u, kaˇzd´y smˇer je jej´ım hlavn´ım smˇerem

Definice. Pr˚umˇer kuˇzeloseˇcky, kter´y je kolm´y na smˇer s n´ım sdruˇzen´y, naz´yv´ame osa kuˇzeloseˇcky. Pr˚useˇc´ık osy s kuˇzeloseˇckou se naz´yv´a vrchol kuˇzeloseˇcky. Tedy parabola m´a jednu osu. Stˇredov´e kuˇzeloseˇcky (kromˇe kruˇznice) – elipsa, hyperbola maj´ı dvˇe osy a kruˇznice m´a nekoneˇcnˇe mnoho os.

5.6 Stˇ red kuˇ zeloseˇ cky, singul´ arn´ı bod

Definice. Stˇredem kuˇzeloseˇcky k : (X)^TA(X) = 0 rozum´ıme bod M takov´y, ˇze obsahuje-li pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı bodem L bod L ∈ k, obsahuje i bod L⁰ ∈ k takov´y, ˇze S je stˇredem ´useˇcky LL⁰.

Je ale tˇreba ovˇeˇrit, zda se skuteˇcnˇe jedn´a o stˇred kuˇzeloseˇcky - je totiˇz moˇzn´e, ˇze kuˇzeloseˇcka m´a i jin´e body soumˇernosti. V takov´em pˇr´ıpadˇe m˚uˇzeme postupovat n´asledovnˇe – mˇejme kuˇzeloseˇcku k : (X)^TA(X) = 0 a bod M = [m, n]. Bodem M proloˇz´ıme pˇr´ımku p

p : x = m + ut, y = n + vt, t ∈ R

hled´ame pr˚useˇc´ıky pˇr´ımky p s kuˇzeloseˇckou k (stejnˇe jako v pˇredchoz´ı kapi- tole), po ´uprav´ach dost´av´ame rovnici

(M + tU )^TA(M + tU ) = t²U^TAU + 2tM AU + M^TAM,

Aby bod M byl stˇredem kuˇzeloseˇcky k, pak jestliˇze koˇren t je koˇrenem t´eto rovnice, pak jej´ım koˇrenem mus´ı b´yt i −t. Pro splnˇen´ı t´eto podm´ınky staˇc´ı, kdyˇz koeficient u t bude roven nule - tato rovnost nastane bez ohledu na volbu vektoru −→u = (u, v), pokud souˇradnice bodu M splˇnuj´ı rovnice

am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0.

Na kuˇzeloseˇcce tedy s kaˇzd´ym bodem M + t−→u leˇz´ı tak´e bod M − t−→u . Maticovˇe p´ıˇseme

m n 1





a b d b c e d e f







 m

n 1



=





am + bn + d bm + cn + e dm + en + f







 m

n 1



=

= (am + bn + d)m + (bm + cn + e)n + (dm + en + f ).

Vˇeta. Bod M = [m, n] je stˇredem kuˇzeloseˇcky k pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı am + bn + d = 0,

bm + cn + e = 0.

Definice. Bod kuˇzeloseˇcky, kter´y je z´aroveˇn jej´ım stˇredem, naz´yv´ame singul´arn´ı bod kuˇzeloseˇcky.

Jestliˇze je bod M = [m, n] stˇredem kuˇzeloseˇcky a z´aroveˇn na t´eto kuˇzeloseˇcce leˇz´ı, z rovnice kuˇzeloseˇcky k vypadne absolutn´ı ˇclen. Protoˇze je bod M stˇredem a bodem kuˇzeloseˇcky, oba pr˚useˇc´ıky pˇr´ımky p spl´yvaj´ı s bodem M - koeficient u line´arn´ıho ˇclenu t mus´ı b´yt opˇet nulov´y. Mus´ı tedy platit i rovnice

dm + en + f = 0.

Vˇeta. Bod M = [m, n] je singul´arn´ım bodem kuˇzeloseˇcky pr´avˇe tehdy, splˇnuje-li rovnici





a b d b c e d e f







 m

n 1



=



 0 0 0



,

coˇz je rovnice pro stˇred, kter´y leˇz´ı na kuˇzeloseˇcce. [1]

Vˇeta. Kaˇzd´a pˇr´ımka, kter´a proch´az´ı singul´arn´ım bodem kuˇzeloseˇcky, leˇz´ı bud’ cel´a na kuˇzeloseˇcce (jej´ı smˇer je z´aroveˇn asymptotick´ym smˇerem kuˇzeloseˇcky) nebo m´a s kuˇzeloseˇckou spoleˇcn´y pouze tento singul´arn´ı bod (jej´ı smˇer nen´ı asymptotick´ym smˇerem kuˇzeloseˇcky).

Vˇeta. Obsahuje-li kuˇzeloseˇcka singul´arn´ı bod, je tato kuˇzeloseˇcka sin- gul´arn´ı.

Kuˇzeloseˇcka, na kter´e leˇz´ı singul´arn´ı bod je tedy tvoˇrena dvˇema r˚uznobˇeˇzkami, jedinou pˇr´ımkou nebo pouze t´ımto jedin´ym bodem a to v z´avislosti na poˇctu asymptotick´ych smˇer˚u – m´a-li dva asymptotick´e smˇery – dvˇe r˚uznobˇeˇzky, jeden asymptotick´y smˇer – pˇr´ımka, ˇz´adn´y asymptotick´y smˇer – bod. Jestliˇze je kuˇzeloseˇcka pˇr´ımkou, pak je kaˇzd´y jej´ı bod singul´arn´ı (m´a nekoneˇcnˇe mnoho stˇred˚u).

6 Od rovnice ke kuˇ zeloseˇ cce

V obecn´e rovnici kuˇzeloseˇcky

ax²+ 2bxy + cy²+ 2dx + 2ey + f = 0 rozliˇsujeme tˇri druhy koeficient˚u

• koeficienty u kvadratick´ych ˇclen˚u a, b, c – urˇcuj´ı typ kuˇzeloseˇcky

• koeficienty u line´arn´ıch ˇclen˚u d, e – posouvaj´ı kuˇzeloseˇcku

• absolutn´ı ˇclen f – posouv´a kuˇzeloseˇcku

Samotnou konstrukc´ı kuˇzeloseˇcek se v t´eto pr´aci zab´yvat nebudeme.

Nejzn´amˇejˇs´ı konstrukce kuˇzeloseˇcek (Rytzova konstrukce, konstrukce po- moc´ı oskulaˇcn´ıch kruˇznic) jsou podrobnˇe vysvˇetleny napˇr´ıklad v pomocn´em uˇcebn´ım textu Deskriptivn´ı geometrie 1, S. Tomiczkov´a.

6.1 Od rovnice ke kuˇ zeloseˇ cce na Sˇ S

Ulohy, v nichˇ´ z maj´ı ˇz´aci z obecn´e rovnice kuˇzeloseˇcky urˇcit, jak kuˇzeloseˇcka vypad´a, jsou zad´av´any jiˇz na stˇredn´ı ˇskole. Vˇsechny rovnice z tˇechto stˇredoˇskolsk´ych pˇr´ıklad˚u se ale vyznaˇcuj´ı t´ım, ˇze neobsahuj´ı sm´ıˇsen´y kvadratick´y ˇclen. V takov´em pˇr´ıpadˇe obecnou rovnici pouze uprav´ıme na stˇredov´y tvar (dopln´ıme na ˇctverec) – postup je zˇrejm´y a v tomto textu ho nebudeme uv´adˇet. M˚uˇzeme ho ale naj´ıt napˇr´ıklad v [8]. Po pˇreveden´ı rovnice na stˇredov´y tvar provedeme klasifikaci kuˇzeloseˇcky.

Zap´ıˇseme-li obecnou rovnici ve tvaru Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, potom plat´ı-li

• A = B 6= 0 → podezˇren´ı na kruˇznici

• A.B > 0 → podezˇren´ı na elipsu

• A.B < 0 → podezˇren´ı na hyperbolu

• A.B = 0 ∧ A + B 6= 0 → podezˇren´ı na parabolu

O typu kuˇzeloseˇcky m˚uˇzeme nav´ıc rozhodnou jiˇz podle znam´enka u koefici- ent˚u a a c

• a > 0, c > 0 → kruˇznice, elipsa nebo form´alnˇe re´aln´a elipsa

• a > 0, c < 0 (nebo naopak) → hyperbola

• a = 0 ∧ c = 0 → parabola Pˇr´ıklad 1

Zjistˇete jakou kuˇzeloseˇcku popisuje rovnice x²+ 4y²− 6x + 32y + 48 = 0.

Dopln´ıme na ˇctverec

(x − 3)²− 9 + 4[(y + 4)²− 16] + 48 = 0, po ´upravˇe dost´av´ame rovnici

(x − 3)²+ 4(y + 4)² = 25.

Kdyˇz rovnici pˇrevedeme do tvaru (x − 3)²

25 + 4(y + 4)² 25 = 1,

je zˇrejm´e, ˇze jde o rovnici elipsy. Jej´ım stˇredem je bod S = [3, −4], a = 5 (d´elka hlavn´ı poloosy), b = 5/2 (d´elka vedlejˇs´ı poloosy. V pˇr´ıpadˇe potˇreby m˚uˇzeme jeˇstˇe naj´ıt souˇradnice ohnisek, pˇr´ıpadnˇe hlavn´ı i vedlejˇs´ı vrcholy.

(Obr. 4)

Pˇr´ıklad je pˇrevzat z [8].

V n´asleduj´ıc´ıch dvou podkapitol´ach se budeme zab´yvat obecn´ymi rovni- cemi kuˇzeloseˇcek, kter´e sm´ıˇsen´y kvadratick´y ˇclen obsahuj´ı.

6.2 Kvadratick´ a forma

Chceme-li z obecn´e rovnice kuˇzeloseˇcky urˇcit, jak kuˇzeloseˇcka vypad´a, mus´ıme z rovnice odstranit sm´ıˇsen´y kvadratick´y ˇclen. Naˇs´ım c´ılem je zjis- tit, kter´a rovinn´a kˇrivka vyhovuje zadan´e rovnici. Volbou vhodn´e kart´ezsk´e soustavy zjednoduˇsˇs´ıme rovnici kuˇzeloseˇcky na nejjednoduˇsˇs´ı moˇzn´y tvar (tzv. kanonick´y tvar) a teprve potom provedeme klasifikaci. Kvadratickou ˇ

c´ast obecn´e rovnice kuˇzeloseˇcky oznaˇc´ıme K, tedy K = ax²+ 2bxy + cy².

K je nenulov´a kvadratick´a forma v ∈ R². Formu K chceme pˇrev´est na dia- gon´aln´ı tvar. Jedna z moˇznost´ı, jak postupovat je pops´ana v [5], my ji zde ve zkratce uvedeme.

Nejprve urˇc´ıme matici A pˇr´ısluˇsnou k t´eto kvadratick´e formˇe, sestav´ıme charakteristickou rovnici a najdeme vlastn´ı ˇc´ısla λ₁, λ₂ a vlastn´ı vektory

Obr´azek 4: Pˇr´ıklad 1 – elipsa na SˇS

(postup je podrobnˇeji pops´an v dodatku t´eto pr´ace). Vektory vol´ıme tak, aby −→v = (v1, v2) a −→w = (−v2, v1) – takov´a volba m´a dvˇe v´yhody – za prv´e vektory −→v , −→w jsou vz´ajemnˇe kolm´e a za druh´e maj´ı stejnou velikost (k−→v k = k−→w k). Nov´a soustava, kterou z´ısk´ame otoˇcen´ım, bude m´ıt tedy kolm´e osy a jednotky budou stejn´e – i kdyˇz nemus´ı b´yt jednotkov´e (”skoro kart´ezsk´a”soustava).

Vol´ıme ortonorm´aln´ı b´azi, ve kter´e m´a forma K diagon´aln´ı tvar (koeficient b = 0)

λ₁kuk²η²₁+ λ₂kuk²η₂².

Takovou b´az´ı je b´aze sloˇzen´a z vektor˚u f₁ = −→v /k−→v k a f₂ = −→w /k−→w k – provedli jsme normalizaci vektor˚u −→v a −→w . T´eto zmˇenˇe odpov´ıdaj´ı nov´e souˇradnice

ζ₁ = η1

k−→v k ζ₂ = η2

k−→v k.

Sestav´ıme matici M pˇrechodu od p˚uvodn´ı b´aze k b´azi nov´e, tvoˇren´e vektory f₁ a f₂

M = 1

k−→v k

 v₁ v₂

−v2 v1



a v p˚uvodn´ı obecn´e rovnici provedeme substituci, kde x a y jsou ˇr´adky trans- ponovan´e matice M^T (tedy sloupce matice M ). Rovnici uprav´ıme. [5] [4] [10]

Pˇr´ıklad 1

Zjistˇete jakou kuˇzeloseˇcku popisuje rovnice

16x²− 8xy + y²+ 4x − 2y = 0.

Obecn´a rovnice kuˇzeloseˇcky m´a tvar

ax²+ 2bxy + cy²+ 2dx + 2ey + f = 0.

Nejprve urˇc´ıme pˇr´ısluˇsnou matici kvadratick´e formy L =

 16 −4

−4 1

 .

Pot´e sestav´ıme charakteristickou rovnici det(L − λE) =

16 − λ −4

−4 1 − λ    

= λ²− 17λ = 0,

ˇreˇsen´ım charakteristick´e rovnice jsou dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla λ₁ = 0, λ₂ = 17.

Vlastn´ımi vektory jsou napˇr´ıklad vektory −→v = (1, 4) a −→w = (−4, 1). Je- jich norma je N = √

17.

Vektory −→v , −→w jsou navz´ajem kolm´e. Znormujeme je a dosad´ıme do matice M .

M = 1

√17

 1 4

−4 1

 . Pouˇzijeme substituci

x = 1

√17(ζ − 4η) y = 1

√17(4ζ + η).

Z p˚uvodn´ı rovnice v zad´an´ı z´ısk´ame po ´upravˇe rovnici 17η²− 18

√17η = 4

√17ζ, tu m˚uˇzeme jeˇstˇe upravit do tvaru

17



η − 9 17√

17

2

= 4

√17



ζ + 81 68√

17

 ,

ze kter´eho je jiˇz zˇrejm´e, ˇze se jedn´a o parabolu p˚uvodnˇe s vodorovnou osou, vrcholem V = [₆₈^−81√₁₇;₁₇^√9₁₇] .

= [−0, 29; 0, 13]; parabola popsan´a zadanou rov- nic´ı vznikla z p˚uvodn´ı paraboly otoˇcen´ım o ´uhel arctan 4 .

= 75^◦57⁰49.52⁰⁰ a jej´ı vrchol m´a souˇradnice [⁻²²⁵₁₁₅₆;⁻⁷²₂₈₉] .

= [−0, 19; −0, 25]. (Obr. 5)

Obr´azek 5: Pˇr´ıklad 1 – parabola

Pˇr´ıklad je pˇrevzat z [5].

Pˇr´ıklad 2

Zjistˇete jakou kuˇzeloseˇcku popisuje rovnice 16xy + 4x − 28y − 15 = 0.

Nejprve urˇc´ıme pˇr´ısluˇsnou matici

L = 0 8 8 0

 . Pot´e sestav´ıme charakteristickou rovnici

det(L − λE) =    

−λ 8

8 −λ

= λ²− 64 = 0,

ˇreˇsen´ım charakteristick´e rovnice jsou dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla λ₁ = 8, λ₂ = −8.

Vlastn´ımi vektory jsou napˇr´ıklad vektory −→v = (1, 1) a −→w = (−1, 1). Jejich norma je N = 2√

2.

Vektory jsou navz´ajem kolm´e – provedeme normalizaci a dosad´ıme je do matice M

M = 1

2√ 2

 1 1

−1 1

 . Pouˇzijeme substituci

x = 1 2√

2(ζ − η); y = 1 2√

2(ζ + η).

Z p˚uvodn´ı rovnice v zad´an´ı z´ısk´ame po ´upravˇe rovnici



ζ − 3 2√

2

2

− η +√

22

,

ze kter´eho je jiˇz zˇrejm´e, ˇze se jedn´a p˚uvodnˇe o rovnoosou hyperbolu, se stˇredem S = [ ³

2√ 2; −√

2] .

= [1, 06; −1.41]; hyperbola popsan´a zadanou rovnic´ı vznikla z p˚uvodn´ı rovnoos´e hyperboly otoˇcen´ım o ´uhel arctan 1 = 45^◦ a jej´ı stˇred m´a souˇradnice [⁷₄;⁻¹₄ ] = [1, 75; −0, 25]. (Obr. 6)

Pˇr´ıklad je pˇrevzat z [5].

Obr´azek 6: Pˇr´ıklad 2 – hyperbola

6.3 Zkoum´ an´ı stˇ red˚ u

Z hodnoty determinantu pˇr´ısluˇsn´eho k matici kuˇzeloseˇcky snadno urˇc´ıme, zda se jedn´a o kuˇzeloseˇcku singul´arn´ı (∆ = 0) nebo regul´arn´ı (∆ 6= 0).

Z hodnoty determinantu kvadratick´ych ˇclen˚u (tzv. mal´eho determinantu) urˇc´ıme, zda je kuˇzeloseˇcka stˇredov´a nebo nestˇredov´a.

Jestliˇze δ = 0, je kuˇzeloseˇcka parabolick´eho typu, m´a jedin´y asymptotick´y smˇer a je tedy nestˇredov´a. Jestliˇze δ > 0, pak je kuˇzeloseeˇcka eliptick´eho typu, nem´a ˇz´adn´y asymptotick´y smˇer a je stˇredov´a. A jestliˇze δ < 0, kuˇzeloseˇcka je hyperbolick´eho typu, m´a dva r˚uzn´e asymptotick´e smˇery a je stˇredov´a.

Stˇredov´e kuˇzeloseˇcky maj´ı pr´avˇe jeden stˇred, zat´ımco nestˇredov´e kuˇzeloseˇcky bud’ nemaj´ı ˇz´adn´y stˇred nebo maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho stˇred˚u.

V pˇr´ıpadˇe vyˇsetˇrov´an´ı rovnice kuˇzeloseˇcky nejprve vypoˇcteme determi- nanty ∆ a δ (hodnota determinantu ∆ n´am ukazuje, zda je kuˇzeloseˇcka singul´arn´ı nebo regul´arn´ı, zat´ımco hodnota determinantu δ urˇcuje typ kuˇzeloseˇcky). Stˇred kuˇzeloseˇcky S = [m, n] je d´an soustavou dvou rovnic o dvou nezn´am´ych

am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0.

Pokud je tˇreba najdeme asymptotick´e smˇery, kter´e jsou d´any rovnic´ı au²+ 2buv + cv² = 0,

tedy

u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = −λv,

bu + cv = λu.

Asymptoty jsou pak d´any stˇredem a asymptotick´ym smˇerem. V pˇr´ıpadˇe potˇreby m˚uˇzeme jeˇstˇe naj´ıt osy a vrcholy kuˇzeloseˇcky. [1] [4]

Pˇr´ıklad 1

Vyˇsetˇrete kuˇzeloseˇcku danou rovnic´ı

3x²− 2xy + 2y²− 4x − 2y + 3 = 0.

Sestav´ıme determinant ∆ pˇr´ısluˇsn´y k matici t´eto kuˇzeloseˇcky a determi- nant kvadratick´ych ˇclen˚u δ

∆ =      

3 −1 −2

−1 2 −1

−2 −1 3

= 0

δ =    

3 −1

−1 2    

= 5 > 0

Kuˇzeloseˇcka je tedy singul´arn´ı (∆ = 0) a je tvoˇrena pouze jedn´ım bodem (δ > 0). Tento jeden bod je stˇredem t´eto kuˇzeloseˇcky. Souˇradnice stˇredu S z´ısk´ame vyˇreˇsen´ım soustavy dvou rovnic o dvou nezn´am´ych

3x − y − 2 = 0,

−x + 2y − 1 = 0.

Stˇredem zadan´e kuˇzeloseˇcky je bod S = [1, 1].

Pˇr´ıklad pˇrevzat z [4].

Pˇr´ıklad 2

Vyˇsetˇrete kuˇzeloseˇcku danou rovnic´ı

2x²− 12xy − 7y²+ 8x + 6y = 0.

Sestav´ıme determinant ∆ pˇr´ısluˇsn´y k matici t´eto kuˇzeloseˇcky a determi- nant kvadratick´ych ˇclen˚u δ

∆ =      

2 −6 4

−6 −7 3

4 3 0

= −50

δ =    

2 −6

−6 −7    

= −38 < 0

Kuˇzeloseˇcka je tedy regul´arn´ı a je hyperbolick´eho typu. Jej´ı stˇred je d´an rovnicemi

2x − 6y + 4 = 0,

−6x − 7y + 3 = 0.

Stˇredem zadan´e kuˇzeloseˇcky je bod S = [−1/5, 3/5]. Asymptotick´e smˇery jsou d´any rovnic´ı

2u²− 12uv − 7v² = 0, m˚uˇzeme tedy dosadit

u(2u − 6v) + v(−6u − 7v) = 0, 2u − 6v = −λv,

−6u − 7v = λu.

Dost´av´ame λ = ±5√

2. Jeden asymptotick´y smˇer je d´an rovnic´ı 2u + (−6 + 5√

2)v = 0, je tedy urˇcen vektorem −→u₁ = (−6 + 5√

2, −2). Druh´y asymptotick´y smˇer je d´an rovnic´ı

2u + (−6 − 5√

2)v = 0, je urˇcen vektorem −→u₂ = (−6 − 5√

2, −2). Pomoc´ı stˇredu a nalezen´eho asymptotick´eho smˇeru m˚uˇzeme sestavit rovnici asymptot. Prvn´ı asyptota m´a parametrick´e vyj´adˇren´ı

x = −1/5 − t(6 + 5√ 2), y = 3/5 − 2t,

vylouˇcen´ım parametru z´ısk´ame neparametrickou rovnici asymptoty 2x − (6 + 5√

2)y + 4 + 3√ 2 = 0.

Stejn´ym zp˚usobem sestav´ıme i rovnici druh´e asymptoty 2x − (6 − 5√

2)y + 4 − 3√ 2 = 0.

D´ale m˚uˇzeme jeˇstˇe naj´ıt osy kuˇzeloseˇcky a vrcholy kuˇzeloseˇcky (pr˚useˇc´ıky os s kuˇzeloseˇckou).

Osami kuˇzeoseˇckami jsou ty pr˚umˇery, kter´e jsou kolm´e na sdruˇzen´y smˇer.

Tento sdruˇzen´y smˇer mus´ı splˇnovat rovnice au + bv = ρu,

bu + cv = ρv, pro zadanou kuˇzeloseˇcku tedy

2u − 6v = ρu,

−6u − 7v = ρv, po ´upravˇe

(2 − ρ)u − 6v = 0,

−6u − (7 + ρ)v = 0, dost´av´ame

ρ²+ 5ρ − 50 = 0.

Koˇreny t´eto soustavy jsou tedy ρ₁ = 5 a ρ₂ = −10. Po dosazen´ı je zˇrejm´e, ˇze prvn´ı takov´y smˇer je d´an rovnic´ı 3u + 6v = 0, tedy vektorem −→u₃ = (−2, 1), a druh´y 12u − 6v = 0, tedy vektorem −→u₄ = (1, 2).

Protoˇze pr˚umˇer sdruˇzen´y k vektoru −→u₃ je na nˇej kolm´y, m´a smˇer totoˇzn´y s vektorem −→u₄ a obr´acenˇe. Proto smˇery vektor˚u −→u₃, −→u₃ ud´avaj´ı pˇr´ımo smˇery os. Osy samotn´e proch´azej´ı stˇredem, proto jejich rovnice m˚uˇzeme dostat jako rovnice pr˚umˇer˚u, sdruˇzen´ych s vektory −→u₃ a −→u₃.

Rovnice prvn´ı osy bude m´ıt tvar

(−2a + b)x + (−2b + c)y + (−2d + e) = 0,

−10x + 5y − 5 = 0,

−2x + y − 1 = 0.

Rovnice druh´e osy

(a + 2b)x + (b + 2c)y + (d + 2e) = 0,

−10x − 20y + 10 = 0, x + 2y − 1 = 0.

Vrcholy jsou pr˚useˇc´ıky os kuˇzeloseeˇcky s kuˇzeloseˇckou samotnou. Proto z rovnice pro prvn´ı osu vyj´adˇr´ıme y, dost´av´ame

y = 2x + 1, a dosad´ıme do rovnice kuˇzeloseˇcky

2x²− 12xy − 7y²+ 8x + 6y = 0.

Po ´upravˇe dost´av´ame

x = −1 5 ±

√2 10, y = 3

5±

√2 5 . Souˇradnice vrchol˚u jsou tedy

A =

"

−1 5 +

√2 10,3

5+

√2 5

# , B =

"

−1 5 −

√2 10,3

5−

√2 5

# .

Druh´a osa kuˇzeloseˇcku neprot´ın´a. (Obr. 8) Pˇr´ıklad pˇrevzat z [1].

Obr´azek 7: Pˇr´ıklad 2 – hyperbola

7 Od kuˇ zeloseˇ cky k rovnici

7.1 Od kuˇ zeloseˇ cky k rovnici na Sˇ S

Z´ˇaci na stˇredn´ıch ˇskol´ach jsou schopni sestavit obecnou rovnici graficky zadan´e kuˇzeloseˇcky, v pˇr´ıpadˇe, ˇze osy t´eto kuˇzeloseˇcky jsou rovnobˇeˇzn´e s osami kart´ezsk´e soustavy souˇradnic. V takov´em pˇr´ıpadˇe pouze dosad´ıme potˇrebn´e parametry (souˇradnice stˇredu, d´elky os, apod.) do stˇredov´eho tvaru rovnice dan´e kuˇzeloseˇcky a rovnici uprav´ıme.

Obr´azek 8: Elipsa – rovnobˇeˇzn´a osa

7.2 Transformace

Chceme-li z grafick´eho zn´azornˇen´ı kuˇzeloseˇcky sestavit jej´ı rovnici, pak v pˇr´ıpadˇe, ˇze osy kuˇzeloseˇcky nejsou rovnobˇeˇzn´e s osami soustavy souˇradnic, potˇrebujeme pomoc´ı transformaˇcn´ıch rovnic z´ıskat sm´ıˇsen´y kvadratick´y ˇclen.

Nejprve tedy zvol´ıme vhodnou kart´ezskou soustavu souˇradnic a pomoc´ı souˇradnic v t´eto nov´e (otoˇcen´e a posunut´e) soustavˇe vyj´adˇr´ıme souˇradnice v soustavˇe p˚uvodn´ı {P, −→e ,−→

d }. [10] [4]

Transformaˇcn´ı rovnice pro posunut´ı x⁰ = x⁰⁰− m,

y⁰ = y⁰⁰− n.

Transformaˇcn´ı rovnice pro otoˇcen´ı

x = x⁰cos ω − y⁰sin ω, y = y⁰cos ω + x⁰sin ω.

Obr´azek 9: Transformace soustavy

V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsme kart´ezskou soustavu souˇradnic {P, −→e ,−→

d } posunuli do bodu P⁰ a z´aroveˇn jsme vektory −→e ,−→

d otoˇcili kolem poˇc´atku o orientovan´y

´

uhel ω, m˚uˇzeme transformaˇcn´ı rovnice ps´at ve tvaru x y
= x⁰ y⁰

 cos ω sin ω

− sin ω cos ω



+ p q
,

nebo po sloˇzk´ach ve tvaru

x = x⁰cos ω − y⁰sin ω + p, y = y⁰cos ω + x⁰sin ω + q.

Je patrn´e, ˇze matice pˇrechodu je ortogon´aln´ı a jej´ı detA = 1. Potˇrebujeme-li tedy vyj´adˇrit nov´e souˇradnice pomoc´ı p˚uvodn´ıch - uvˇedom´ıme si, ˇze A⁻¹ = A^T.

A =

 cos ω sin ω

− sin ω cos ω



A⁻¹ = cos ω − sin ω sin ω cos ω



transformaˇcn´ı rovnice tedy m˚uˇzeme upravit x⁰ y⁰
= x y
 cos ω − sin ω

sin ω cos ω



− p q
 cos ω − sin ω sin ω cos ω

 ,

po sloˇzk´ach p´ıˇseme

x⁰ = (x − p) cos ω + (y − q) sin ω, y⁰ = −(x − p) sin ω + (y − q) cos ω.

Transformaˇcn´ı rovnice m˚uˇzeme ps´at i takto

x y 1
= x⁰ y⁰ 1





cos ω sin ω 0

− sin ω cos ω 0

p q 1



. Pˇr´ıklad 1

Sestavte rovnici zobrazen´e kuˇzeloseˇcky. (Obr. 10) Kanonick´a rovnice elipsy m´a tvar

 x⁰ a

2

+ y⁰ b

2

= 1

Ze zadan´eho grafu kuˇzeloseˇcky d´ale urˇc´ıme, ˇze M = [3, 4], ´uhel ω = π/6;

hlavn´ı poloosa a = 3, vedlejˇs´ı poloosa b = 1.

Pouˇzijeme transformaˇcn´ı rovnice

x⁰ y⁰
= x y
 cos ω − sin ω sin ω cos ω



− (p, q) cos ω − sin ω sin ω cos ω

 ,

Obr´azek 10: Pˇr´ıklad – elipsa dosad´ıme

x⁰ y⁰
= x y

 √

3/2 −1/2

1/2 √

3/2



− (3, 4)

 √

3/2 −1/2

1/2 √

3/2

 ,

rozep´ıˇseme na sloˇzky

x⁰ = (x − 3)√

3/2 + (y − 4)1/2, y⁰ = −(x − 3)1/2 + (y − 4)√

3/2.

Tyto souˇradnice dosad´ıme do rovnice elipsy v kanonick´em tvaru. Rovnici uprav´ıme.

Rovnice zadan´e elipsy m´a tvar

0.67x²− 1, 54xy + 1, 56y²+ 2, 16x − 7.83y − 10.41 = 0.

8 Z´ avˇ er

V textu jsou shrnuty a rozˇs´ıˇreny stˇredoˇskolsk´e znalosti kuˇzeloseˇcek, pˇredevˇs´ım z analytick´eho pohledu. Jsou zde zopakov´any afinn´ı vlastnosti kuˇzeloseˇcek a je uk´az´ano, jak transformovat souˇradnice v rovinˇe.

Hlavn´ım z´amˇerem pr´ace bylo poskytnout pˇrehledn´y n´avod pro ˇcten´aˇre, jak pˇrech´azet mezi obecnou rovnic´ı kuˇzeloseˇcky a jej´ım grafick´ym zn´azornˇen´ım, tedy zmapovat oblast, kter´a se v literatuˇre pˇr´ıliˇs ˇcasto neobje- vuje. Geometrick´y pˇr´ıstup ke kuˇzeloseˇck´am byl v t´eto pr´aci potlaˇcov´an. Text je doplnˇen ˇreˇsen´ymi pˇr´ıklady a obr´azky nakreslen´ymi v programu GeoGebra.

9 Dodatek

Matice, operace s maticemi

Matic´ı A typu (m, n) naz´yv´ame obd´eln´ıkov´e sch´ema m x n re´aln´ych (resp.

komplexn´ıch) ˇc´ısel uspoˇr´adan´ych do m ˇr´adk˚u a n sloupc˚u

A =











a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2n ... ... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_m3 . . . a_mn











V pˇr´ıpadˇe, ˇze m = n, pak matici A naz´yv´ame ˇctvercovou matic´ı n-t´eho ˇr´adu. Prvky a₁₁, a₂₂, a₃₃, . . . , a_nn tvoˇr´ı hlavn´ı diagon´alu t´eto matice a prvky a_1n, a_2,n−1, a_3,n−2, . . . , a_n1 diagon´alu vedlejˇs´ı.

Ctvercovou matici E oznaˇˇ cujeme jako jednotkovou, pr´avˇe tehdy, kdyˇz e_ij = 1, i = j

0, i 6= j

Matici A^T, kter´a vznikne vz´ajemnou v´ymˇenou ˇr´adk˚u a sloupc˚u z matice A oznaˇcujeme jako transponovanou matici. Pro jednotliv´e prvky v t´eto matici tedy plat´ı a^T_ij = a_ji.

A^T =











a₁₁ a₂₁ a₃₁ . . . a_m1 a₁₂ a₂₂ a₃₂ . . . a_m2 ... ... ... . .. ... a_1n a_2n a_3n . . . a_mn









 Matice A se naz´yv´a symetrick´a, jestliˇze plat´ı A = A^T.

Dvˇe matice se rovnaj´ı, jsou-li stejn´eho ˇr´adu a rovnaj´ı se vˇsechny jejich odpov´ıdaj´ıc´ı si prvky.

Sˇc´ıt´an´ı,odˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı matic ˇc´ıslem α ∈ R prov´ad´ıme tzv. po sloˇzk´ach. Sˇc´ıtat a odˇc´ıtat m˚uˇzeme pouze matice stejn´eho typu.

A+B =







a11 . . . a1n

... . .. ... a_m1 . . . a_mn





+







b11 . . . b1n

... . .. ... b_m1 . . . b_mn





=







a11+ b11 . . . a1n+ b1n

... . .. ... a_m1+ b_m1 . . . a_mn+ b_mn





,

αA = α







a11 . . . a1n

... . .. ... a_m1 . . . a_mn





=







αa11 α . . . αa1n

... . .. ... αa_m1 . . . αa_mn





.

N´asob´ıme-li dvˇe matice A, C, mus´ı b´yt poˇcet sloupc˚u matice A roven poˇctu sloupc˚u matice C (n´asob´ıme-li matici typu (m, n) s matic´ı typu (n, p), v´ysledn´a matice D mus´ı b´yt typ (m, p). N´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı.

A.B =







a₁₁ . . . a_1n ... . .. ... a_m1 . . . a_mn













c₁₁ . . . c_1p ... . .. ...

c_n1 . . . c_np





=







d₁₁ . . . d_1p ... . .. ... d_m1 . . . d_mp= D





, kde prvek d_ik = a_i1c_1k + a_i2c_2k + . . . + a_inc_nk. To znamen´a, ˇze prvek matice D na i-t´em ˇr´adku a v k-t´em sloupci je skal´arn´ım souˇcinem i-t´eho ˇr´adku matice A a k-t´eho sloupce matice C.

Matici A naz´yv´ame inverzn´ı, pokud k n´ı existuje matice B takov´a, ˇze AB = BA = E. V takov´em pˇr´ıpadˇe matici B naz´yv´ame inverzn´ı matic´ı k matici A a znaˇc´ıme ji A⁻¹.

Determinant matice A je zobrazen´ı, kter´e kaˇzd´e matici A pˇriˇrad´ı ˇc´ıslo (skal´ar); obvykle ho znaˇc´ıme detA nebo ∆

detA =         

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_n1 a_n2 . . . a_nn

Pro v´ypoˇcet determinant˚u druh´eho a tˇret´ıho ˇr´adu pouˇz´ıv´ame Sarrusovo pravidlo. Determinantem matice tˇret´ıho ˇr´adu rozum´ıme ˇc´ıslo

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

= a₃₃(a₁₁a₂₂− a₂₁a₁₂) − a₃₂(a₁₁a₂₃− a₂₁a₁₃) + a₃₁(a₁₂a₂₃− a₂₂a₁₃),

determinatem matice druh´eho ˇr´adu rozum´ıme ˇc´ıslo 

a11 a12

a₂₁ a₂₂    

= a11a22− a21a12. [7] [1]

Vektory, operace s vektory

Z geometrick´eho hlediska je vektor veliˇcina urˇcen´a smˇerem, velikost´ı a orientac´ı. V´yjimku tvoˇr´ı nulov´y vektor, coˇz je vektor o nulov´e velikosti a nem´a tedy ani smˇer ani orientaci. Vektory stejn´e velikosti a stejn´eho smˇeru, ale s opaˇcnou orientac´ı naz´yv´ame opaˇcn´e vektory.

Je-li vektor −→u urˇcen orientovanou ´useˇckou AB, naz´yvaj´ı se ˇc´ısla u₁ = b₁− a₁, u₂ = b₂− a₂ souˇradnice vektoru −→u (v rovinˇe) souˇradnice vektoru −→u .

Pro kaˇzd´e dva vektory −→u = (u₁, u₂), −→v = (v₁, v₂) plat´ı

−

→u + −→v = (u1+ v1; u2+ v2).

Velikost vektoru −→u = (u₁, u₂) spoˇc´ıt´ame vztahem kuk =p

u₁²+ u₂².

Vektor jehoˇz velikost se rovn´a jedn´e naz´yv´ame jednotkov´y vektor.

Skal´arn´ı souˇcin dvou vektor˚u −→u = (u1, u2), −→v = (v1, v2) v rovinˇe je ˇc´ıslo u₁v₁+ u₂v₂.

Definice. Necht’ je d´ana koneˇcn´a posloupnost vektor˚u. ˇR´ık´ame, ˇze vek- tory jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze je alespoˇn jedna jejich netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace rovna nulov´emu vektoru. Naopak, je-li kaˇzd´a jejich netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace nenulov´a, ˇr´ık´ame, ˇze tyto vektory jsou line´arnˇe nez´avisl´e.

Norma

Norma je nez´aporn´a re´aln´a funkce,kter´a kaˇzd´emu nenulov´emu vektoru pˇriˇrazuje kladn´e re´aln´e ˇc´ıslo (d´elku, velikost). V rovinˇe R² normu definujeme jako

kxk :=p (x.x).

Norma m´a tyto vlastnosti: [5]

kxk = 0 ⇔ x = 0;

x ∈ X; α ∈ R ⇒ kαxk = |α|.kxk;

x ∈ X; y ∈ X ⇒ kx + yk ≤ kxk + kyk; tzv. troj´uheln´ıkov´a nerovnost.

Vlastn´ı ˇ c´ısla, vlastn´ı vektory

Definice. Necht’ A je ˇctvercov´a matice typu n × n a E je jednotkov´a matice typu n × n, potom ˇr´ık´ame, ˇze λ ∈ C je vlasn´ı ˇc´ıslo matice A, je-li ˇreˇsen´ım rovnice

det(A − λE) = 0.

Tuto rovnici naz´yv´ame charakteristickou rovnic´ı matice A.

det(A − λE) =         

a₁₁− λ a₁₂ . . . a_1n a21 a22− λ . . . a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 . . . a_nn− λ

| {z }

charakteristick´y polynom matice A

Kaˇzd´a ˇctvercov´a matice A typu n×n m´a pr´avˇe n vlastn´ıch ˇc´ısel, poˇc´ıt´ame- li kaˇzd´e vlastn´ı ˇc´ıslo v jeho n´asobnosti.

V pˇr´ıpadˇe, ˇze je matice A symetrick´a, jsou vˇsechny koˇreny rovnice det(A−

λE) = 0 re´aln´a ˇc´ısla.

R´ık´ˇ ame, ˇze n-rozmˇern´y vektor −→v je vlastn´ı vektor matice A pˇr´ısluˇsn´y k jej´ımu vlastn´ımu ˇc´ıslu λ, je-li −→v nenulov´ym ˇreˇsen´ım rovnice

(A − λE)−→v = 0.

Vˇeta. Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e k r˚uzn´ym vlastn´ım ˇc´ısl˚um symetrick´e ma- tice A jsou ortogon´an´ı - jejich skal´arn´ı souˇcin je rovn´y nule. [5] [4] [2]

Symetrie

Symetrii m˚uˇzeme definovat jak geometricky, tak analyticky.

Definice. ˇR´ık´ame, ˇze body K⁰ = [k⁰, l⁰], K⁰⁰ = [k⁰⁰, l⁰⁰] jsou symetrick´e vzhledem k pˇr´ımce p, je-li K⁰ ∈ p a K⁰⁰ ∈ p, pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı tˇemito dvˇema body je kolm´a k pˇr´ımce p,oba body maj´ı od t´eto pˇr´ımky stejnou vzd´alenost a leˇz´ı v r˚uzn´ych polorovin´ach urˇcen´ych pˇr´ımkou p. (Obr. 11)

Mnoˇzinu N ⊂ R² oznaˇcujeme jako symetrickou vzhledem k pˇr´ımce p, leˇz´ı-li v N spolu s kaˇzd´ym bodem K⁰ i bod K⁰⁰ symetrick´y s K⁰ vzhledem k p; v takov´em pˇr´ıpadˇe pˇr´ımku p naz´yv´ame osou symetrie mnoˇziny N . M´a-li mnoˇzina N nˇejakou osu symetrie, ˇr´ık´ame o n´ı, ˇze je osovˇe symetrick´a.

Definice. ˇR´ık´ame, ˇze body K⁰ = [k⁰, l⁰], K⁰⁰ = [k⁰⁰, l⁰⁰] jsou symetrick´e vzhledem k bodu K₀ = [k₀, l₀], plat´ı-li

1

2(k⁰+ k⁰⁰) = k₀,1

2(l⁰+ l⁰⁰) = l₀.

Mnoˇzina N ⊂ R² se naz´yv´a symetrick´a vzhledem k bodu K₀, obsahuje- li spolu s kaˇzd´ym bodem K⁰ i bod K⁰⁰ s n´ım symetrick´y vzhledem k bodu K₀; kaˇzd´y takov´y bod K₀ budeme naz´yvat stˇred symetrie mnoˇziny N . M´a-li mnoˇzina alespoˇn jeden stˇred symetrie, ˇr´ık´ame o n´ı, ˇze je stˇredovˇe symetrick´a.

Kaˇzd´a kuˇzeloseˇcka je osovˇe soumˇern´a

• kruˇznice, jednobodov´a mnoˇzina, pr´azdn´a mnoˇzina - nekoneˇcnˇe mnoho os symetrie

• parabola, rovnobˇeˇzky - pr´avˇe jedna osa symetrie

• elipsa (kromˇe kruˇznice), hyperbola, dvojice r˚uznobˇeˇzek - pr´avˇe dvˇe osy symetrie

Obr´azek 11: Symetrie

Kaˇzd´a kuˇzeloseˇcka kromˇe paraboly je stˇredovˇe soumˇern´a

• elipsa (vˇcetnˇe kruˇznice), hyperbola, dvojice r˚uznobˇeˇzek a jednobodov´a mnoˇzina- jeden stˇred symetrie

• rovnobˇeˇzky, pr´azdn´a mnoˇzina - nekoneˇcnˇe mnoho stˇred˚u symetrie

• parabola - ˇz´adn´y stˇred symetrie

Afinita

Afinita je prost´e zobrazen´ı afinn´ıho prostoru na sebe; (A⁰B⁰C⁰) = (ABC).

Jedn´a se vlastnˇe o rovnobˇeˇzn´e prom´ıt´an´ı bod˚u jedn´e roviny do roviny druh´e.

Afinita je urˇcena osou a uspoˇr´adanou dvojic´ı bod˚u AA⁰, tyto body urˇcuj´ı smˇer osov´e afinity. Vzor a obraz pˇr´ımky (r˚uznobˇeˇzn´e s osou) se prot´ınaj´ı na ose afinity. Body na ose afinity jsou silnˇe samodruˇzn´e a pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e se smˇerem afinity jsou slabˇe samodruˇzn´e. Afinita zachov´av´a rovnobˇeˇznost, dˇel´ıc´ı pomˇer(tato vlastnost je d˚uleˇzit´a zejm´ena proto, ˇze stˇred ´useˇcky opˇet odpov´ıd´a stˇredu ´useˇcky) a incidenci. Na rovnobˇeˇzk´ach s osou afinity se za- chov´av´a i d´elka ´useˇcky. Naopak velikost ´uhlu nen´ı zachov´ana. Podle smˇeru rozliˇsujeme tˇri z´akladn´ı pˇr´ıpady osov´e afinity - koso´uhl´a afinita, pravo´uhl´a afinita a elace. [3]