Vippningsproblematik vid uppförande av samverkansbroar

Vippningsproblematik vid uppförande av

samverkansbroar

En jämförelse av olika beräkningsmetoder för det kritiska momentet samt

olika stagningsmetoders inverkan för vippningsrisken

Sara Viklund

Civilingenjör, Väg- och vattenbyggnad 2016

Luleå tekniska universitet

Vippningsproblematik vid uppförande av

samverkansbroar

En jämförelse av olika beräkningsmetoder för det kritiska momentet samt olika

stagningsmetoders inverkan för vippningsrisken

Sara Viklund

2016

i

Förord

Detta examensarbete utreder vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. Handledare för arbetet är Tobias Larsson, specialistchef, Anläggningskonstruktion på NCC i Göteborg. Examinator är Ove Lagerqvist, professor i stålbyggnad på Luleå Tekniska Universitet. Examensarbetet är ett avslutande arbete för utbilningen Civilingenjör, Väg- och Vattenbyggnad med inriktning konstruktion på Luleå Tekniska Universitet.

Jag vill tacka för bra handledning och givande utmaningar under mitt examensarbete.

Luleå, augusti 2016

ii

Sammanfattning

Detta examensarbete utreder vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. En samverkansbro består av två symmetriska stålbalkar med en ovanliggande platsgjuten betongfarbana. Innan samverkan mellan materialen har uppstått kan instabilitetsfenomenet vippning uppkomma. Vippning inträffar då stålbalken vrids samtidigt som det sker en horisontell utböjning i sidled. För att klassas som vippning ska detta ske som en följd av att balken belastas med ett böjande moment.

Vippningsrisken beaktas genom att kontrollera det kritiska momentet Mcr. Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (2005) ger inga specifika rekommendationer för hur det kritiska momentet ska beräknas. Detta examensarbete undersäker därmed följande beräkningssätts metoder för att få fram Mcr:

- EN 1999-1-1 (2005) - ENV 1993-1-1 (2005) - StBK-K2 (1973)

Dessutom utförs beräkningar utifrån beräkningsprogrammet LTBeam (2012) samt genom en härledning utifrån Energimetoden. Vidare beräknas det dimensionerande momentet för den studerade stålbalken, Mb.Rd med avseende på vippning för respektive metod.

Det lägsta resultatet för det kritiska momentet uppvisades genom beräkningsprogrammet LTBeam (2012) medan det högsta resultat var genom Energimetoden. Den procentuella skillnaden däremellan var på 3,6 %. Den procentuella skillnaden i resultat för det dimensionerande momentet var på endast 0,3 %, vilket är en minimal skillnad. Därmed kan LTBeam (2012), som är det mest tidseffektiva sättet, vara ett bra alternativ för beräkning av det kritiska momentet.

Dessutom utfördes en kontroll över hur lastens angreppspunkt påverkar det kritiska och dimensionerande momentet. En jämförelse mellan beräkningsmetoderna StBK-K2(1973) och LTBeam (2012) gjordes dels då angreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum men också då angreppspunkten är ovan balk. Det kritiska momentet uppvisar en skillnad på 29 respektive 32 % mellan lastens två olika angreppspunkter. Detta innebär att det kritiska momentet, enligt LTBeam (2012), minskar med 32 % om lastens angreppspunkt förflyttas från skjuvcentrum till ovan balk. För det dimensionerande momentet blir den procentuella skillnaden betydligt mindre. Det dimensionerande momentet uppvisar endast en skillnad på 3,3 respektive 4 %. För att underlätta beräkningsgången kan därmed lastens angreppspunkt antas sammanfalla med skjuvcentrum, även i det fall då den i verkligheten angriper ovan balk.

Examensarbetet behandlar även olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet. Följande stagningsmetoder kontrolleras:

- Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, beaktad med fjäderkonstant.

- Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln. - Stagning genom att placera en överliggande platta.

iii

Resultatmässigt ger fullständig stagning med hjälp av sekundära balkar det mest gynnsamma bidraget till det kritiska momentet, Mcr. För vissa konstruktioner kan det dock räcka med endast ett litet stagningsbidrag för att eliminera vippningsrisken.

iv

Abstract

This master thesis studies the problem of lateral torsional buckling. The thesis deals with a concept bridge for the Swedish construction company NCC. The concept bridge, which is constructed as a composite bridge, is designed with a composite girder comprising of two symmetrical beams with an overhead slab of concrete. Before the composite action between the materials has emerged lateral torsional buckling may occur. Lateral torsional buckling occurs when the beam is twisted while exposed to a bending moment.

The risk of lateral torsional buckling is taken into account by checking the critical moment Mcr. The european steel standard EN 1993-1-1 (2005) makes no recommendations how to calculate the critical moment. This thesis thus deals with different calculation methods to obtain Mcr:

- EN1999-1-1(2005) - ENV 1993-1-1 (2005) - StBK-K2 (1973)

Calculations are also performed with the calculation program LTBeam (2012) and through a derivation based on the Energy method. The design bending moment for the studied cross section, Mb.Rd was also calculated based on each method.

The lowest result of the critical moment was provided by the program LTBeam (2012), while the highest result was by the Energy method. The percentage difference between those two methods was 3.6 %. The percentage difference of the design bending moment was only 0.3 %. Thus will LTBeam (2012), which is the most time-efficient way, be a preferred when calculating the critical moment.

Additionally, the effect of load application will be controlled. The interest is to check how it affects the critical and design moment. The result shows that the load attack point can be assumed to be coincident with the shear center, even in the case where the load actually attacks the beam from above. This simplification makes the calculation process less time consuming.

This thesis also deals with various bracing methods. In order to study the different bracing methods impact on the critical moment, following methods was studied:

- Prevention of rotation by bracing of an intermediate bracing, taken into account as a spring constant.

- The form contributions to the bracing, taken into account as torsion springs all along the beam axis.

- Bracing through an overlying slab.

v

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1 1.1 Bakgrund ... 1 1.2 Frågeställning ... 2 1.2 Syfte/Mål ... 2 1.3 Metod ... 3 1.4 Begränsningar ... 3

2. Stabilitetsproblem, materialegenskaper, upplagsförhållanden och instabilitetsfenomen 4 2.1 Stabilitetsproblem för stål ... 4

2.2 Materialegenskaper för stål ... 5

2.2.1 Egenspänningar ... 6

2.2.2 Initialkrokighet ... 6

2.3 Upplagsförhållanden ... 7

2.3.1 Upplagsförhållandets inverkan på knäckningsfenomen ... 8

2.4 Instabilitetsfenomen i stålbalkar ... 11 2.4.1 Buckling ... 11 2.4.2 Knäckning ... 11 2.4.3 Vippning ... 14 2.4.4 Beräkningsgång för imperfektioner ... 16 2.4.5 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen ... 17

2.4.6 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen enligt EN 1993 ... 18

3. Framtagning av det kritiska momentet, Mcr ... 21

3.1 Beskrivning av verkningssättet för en principiell respektive verklig balk ... 21

3.1.1 Principiellt verkningssätt ... 21

3.1.2 Verkligt verkningssätt ... 21

3.2 Antaganden för beräkningar ... 22

3.2.1 Verkningssätt ... 22

3.2.2 Upplagsförhållanden ... 22

3.2.3 Lastens angreppspunkt och studerade normer ... 23

3.3 Kritiskt vippningsmoment, Mcr ... 24

3.3.1 Beräkning av Mcr med härledningen utifrån Energimetoden ... 25

3.3.2 Beräkning av Mcr enligt ENV 1993-1-1 ... 27

3.3.3 Beräkning av Mcr enligt EN 1999-1-1 ... 27

3.3.4 Beräkning av Mcr enligt StBK-K2... 29

3.3.5 Beräkning av Mcr enligt datorprogrammet LTBeam ... 31

3.3.6 Sammanställning av studerade beräkningssätt för Mcr ... 32

3.4 Olika stagningsmetoders inverkan på Mcr ... 33

3.4.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag ... 34

3.4.2 Gjutformens bidrag till stagning genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln ... 38

3.4.3 Stagning genom en överliggande platta ... 40

3.4.4 Stagning i x antal punkter ... 41

4. Bärförmåga för ståltvärsnitt ... 44

4.1 Tvärsnitt... 44

4.1.2 Tvärsnittskontroll enligt Eurokod ... 46

5. Fallstudie för NCC ... 50

5.1 Indata ... 50

5.1.1 Indata stålbalk, huvudbalk ... 50

vi

5.1.3 Indata för stagande tvärbalk av trä ... 51

5.2 Inverkan av olika beräkningssätt för Mcr ... 52

5.2.1 Mcr då lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum ... 52

5.2.2 Mcr då lastens angreppspunkt är ovanpå balken ... 55

5.3 Inverkan på Mcr av olika stagningsmetoder ... 56

5.3.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, betraktade med fjäderkonstant ... 57

5.3.2 Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln ... 60

5.3.2.1 Förlorad gjutform av stål ... 60

5.3.2.2 Tillfällig gjutform av trä ... 62

5.3.3 Stagning genom en överliggande platta, utan inspänning ... 63

5.3.4 Stagning genom en överliggande platta, med inspänning ... 66

5.3.5 Kontroll av antal stagninspunkters inverkan på Mcr ... 68

6. Resultat och diskussion ... 72

6.1 Resultat för det kritiskt moment Mcr ... 72

6.1.1 Resultat för Mcr, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum ... 72

6.1.2 Resultat för Mcr, då lastangreppspunkten angriper ovan balk ... 73

6.1.3 Jämförelse för Mcr med avseende på lastens angreppspunkt ... 73

6.2 Resultat för det dimensionerande momentet Mb.Rd ... 74

6.2.1 Resultat för Mb.Rd, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum ... 74

6.2.2 Resultat för Mb.Rd, då lastangreppspunkten angriper ovan balk ... 75

6.2.3 Jämförelse för Mb.Rd med avseende på lastens angreppspunkt ... 75

6.3 Jämförelse av Mcr och Mb.Rd ... 76

6.3.1 Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum ... 76

6.3.2 Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten är ovan balk ... 77

6.3.3 Jämförelse av hur Mcr och Mb.Rd påverkas av lastens angreppspunkt ... 78

6.4 Stagning ... 80

6.4.1 Beräkning av Mcr enligt olika stagningmetoder ... 80

6.5 Antal stagningspunkters inverkan på Mcr och Mb.Rd, enligt ENV 1993-1-1 ... 82

6.6 Diskussion utifrån uppställd frågeställning ... 85

6.6.1 Jämförelse mellan olika beräkningsmetoder ... 85

6.6.2 Lastens angreppspunkt ... 85

6.6.3 Stagningsmetoder ... 85

6.7 Beräkningsalternativ för fortsatta studier ... 86

7. Slutsatser ... 87

7.1 Jämförelse mellan beräkningsmetoder ... 87

7.2 Lastens angreppspunkt ... 87

7.3 Stagningsmetoder ... 87

8. Referenser ... 88 BILAGOR ... A

BILAGA A - Tvärsnitt som beaktas ... A BILAGA B - Härledning enligt energimetoden... D BILAGA C - Beräkning av Mcr enligt ENV 1993... M

BILAGA D - Beräkning av Mcr enligt EN 1999... O

BILAGA E - Beräkning av Mcr enligT StBK-K2... Q

BILAGA F - Beräkning av Mcr enligt LTBeam... T

vii

Beteckningar

Latinska versaler

A1 Tvärsnittsarea

Bz Tvärsnittets böjstyvhet i sidled

C Tvärsnittets vridstyvhet

C1 Faktor som beror av lasttyp

Cw Tvärsnittets välvstyvhet

E Elasticitetsmodul

G Skjuvningsmodul

H Totala potentiella förändringen

Hi Inre arbete

Hy Yttre arbete

Iz Tröghetsmoment kring z-axeln

Iy Tröghetsmoment kring y-axeln

It Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (Kv i tidigare normer)

Iw Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor (Kw i tidigare normer)

L Balkens längd

Lstag Längd på mellanliggande stag

M Moment

MbRd Dimensionerande bärförmåga

Mcr Kritiskt moment

Mkr Kritiskt moment

Mkr1 Det ursprungliga kritiska momentet

Mkr2 Det nya uppnådda kritiska momentet

Ncr Kritiska normalkraft med hänsyn till vippning

SP Skjuvningscentrum

TP Tyngdpunkt

viii

Latinska gemener

a Avstånd mellan tväravstyvningar

a Lastangreppshöjd över skjuvningscentrum

av Avståndet mellan skjuvcentrum och lastens angreppspunkt

bfl Flänsens bredd

c Fjäderkonstant

c Avstånd mellan huvudbalkarna

dliv Livets tjocklek

fd Dimensionerande hållfasthet

fk Karakteristisk hållfasthet

fy Stålets flytgräns

hliv Livets höjd

h1 Stålbalkens totala höjd

ht Avstånd mellan flänsarnas tyngdpunkter

i Distribuerad vridspänning

ib Huvudbalkens styvhet vi stag genom överliggande platta, alternativt inspänd i sekundärbalkar

it Plattans styvhet vid stag genom överliggande platta

kc Korrektionsfaktor kz Korrektionsfaktor kw Korrektionsfaktor lLT Vippningslängd m Koefficient för vippningsberäkning q Utbredd last

qcr Kritisk utbredd last

qkr Kritisk utbredd last

tfl Flänsens tjocklek

u Förskjutning i z-led

u0 Ursprunglig förskjutning i z-led

v Förskjutning i y-led

ytp Tvärsnittets tyngdpunkt

ix

zg Koordinat för lastens angreppspunkt med avseende på skjuvcentrum

zs Koordinat för skjuvcentrum med avseende på tyngdpunkt

Grekiska gemener

ϕ Vridningsvinkel ϕ0 Ursprunglig vridningsvinkel ϕLT Reduktionsfaktor för vippning χLT Reduktionsfaktor för vippning χ Reduktionsfaktor för knäckning

Grekiska versaler

αLT Imperfektionsfaktor för vippning β Reduktionsfaktor för knäcklängden

γ Parameter vid representation av lösningar

γM Partialkoefficient vid beräkning av dimensionerande hållfasthet

ε Töjningsfaktor

η Omräkningsfaktor som beaktar systematiska skillnader mellan hållfastheten genom provning och materialet i en konstruktion

κ Stödmomentkoefficient

κwt Dimensionslös vridparameter

λ _{LT Slankhetsparameter}

µ Parameter vid representation av lösningar

ζ

g Relativ koordinat för lastangreppspunkt i förhållande till skjuvcentrum

ζ

j Den relativa dimensionslösa parametern för enkelsymmetri

1

1. Inledning

1.1 Bakgrund

NCC var intresserade av att utreda vippningsproblematiken för att ytterligare kunna optimera deras konceptbroar. Konceptbron är i detta fall utformad som en samverkansbro. Detta innebär att konstruktionen består av balkar av stål med en farbana av betong. För denna typ av bro kan instabilitetsfenomenet vippning uppkomma under byggskedet. Vippning innebär att balken böjer ut samtidigt som den vrids ut från det plana jämviktsläget. Detta kan uppkomma då balken belastas av en transversallast i kombination med ett böjande moment.

I en samverkanskonstruktion är syftet att stålet och betongen ska fungera som en konstruktiv enhet, SIS. (2012). Efter att betongen har härdats förhindras stålbalken att vippa genom att betongen stagar stålbalkens tryckta överfläns. I byggskedet, då betongen ännu inte härdat, kan däremot ingen samverkan tillgodoräknas och stålbalken kan därför komma att vippa. Genom att staga balken på olika kvalitativa sätt, kan risken för vippning elimineras, Norlin. Bert (u.å). I de fall då konstruktionen endast kräver en liten stagning för att uppnå bärförmåga med avseende på vippning, kan gjutformens bidragande stagningseffekt kontrolleras.

För att kunna gjuta en betongfarbana krävs att en gjutform monteras tillfälligt på stålbalkarna. Vid betonggjutning används en form av exempelvis trä eller stål. Vanligtvis används träform, vilket grundas i förhållandevis låga materialkonstnader samt relativt enkelt demonterings- och rivningsförlopp.

Vid beräkning av instabilitetsfenomenet vippning beaktas inverkan av imperfektioner genom att studera det kritiska momentet, Mcr. Vippningsfenomenet inträffar då den kritiska vippningslasten uppnås före den kritiska lasten för böjbrott. Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (2005) ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det. Därför kontrolleras Mcr genom fyra olika beräkningssätt, genom beräkningsprogrammet LTBeam (2012) samt genom härledning utifrån energimetoden.

2

1.2 Frågeställning

Med avseende på jämförelsen mellan olika beräkningsmetoder:

• Ger de olika beräkningsmetoders resultat utslag för det kritiska momentet, Mcr?

• Ger de olika beräkningsmetodernas resultat utslag för det dimensionerande momentet, Mb.Rd?

Med avseende på lastens angreppspunkt:

• Kan lastens angreppspunkt betraktas angripa i skjuvcentrum då den i verkligheten angriper ovan balk?

• Hur påverkar lastens angreppspunkt resultatet för det kritiska momentet Mcr?

• Hur påverkar detta resultatet för det dimensionerande momentet Mb.Rd? Med avseende på stagningsmetoder:

• Vad finns det för alternativa metoder för stagning av balken?

• Hur påverkar stagningsmetoderna det kritiska momentet Mcr?

• Hur påverkar stagningsmetoderna det dimensionerande momentet Mb.Rd?

• Hur kan gjutformens stagningseffekt utnyttjas?

• Hur påverkas det kritiska momentet, Mcr av olika antal stagningspunkter?

1.2 Syfte/Mål

Syftet med examensarbetet är att utreda vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. Ett av målen är, att genom jämförelse av olika beräkningssätt för det kritiska momentet, Mcr kunna påvisa skillnader för resultatet och dess påverkan för vippningsproblematiken.

3

1.3 Metod

Examensarbetet inleddes med en litteraturstudie. Tillvägagångsättet för att nå examensarbetets uppsatta mål, innefattar härledningar, beräkningar och jämförelser mellan olika normer. Teoretiska beräkningar utförs för vippningsproblematiken, där det kritiska momentet kommer kontrolleras och jämföras genom tre olika beräkningssätt, vilka är:

- EN 1999-1-1 (2005) - ENV 1993-1-1 (2005) - StBK-K2 (1973)

Vidare används programmet LTBeam (2012) för jämförelse med ovanstående beräkningssätt. För ökad förståelse samt för att kunna utvärdera beräkningssättens uppkomst, härleds det kritiska momentet utifrån energimetoden.

Examensarbetet behandlar även olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet. Följande stagningsmetoder kontrolleras:

- Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, beaktad med en fjäderkonstant.

- Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln. - Stagning genom en överliggande platta.

1.4 Begränsningar

I detta examensarbete har följande begräsningar gjorts:

- Ett symmetriskt tvärsnitt studeras.

- Studierna utförs på en enfacksbalk med ett spann på 10 meter. - Samverkansbron som studeras består av två balkar.

4

2. Stabilitetsproblem, materialegenskaper, upplagsförhållanden

och instabilitetsfenomen

2.1 Stabilitetsproblem för stål

I mekaniken finns det tre olika typer av jämvikter. De benämns som stabil, indifferent och labil, se Figur 1. Det stabila jämviktsläget illustreras i Figur 1 och karakteriseras av att det ursprungliga jämviktsläget återtas efter att kulan utsatts för en liten påverkan. Verkan av en liten störning får därmed inga ytterliga följder för instabiliteten. Indifferent jämviktsläge inträffar vid fall då endast stora störningar påverkar kulans läge, och därmed systemet, se Figur 1. I det labila läget kommer däremot även små yttre störningar räcka för att kulan ska lämna sitt jämviktsläge och att instabilitet ska uppstå, se Figur 1. En kula som ursprungligen befinner sig i ett stabilt läge kan under tillräckligt stora störningar inta ett labilt läge Höglund. Torsten (2006). Den kritiska lasten definieras som den last vilket krävs för att ett stabilt jämviktsläge ska övergå i ett labilt Johansson Bernt (2000).

Figur 1 - Mekanikens jämvikt Källa: Johansson Bernt.(2000)

Mekanikens jämviktsteori kan tillämpas för stabilitetsberäkningar av belastade element. Jämförelsevis vill en stålkonstruktion, som belastas när den befinner sig i ett stabilt läge, återgå till sitt jämviktsläge. För en stabilitetsberäkning som baseras på den klassiska stabilitetsteorin, utgår analysen vanligtvis utifrån följande antagande:

- Materialet är linjärelastiskt

- Balken har en ideal form, dvs. är helt rak

- Strukturella samband baseras på antaganden om små förskjutningar

5

2.2 Materialegenskaper för stål

Stålets hållfasthet anges normalt som ett sträck- eller flytgränsvärde. Då detta värde uppnås ändras materialets egenskaper. Innan stålet når sträckgränsen uppträder dess arbetskurva, beskriven i Figur 2 rätlinjig. Detta innebär att materialet beter sig elastiskt. En stålkonstruktion som inte har uppnått sträckgränsen kommer därför vid avlastning återfå sina ursprungliga egenskaper. Då stäckgränsen uppnåtts börjar stålet flyta, materialets beteende blir plastiskt och töjningar hos stålkonstruktionen blir bestående. Vid ytterligare belastning nås brottsgränsvärdet fu, vilket beskriver högsta möjliga spänning innan stålet går till brott, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010).

Figur 2 - Stålets arbetskurva. Källa: Lunds Universitet (u.å)

Elasticitetsteorin kan tillämpas då materialet förutsätts vara proportionellt mellan spänning och töjning, se Figur 2. För plasticitetsteorin kommer spänningen, efter att stålet uppnått sin flytgräns, förbli konstant under växande töjning εe. Materialet antas därmed kunna plasticeras.

6

2.2.1 Egenspänningar

Egenspänningar är spänningar som finns i konstruktionen utan att elementet påverkas av en yttre last. Dessa spänningar uppkommer vid stålets tillverkning. Ett exempel på spänningens utseende redovisas i Figur 3. Det är svårt att härleda spänningarna till ett specifikt skeende. Troligtvis beror uppkomsten antingen på att varmt stål krymper under svalningsprocessen, eller att tvärkontraktionen förhindras vid kallbockning av olika profiler. Egenspänningar kan även uppkomma då svetsar svalnar i och med att krympningen då förhindras. Att egenspänningar uppkommer under svalningsprocessen beror av att delarna i ett tvärsnitt svalnar i olika takt. Partierna närmast den fria ytan får redan i ett tidigt skede en högre styvhet och hållfasthet än övriga partier. När de inre partierna sedan svalnar förhindras krympningen av de yttre, redan styva partierna, Lundin. Kurt (u.å)

Figur 3 – Exempel på egenspänningsfördelning över tvärsnittet Källa: (Lundin. Kurt (u.å))

2.2.2 Initialkrokighet

7

2.3 Upplagsförhållanden

En balks inspänningsegenskaper ger påverkan på balkens knäcklängd. Detta kapitel beskriver olika upplagsalternativ, samt deras inverkan på förskjutning och vridning.

Balkens axlar definieras i detta examensarbete enligt Figur 4.

Figur 4 - Tvärsnittskonstanter

Tvärsnittets styva axel definieras som y och dess utböjning betecknas som v. Tvärsnittets veka axel definieras med z, och dess utböjning betecknas som u. Axeln som går längsmed balken betecknas med x. Den tredje deformationskomposanten är tvärsnittets rotation, ϕ, se Tabell 1.

Tabell 1 – Deformationskomposanter

Förskjutning av balken i styv riktning, enligt Tabell 2.

Tabell 2 – Förskjutning i y-led: Källa: StBK-K2

Förskjutning av balken i vek riktning, enligt Tabell 3.

Tabell 3 – Förskjutning i z-led. Källa: StBK-K2

Balkens vridningsdeformation, enligt Tabell 4.

Deformationskomposanter Förskjutningsriktning

v y

u z

ϕ Vridning

Förskjutning i y-le d Komme ntar

v=0 Ingen förskjutning

v´=0 Ingen vinkeländring

v´´=0 Inget mothållande böjmoment

Förskjutning i z-le d Komme ntar

u=0 Ingen förskjutning

u´=0 Ingen vinkeländring

8 Tabell 4 – Vridning. Källa: StBK-K2

2.3.1 Upplagsförhållandets inverkan på knäckningsfenomen

Bärförmågan med hänsyn till knäckning påverkas av balkens upplagsförhållanden. Olika upplagsförhållanden ger olika motstånd mot knäckningsdeformationer. Det vanligaste upplaget, vilket visas i Figur 5, medger inte någon förskjutning i y- och z-riktningen. Detta medför följande randvillkor:

Figur 5 – Fritt upplagd

Om upplaget är fast inspänt, likt i Figur 6, uppkommer ingen vinkeländring. Följande randvillkor fås:

Figur 6 – Fast inspänd

I det fall då upplagskonstruktionen består av en led kommer inget mothållande moment vid vinkeländringen uppkomma, se Figur 7.

Figur 7 – Led

Utifrån den elastiska linjens ekvation gäller, för de fall då böjmomentet vid upplagen är obefintliga, följande villkor:

Vridning Kommentar

ϕ=0 Ingen vridning

ϕ´=0 Välvningsförhindrande förstyvning

ϕ´´=0

9

Denna typ av upplagsförhållanden uppfylls vid gaffellagring, vilket illustreras i Figur 8.

Figur 8 – Gaffellagring Källa: Höglund. Torsten. (2006)

Eulers fyra vanligaste knäckfall redovisas i Figur 9.

Figur 9 - Eulers fyra knäckningsfall. Källa: Rubinsson. Joakim (2015)

De fyra knäckfallen beror av konstruktionens inspänningsförhållanden. Genom faktorn β tas hänsyn till inspänningen, dvs. balkens upplagsförhållanden. Denna parameter varierar mellan olika knäckfall, se Figur 9 och påverkar olika upplagsfalls knäckningslängder. Knäckningslängden kan betraktas som avståndet mellan inflektionspunkterna, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010). Därmed reglerar faktorn konstruktionens knäckningslängd så att bärförmågan anpassas beroende på upplagsförhållandena. En högre inspänning leder till en minskad knäcklängd, vilket bidrar till ökad bärförmåga hos en konstruktion, Höglund. Torsten (2006).

11

2.4 Instabilitetsfenomen i stålbalkar

En stålbalk kommer normalt att deformeras i belastningsriktningen, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010). Vid instabilitet uppkommer dock en deformation som är vinkelrät mot denna riktning. Deformationen uppkommer av att en balk får ett flertal alternativa jämviktslägen. Detta kan uppstå i hela eller delar av konstruktionselementet och innebär en förlorad stabilitet. Små förändringar kan därmed ge stora deformationsföljder, Lundin. Kurt (u.å). De tre vanligaste instabilitetsfenomenen är knäckning, buckling och vippning, vilka behandlas i följande kapitel.

2.4.1 Buckling

En rektangulär stålplatta kan, vid påverkan av last i sitt plan, deformeras ur sitt plana jämviktsläge, vilket illustreras i Figur 11. När detta inträffar innan dess att sträckgränsen uppnås har instabilitetsfenomenet buckling uppkommit. Därmed kan, till skillnad från närbesläktade fenomen, den kritiska bucklingslasten överskridas utan att brott inträffa, StBK-K2, (1973).

Figur 11 – Illustration av lokal buckling. Källa: Höglund. Torsten (2006)

Fenomenet buckling inträffar vid instabilitet till följd av tryckspänningar. Instabiliteten uppstår då lokalt i exempelvis fläns eller liv. Den kritiska lasten beräknas, likt knäckning av stänger, enligt elasticitetsteorin, men utgår i detta fall ifrån plattekvationen.

2.4.2 Knäckning

För att bestämma knäckningens inverkan på konstruktionens bärförmåga måste den teoretiska knäckningslasten beräknas. Vid beräkning av denna antas balken följa den klassiska teorin, vilket innebär att en imperfektionsfri balk beaktas, Lundin. Kurt (u.å). Balken antas initialt vara helt rak och materialet antas vara linjärt elastiskt. Stången förblir rak till dess att den kritiska lasten har uppnåtts. Vid den tidpunkten sker en plötslig utböjning till ett halvstabilt jämviktsläge, Norlin. Bert (u.å). Ett halvstabilt jämviktsläge innebär att endast en liten ökning av lasten ger en dramatisk ökning av deformationen. Vidare kommer balken att återgå till sitt helt raka läge om lasten återigen är mindre än den kritiska lasten, Norlin. Bert (u.å).

12

balkdimensioner, stagningsförhållanden och upplagsförhållanden. Böjknäckning är i praktiken det vanligaste förkommande fenomenet medan vridknäckning vanligtvis enbart inträffar om balken är stagad för att förhindra böjknäckning, Lundin. Kurt (u.å).

2.4.2.1 Böjknäckning

Böjknäckning inträffar då deformationen sker i något av balkens symmetriplan. Ifall inga upplagsförhållanden eller stagningar förhindrar knäckning i vek riktning kommer tvärsnittsrotation kring huvudtröghetsaxeln med lägst tröghetsmoment inträffa enligt Figur 12, Lundin. Kurt (u.å).

Figur 12 – Böjknäckning, vek riktning

13 Figur 14 illustrerar böjknäckning av ett stålelement.

Figur 14 - Böjknäckning. Källa: Höglund. Torsten (2006)

2.4.2.2 Vridknäckning

Vridknäckning uppkommer av att tvärsnittet vrider sig till följd av en angripande normalkraft. För att vridknäckning ska uppkomma måste balkens längdaxel förbli rak, se Figur 15. Vanligtvis uppkommer böjknäckning före den kritiska vridknäckningslasten. Undantagsfall är då tvärsnittet har väldigt låg vrid- och välvstyvhet och aktuella stagningsförhållanden förhindrar böjknäckning, Norlin. Bert (u.å).

Figur 15 – Vridknäckning

2.4.2.3 Böjvridknäckning

14 Figur 16 – Böjvridknäckning

2.4.3 Vippning

En balk, som belastas med en transversallast i kombination med ett böjande moment, kan komma att vippa. Detta inträffar då balken böjer ut samtidigt som den vrids ut från det plana jämviktsläget. Vippningsfenomenet inträffar då den kritiska vippningslasten uppnås före den kritiska lasten för böjbrott. Detta är endast fysiskt möjligt vid momentpåverkan kring den styva huvudtröghetsaxeln. I den veka riktningen kommer den kritiska lasten för böjning vara betydligt lägre än den kritiska vippningslasten och därmed kommer vippning inte att inträffa, se Figur 17, Norlin. Bert (u.å).

Figur 17 - Last i styv resp. vek riktning

Balken kan stagas av en sekundär konstruktion som eliminerar risken för vippning. Denna konstruktion kan i en byggnad bestå av tvärgående åsar och vindförband. För en bro kan denna stagning uppnås när betongen har härdat. I byggskedet kommer dock stålbalken vara benägen att vippa, då ingen samverkan uppnåtts mellan stålet och betongen. För att lösa denna problematik kan balken stagas på olika kvalitativa sätt, Norlin. Bert (u.å). Se Kapitel 3 för vidare teori.

15 Figur 18 – Vippning. Källa: Norlin. Bert (u.å)

Utöver detta måste andra ordningens effekter beaktas. Effekten uppkommer delvis av sidoutböjningen, vilken bidrar till ett tillskottsmoment i vek riktningen. Dessutom ger sidoutböjningen tillsammans med vridningen ett tillskott till vridmomentet, Norlin. Bert (u.å).

Vippning kan delas in i två olika kategorier; fri vippning, och bunden vippning. Fri vippning illustreras i Figur 19 och baseras på en balk som inte är stagad. Balken är i detta stadie fritt benägen att vippa, Norlin. Bert (u.å).

Figur 19 – Fri vippning Källa: Norlin. Bert (u.å)

Bunden vippning innebär en balk som är konstruerad med sidostag och därmed hindras från sin fria deformation. Den största effekten erhålls om det är den tryckta överflänsen som är stagad, dvs. förhindras att böja ut i sidled, se Figur 20. Stagning mot vippning i denna punkt kommer vara fullständig i de fall då balken är fritt upplagd, har ett positiv moment genom hela balken och en last som angriper vid överflänsen. Vid andra upplag och momentbeteenden kan vippning inträffa trots denna stagningsmetod., Norlin. Bert (u.å).

Figur 20 -Bunden vippning. Källa: Norlin. Bert (u.å)

16

Figur 21 - Deformationsbeteende för en ostagad balk. Källa: Höglund. Torsten (2006)

En sidostagning inverkar även på den elastiska vridningsförhindringen. Balkens kritiska last kommer att öka med stagningens styvhet, upp till den gräns då full stagning inträffar. Vid denna punkt kommer balken att ändra deformationsbeteende likt två halva sinuskurvor, se Figur 22, Höglund. Torsten (2006).

Figur 22 - Deformationsbeteende för en, i mitten, fullständigt stagad balk. Källa: Höglund. Torsten (2006)

2.4.4 Beräkningsgång för imperfektioner

Vid dimensionering med hänsyn till knäckning, buckling och vippning måste inverkan av imperfektioner beaktas. Imperfektioner kan som beskrivet ovan vara initialkrokighet och egenspänningar. För att ta hänsyn till dessa beräknas den kritiska normalkraften Ncr för knäckningsinstabilitet respektive det kritiska momentet Mcr för vippningsinstabilitetet. Detta genomförs enligt den klassiska teorin.

2.4.4.1 Kritisk normalkraft, Ncr

För ett slankt element som belastas med en tryckande normalkraft, se Figur 23 kan ett utböjt jämviktsläge uppkomma. Det inträffar då den tryckta normalkraften överstiger Ncr., vilket är den kritiska elastiska normalkraften enligt EN 1993-1-1 (2005). Den beräknas enligt:

17

Figur 23 - Eulers fyra knäckningsfall. Källa: Rubinsson. Joakim (2015)

2.4.4.2 Kritiskt vippningsmoment, Mcr

För att kunna utföra beräkningar för det kritiska momentet behöver följande tvärsnittskonstanter vara kända; böjstyvheten, vridstyvheten, välvstyvheten samt parametrarna

β och κ.

Den idag gällande normen för stålkonstruktioner, EN 1993-1-1 (2005), ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det kritiska elastiska vippningsmomentet Mcr. Därför har en undersökning och jämförelse av Mcr genomförts. Denna jämförelse omfattar tre olika beräkningssätt, beräkningsprogrammet LTBeam (2012) samt en härledning utifrån energimetoden.De beaktade beräkningssätten är:

- EN 1999-1-1 (2005)

Dimensionering av aluminiumkonstruktioner, Del 1-1: Allmänna regler. - ENV 1993-1-1 (2005)

En förstandard till Eurokod. - StBK-K2 (1973)

Stålhandbok. Kommentarer till Stålbyggnadsnorm 70; Knäckning, vippning och buckling.

För vidare beräkningar se Kapitel 3.

2.4.5 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen

Vid dimensionering av en konstruktion är materialegenskaper, så som hållfasthetvärde och styvhet, av stor betydelse för konstruktionselementets bärförmåga och deformationsbeteende. Vid karakteristiska beräkningar antas balken följa den klassiska teorin, vilket innebär att en imperfektionsfri balk beaktas, Lundin. Kurt (u.å).

18

visar att resultaten koncentreras kring medelvärdet samt att fördelningen över och under har liknande beteende. Vanligtvis används 5 % -fraktilen, dvs. de fem lägst procenten i en normalfördelningskurva, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010).

Figur 24 - Normalfördelningskurva

Vidare beräknas det dimensionerande värdet för en materialparameter enligt nedan, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010).

(2) Där η är en omräkningsfaktor som beaktar systematiska skillnader mellan hållfastheten genom provning och ett material i en konstruktion. Vanligtvis anges istället ett värde på partialkoefficienten γM som enligt Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010) definieras som:

(3) Partialkoefficienten γM tar därmed hänsyn till osäkerheter i hållfasthetsvärden, tvärsnittsmått och beräkningsmodeller. Vid dimensionering beaktas även osäkerhet som uppkommer via geometriska avvikelser. Detta berör framförallt tvärsnittsmått, snedställning, initialkrokighet och excentricitet. Säkerhetsfaktorn för ett ståltvärsnitts måttavvikelser är inbakad i partialkoefficienten γm. Den dimensionerande hållfastheten beräknas enligt Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010).

(4)

2.4.6 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen enligt EN 1993

19 2.4.6.1 Dimensionerande moment för vippning

Dimensionerande bärförmågan för moment vid vippningsinstabilitet beräknas enligt EN 1993-1-1 (2005).

(5) Där W är tvärsnittets böjmotstånd och fy är stålets sträckgräns. Faktorn γM1 är en global partialkoefficient för aktuell bärförmåga. Beräkningsgången för instabilitetsfaktorn cLT, redovisas nedan.

Reduktionsfaktorn för vippning kan för ett ekvivalent svetsat tvärsnitt beräknas enligt EN 1993-1-1 (2005):

(6) Där

(7) Faktorn β sätts till 0,75 enligt EN 1993-1-1 (2005). Vidare kan hänsyn till momentfördelning genom sidostagningar tas genom att reduktionsfaktorn reduceras enligt:

(8) Där faktorn f1 fås av:

20

Tabell 5 – Korrektionsfaktorn kc av balkens momentfördelning. Källa: EN 1993-1-1 (2005).

Imperfektionsfaktorn αLT fås utifrån aktuell instabilitetsskurva. Vippningskurvan, som beror av tvärsnittets förhållande mellan h/b, väljs utifrån Tabell 6.

Tabell 6 – Imperfektionsfaktorer för vippning

För svetsat tvärsnitt, gäller att:

(10) Där h1 är balkens totala höjd, och bfl flänsens bredd. Slankhetsparametern, λLT _{för vippning} beräknas enligt EN 1993-1-1 (2005) genom:

(11) Vidare kan det dimensionerande värdet för vippning Mb.Rd, beräknas.

Vippningskurva a b c d

21

3. Framtagning av det kritiska momentet, M

cr

Vid beräkning av instabilitetsfenomenet vippning beaktas inverkan av imperfektioner genom att studera det kritiska momentet, Mcr. Detta kapitel behandlar olika normers beräkningsförfarande för det kritiska momentet. Även det datorbaserade programmet LTBeam (2012) beaktas.

Kapitel 3.1 beskriver skillnaden i beteendet för en principiell och verklig balk. Detta för att skapa en insyn i vilken betydelse olika antaganden har för den praktiska tillämpningen. För beräkningar av det kritiska momentet Mcr studeras en principiell balk, dvs. en imperfektionsfri balk.

3.1 Beskrivning av verkningssättet för en principiell respektive verklig balk

3.1.1 Principiellt verkningssätt

Det principiella verkningssättet för en imperfektionsfri balk innebär att balken förblir rak tills den kritiska lasten har uppnåtts. Detta innebär att balken endast böjs i sitt styva plan utan sidoutböjning och vridning. Då den kritiska lasten uppnås intas ett indifferent jämviktsläge, vilket innebär en utböjning i den veka riktningen med samtidig vridning. Vid endast en liten ökning av lasten kommer deformationen påverkas dramatiskt. Om lasten däremot minskas till nivåer under den kritiska lasten, kommer balken återigen inta ett imperfektionsfritt utseende, Höglund. Torsten (2006). Figur 25 visar verkningssättet för en momentbelastad och imperfektionsfri balk, med böjning kring styva axeln. Grafen i samma figur visar också skillnaden mellan en imperfektionsfri och verklig balk.

Figur 25 - Verkningssätt vid vippning. Källa: Norlin Bert (u.å)

3.1.2 Verkligt verkningssätt

22 Figur 26 - Utböjning av fläns. Källa: Norlin Bert (u.å)

Den initiala krokigheten kommer att bidra till att balkens sidutböjning och vridning, till skillnad från den principiella balken, ökar med det ökande momentet, se Figur 26. Denna ökning kommer att fortsätta tills dess att det kritiska momentet, för en imperfektionsfri balk, nästintill är uppnått. Det kritiska momentet kommer alltså inte helt att uppnås, då balkens olinjära materialegenskaper, inverkan av olinjär geometri och eventuell lokal buckling istället styr det fortsatta vippningsförloppet, Höglund. Torsten (2006).

Inverkan av egenspänningar för vippningsfenomenet innebär att tvärsnittet får en minskad sidostyvhet. Detta uppkommer av att egenspänningarna bidrar till att tryckflänsens ena kant plasticeras. På så sätt kommer den ena flänsen att flyta medan den andra fortfarande är linjärt elastisk. Vid ökat moment kommer plasticeringen av ena sidan att öka samtidigt som den andra sidan ännu inte uppnått sträckgränsen. Denna kombination leder till att tvärsnittet får en reducerad styvhet, vilket innebär att andra ordningens effekt av vippning ökar.

3.2 Antaganden för beräkningar

3.2.1 Verkningssätt

En principiell balk kommer att beaktas.

3.2.2 Upplagsförhållanden

Balkens upplagsförhållanden har en påverkan på den kritiska lasten vid vippning. För teoretiska beräkningar är det vanligast att använda gaffellagring som utgångspunkt för upplagen, se Figur 27, Höglund. Torsten (2006).

23

Balkens vridning vid upplagen ϕ, kommer därmed att vara noll. Däremot kommer denna utformning inte att förhindra flänsarnas relativa vinkeländring vid ändarna. Det randvillkoret som är aktuell för flänsen i detta upplag är ϕ´´=0.

3.2.3 Lastens angreppspunkt och studerade normer

Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (2005) ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det kritiska elastiska vippningsmomentet Mcr. Därför har Mcr kontrollerats genom fyra olika beräkningssätt, genom beräkningsprogrammet LTBeam (2012), samt genom härledning utifrån energimetoden. LTBeam (2012) är ett datorbaserat program som beräknar elastisk vippningslast för balkar. För ytterligare information om programmet, se Kapitel 3.2.5. De beaktade beräkningssätten redovisas i Tabell 7. Dessa beräkningar och härledningar kommer, för att möjliggöra vissa förenklingar, att studeras med hänsyn till att angreppspunkten för lasten ligger i skjuvcentrum, dvs. avståndet a i Figur 28 är noll.

Figur 28 – Illustration av avståndet a som defineras som avståndet mellan lastens angreppspunkt och skjuvcentrum Detta val av angreppspunkt kommer dock inte att vara densamma som den verkliga för NCC:s fallstudie. Eftersom lasten framförallt kommer att bestå av en överliggande betongmassa kommer avståndet sättas lika med halva balkens totala höjd. Därmed kommer en studie, genom handboken StBK-K2 (1973) och programmet LTBeam (2012), genomföras. Tabell 7 sammanfattar vilka normer och beräkningsprogram som beaktas för de två olika lastangreppspunkterna.

Tabell 7 – Studerade normer för respektive lastangreppspunkt

Kontrolleras för: Energimetoden ENV 1993 EN 1999 StBK-K2 LTBeam Kontrolleras för: StBK-K2 LTBeam

Avståndet mellan lastens angreppspunkt och skjuvcentrum, a [m]

Angreppspunkt i skjuvcentrum, a=0

24

3.3 Kritiskt vippningsmoment, M

_cr

För att kunna utföra beräkningar för det kritiska momentet behöver följande tvärsnittskonstanter vara kända; böjstyvheten, vridstyvheten, välvstyvheten samt parametrarna

β och κ. Samtliga konstanter redovisas i Tabell 8.

25

3.3.1 Beräkning av Mcr med härledningen utifrån Energimetoden

Det kritiska momentet har härletts utifrån energimetoden. Härledningen utgår från en fritt upplagd, gaffellagrad och ostagad balk som belastas med en jämnt utbredd last, enligt Figur 29, Höglund. Torsten (2006).

Energimetoden utgår från ett energisamband som baseras på att konstruktionens totala potential H, ska vara noll. Den totala potentialen innefattar både den yttre lastens potential Hy, och den inre potentialen Hi. Den inre potentialen är den elastiska energi som lagras i konstruktionen vid övergången från det raka till det utböjda jämviktsläget, Lundin. Kurt (u.å).

Figur 29 - Fritt upplagd balk med utbredd last

Härledningen utgår från att vippning inträffar när potentialförändringen är noll, enligt:

(12) Balkens axlar definieras enligt Figur 30 med deformationskomposanter enligt Tabell 9:

Figur 30 – Tvärsnittets axlar Tabell 9 - Deformationskomposanter

Tabell 10 och 11 beskriver aktuella upplagsförhållanden som är relevanta för härledning utifrån energimetoden.

Tabell 10 – Förskjutning i z-led. Källa: StBK-K2 (1973).

Deformationskomposanter Förskjutningsriktning

u z

ϕ Vridning

Förskjutning i z-led Kommentar

u=0 Ingen förskjutning

u´=0 Ingen vinkeländring

26 Balkens vridningsdeformation, enligt Tabell 11.

Tabell 11 – Vridning. Källa: StBK-K2 (1973)

Där det inre arbetet definieras enligt:

(13) Där Bz och Cw definieras i Tabell 8. Upplagsförhållandenas innebörd beskrivs i Figur 10. Faktorn i definieras som det moment per längdenhet som ger värdet en radian för stagpunktens vridningsvinkel, StBK-K2 (1973). Vid symmetriskt tvärsnitt gäller följande:

(14) Det yttre arbetet definieras enligt:

(15) Där

Den utbredda lasten definieras som q och a är en dimensionslös parameter. Se Bilaga B för fullständig härledning. Det kritiska momentet kan med härledning från energimetoden beräknas enligt:

(16) Där faktorn C1 är en dimensionslös faktor som beror av upplagsförhållanden. Via härledning sätts C1 enligt nedanstående. Se Bilaga B för fullständig härledning.

Vridning Kommentar

ϕ=0 Ingen vridning

ϕ´=0 Välvningsförhindrande förstyvning

ϕ´´=0

27

3.3.2 Beräkning av Mcr enligt ENV 1993-1-1

Följande beräkningar är hämtade från ENV 1993-1-1 (2005). ENV 1993-1-1 (2005) är en förstandard till Eurokod som används i undervisningen av stålbyggnadskonstruktion på Luleå Tekniska Universitet. Därför finns intresse av att studera detta beräkningssätt.

Vid beräkning av Mcr tas hänsyn till lastförhållanden, den verkliga momentfördelningen och eventuell sidostagning, vilket beräknas enligt ENV 1993-1-1 (2005). För fullständig beräkning, se Bilaga C.

(17)

Vid utbredd last längs hela bron erhålls:

3.3.3 Beräkning av Mcr enligt EN 1999-1-1

Följande beräkningar är hämtade från EN 1999-1-1 (2005). EN 1999-1-1 (2005) är den aktuella standarden för aluminiumkonstruktioner och innefattar metod för beräkning av det kritiska momentet. Av standarden erhålls att, för en balk med symmetriskt tvärsnitt och som är kontinuerligt längs hela balken, kan Mcr beräknas enligt:

(18)

Där det relativa kritiska momentet, µcr definieras enligt:

(19) Den dimensionslösa knäckningsfaktorn kz kan sättas till 1,0 eftersom upplagen är förhindrade mot att förskjutas i sidled, men fria att rotera i horisontalplanet. Faktorerna C1, C2 och C3 beror huvudsakligen på last- och upplagsförhållanden. Vid utbredd last längs hela bron erhålls följande:

Den dimensionslösa vridparametern, kwt beräknas enligt:

28

Den dimensionslösa faktorn kw kan sättas till 1,0, då upplagen vid vardera ände är förhindrad att rotera kring den längsgående axeln, men fri att välvas. Den relativa koordinaten för lastangreppspunkten i förhållande till skjuvcentrum ζg beräknas enligt:

(21) Figur 31 definierar avstånden zi. S står för skjuvcentrum och G för tyngdpunkt.

Figur 31 – Avstånd från skjuvcentrum Avståndet zg beräknas som:

Där za är koordinaten för lastangreppspunkten med avseende på tyngdpunkten,

zs är koordinaten för skjuvcentrum med avseende på tyngdpunkten och zg är koordinaten för lastangreppspunkten med avseende på skjuvcentrum, se Figur 31.

För ett symmetriskt tvärsnitt är avståndet mellan skjuvcentrum och tyngdpunkten, zs noll. Då lastangreppspunkten, för beräkning enligt denna standard, antas vara i tyngdpunkten fås att zg är lika med noll. Därmed blir även den relativa koordinaten för lastangreppspunkten i förhållande till skjuvcentrum lika med noll.

(22)

Enligt EN 1993-1-1 (2005) kan zj sättas till noll för ett symmetriskt tvärsnitt. Den relativa dimensionslösa parametern för enkelsymmetri, ζj blir därmed enligt:

29

(24)

3.3.4 Beräkning av Mcr enligt StBK-K2

Följande beräkningar är hämtade från StBK-K2 (1973), som är en handbok och innefattar kommentarer till Stålbyggnadsnorm 70; Knäckning, vippning och buckling. Enligt StBK-K2 (1973) beräknas det kritiska momentet enligt följande:

(25)

För en fritt upplagd balk kommer faktorn κ 2, enligt Figur 32 sättas till:

Figur 32– Gränsvillkor vid upplagsfall Källa: StBK-K2 (1973)

Där faktorn m fås från aktuell tabell och beror av k*L och lastens angreppspunkt. Faktorn m är beroende av balkens utformning, belastning och gränsvillkor. Utformningens inverkan beskrivs med parametern kL och β. kL beskriver balkens verkningssätt vid vridning med förhindrad tvärsnittsvälvning. För en balk som upptar vridande moment genom endast flänsböjning sätts kL=0. Då en balk har ett välvningsfritt tvärsnitt sätts kL=oändligheten. Parametern β beskriver osymmetrins inverkan. För symmetriska tvärsnitt sätts β =0.

30

I Figur 33 erhålls faktorn m genom att ta fram parametrarana γ och kL och därefter avläsa i diagrammet. Parametern γ fås enligt följande samband. (StBK-K2. (1973))

(27)

Figur 33 – Kritisk last beroende av lastens angreppspunkt. Källa: StBK-K2 (1973)

Figur 33 används för att beräkna den kritiska lasten, qkr. Detta beaktas enligt StBK-K2 (1973) genom följande formel:

(28) För en ostagad fritt upplagd balk med ett jämn utbredd last, beräknas det kritiska momentet utifrån elementarfall som:

(29) Vilket sammanslaget blir:

31

3.3.5 Beräkning av Mcr enligt datorprogrammet LTBeam

Det kritiska momentet kan även erhållas genom att använda programmet LTBeam (2012). LTBeam (2012) är ett datorbaserat beräkningsprogram som ägs av CTICM, Centre Technique Industriel de la Construction Metallique.

Figur 34 - LTBeam

32

3.3.6 Sammanställning av studerade beräkningssätt för Mcr

Tabell 12 redovisar formeln för Mcr för respektive beräkningssätt. Faktorer specifika för aktuellt beräkningssätt redovisas i Tabell 12:s tredje kolumn. För fullständig beräkning se Bilagor.

33

3.4 Olika stagningsmetoders inverkan på M

_cr

Detta kapitel behandlar hur stagning av balken påverkar det kritiska momentet. Stagningsalternativ enligt Tabell 13 kommer att beaktas:

Tabell 13 – Stagningsmetoder som kontrolleras

34

3.4.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag

Ett sätt att förhindra vridning av en balk är genom att sätta in ett stag mellan huvudbalkarna, se Figur 35. Detta stag ska motverka vridning och inte sidoförskjutning, vilket medför ändrad vridning av balksnittet. Så länge det inte förekommer några tvärsnittsdeformationer spelar infästningsnivån på tvärsnittet ingen roll, Collin Peter (1991).

Figur 35 - Stag mellan parallella balkar Källa: StBK-K2 (1973).

Med ökad styvhet på staget i mitten kommer vridningsvinkeln i fältmitt att gå mot noll. Även sidoförskjutningen vid staget går mot noll. Detta ändrar balkens deformationsbeteende, som kommer att ändras från en halv sinusvåg till två halva sinusvågor, vilket illustreras genom Figur 36. Vid detta stadie kommer staget inte införa något vridmoment i huvuvdbalken. Ytterligare ökning av stagets styvhet påverkar vid detta stadie varken deformationsbeteendet eller den kritiska lasten. (StBK-K2 (1973))

Figur 36 - Deformationskurva vid fullständig stagning i mitten. Källa: Höglund. Torsten. (2006). Stabilitet för balkar och stänger, modul 6.

Mcr kan vid fullständig stagning skrivas som:

35 Figur 37 - Stagad balk i mitten

Då x=0, definierat från höger, fås gränsvillkor enligt Figur 38.

Figur 38 – Upplagsförhållanden, x=0

Då x=L/2, definierat från höger, fås gränsvillkor enligt Figur 39.

Figur 39 - Upplagsförhållanden, x=L/2

Vippning inträffar, enligt StBK-K2 (1973), för den deformationsfigur som vid uppfyllda gränsvillkor ger:

Ur detta villkor kan en variationskalkyl härledas enligt nedan. Från tidigare definition:

36

Lösningen för ϕ kan skrivas som följande formel, där A1-A4 är konstanter:

(33) Där λ , enligt StBK-K2 (1973), fås genom:

(34) I och med att gränsvillkoren i Figur 38 och 39 ska uppfyllas kommer konstanterna A1 och A3 vara 0, vilket ger:

(35) Slutligen fås följande samband, där c är stagets fjäderkonstant:

(36) Stagets fjäderkonstanten c, kan därmed utryckas enligt:

(37) Det kritiska momentet beräknas, som tidigare enligt:

37

Figur 40 - Deformationskurva vid fullständig stagning i mitten. Källa: Höglund. Torsten. (2006). Stabilitet för balkar och stänger, modul 6.

3.4.1.1 Framtagning av fjäderstyvheten c, för okänd styvhet

För en stagad balk med okänd styvhet på staget erhålls det kritiska momentet Mcr genom ett itterationsförlopp med kända värden på balkarnas geometri, enligt nedan:

(39) Där λ1 och λ2 beräknas enligt Bilaga G. Fjäderkonstanten c är i detta fall okänd. Vid vridning av huvudbalkarna kommer tvärbalken att deformeras, vilket bidrar till en inflektionspunkt på mitten. Därmed kan fjäderkonstanten beräknas enligt följande, StBK-K2 (1973).

(40)

Där Btvärbalk, är tvärbalkens bredd och Ltvärbalk dess längd.

38

Vidare kontrolleras kL för huvudbalkarna, som tillsammans med följande samband, kan ge ett värde på faktorn n, ur Tabell 41.

(41) Utifrån Figur 41 kan därmed n fås, vilket i figuren benämns:

(42) Detta är ett relativt osäkert tillvägagångssätt i de fall då annan lastpåvekan är aktuell. (StBK-K2 (1973))

3.4.2 Gjutformens bidrag till stagning genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln

Denna stagning utförs genom att placera en gjutform mot balken. Formen beaktas som vridfjädrar längs med balkaxeln. Detta kan liknas med fallet knäckning av balk på elastiskt underlag. I detta fall, då vridfjädrar utnyttjas, förhindras vridningen istället för utböjningen, se Figur 42. Momentet definieras per längdenhet enligt:

(43)

Där i - är styvheten hos fjädrarna [Nm/rad*m] och φ - vridvinkeln [rad].

Figur 42 – Vridningsförhindrad Källa: Collin. Peter. (1991)

Det kritiska momentet beräknas som innan enligt:

(44) Då kL enligt StBK-K2 (1973) är

39 kan Mcr skrivas som

40

3.4.3 Stagning genom en överliggande platta

En dimensioneringsmetod som med fördel kan användas för att staga en vippningsbenägen balk, är att konstruera farbanan med hjälp av prefabricerade betongplattor. Stagning uppkommer genom att böjstyvheten hos plattan utnyttjas. Därmed motverkas vippning genom elastiskt vridningsförhindring av balkens övre fläns. Styvheten i, som plattan bidrar med, definieras som momentet per längdenhet av balken, då den fria flänsen vrids en vinkelenhet., Höglund. Torsten. (1994).

(47) Där MRd är momentkapaciteten vid böjning utan hänsyn till vippning. I de fall då deformationen i förbindningen mellan en balk och den prefabricerade betongplattan följs åt, kan i istället beräknas genom följande samband, Höglund. Torsten. (1994):

(48) Där, ib, beskriver huvudbalkens styvhet i vek riktning och it den stagande plattans styvhet. Styvheten ib, beräknas, vid de fall då balken är inspänd i en utbredd platta, enligt:

(49) Plattans styvhet, it beräknas för en konstruktion med två huvudbalkar, enligt:

(50) Där Et är Elasticitetsmodulen och It är tröghetsmomentet för plattan. Avståndet mellan de två huvudbalkarna betecknas med c. Momentet beräknas enligt EN 1999 (2005), vilket redovisas i Kapitel 3.2.3. Den kritiska momentberäkningen tar hänsyn till styvhetsparametern, i enligt momentberäkning av Torsten Höglund (u.å), utförd för en av NCC:s tidigare konceptbroar.

Enligt StBK-K2 (1973) erhålls faktorn κ genom:

(51)

41 Antal stag Balkens Längd [m] Vippningslängd, lLT [m]

0 10 10

1 10 5

2 10 3,3

3 10 2,5

4 10 2

Kontroll av olika antal stagningspunkter

Enligt StBK-K2 (1973) erhålls faktorn n, som beror av deformationskurvans antal halva sinusvågor, enligt villkoren nedan. De är beroende av uttrycket:

(52)

(53)

Mcr beräknas enligt:

(54)

Där faktorn beräknas enligt:

(55)

3.4.4 Stagning i x antal punkter

I detta kapitel behandlas antalet stagpunkters inverkan på Mcr då balken är belastad med en jämnt utbredd last. Balken antas initialt vara ostagad, dvs. vid noll antal stag är knäcklängden densamma som balkens fullständiga längd. Den kritiska vippningslängden minskar sedan med antal stagpunkter längs balken. Beräkningar utförs enligt ENV 1993-1-1 (2005), se Kapitel 3.2.2. Tabell 14 beskriver vilka vippningslängder som kommer att beaktas.

42

3.4.4.1 Stagning i x antal punkter enligt ENV 1993-1-1

Balken antas vara fritt upplagd och faktorn k antas vara ett. Följande formel för Mcr används:

3.4.4.2 Stagning i x antal punkter enligt Utdrag ur Handboken Bygg, K18

I detta kapitel används ett utdrag från boken bygg, Kapitel 18 av Torsten Höglund (1994). Om den tvärgående balken skulle vara inspänd i sekundärbalkarna utan livavstyvningar, beräknas ib enligt:

(56) Där

(57) Där avståndet mellan stagen betecknas med lLT.stag.

Plattans styvhet, it beräknas för en konstruktion med två huvudbalkar, enligt:

(58) Där Et är elasticitetsmodulen för tvärbalken och It är dess tröghetsmoment. Avståndet mellan de två huvudbalkarna betecknas med c.

Den kritiska momentberäkningen tar hänsyn till styvhetsparametern, i enlighet med momentberäkning av Höglund. Torsten. (1994), utförd för en av NCC:s tidigare konceptbroar.

Enligt StBK-K2 (1973) erhåll faktorn κ genom:

43 Mcr beräknas enligt EN 1999 genom:

44

4. Bärförmåga för ståltvärsnitt

Ett konstruktionselements bärförmåga kan kontrolleras både lokalt och globalt. Detta kapitel behandlar den lokala bärförmågan. Tvärsnittsbärförmåga, som är ett relativt nytt begrepp, innebär att ett konstruktionselement studeras lokalt, Johansson Bernt.(2000). Vid lokal kontroll studeras endast en kort del av elementet. Bärförmågan är den snittresultant som uppkommer vid belastning av exempelvis ett moment eller en normalkraft. Ett konstruktionselements lokala bärförmåga påverkas alltså inte av global instabilitet. Global instabilitet avser hela konstruktionselementet och innefattar instabilitetsproblem beaktade i Kapitel 2.

4.1 Tvärsnitt

En I-balk består av två flänsar, en övre och en undre, samt ett liv som binder samman flänsarna. Flänsen är hopsvetsad med livet både i över- och underkant. Tvärsnittets axlar är definierade som z för den veka axeln och y för den styva, se Figur 43. Vid avsaknad av stagning i vek riktning kommer balken vara benägen att böjas ut i densamma.

Figur 43 - Tvärsnitt

Det studerade tvärsnittet är dubbelsymmetriskt, vilket innebär att tvärsnittet har två symmetriaxlar. Beteckning för tvärsnitt beskrivs i Figur 44.

45 Teckenförklaring för tvärsnittet enligt Tabell 15.

Tabell 15 - Teckenbeskrivning

Ett dubbelsymmetriskt tvärsnitt, som befinner sig i tvärsnittsklass 1-3, har en tyngdpunkt, TP belägen i tvärsnittets centrum. Denna punkt sammanfaller med skärningspunkten mellan de två symmetrilinjerna. Vidare definieras tvärsnittets vridningsmedelpunkt VP, som den punkt där tvärsnittet vrids, då den utsätts för ett vridande moment. Vid ren böjning definieras även skjuvningsmedelpunkten, SP. Det är den punkt som skär mellan resultanterna till de enskilda delarnas tvärkrafter i två riktningar. Enligt Norlin (u.å) sammanfaller VP och SP. För ett dubbelsymmetriskt tvärsnitt sammanfaller även SP och TP, se Figur 45.

Figur 45 – Tyngdpunkt och skjuvningscentrum för enkel-, och dubbelsymmetriska tvärsnitt Källa: Norlin.Bert (u.å)

Beteckning Förklaring h1 Hela balkens höjd

hliv Livets höjd

dliv Livets tjocklek

bfl Flänsens bredd

tfl Flänsens tjocklek

46

4.1.2 Tvärsnittskontroll enligt Eurokod

I EN 1993 (2005) är tvärsnitten indelade i fyra olika klasser. Klasserna kan beskrivas enligt följande:

4.1.2.1 Tvärsnittsklass 1

För tvärsnitt i klass 1 kan full plastisk flytning uppnås utan att buckling uppkommer. I denna tvärsnittsklass kan flytleder bildas utan begränsad rotationskapacitet, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (2010). För tvärsnittsklass 1 tillämpas gränslastteorin. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 1 illustreras i Figur 46.

Figur 46 – Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 1 Källa: Lunds Universitet (u.å)

4.1.2.2 Tvärsnittsklass 2

Tvärsnittsklass 2 avser tvärsnitt som kan uppnå plastisk bärförmåga för moment, men har begränsad rotationskapacitet på grund av buckling. Flytledsmetoden kan inte användas. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 2 illustreras i Figur 47.

Figur 47- Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 2 Källa: Lunds Universitet (u.å)

4.1.2.3 Tvärsnittsklass 3

Tvärsnittslass 3 innefattar tvärsnitt där spänningen i det mest tryckbelastade ståltvärsnittet kan uppnå flytgränsen med en elastisk spänningsfördelning. Dock förhindrar buckling plastisk bärförmåga för moment. Viss plasticering kan dock ske innan buckling inträffar. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 3 illustreras i Figur 48.

47 4.1.2.4 Tvärsnittsklass 4

Tvärsnittsklass 4 avser tvärsnitt som bucklar i en eller flera delar av tvärsnittet innan dess att flytgränsen uppnås. Genom att reducera plåttjockleken för det element som förväntas buckla tas hänsyn till att det effektiva böjmotståndet kommer att vara mindre än det elastiska. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 4 illustreras i Figur 49.

Figur 49 – Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 4 Källa: Lunds Universitet (u.å)

4.1.2.5 Beräkningsgång för tvärsnittskontroll enligt Eurokod

Töjningsfaktorn ε, som används vid kontroll av tvärsnittsklass, beräknas enligt ekvation 59 och beror av stålets flytgräns, fy.

(59)

4.1.2.5.1 Tvärsnittsklass för livet

För att kontrollera livets tvärsnittsklass används Figur 47. Beroende på hur livet påverkas, studeras kolumnen för böjd, tryckt eller tryckt och böjd del. Vidare beräknas längden c, enligt Figur 51.

Figur 50 – Längden cliv

48

(61)

Figur 51 – Tvärsnittsklass liv, EN 1993 (2005)

För liv som påverkas av både tryck och böjning görs följande beräkningar för tväsnittsklassen:

(62) I det fall då tvärsnittet är symmetriskt och flänsarna inte är i tvärsnittsklass 4 sätts:

49

4.1.2.5.2 Tvärsnittsklass för fläns

För att kontrollera flänsens tvärsnittsklass används Figur 54. Beroende på hur flänsen påverkas studeras kolumnen för tryckt kant eller tryckta och böjda delar. Vidare beräknas längden c, enligt Figur 53.

Figur 52 – Längden cfl

(64) Förhållandet mellan längden c och livets tjocklek d beräknas. Beroende på dess storlek och hur delen påverkas fås tvärsnittsklass enligt:

50

5. Fallstudie för NCC

På begäran av Tobias Larsson på Anläggningskonstruktion på NCC Teknik i Göteborg, studeras en stålbalk med dimensioner från en av NCC:s konceptbroar. Denna studie används för att visa skillnader i resultat mellan olika metoder att beräkna det kritiska momentet, Mcr. Genom att studera beräkningssättens inverkan på momentkapaciteten, erhålls en intressant jämförelse för fortsatta vippningsberäkningar inom NCC. Dessutom studeras olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet, vilket är användbart för beräkningsgången för NCC:s framtida verksamhet inom konstruktion av samverkansbroar.

5.1 Indata

5.1.1 Indata stålbalk, huvudbalk

I detta kapitel redovisas stålbalkens dimensioner för det tvärsnitt som beräkningsmässigt kommer att studeras. Tvärsnittet består av en svetsad balk med ett I-tvärsnitt enligt Figur 54.

Dimensionernas beteckningar och storheter redovisas i Tabell 16.

Tabell 16 - Tvärsnittets dimensioner

Balken är fritt upplagd med ett spann L= 10 m. Beskrivning Beteckning Värde Enhet

Balkens höjd h1 850 mm

Flänsens tjocklek tfl 40 mm

Flänsens bredd bfl 560 mm

Livets tjocklek dliv 12 mm

Livets höjd hliv 770 mm

Svetsens dimension a 5 mm