av Fredrik Smeds

(1)

I NTEGRALEKVATIONER

av Fredrik Smeds

Karlstads universitet,

Institutionen för

ingenjörsvetenskap,

fysik och matematik, 2005.

(2)

Förord.

Denna skrift bygger huvudsakligen på delar av kompendiet Integral Equations av Yury V.

Shestopalov och Yury G. Smirnov (Karlstads universitet 2002), till vilken jag fogat några egna exempel och bevis samt en biografi över Ivar Fredholm. Skriften är tillkommen då jag läste kursen ”Integralekvationer” för Shestopalov, och behandlar kontraktionsprincipen, Neumannserier, en lösningsmetod för separabla integralekvationer, Fredholms teori i Hilbert- rum samt Hilbert-Schmidts teori.

Det har varit intressant att studera ämnet och jag hoppas läsaren tycker detsamma.

Fredrik Smeds, Karlstad i april 2005.

(3)

Innehåll

Förord

1. Kontraktionsprincipen 1

2. Volterras integralekvationer av andra slaget 2

3. Picards sats 3

4. Fredholms integralekvationer av andra slaget 4

5. Neumannserier och resolvent 5

6. Två exempel 8

7. Integralekvationer med degenererade och separabla kärnor 11

8. Två bekanta exempel ånyo 12

9. Integralekvationer med degenererade kärnor samt approximativa lösningar 16

10. Fredholms resolvent 17

11. Två exempel för tredje gången 19

12. Hilbertrum och självadjungerade operatorer 21

13. Fullständigt kontinuerliga integraloperatorer i Hilbertrummet 22

14. Självadjungerade operatorer i Hilbertrummet 25

15. Fredholms teori i Hilbertrummet 25

16. Ett nytt exempel 29

17. Integralekvationer med symmetriska kärnor. Hilbert-Schmidts teori 34

18. Ivar Fredholm 39

Litteratur och källor 43

(4)

1. Kontraktionsprincipen.

Ett metriskt rum R är ett ordnat par (X, ρ ), där X är en mängd (vars element kallas punkter) och ρ : X × X → en funktion, som uppfyller följande villkor för alla x, y, z ∈ X.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

I:

II:

III:

IV:

ρ ρ

ρ ρ ρ

x y

x y x y

x y y x

x y y z x z

, ,

, , ,

≥

= ⇔ =

=

+ ≥

0 0

Funktionen ρ kallas avståndsfunktion eller metrik. Enligt I är ρ inte negativ, enligt III är den symmetrisk och villkoret IV kallas triangelolikheten. De två första villkoren ger att avståndet ρ (x, y) mellan punkterna x och y är positivt endast då punkterna är olika.

En följd { } av punkter i ett metriskt rum R kallas en fundamentalföljd om den uppfyller Cauchys konvergenskriterium, det vill säga: För varje ε > 0 finns ett naturligt tal N så- dant att ρ (x

x

_n _n=^∞

1

n

, x

m

) < ε , om m ≥ N och n ≥ N. Fundamentalföljder kallas också Cauchyföljder.

Om varje fundamentalföljd i ett metriskt rum R konvergerar mot en punkt i R, är R ett full- ständigt metriskt rum. Jag skall ge tre exempel: Rummet

ⁿ

med den euklidiska metriken

( ) ( )

ρ x y x y x

_k

y

_k

k n

, = − = −

∑

= 2

2

0

är fullständigt. Rummet C[a, b] av kontinuerliga funktioner på intervallet [a, b] med metriken ρ (f, g) = max ( ) ( )

a x b

f x g x

≤ ≤

−

är fullständigt, ty varje fundamentalföljd {f

n

} av kontinuerliga funktioner konvergerar mot en kontinuerlig funktion i rummet C[a, b]. Rummet C

ⁿ

[a, b] av kontinuerliga vektorfunktioner f: [a, b] →

ⁿ

med metriken

( ) ^{( )} ^{( )}

ρ f g f x g x

a x b k k

, = max −

≤ ≤ 2

(k ∈ {1, …, n})

är fullständigt. Notera att metriken i det tredje exemplet är en kombination av de två första.

Låt R vara ett metriskt rum. Varje avbildning A: R → R kallas en kontraktion (ordet betyder ’sammandragning’), om det finns ett tal α < 1 sådant att ρ (Ax, Ay) ≤ αρ (x, y), för alla punkter x, y ∈ R (skrivsättet ”x ∈ R ” är en förkortning för ”x ∈ X och R = (X, ρ )”).

Sats 1: Varje kontraktion är kontinuerlig.

Bevis: Låt A vara en kontraktion i R med avståndsfunktionen ρ . Enligt definitionen gäller för

alla x, y ∈ R, att ρ (Ax, Ay) ≤ αρ (x, y) för något tal α < 1. Låt ε > 0 och δ = αε . Då gäller att

ρ (Ax, Ay) < ε ⇒ ρ (x, y) < δ och därmed är A kontinuerlig.

(5)

Sats 2 (Kontraktionsprincipen): Varje kontraktion i ett fullständigt metriskt rum R = (X, ρ ) har en och endast en fix punkt, vilket betyder att ekvationen Ax = x har en entydig lösning.

Bevis: Låt x

₀

∈ R. Låt x

1

= Ax

₀

, x

₂

= Ax

₁

= A

²

x

_0,

och allmänt x

_n

= Ax

_n–1

= A

ⁿ

x

₀

. Följden {x

_n

} är en Cauchyföljd, ty ρ (x

_n

, x

_m

) = ρ (A

ⁿ

x

₀

, A

^m

x

₀

) ≤ αρ (x

₀

, x

_m–n

) ≤ α

ⁿ

[ ρ (x

₀

, x

₁

) + ρ (x

₁

, x

₂

) + … + ρ (x

m–n–1

, x

m–n

)] ≤ α

ⁿ

ρ (x

0

, x

1

)[1 + α + α

²

+ … + α

^m–n–1

] ≤ α

ⁿ

ρ (x

0

, x

1

)[1/(1 – α )]. Emedan α < 1, är detta godtyckligt litet för tillräckligt stora n. Eftersom R är fullständigt, existerar lim

n

. Vi sätter Enär A är kontinuerlig, följer

x

n

→∞

x x

n n

= lim

→∞

. Ax A x Ax x x

n n

= = = =

→∞ →∞ →∞ +

lim lim lim

₁

.

Vi skall nu visa att x är entydigt. Om Ax = x och Ay = y, följer ρ (x, y) ≤ αρ (x, y), där α < 1, vilket medför ρ (x, y) = 0, alltså x = y.

2. Volterras integralekvationer av andra slaget.

I integralekvationer av första slaget förekommer den okända funktionen bara under integral- tecknet, annars är den av andra slaget. Vi skall nu generalisera kontraktionsprincipen.

Sats 3: Om R = (X, ρ ) är ett fullständigt metriskt rum och A: R → R är en funktion sådan att A

ⁿ

är en kontraktion för något n ∈ , har ekvationen Ax = x en entydig lösning.

Bevis: Låt x

0

∈ R. Låt följden {x

k

} = { ^{A x}

^nk 0

}

_k=1

∞

. Konvergensen följer som i beviset av sats 2.

Sätt x x Då följer ρ (A

k k

= lim

→∞

.

^nk

Ax

0

, A

^nk

x

0

) ≤ αρ (A

^n(k–1)

Ax

0

, A

^n(k–1)

x

0

) ≤ … ≤ α

^k

ρ (Ax

0

, x

0

), där α < 1, ty A

ⁿ

är en kontraktion. Alltså ^lim ( ^, ) ^,

k

nk nk

A Ax A x

→∞

ρ

₀ ₀

= 0 vilket ger Ax = x.

Om Ax = x och Ay = y, har vi A

ⁿ

x = x och A

ⁿ

y = y. Alltså ρ (x, y) = ρ (A

ⁿ

x, A

ⁿ

y) ≤ αρ (x, y), där α < 1, och därmed ρ (x, y) = 0. Således x = y, så x är entydigt.

Sats 4: Volterras integralekvation av andra slaget,

( ) ( ) ( ) ( ) ,

f x x K x y y dy

a x

= ^φ + ^λ ∫ ^, ^φ

där kärnan K(x, y) är en kontinuerlig funktion i Π = [a, b] × [a, b] för något b > a, så att det för alla (x, y) ∈ Π gäller |K(x, y)| ≤ M, har en entydig lösning φ (x) för alla värden på λ .

Bevis: Betrakta avbildningen A: C[a, b] → C[a, b], där Af = g och

( ) ( ) ( ) ( ) .

g x x K x y f y dy

a x

= ^φ + ^λ ∫ ^,

Låt f

1

, f

2

∈ C[a, b] och m = max |f

1

(x) – f

2

(x)|, då x ∈ [a, b]. Då gäller ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]

Af x Af x K x y f y f y dy Mm x a

a x

1

−

2

= ^λ ∫ ^,

1

−

2

≤ ^λ ⁻ ^.

(6)

Vidare följer |A

²

f

1

(x) – A

²

f

2

(x)| ≤ | λ |

²

M

²

m|x – a|

²

/2, …, |A

ⁿ

f

1

(x) – A

ⁿ

f

2

(x)| ≤ | λ |

ⁿ

M

ⁿ

m|x – a|

ⁿ

/n! ≤

| λ |

ⁿ

M

ⁿ

m(b – a)

ⁿ

/n! För alla värden på λ kan n väljas så stort att | λ |

ⁿ

M

ⁿ

(b – a)

ⁿ

/n! < 1, vilket betyder att A

ⁿ

är en kontraktion. Följaktligen har Volterras integralekvation av andra slaget en entydig lösning för alla värden på λ .

3. Picards sats.

Sats 5 (Picards sats): Antag att funktionen f(x, y), där (x, y) ∈ G, uppfyller Lipchitchvillkoret

|f(x, y

₁

) – f(x, y

₂

)| ≤ M|y

1

– y

₂

|. Då finns ett öppet intervall I = (x

₀

– d, x

₀

+ d), sådant att begyn- nelsevärdesproblemet

( ) ( )

dy

dx f x y y x y

=

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

,

0 0

har en entydig lösning y = φ (x), där x ∈ I.

Bevis: Eftersom f är kontinuerlig, gäller |f(x, y)| ≤ k i något område G' ⊆ G, som innehåller (x

₀

, y

₀

). Välj nu talet d > 0 så att Md < 1 och (x, y) ∈ G', om |x

0

– x| ≤ d och |y

0

– y| ≤ kd. Låt A: C → C, där C innehåller alla kontinuerliga funktioner definierade på I, vara A φ = ψ , där

( ) ( ( ) )

ψ x y f t φ t dt

x x

=

⁰

+ ∫

0

, , för x ∈ I.

Vi kan anta x ≥ x

0

, ty fallet x < x

₀

visas analogt. Eftersom

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} ) ( )

ψ x y f t φ t dt f t φ t dt k dt k x x kd

x x

−

⁰

= ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ = −

⁰

≤

0 0 0

, , ,

gäller A[C] ⊆ C. Eftersom Md < 1, är A en kontraktion, ty om ψ

1

, ψ

2

∈ C, gäller

( ) ( ) ( ( ) ) ( ^{( )} ) ^{( )} ^{( )}

ψ

₁

ψ

₂

φ

₁

φ

₂

φ

₁

φ

₂

0

x x f t t f t t dt Md x

x x I x

− ≤ − ≤ −

∫ ^, ^, ^max

∈

^{x .}

t

Således har operatorekvationen φ = A φ och därmed integralekvationen

( ) ( ( ) )

φ x y f t φ t d

x x

=

⁰

+ ∫

0

,

och det ekvivalenta begynnelsevärdesproblemet ovan entydiga lösningar.

Man visar analogt att sats 3 kan generaliseras till system av första ordningens differential-

ekvationer (eller integralekvationer) genom att helt enkelt betrakta det metriska rummet R

ⁿ⁺¹

.

(7)

4. Fredholms integralekvationer av andra slaget.

Betrakta Fredholms linjära integralekvation av andra slaget, ( ) ( ) ( ) ( )

f x x K x y y dy

a b

= ^φ + ^λ ∫ ^, ^φ ^,

där kärnan K(x, y) är en kontinuerlig funktion i kvadraten Π = {(x, y) | x, y ∈ [a, b]}, så att

|K(x, y)| ≤ M, om (x, y) ∈ Π. Låt A: C[a, b] → C[a, b] vara Af = g, där

( ) ( ) ( ) ( ) .

g x x K x y y dy

a b

= ^φ + ^λ ∫ ^, ^φ

Vi har

( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ₍ ₎

g x K x y f y dy x

g g K x y f y f y dy

M b a f y f y f f

M b a

a b

a x b

1 1

2 2

1 2 1 2

1 = +

= +

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⇒

= −

≤ − − ≤ ≤

−

∫

≤ ≤

λ φ

ρ λ

λ ρ

,

, ,

max , , .

om λ

Följaktligen är avbildningen A en kontraktion, om | λ | ≤ 1/[M(b – a)], så för tillräckligt små värden på |λ| har Fredholms linjära integralekvation av andra slaget en entydig lösning.

Successiva approximationer till denna lösning har formen ( ) ( ) ( ) ( )

f

_n

x x K x y f

_n

y dy

a b

= ^φ + ^λ ∫ ^,

₋¹

^.

Metoden är tillämplig på den ickelinjära integralekvationen

( ) ( ) ( ( ) )

f x x K x y f y dy

a b

= ^φ + ^λ ∫ ^{, ,} ^,

där kärnan K och φ är kontinuerliga funktioner och |K(x, y, z

1

) – K(x, y, z

2

)| ≤ M|z

1

– z

2

|. Om

| λ | ≤ 1/[M(b – a)], kan vi analogt visa att A: C[a, b] → C[a, b] definierad genom Af = g, där

( ) ( ) ( ( ) ) ,

g x x K x y f y dy

a b

= ^φ + ^λ ∫ ^{, ,}

är en kontraktion, ty för denna avbildning gäller, som i det linjära fallet, ρ (g

1

, g

2

) < ρ (f

1

, f

2

).

(8)

5. Neumannserier och resolvent.

Betrakta en integralekvation

( ) ( ) ( ) ( )

f x x K x y y dy

a b

= ^φ − ^λ ∫ ^, ^φ ^.

För att lösa ekvationen genom metoden med successiva approximationer och erhålla Neu- mannserien, skriver vi om ekvationen till

( ) ( ) ( ) ( )

φ x f x λ K x y φ y d

a b

= + ∫ ^, ^y

y

och tar högerledets f(x) som första approximation, genom att sätta φ

0

(x) = f(x). Detta insättes i ekvationen och vi erhåller nästa approximation

( ) ( ) ( ) ( )

φ

₁

x f x λ K x y φ

₀

y d

a b

= + ∫ ^,

och så vidare. Allmänt gäller

( ) ( ) ( ) ( )

φ

_n

λ φ

a b

x f x K x y

n

y dy

+¹

= + ∫ ^, ^.

Vi skall visa att funktionsföljden{ φ

n

}är konvergent, men vi behöver en viktig hjälpsats.

Sats 6 (Cauchy-Schwarz’ olikhet): I ett euklidiskt rum E (ett vektorrum med skalärprodukt, se def. i kap. 12) gäller |u ⋅ v| ≤ ||u|| ||v|| för alla u, v ∈ E.

Bevis: Om u = 0, är saken klar. Antag u ≠ 0. Låt λ ∈ .

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 2

2 2

2 2 2

2

≤ + = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅

⋅

≤ ⋅

⋅ − ⋅

⋅ + ⋅ = − ⋅

⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ≤

λ u v λ u v λ u v λ u u λ u v v v λ u v u u u v

u u

u v

u u v v u v

u u v v u v u u v v u v u v

.

. Insättning av ger

Enär

ⁿ

och C[a, b] är euklidiska rum, gäller Cauchy-Schwarz’ olikhet (som också kallas Cauchys olikhet och Schwarz’ olikhet) även där – och har då följande utseenden:

a b

_{i i}

a b

i n

i i

n

i i

n

= = =

∑ ^≤ ^⎛ _⎝ ^⎜ ∑ ^⎞ _⎠ ^⎟ ^⎛ _⎝ ^⎜ ∑ ^⎞ _⎠ ^⎟

1

2 1

1 2 2 1

1 2

/ /

för a, b ∈

ⁿ

.

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

a b

a

∫ ^≤ ^⎛ _⎝ ^⎜ ∫

²

^⎞ _⎠ ^⎟ ^⎛ _⎝ ^⎜ ∫

b

^⎞ _⎠ ^⎟

1 2

2 1 2

/ /

för f, g ∈ C[a, b].

(9)

Sats 7: Låt Π = [a, b] × [a, b]. Antag att kärnan K(x, y) är begränsad, så att |K(x, y)| ≤ M för alla (x, y) ∈ Π och att det finns en konstant C

1

sådan att ^{K x y} ( ) ^dy ^C

a b

,

²

≤

₁

∫ , då x ∈ [a, b]. Då

är följden { φ

n

}, där ^φ

n

( ) ( ) ^λ ( ) ( ) ^φ och φ

a b

x f x K x y

n

y d

+¹

= + ∫ ^, ^y

⁰

(x) = f(x), likformigt konvergent för alla λ som uppfyller

|

λ | < 1/B, där ^B ^{K x y} ( ) ^dxdy

a b

= ∫ ∫ ^,

²

^. ^{Då är} ^φ ^{( )} ^x ⁼

_n

^lim

_→∞

^φ

ⁿ

^{( )} ^x en entydig lösning till integralekvationen ^{f x} ( ) ( ) ^x ^{K x y} ( ) ( ) ^{y dy} .

a b

= ^φ − ^λ ∫ ^, ^φ

Bevis: Som första approximation låter vi φ

0

(x) = f(x). De två följande är

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )} ( ) ( ) , φ

₁

x f x λ K x y φ

₀

y dy f x λ K x y f y dy

a b

= + ∫ ^, = + ∫ ^,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φ λ φ

λ λ

2 1

2

x f x K x y y dy

f x K x y f y dy K x t dt K t y f y dy

a b

= + =

+ +

∫

,

, , , .

,

.

2

≥ . Låt ^{K x y} ( ) K x t K t y dt ( ) ( ) så erhåller vi genom att byta integrationsordning

a b

2

, = ∫ , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φ

₂

x f x λ K x y f y dy λ

²

K x y f y dy

₂

a b

= + ∫ ^, + ∫ ^,

På samma sätt låter vi ^{K x y} ( ) K x t K t y dt ( ) ( ) och får nästa approximation till

a b

3

, = ∫ , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

φ

₃

x f x λ K x y f y dy λ

²

K x y f y dy

₂

λ

³

K x y f y dy

₃

a b

= + ∫ ^, + ∫ ^, + ∫ ^,

Allmänt gäller

( ) ( ) ( ) ( )

φ

_n

λ

^m _m

a b

m n

x = f x + ∑ ∫ K x y f y dy

=

, ,

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

där K x y K x y och K

_m

x y K x t K

_m

t y dt för m

a b

1

, = , , = ∫ ,

₋1

, , 2

(10)

Det följer att ^K

m

( ) ^{x y} ^{K x t K}

r

( )

m r

( ) ^{t y dt} där r ∈ {1, 2, …, m – 1} och m ∈ {2, 3, …}.

a b

, = ∫ ,

₋

, ^,

För att visa konvergensen av serien, skriver vi

( )

K

_m

x y dy C

a b

,

²

≤

∫

^m

, ,

, för alla x ∈ [a, b],

och uppskattar C

_m

. Om vi sätter r = m – 1 i uttrycket för K

_m

(x, y) ovan, får vi m ∈ {2, 3, …}.

( ) ( ) ( )

K

_m

x y K

_m

x t K t y dt

a b

, = ∫

₋¹

, Cauchy-Schwarz’ olikhet ger

( ) ( ) ( )

K

_m

x y K

_m

x t dt K t y dt

a b

,

²

≤ ∫

₋₁

,

²

∫ ^,

²

^.

Integrering med avseende på y ger

( ) ( ) ( )

K

_m

x y dy B K x t dt B C B K x y dxdy

a b

m m

a b

,

² ² ₁

,

² ² ₁

,

²

∫ ^≤ ∫

⁻

^≤

⁻

^(där ⁼ ∫ ∫ ^),

vilket ger C

_m

≤ B

²

C

_m–1

och slutligen den önskade uppskattningen C

_m

≤ B

^2m–2

C

₁

. Om vi låter

( )

D f y

a b

= ∫

²

^dy

och tillämpar Cauchy-Schwarz’ olikhet, får vi

( ) ( ) ( ) ( )

K

_m

x y f y dy K x y dy f y dy D C B

a b

m a b

a b

, ,

m

∫ ^≤ ∫ ∫ ^≤

⁻

2

2 2

2 1

2 2

.

Eftersom B = 0 endast då K(x, y) ≡ 0, och följden { φ

n

} i så fall uppenbarligen är likformigt konvergent, kan vi anta B > 0. Då följer

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ^{( )} ^{( )}

lim ,

n n

m m a b

m

m m

m

D C B

m

D C B

x f x K x y f y dy f x D C B

f x B f x B

B f x D C

B

→∞ =

∞ −

=

∞

=

∞

= + ≤ +

= + = + ⋅

− = +

−

∑ ∫ ∑

∑

φ λ

λ λ

λ

λ λ

1

1 1

1

1 1 1

1 1 .

λ

Eftersom | λ |B < 1, är serierna konvergenta. Därför är följden { φ

n

} likformigt konvergent och

(11)

, om x ∈ [a, b].

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

φ x φ x f x λ K x y f

n n

m m a b

m

= = +

→∞ =

∞

∫

∑

lim ,

1

y dy

Satsen är visad.

Approximerar vi φ (x) med φ

n

(x), blir felet inte större än D C B B

n n

1 1

1 λ

λ

+

− , ty

( ) ( ) ( )

( )

φ φ λ

λ λ

λ

λ λ

x x D C

B

D C

B B

D C B B

B B

B D C B

B

n

m

m n

n n n

− ≤

− −

= − − ⋅ −

− =

−

=

+ +

∑

1 1

1

1 1

1

1 1 1 .

Följande funktion Γ kallas resolvent eller reciprok kärna:

( ) (

Γ x y

^m

K x y

m

, , λ = λ

⁻ m

,

=

∑

∞ ¹ 1

)

y

λ

y .

Vi byter ordning på summeringen och integreringen i uttrycket för φ (x) ovan och får

( ) ( ) ( ) ( ) . φ x f x λ x y λ f y d

a b

= + ∫ ^{Γ , ,}

Resolventen uppfyller integralekvationen ^Γ ( ^{x y} ) ^{K x y} ( ) ^{K x t} ( ) ^Γ ( ^{t y} ) ^dt .

a b

, , λ = , + λ ∫ , , ,

6. Två exempel.

Här följer två exempel. Låt f(x) = x, λ = 1, [a, b] = [0, 1] och K(x, y) = x – y, så får vi integralekvationen

( ) ( ) ( ) . x = ^φ x − ∫ x − y ^φ y d

0 1

Vi kontrollerar först om det är säkert att lösningsmetoden fungerar, beräknar B och får

( )

B x y dxdy

= ∫ ∫ −

²

= ⇒ B = > =

0 1

0

1

6 1 6 1 λ .

Vi har K

₁

(x, y) = x – y och får

(12)

( ) ⁽ ⁾ ( )

K x y x t t y dt x

xy y

2

0 1

2

1 3 2

, = ∫ − − = − − + ^.

Slutligen får vi

( ) ⁽ ⁾ ( )

K x y x t t

ty y

dt x y K x y

3

0 1

1 12

1 12 1

2

1 3 2

, = − ⎛ − − + ,

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = − + = −

∫ ^.

Därmed har vi en formel för K

_m

(x, y), nämligen

( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

K x y K x y m

K x y m

m

,

m

,

( )/

= −

/

−

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

−

− 1 12

1 2 1 2 1

2

, om är udda, , om är jämnt.

1 12

Vi får lösningen

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

φ x f x λ K x y f y dy

x K x y y K x y y dy

x yx y xy

xy y y

dy x

m m a b

m

n

= + =

+ − + =

+ ⎛ − + − − +

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = −

∑ ∫

∫

=

∞

=

∞

,

, ,

,

1

12 1 2

0 1

0

12 13

2 2

2

0 1

2 3 2

18 13

4 13

som enkelt kan kontrolleras.

Det andra exemplet är litet knepigare. Låt K(x, y) = sin(x – y), λ = 1/(2 π ), [a, b] = [0, 2 π ] och f(x) = sin x, så får vi integralekvationen

( ) ( ) ( )

sin x = ^φ x − ₂ ¹ _π ∫

^π

sin x − y ^φ y d

0 2

y .

Vi beräknar först B och får

( ) ( ( ) )

B x y dxdy x y dxdy

B

= − = − −

= ⇒ = < =

∫

∫ ^sin ^cos

.

2 1

2 0 2

0 2

2

1 2 2

2 1 1

2 1 2

π π π

π

π π π λ

Här är det alltså inte säkert att följden { φ

n

} konvergerar, men den kan göra det.

Vi har K

1

(x, y) = sin(x – y) och får med hjälp av de trigonometriska produktformlerna

(13)

( ) ⁽ ⁾ ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

[ ] ⁽ ⁾

K x y x t t y dt x y x y t dt

t x y x y t x y

t t 2

0 2

1 2

0 2

1 2

1

2 0

2

2 2

, sin sin cos cos

cos sin cos .

= − − = − − + + −

− − − + − = − −

∫ ∫

=

π π

π

=

Vidare erhålles

( ) ⁽ ⁾ ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

[ ] ⁽ ⁾

K x y x t t y dt x y x y t dt

t x y x y t x y

t t 3

0 2

2 0 2

2

1

2 0

2 2

, sin cos sin sin

sin cos sin .

= − − − = − + + −

= − + + − = − −

∫

⁻

∫

−

=

π

π π

Alltså har vi K

3

(x, y) = – π

²

K

1

(x, y), vilket ger den allmänna formeln

( ) ( )

K

x y m k

m

k k

= − − =

− − =

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

+ −

−

1 2

1 2 2

2 1

π π

sin

cos ,

, för , för . − 1

(k ∈ {1, 2, …})

Lösningen till ekvationen blir

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ) ( )

φ λ

λ π

λπ λπ

π λπ

π

x f x K x y f y dy

x x

x y y dy

x x y

x y y dy

m m a b

m

m m m

m

m m m

m

= + =

+ − −

− − =

− − −

− −

∑ ∫

=

∞

− + −

=

∞

−

=

∞

=

∞

=

∞

,

sin sin sin

cos sin

sin sin sin

cos sin .

1

2 1 1 2 2

0 2

1

2 2 1

0 2

1

2

1 0

2

1 0

2

1 1 1

1 y y dy

y dy +

+

Eftersom λπ = 1/2, har den geometriska serien ovan summan –1/5

.

Det återstår att beräkna integralerna.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) )

( )

φ π π

π π

x x x y y dy x y y dy

x x x y dy x x y

x x x x x

= + − − − =

+ − + − − + −

+ − − ⋅ = −

∫

∫ ∫

sin sin sin cos sin

sin cos cos sin sin

sin cos sin sin cos .

2 5

1 5 1

5 2 1

10 2

1 5 2 1

10 2 4

5 2 5

0 2

dy =

(14)

Insättning av φ (x) i integralekvationen och kontrollräkning visar att det är den rätta lösningen, trots att villkoret | λ | < 1/B inte är uppfyllt. Enligt sats 7 är villkoret tillräckligt, men exemplet visar att det inte är nödvändigt. Förklaringen är, att i beviset av sats 7 visades, att följden { φ

n

} är begränsad av en annan konvergent följd – och för att den senare följden skall konvergera, är villkoret | λ |B < 1 nödvändigt.

Lösningen är entydig, ty | λ | ≤ 1/[M(b – a)], där |K(x, y)| ≤ M, då x, y ∈ [a, b] (se kap. 4).

Här har vi |sin(x – y)| ≤ 1.

7. Integralekvationer med degenererade och separabla kärnor.

En integralekvation

( ) ( ) ( ) ( )

f x x K x y y dy

a b

= ^φ − ^λ ∫ ^, ^φ

med den degenererade kärnan

( ) ^{( )} ( )

K x y a x b y

_i _i

i n

, =

∑

= 1

kan skrivas – genom att byta ordning på summeringen och integreringen – på formen

. (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

φ x λ a x

_i

b y

_i

φ y dy f

a b

i

− ∑

n

∫ =

=1

x

y

Här kan man anta att funktionerna a

i

(x) och b

i

(y) är linjärt oberoende, annars kan antalet ter- mer (n) minskas.

Sådana integralekvationer med degenererade och separabla kärnor är lätta att lösa. Sätt

( ) ( ) , c

_i

b y

_i

y d

a b

= ∫ ^φ

som är obekanta konstanter, så får vi

(2)

( ) ( ) ( )

φ x f x λ c a x

_i _i

i n

= +

∑

= 1

och problemet reduceras till att bestämma de obekanta c

_i

. Insättning av (2) i ekvation (1) ger efter omskrivning

( ) ( ) ( ) ( ) . a x c

_i _i

b y

_i

f y c a y dy

a b

k k k

n

i n

− ⎡ +

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

⎧ ⎨

⎩

⎫ ⎬

⎭ =

∫ ∑

∑

= =

λ

1 1

0 Eftersom funktionerna a

i

(x) är linjärt oberoende, följer härav att

(15)

, för i ∈ {1, 2, …, n}.

( ) ( ) ( )

c

_i

b y

_i

f y c a y dy

a b

k k k

n

− ⎡ +

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =

∫ ∑

=

λ

1

0 Med beteckningarna

( ) ( ) ( ) ( )

f

_i

b y f y dy a

_i

b y a y dy

a b

ik i k

a b

= ∫ ^{, =} ∫

= f kan vi skriva detta som

, där i ∈ {1, 2, …, n}, (3) c

_i

a c

_ik _k

k n

−

i

∑

=

λ

1

vilket är ett linjärt ekvationssystem av ordning n med avseende på de obekanta c

i

. (Notera att samma system kan erhållas genom att multiplicera (2) med b

k

(x), k ∈ {1, 2, …, n}, och sedan integrera över x från a till b.)

Ekvationssystemet (3) är ekvivalent med integralekvationen (1) i följande mening: Endast då ekvationssystemet är entydigt lösbart, är integralekvationen entydigt lösbar – och endast om ekvationssystemet saknar lösning, saknar integralekvationen lösning.

Determinanten av den till systemet (3) hörande matrisen är

( )

D

a a a

a a

n

n n

λ

λ λ λ

=

− − −

1

11 12 1

21 22 2

1 2

L L

M M O M

L a

_nn

∫ ^φ y .

D( λ ) är ett polynom i λ , vars grad inte överstiger n. Lägg märke till att D(0) = 1 och därför är D( λ ) inte nollpolynomet. Således finns det högst n olika tal sådana att Då , har ekvationssystemet och integralekvationen ingen eller oändligt många lösningar.

Om , är båda entydigt lösbara. Om vi låter n×n-matrisen A = [a

λ λ =

^∗_k

^D ( ) λ

k^∗

= 0.

λ λ =

^∗_k

λ λ ≠

^∗_k ik

] och betecknar en-

hetsmatrisen av ordning n med I, så är D( λ ) = det(I – λ A).

8. Två bekanta exempel ånyo.

Här följer de två exemplen igen, som vi skall lösa med den nya metoden. Låt f(x) = x, λ = 1, [a, b] = [0, 1] och K(x, y) = x – y, så får vi integralekvationen

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( ) ( ) , x = ^φ x − ∫ x − y ^φ y dy ⇔ = x ^φ x − x ∫ ^φ y dy + y y d

0 1

som kan skrivas φ (x) = Ax + B, där A och B är konstanter. Insättning i ekvationen ger

(16)

( ) ⁽ ⁾

( )

x Ax B x y Ax B dy x x A

B B A

A B

B A

A B

x x

= + − − + ⇔ = ⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + +

⇔

− =

+ =

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

⇔

=

= −

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

⇒ = −

∫

0 1

2

3 2 3

2 1

3 2 3 0

18 13 4 13

18 13

4 φ 13 ,

alltså samma lösning som förut.

Om vi vill veta för vilka värden på λ ekvationen ( ) ( ) ( )

x = ^φ x − ^λ ∫ x − y ^φ y d

0 1

y

är entydigt lösbar, kan vi skriva

( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( )

K x y x y a x b y

_i _i

a x b y a x b y

i

, = − = = + ,

∑

= 1 2

1 1 2 2

där a

1

(x) = x, b

1

(y) = 1, a

2

(x) = –1, b

2

(y) = y. Låt matrisen A = [a

ik

]. Eftersom (i, k ∈ {1, 2}),

( ) ( ) ( )

f

_i

= ∫ b y y dy a

_i _ik

∫ b y a

_i _k

y dy

0 1

, =

följer

f

¹

A

2 1 2 1 3

1 2 1 3

1 2

⎛ 1

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = −

−

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

och .

Vi får D( λ ) = det(I – λ A), där I är enhetsmatrisen av ordning 2. Integralekvationen är entydigt lösbar om och endast om D( λ ) ≠ 0. Man får ^D ( ) ^λ ^{= −} ( ¹

¹2

^λ )( ¹ ⁺ ^λ ) ( ^{− −} ^λ ^λ ) ^{= +} ¹

1 2

1 3

1 12

2

. λ Integralekvationen har en entydig lösning för alla komplexa λ ≠ ± 2 3 i . Vi bestämmer den.

Vi vet att φ ( ) x f x ( ) λ c a x

_i _i

( ) x λ c x c . Det återstår att lösa matrisekvationen

i

= + = + −

∑

= 1 2

1

λ

₂

( I A ) c c

f f

c

− ⎛ c

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⇔ −

− +

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

λ λ λ

λ λ

1 2

1 2 1 3

1 2

1 2 1 3

1

1 med avseende på c

1

och c

2

. Cramers regel ger

( ) ( )

c D

D D

1 1

1 2 1 3

1

2 1

2 1 12 1 12

2 2

1

6 = = + 12

= −

+ = −

λ +

λ λ λ

λ λ

λ

λ ,

(17)

( ) ( )

c D

D D

2 2

1 2

1 2 1 3

1

3 1

3 1 12

2 2

1

4 = = 12

−

− =

+ =

λ +

λ λ

λ λ λ ,

vilket ger

φ ( ) λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

x = + − x x λ

+

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − + = +

+ −

1 6 + 12

4 12

12 6 12

4

2 2 2

12

₂

.

Insättning av λ = 1 ger samma svar som tidigare.

Så till det andra exemplet vi hade förut. Låt K(x, y) = sin(x – y), λ = 1/(2 π ), [a, b] = [0, 2 π ] och f(x) = sin x, så får vi integralekvationen

( ) ( ) ( )

sin x = ^φ x − ₂ ¹ _π ∫

^π

sin x − y ^φ y d

0 2

y .

Med användning av additionsformeln sin( x − y ) = sin cos x y − cos sin x y har vi

( ) ( ) ( )

sin x = ^φ x − ₂ ¹ _π sin x ∫

^π

cos y ^φ y dy + ₂ ¹ _π cos x ∫

^π

sin y ^φ y d

0 2

y ,

vilket ger φ (x) = Asin x + Bcos x, där A och B är konstanter. Insättning i ekvationen ger