Införandet av den s. k. n y a d i v i s i o n e n i E n g l a n d
Av O L O F M A G N E
Inledning
Den äldsta k ä n d a divisionsmetoden synes vara a b a c u s - r ä k n i n g i olika former. V i d skriftlig r ä k n i n g a n v ä n d e s i E u r o p a fram till J 700-talet olika varianter av g a l ä r d i v i s i o n , men från och med 1400-talet ersattes den i m å n g a länder av n e d å t g å e n d e uppställ- ningar och dessa har numera i nästan hela v ä r l d e n t r ä n g t ut äldre metoder.
Ä l d r e divisionsmetoder har beskrivits med stor noggrannhet av flera författare (jfr bl. a. C a j o r i 1 9 2 8 , Cantor 1888, K a r p i n - ski 1 9 2 5 , Sanford 1 9 2 9 , S m i t h 1908 samt 1 9 2 3 - 1 9 2 5 , Tropfke 1921 samt V a n a s 1 9 5 5 ) . D ä r e m o t har nyare metoder behandlats mera styvmoderligt (dock med undantag av V a n a s ) . Syftet med f ö r e l i g g a n d e uppsats är att i korthet r e d o g ö r a för vissa engelska di visionsmetoders historia.1
1 Framställningen i denna uppsats bygger främst på studier av tryckta och otryckta arbeten i The Mathematical Association Library i Lcicester samt räkneläror och tidskriftsartiklar i British Museum och Ministry of Education Library i London. Därvid har författaren gått igenom t i l l - gängliga räkneläror från 1600-talet och fram till 1910. Inga motsvarande undersökningar av otryckta källor har företagits. Det är därför möjligt att exempelvis vidare undersökningar av vissa medlemmars av A I G T efterlämnade brcvsamlingar och andra urkunder kan ge viktiga upplys- ningar som författaren är ur stånd att redovisa. Beklagligtvis har jag bara haft tillgång till ett fåtal kontinentala räkneläror, ehuru ett studium av arbeten från Frankrike, Italien, Schweiz, Tyskland och Italien måste bidra till kännedom om den nya engelska divisionens historia. Beträffande nutida divisionsmetoders utbredning har ett stort antal nutida räkneläror och arbeten i undervisningsmetodik rådfrågats (jfr bl. a. Larsén, Magne &
Vanas 1958). Vanas har haft vänligheten att lämna vissa kompletterande uppgifter rörande svenska och tyska räknemetoder (bl. a. om Falcks räkne- uppställning av år 1830).
2 6
Nutida divisionsmetoder.s utbredning
A v den n e d å t g å e n d e divisionen f ö r e k o m m e r t v å eller tre h u - vudformer, som i v å r a dagar har en utbredning, vilken n å g o t så när sammanfaller med n a t i o n s g r ä n s e r . F ö l j a n d e u p p s t ä l l n i n g är den vanligast f ö r e k o m m a n d e i F r a n k r i k e , Italien, Spanien och Latinamerika, Centraleuropa, de nordiska länderna samt Sovjet- unionen
(a) 1 0 3 8 3 3 0 I 4 9 8 9 9 6 1 2 0 8 5
4 2 3 3 3 9 8 4 2 4 9 0 2 4 9 0
E l i annan u p p s t ä l l n i n g med stor spridning är följande som f ö r e k o m m e r inom det brittiska s a m v ä l d e t , U S A med intresse- o m r å d e n samt Japan
(b) 2 0 8 5 4 9 8 ) 1 0 3 8 3 3 0
9 9 6 4 2 3 3
3 984 2 4 9 0 2 4 9 0
Slutligen återfinns en huvudsakligen i Centraleuropa och S k a n - dinavien (Norge och Sverige) spridd metod
(c) 1 0 3 8 3 3 0 : 4 9 8 = 2 0 8 5 9 9 6
4 2 3 3 3 9 8 4 2 4 9 0 2 4 9 0
M a n kan f ö r m o d a att utbredningen för dessa tre moderna huvudmetoder är betingad av tradition och p å v e r k a n mellan län- der, vilka haft speciellt intima kontakter.
Som V a n a s visat beträffande Sverige har divisionsmetoderna till att b ö r j a med framträtt isolerat och l ä n g e förblivit obeaktade.
Slumpinflytanden och tillfälligheter samt inverkan av speciellt p o p u l ä r a r ä k n e l ä r o r har o c k s å spelat en betydande roll.
E n j ä m f ö r e l s e mellan de engelska och de svenska metoderna kan illustrera detta. T r o l i g e n efter m ö n s t e r av den inflytelserike matematikern Oughtred a n v ä n d e Noah Bridges i sin 1 6 5 3 ut- givna p o p u l ä r a räknelära en u p p s t ä l l n i n g , där divisorn och kvo- ten skrevs p å ö m s e sidor om dividenden och avskildes med pa- rentestecken :
(d) 4 9 8 ) 1 0 3 8 3 3 0 (2085
4 2 3 3 _ 3 9 8 4 2 4 9 0 2 4 9 0
F ö r e g å n g a r e till Bridges' n e d å t g å e n d e metod saknas emeller- tid inte. E n divisionsvariant, som rent av förefaller kunna fungera bättre ä n denna kan anföras från Paciuolos 1 4 9 4 i Venedig t y c k t a S u m m a de Arithmetica Geometria Propertioni et P r o - portionalita, d ä r såväl divisor och kvot (eller proviniens) skrevs på raden ovanför dividenden ( j f r Cantor 1 8 8 8 ) :
Divisor Proviniens 9 8 7 6 9 8 7 6
9 7 5 3 5 3 7 6 8 8 8 8 4
8 6 5 1 3 7 9 0 0 8 7 5 0 5 7 6 9 1 3 2 5 9 2 5 6
Bridges' metod blev i England, under det följande halvseklet a l l m ä n t omfattad och a n v ä n d e s utan n ä m n v ä r d a undantag i de av e n g e l s m ä n författade r ä k n e l ä r o r , som utgavs under tiden från
2 8
o m k r i n g 1 7 0 0 till 1 8 0 0 - t a l e t s s l u t . U n d e r 1 7 0 0 - t a l e t h a d e p å k o n t i n e n t e n d e n n u m e r a v a n l i g e n b r u k a d e u p p s t ä l l n i n g e n ( a ) m e d d i v i s o r n efter d i v i d e n d e n p å l i k n a n d e s ä t t s l a g i t i g e n o m o c h f å t t e n s l a g s m o n o p o l s t ä l l n i n g , m ö j l i g e n d o c k inte l i k a t o t a l t s o m d e n e n g e l s k a s ( d ) i E n g l a n d . D e n k o n t i n e n t a l a m e t o d e n ( a ) b e - k a n t g j o r d e s g i v e t v i s ä v e n i E n g l a n d b l . a. g e n o m ö v e r s ä t t n i n g a r , o c h v i s s a f ö r f a t t a r e f r a m f ö r d e a r g u m e n t f ö r d e n n a m e t o d , t. e x . att d e n n a u p p s t ä l l n i n g ä r k o m p a k t a r e o c h k r ä v e r m i n d r e u t - r y m m e s a m t att m u l t i p l i k a t i o n e r n a u t f ö r e s p å ett n a t u r l i g a r e s ä t t . I n t e d e s t o m i n d r e b e s t o d B r i d g e s ' u p p s t ä l l n i n g i n t i l l d e s s d e n f ö r n å g r a f å d e c e n n i e r s e d a n u t k o n k u r r e r a d e s a v d e n f ö r u t n ä m n d a u p p s t ä l l n i n g ( b ) . U p p s t ä l l n i n g a r a v k o n t i n e n t a l a t y p e n f ö r e k o m u n d e r p e r i o d e n 1 8 0 0 - 1 8 9 0 i f ö l j a n d e r ä k n e l ä r o r e l l e r v i s s a a n d r a a r b e t e n r ö r a n d e a r i t m e t i k :
T h o m a s C l a r k , A new system of arithmetic. L o n d o n 1812.
E l i a s Johnston, A sure and easy method of l e a r n i n g to calculate ( ö v e r s ä t t n i n g f r å n C o n d o r c e t ) . E d i n b u r g h 1813.
S . F . L a C r o i x , E l e m e n t a r y treatise on the mathematical principles of arithmetic ( a n o n y m ö v e r s ä t t n i n g f r å n f r a n s k a n ) . L o n d o n 1823.
L . B . F r a n c o e u r . A complete course of pure mathematics ( ö v e r s ä t t - n i n g f r å n f r a n s k a a v R . B l a k e l o c k ) . L o n d o n & C a m b r i d g e 1829.
A d a m A n d e r s o n , A r i t h m e t i c i T h e E d i n b u r g h E n c y c l o p a e d i a . E d i n - b u r g h 1830.
M . C . B r i o t , E l e m e n t s of arithmetic ( ö v e r s ä t t n i n g f r å n f r a n s k a n a v J . S p e a r ) . L o n d o n 1863.
J a m e s T h o m p s o n , T r e a t i s e on arithmetic, 72nd E d . L o n d o n 1880.
( T i d i g a r e upplagor synes h a haft den ä l d r e engelska u p p s t ä l l - ningen.)
J o h n J a c k s o n , A p r a c t i c a l arithmetic. L o n d o n 1885.
T h e shorthand of arithmetic. L o n d o n 1889.
T S v e r i g e , d ä r u n d e r 1 8 0 0 - t a l e t d e n k u l t u r e l l a p å v e r k a n p å detta o m r å d e t r o l i g e n v a r s t a r k a r e f r å n F r a n k r i k e o c h T y s k l a n d ä n f r å n E n g l a n d , g o d t o g s e m e l l e r t i d i n v ä n d n i n g a r n a m o t d e n ä l d r e e n g e l s k a r ä k n e m e t o d e n a v d e f ö r f a t t a r e s o m p u b l i c e r a d e r ä k n e l ä r o r u n d e r 1 8 0 0 - t a l e t . E f t e r 1 8 5 0 ä r B r i d g e s ' u p p s t ä l l n i n g p å r e t u r , o c h efter 1 9 0 6 h a r d e n i c k e f ö r e k o m m i t i s v e n s k a r ä k n e - l ä r o r . Ä v e n i s k o l o r n a s u n d e r v i s n i n g h a r c e n t r a l e u r o p e i s k a d i -
visionsmetoder ( a ) och ( c ) blivit a l l m ä n t accepterade. F ö r n ä r - varande är emellertid ä v e n dessa p å retur, och ä n en g å n g tycker man sig s k ö n j a ett uttryck för det f ö r h ä r s k a n d e kulturinflytan- det. Det är n ä m l i g e n den i E n g l a n d och U S A a n v ä n d a metoden
som håller p å att g ö r a sitt intåg. E n o m s t ä n d i g h e t , vilken kan tolkas som att p å v e r k a n n ä r m a s t kommer från A m e r i k a , är att svenska författare utan mera bärande »skäl betecknat u p p s t ä l l - ningen i fråga som den amerikanska. Det kan s å s o m framgår av den f ö l j a n d e f r a m s t ä l l n i n g e n vara riktigare att kalla den för den nya engelska divisionen.
M a n frågar sig: N ä r b ö r j a d e den nya engelska u p p s t ä l l n i n g e n a n v ä n d a s inom den engelsktalande v ä r l d e n ?
Tidigare metoder att skriva kvoten ovanför dividenden
Utvecklingen visar sig ha varit en synnerligen l å n g s a m affär.
F ö r e g å n g a r e finner man l å n g t tillbaka i tiden och i flera olika länder. M a n får detta klart för sig redan d å man u p p t ä c k e r att Bridges' metod omfattade flera u p p s t ä l l n i n g a r och att Bridges knappast kan s ä g a s ha uppfunnit n å g o n av u p p s t ä l l n i n g s v a r i a n - terna. Bridges dividerade uppgifter med divisorer av storleks- ordningen 2 - 1 2 utan skriftlig u t r ä k n i n g och skrev resultatet av r ä k n i n g e n omedelbart under dividenden (s. k. kort division)
(e) 2) 3 8 3 0 7 8 0 4 5) 3 8 3 0 7 8 0 4
191539 02 7 6 6 1 5 6 0 ^ Ingen kommentar l ä m n a s av honom till placeringen av kvotsiff- rorna under motsvarande dividendsiffror. Uppgifter med divi- sorn större ä n 12 skrevs i a l l m ä n h e t enligt u p p s t ä l l n i n g ( d ) — s. k. l å n g division. Ö v r i g a av Bridges a n v ä n d a varianter är för denna f r a m s t ä l l n i n g av underordnat intresse. U n d e r den f ö l j a n d e tiden t i l l r å d d e s avancerade r ä k n a r e ofta i r ä k n e l ä r o r n a att be- gagna förkortad u p p s t ä l l n i n g (av engelska och franska matema- tiker vanligen kallad italiensk division eller italiensk metod.
Webster anger exempelvis i sin 1 7 3 0 utgivna Compendious
3 °
Course of Practical Mathematics t v å f ö r k o r t a d e divisionsupp- ställningar, n ä m l i g e n
1 0 (2 1 0 0 8 (1
3 2 ) 4 2 6 4 5 (1332 och (f) 3 2 ) 4 2 6 4 5 ( 1 3 3 2 1 0 6
1 0 4 8 5 21
Ä v e n om det sällan direkt u t s ä d e s , menade man efter allt att d ö m a att vid kort division v a r j e kvot siffra skulle skrivas ome- delbart under v e d e r b ö r a n d e dividendsiffra.
Medan den engelska l å n g a divisionen accepterats till f ö l j d av Bridges' verksamma reklam för metoden, kan den f ö r k o r t a d e u p p s t ä l l n i n g e n av typ (f) och den korta divisionen (e) ha haft arabiskt ursprung. S å l e d e s f ö r m o d a s 11 oo-talsmatematikern M o - hammed B e n M u z a ha skrivit kort division med f ö l j a n d e me- tod, som sannolikt varit i bruk l å n g tid före honom. S k r i v s ä t t e t f ö r e k o m m e r bl. a. o c k s å hos Leonardo Pisano, vilken under b ö r - j a n av 1200-talet introducerade arabiska r ä k n e m e t o d e r .
E x . 10 0 0 0 dividerat med 8 2 4 1 0 0 0 0
8 1 2 5 0
4 9 2 8 9
Paolo Dagomari ( 1 2 8 1 - 1 3 6 5 ? ) u t f ö r d e divisionen med 2 3
följande u p p s t ä l l n i n g
1 1 0 2) 0 3 9 6 2 3 ) 4 9 2 8 9
2
I
2 1 4 3Francesco Pellos a n v ä n d e i sin räknelära från 1492 punkt för att beteckna förändrat p l a t s v ä r d e , ifall divisor-nollor strukits.
Partir per 2 0 7 9 0 5 4 8 3 9 - 7
1 7 quotient 3 9 8 2 7 4 1 9 - -
3
och på Pyreneiska h a l v ö n f ö r e k o m ( j f r Gaspar Nicolas, T r a t a d o da pratica d'Arismetica, L i x b o a 1 5 5 9 )
E x . 948
3 0 1 0 949 3 1 6 3
E n besläktad u p p s t ä l l n i n g , p å m i n n a n d e om modern metod att sätta ut kvoten o v a n f ö r dividenden, begagnades av Galilei
58 3 5 7 2 0 7 3 5 3 3 3 9 4 2
1 7 9 7 8 4 8
1 2
5 9
2 I
3 8 7
3 8 1
3 2
6 1
5 6
5 8
1 6
4 2
3 6
6 4
6 3
1 8
1 8
4 7 2
4 7 2
4 7 2
4 7 2
32
E n l i g t D . E . Smith ( 1 9 2 5 ) skall följande arrangemang med kvot ö v e r ha varit i bruk bland araber redan under medeltiden.
Exemplet är h ä m t a t ur John Lesslie's T h e Philosophy of A r i t h - metic ( 2 n d E d . , 1 8 2 0 ) , ett historiskt arbete av inte ringa intresse om o c k s å behäftat med en del svagheter. Lesslie p å s t o d , att upp- s t ä l l n i n g e n f ö r e k o m bland araber och perser (sannolikt vid den tidpunkt, då boken s k r e v s ) .
Det tidigaste av mig k ä n d a europeiska exmeplet p å n e d å t g å - ende u p p s t ä l l n i n g med kvoten placerad o v a n f ö r dividenden finns i tysken Kliigels på sin tid u p p m ä r k s a m m a d e Mathematisches W ö r t e r b u c h ( 1 8 0 3 - 1 8 3 1 ) , i vilken följande förkortade uppställ- ning meddelas
Di visor
4358 756429 Quotienten 3296517582, Dividendus 30506 24591
21790 28017 26148 18695 17432 . 1 2 6 3 8
8716 39222 39222 o Rest
Kliigel n ä m n e r dessutom en variant som direkt erinrar om G a l i - leis u p p s t ä l l n i n g :
Divisor 756429 Quotient 4358 3296517582 Dividendus
245919320 2806620
18290 130
o
Ä v e n den korta engelska divisionen finns hos Kliigel 2) 1260
630
33
A v ett v i s s t i n t r e s s e ä r det, att v o l y m 5, s o m s k r i v i t s a v G r u - n e r t , g e n o m g å e n d e h a r d e n ä l d r e e n g e l s k a u p p s t ä l l n i n g e n .
E t t a n n a t , f ö r m o d l i g e n s p o r a d i s k t u p p d y k a n d e e x e m p e l p å d i - v i s i o n m e d k v o t ö v e r d i v i d e n d e n , h a r R r u n a c c i i s i n r ä k n e l ä r a f r å n 1 8 0 0 - t a l e t s b ö r j a n ( 5 e d . 1 8 2 4 ) . B r u n a c c i s r ä k n e l ä r a h a r f ö l j a n d e t y p e x e m p e l
3 / 7 9 5 3 och 40 7 3 6 2
2651 3 6 2 / 1 4 7 4 7 5 2 6 7 5
141
I b e s k r i v n i n g e n a v det f ö r s t n ä m n d a fallet f r a m h å l l e r B r u n a c c i , att k v o t s i f f r o r n a s k a l l s k r i v a s r a k t n e d a n f ö r r e s p . d i v i d e n d s i f f - r o r , m e n det s e n a r e t y p e x e m p l e t h a r inte d e n n a a n o r d n i n g , i n t e h e l l e r s ä g s det n å g o t h ä r o m i d e n b e l e d s a g a n d e t e x t e n , m e n m ö j - l i g e n ä r detta u n d e r f ö r s t å t t o c h e x e m p l e t k a n h a b l i v i t t r y c k t i d e n h ä r g i v n a f o r m e n p å g r u n d a v ett m i s s t a g a v s ä t t a r e n . M o t - s v a r a n d e u p p s t ä l l n i n g a r f i n n s n ä m l i g e n v i d d i v i s i o n m e d d e c i - m a l b r å k , v a r v i d o b s e r v e r a s att k o m m a i k v o t e n a l l t i d satts o v a n - f ö r k o m m a i d i v i d e n d e n :
3 2,6 2 , 3 1 1 5 / 6 , 9 3 4 5 och 3 , 2 2 / 8 , 4 4 5
2 0 0 5 7 3
T y s k e n M a u r a c h e r a n v ä n d e i e n r ä k n e l ä r a f r å n 1746 ett l i k n a n d e s k r i v s ä t t ( e n l i g t u p p g i f t h o s F r i e d r i c h U n g e r 1 8 8 8 )
Divisor Dividend 8 1 8 7 6 0
J l 8
2 7 R e s t e
4 0
1 2 3 4 5 Q u o t i e n t
3 - f x u j o i Pedagogisk Tidskrift 1-2 1960
34
Det är inte uteslutet att Kliigels, Brunaccis och Maurachers arbeten haft f ö r e g å n g a r e eller efterföljare p å kontinenten, som a n v ä n t deras u p p s t ä l l n i n g a r , men emedan jag inte haft t i l l g å n g till mera omfattande samlingar av kontinentala räkneläror, är det för mig obekant om sådana existerar. D ä r e m o t är det m ö j l i g t att i varje fall K l i i g e l p å v e r k a t en av de tidigaste engelska förfat- tarna, som placerat kvoten o v a n f ö r dividenden, n ä m l i g e n Sang.
D e n ende äldre svenska författare, som publicerat en variant med kvot ö v e r dividend, är H e n r . F a l c k , som i sin Practisk l ä r o - bok i arithmetiken ( U p s a l a 1 8 3 0 ) s ä g e r : » E t t mycket kortare sätt att både skrifva och verkställa divideringen är f ö l j a n d e mindre vanliga men ganska nyttiga att känna.» U p p s t ä l l n i n g e n meddelas som ett alternativ till den g ä n g s e engelska metoden redan i samband med heltalsdivision
(g) . § 5 7
2 2 4 9 6 2 5 2 6 2 5 1 4 9 6 2
1 8 3 7 5 0 0 0 0
F a l c k meddelar: »Till besparing af rum kan man sätta qvoten ofvanför dividenden med ett streck emellan. Stundom finner man dock b e q v ä m a r e att skrifva qvoten a n n o r s t ä d e s . » Det förefaller, att d ö m a av detta citat, som om F a l c k ansett metoden ge t v å fördelar, som vi numera bortser från, n ä m l i g e n dels ökat ut- rymme i sidled, dels ö k a d m ö j l i g h e t att uppskatta antalet hel- talssiffror i kvoten.
Uppställningar med kvoten över dividenden i engelska räkne- läror jöre 1880
F ö r s t a exemplet på n e d å t g å e n d e u p p s t ä l l n i n g med kvoten ö v e r dividenden o m n ä m n t i ett engelskt arbete, som jag iakttagit, är i det redan anförda John Leslie's T h e Philosophy of Arithmetic ( 2 n d E d . 1 8 2 0 ) . N å g o n källa till u p p s t ä l l n i n g e n anges inte, för- fattaren betraktar den troligen som en kulturhistorisk kuriositet
av samma slag som g a l ä r u p p s t ä l l n i n g a r n a . H a n s ä g e r den v a r a o n ö d i g t o m s t ä n d l i g , om o c k s å f ö g a t a n k e k r ä v a n d e (though u n - necessarily tedious, requires no effort of m e m o r y ) .
N ä s t a g å n g f ö r e k o m m e r den i t v å arbeten från 1850-talets mitt och denna g å n g i sammanhang som tyder p å att författarna denna g å n g mera allvarligt syftat till att p å v e r k a opinionen. Det rör sig om Alexander J . E l l i s ' Self-proving E x e m p l e s in the F o u r F i r s t Rules of Arithmetic ( L o n d o n 1855) och E d w a r d Sangs Elementary Arithmetic (Edinburgh & L o n d o n 1 8 5 6 ) . B å d a dessa författare var v ä l belästa i tidigare utkommen, både inhemsk och utländsk, lärobokslitteratur och kan, oberoende av varandra, ha snappat upp sina metoder från kontinentala r ä k n e - läror. Det är t. o. m. m ö j l i g t att n ä m n a en av de källor som Sang anlitat, n ä m l i g e n Kliigels tidigare o m n ä m n d a W ö r t e r b u c h . N å - gon liknande uppgift rörande E l l i s föreligger inte.
O m E l l i s kan n ä m n a s , att ovan n ä m n d a räknelära är det enda arbetet i matematik bland åtskilliga tiotal arbeten, bl. a. läroböc- ker i de mest skiftande ä m n e n . H a n har sysslat med r e l i g i ö s a problem, musik och språkfrågor, speciellt fonetik — bl. a. f ö r e - slog han ett nytt ortografiskt system för det engelska språket.
H a n s räknelära är en t ä m l i g e n o s j ä l v s t ä n d i g efterbildning av fransmannen P . - G . Guy's arbeten. K o r t division skrives s å l u n d a
7 ) 1 2 3 6 5 4 1 7 6 6 4 • 6
och för l ä n g division föreslås följande tre varianter
(h 1 ) 6 0 0 5 2 3 (h 2 ) 6 1 8 ) 3 7 1 1 2 3 6 5 4 (h 3 ) 6 0 0 5 2 3 6 1 8 ) 3 7 1 1 2 3 6 5 4 6 0 0 5 2 3 6 1 8 ) 3 7 1 1 2 3 6 5 4
3 7 °8 3 7 " 3 2 3 6
3 2 3 6 3 7 0 8 1 4 6 5 3 0 9 0 etc. 2 2 9 4
etc. 4 4 0
Under den följande tiden tycks den tredje av dessa uppställ- ningar ha varit den som i första hand u p p m ä r k s a m m a t s . I varje
36
fall kom den att vid upprepade tillfällen under 1 8 8 0 - och 1 8 9 0 - talen diskuteras och f ö r o r d a s av sällskapet A I G T (Association for the Improvement of Geometrical T e a c h i n g ) . E l l i s n ä m n e r o c k s å vissa fördelar med de av honom lanserade metoderna fram- för Bridges'. E l l i s har i en tidskriftsartikel (Arithmetical C r u t - ches for L i m p i n g Calculators, Educational T i m e s , M a y 1 8 7 5 ) ytterligare kommenterat sin divisionsmetod.
I Sangs på m å n g a sätt f ö r n ä m l i g a arbete anges v i d heltals- r ä k n i n g endast den ä l d r e metoden, men d ä r j ä m t e rekommende- ras, ifall divisorn är tvåsiffrig, följande variant av kort division
37 2 8 9 7 7 5 1 2 0 1 6 8 2 3 1 2 2 7 8 3 1 7 6
I kapitlet om d e c i m a l b r å k a n v ä n d s vid sidan om den g ä n g s e upp- s t ä l l n i n g e n följande arrangemang, och de f ö r e k o m m e r sedan ä v e n i f o r t s ä t t n i n g e n
• 3 6 8 4 2 1 0 5 etc.
1 9 7 - 0 5 - 7 1 • 20
1 6 0 152
etc.
Ingenting meddelas om anledningen till att den s i s t n ä m n d a meto- den introduceras eller om hur den utföres.
E n liknande u p p s t ä l l n i n g är o m n ä m n d i Archibald Sandeman's Pelicotetics or T h e Science of Q u a n t i t y (Cambridge 1 8 6 8 ) . U p p - giften 2 765 0 9 7I 25 4 4 5 gj^ygg j u p p s t ä l l d form (jfr E l l i s ' upp-
ö 0 - 0 3 8 4 0 0 9 i r
s t ä l l n i n g h 2)
7 2 • 0 0 6 0 5 o•0384009 2-765097125445 2 688063
77034 768018
22323 2304054
19200 1920045
Ytterligare kan n ä m n a s , att i vissa metodiska arbeten från 1870-talet, s å s o m J . B r o o k - S m i t h , Arithmetic ( L o n d o n 1 8 7 2 ) och George R i c k s , Elementary Arithmetic and H o w to T e a c h it
( L o n d o n 1 8 7 9 ) , man starkt u n d e r s t r ö k vikten av att kvotsiff- rorna i kort division skrives rakt under resp. dividendsiffror. U t - vecklingen är t y v ä r r s v å r att b e l ä g g a under denna tidrymd, p å grund av att ett betydande antal billigare räkneläror trycktes utan typexempel. Mycket tyder p å att äldre metoder a n s å g s böra komma till a n v ä n d n i n g .
U n d e r 1880-talet arbetade en k o m m i t t é inom A I G T tidvis energiskt p å att utarbeta anvisningar rörande undervisningen i aritmetik, ä v e n om denna verksamhet av samfundet ä g n a d e s ett t ä m l i g e n förstrött intresse j ä m f ö r t med huvudsyftet: att utreda m ö j l i g h e t e r n a att förbättra geometriundervisningen. Enligt A I G T : s fjortonde å r s r e d o g ö r e l s e (General R e p o r t ) u p p l ä s t e s vid å r s m ö t e t i januari 1 8 8 8 av sekreteraren i sällskapets aritme- t i k - k o m m i t t é , W . G . Bell, ett f ö r s l a g till rekommendationer, i vilka det bl. a. heter: » I n division, unless it is inconvenient, place the quotient over the dividend, and at first let each successive stage in the division be performed separately, with the full com- plement of o's, bringing down all the figures each time.» U n d e r den f ö l j a n d e diskussionen uttalades åsikter för och emot denna uppställning, varvid den förkortade formen ( E l l i s metod I 1 3 ) , kallad »Italian m e t h o d » , i första hand f ö r o r d a d e s .
E . M . Langley (en av samfundets grundare) tillhörde dem
38
som vid denna tid arbetade för att den nya metoden skulle få en mera a l l m ä n spridning. H a n tillsåg, att s ä l l s k a p e t s rekommenda- tioner f ö r s ö k s v i s blev t i l l ä m p a d e vid Bedford Modern School.
Å r 1893 f ö r e d r o g han till den nittonde å r s b e r ä t t e l s e n fogade re- kommendationer rörande aritmetikundervisningen för Prepara- tory och Junior schools, and F o r m s I . , I L , I I I . , enligt vilka det bl. a. heter, att kvoten bör utsättas ö v e r dividenden på grund av detta arrangemangs l ä m p l i g h e t för det efterföljande arbetet med decimalbråk. I den 1895 av Langley i L o n d o n och New Y o r k publicerade A Treatise on Computation f ö r e k o m m e r dock inte denna u p p s t ä l l n i n g utan endast u p p s t ä l l n i n g ( d ) samt E l l i s ' me- tod ( h 3 ) .
U n d e r 1890-talet utkom ett stort antal räkneläror i E n g l a n d , av vilka dock n å g r a saknar typexempel. D e n nya divisionen en- ligt A I G T : s rekommendationer infördes i ett icke föraktligt an- tal av dessa böcker redan före sekelskiftet och, a n m ä r k n i n g s v ä r t nog, däribland n å g r a bland de tongivande.
Den tidigaste att acceptera metoden var den inflytelserike räk- neboksförfattaren (och medlemmen av A I G T ) Pendlebury, som i sin fjärde edition av Arithmetic ( L o n d o n 1 8 9 0 ) införde den nya u p p s t ä l l n i n g e n i samband med d e c i m a l b r a k s r ä k u i n g . A v i n - tresse är följande typexempel som i denna och n å g r a av de när- maste följande upplagorna gavs på flera ställen i boken
Quot. = o • 0 2 5 1 1 8 5 ) " 2 ^ 1 3 4 3 5 (
1 7 0 434 _ 425 9 3
85 85
T v å år senare utkom prof. W . H . H . H u d s o n med sin omar- betning av en annan spridd bok, B a r n a r d Smitlvs Arithmetic for Schools ( L o n d o n & New Y o r k 1892) — samtidigt en av de tidi-
39
g a s t e r ä k n e l ä r o r m e d d e n n a u p p s t ä l l n i n g u t g i v e n i U S A , i v i l - ken u p p s t ä l l n i n g e n s k r i v e s
d i v i s o r 1388 q u o t i e n t 4064) 5643897 d i v i d e n d
15798 36069
35577
3065 r e m a i n d e r
U n d e r å r e n o m e d e l b a r t f ö r e s e k e l s k i f t e t p u b l i c e r a d e s f ö l j a n d e r ä k n e l ä r o r , a v v i l k a s o m l i g a u t k o m i s t o r a s e r i e r :
1897: G . A . C h r i s t i a n & G . C o l l a r , A N e w A r i t h m e t i c ( L o n - d o n ) . I d e n n a s k r e v s k v o t e n s å v ä l ö v e r s o m till h ö g e r o m d i - v i d e n d e n .
W . W . B e m a n & D . E . S m i t h , H i g h e r A r i t h m e t i c ( B o s t o n o c h L o n d o n ) . I d e n n a s p e c i f i c e r a d e s n o g g r a n t f ö r d e l a r n a m e d k v o t ö v e r d i v i d e n d e n . U p p s t ä l l n i n g e n s a k n a d e d e n v å g r ä t a l i n - j e n . D e t t a a m e r i k a n s k a a r b e t e s y n e s v a r a det f ö r s t a , i v i l k e t d e n s t o r e m a t e m a t i k h i s t o r i k e r n S m i t h e n e r g i s k t g ö r r e k l a m f ö r d e n n y a m e t o d e n .
1 8 8 9 : J . W . Y o u n g , N o t e s o n A r i t h m e t i c a l T h e o r y f o r P u p i l T e a c h e r s ( L e e d s ) .
1899: L o n g m a n ' s C o m p l e t e A r i t h m e t i c , M e n t a l a n d P r a c t i c a l . C o u r s e A a n d B ( L o n d o n ) . I d e n n a ges u p p s t ä l l n i n g e n s o m h o s B e m a n & S m i t h , m e n m e d ett r a k t s t r e c k i s t ä l l e t f ö r e n b å g e m e l l a n d i v i s o r o c h d i v i d e n d .
J . S . M a c K a y , A r i t h m e t i c , T h e o r e t i c a l a n d P r a c t i c a l ( L o n - d o n & E d i n b u r g h ) . I d e n n a a n v ä n d e s e n u p p s t ä l l n i n g , s o m p å m i n n e r o m m u l t i p l i k a t i o n s u p p s t ä l l n i n g e n , n ä m l i g e n
478 x 5932 q u o t i e n t 2835891
2390 4458
e t c .
j ä m t e m o t s v a r a n d e f ö r k o r t a d e m e t o d .
4o
G . A . Christian & A . H . Baker, A Short Arithmetic ( L o n - don). S a m m a u p p s t ä l l n i n g a n v ä n d e s som i Christian's & C o l - lar's tidigare n ä m n d a lärobok.
I de pedagogiska tidskrifterna f ö r e k o m under hela denna tid endast ett fåtal korta meddelanden om den f ö r ä n d r i n g som v a r på v ä g .
Ä v e n under 1900-talets första decennium utkom ett stort antal böcker med den äldre u p p s t ä l l n i n g e n eller utan typexempel, men omkring hälften av de vid denna tid nyutkomna eller omarbetade räknelärorna, däribland flertalet populära, innehöll typexempel med den nya metoden. Ä v e n efter 1910 har ett inte ringa antal arbeten publicerats med den ä l d r e u p p s t ä l l n i n g e n . Det mest a n - m ä r k n i n g s v ä r d a exemplet torde v a r a artikeln Arithmetic i se- naste upplagan av Encyclopaedia Britannica. Ä v e n räkneläror har tryckts med den äldre metoden, de flesta av dessa dock ny- tryck av äldre upplagor.
E n l i g t en av dr Margaret Clark utförd, f. n. opublicerad studie av r ä k n e e x e m p e l , b e r ä k n a d e av elever i folkskolor i K e n t år 1957, f ö r e k o m i skolorna endast den n y a engelska u p p s t ä l l n i n g e n . Ö v e r g å n g e n från Bridges' metod till den nyare metoden har s å - ledes inträffat mellan 1890 och 1950. Dock synes enligt vad engelska lärare och räkneboksförfattare muntligt uppgivit ut- vecklingen under f ö r s t a delen av denna tidsperiod g å t t t r ö g t . F ö r s t under 1920- och 1930-talen har den egentliga ö v e r g å n g e n ägt rum.
Utvecklingen i vissa andra engelsktalande länder
Ö v e r g å n g e n har i den ö v r i g a engelsktalande v ä r l d e n skett un- der samma tidrymd. O m k r i n g 1900 fanns troligen i Irland, Skott- land och ö v r i g a o m r å d e n eller länder, tillhörande the Common- wealth endast enstaka r ä k n e l ä r o r med den nya u p p s t ä l l n i n g e n . M e n under de n ä r m a s t följande decennierna ö v e r g i c k man efter hand till densamma i räknelärorna.
D e n svenska traditionen utpekar U S A som ursprungsland för
4J
den nyare engelska u p p s t ä l l n i n g e n , trots att de äldsta svenska författarna som a n v ä n t u p p s t ä l l n i n g a r med kvot ovanför divi- denden troligen h ä m t a t sina uppslag från annat håll. S å l e d e s kan F a l c k n ä p p e l i g e n ha influerats från E n g l a n d . E h l i n uppgav v i d muntligt samtal med mig v å r e n 1959, att han lärt sig den av honom i r ä k n c l ä r a n av år 1902 o m n ä m n d a metoden ( f ö r k o r t a d u p p s t ä l l n i n g med divisorn till h ö g e r ) av en lärare, vilken åter- kommit från en studieresa till H a m b u r g . Nordlunds u p p s t ä l l n i n g i L ä r o g å n g v i d den g r u n d l ä g g a n d e undervisningen i r ä k n i n g ,
Stockholm 1890, avviker från u p p s t ä l l n i n g a r som påträffats i engelska och amerikanska r ä k n e l ä r o r och erinrar n ä r m a s t om F a l c k s u p p s t ä l l n i n g ( g ) . Nordlund kan ha erhållit sin metod från kontinenten, men han k ä n d e v ä l till både tyska och engelska r ä k n e m e t o d e r , varför man inte kan utesluta m ö j l i g h e t e n av p å - verkan från E n g l a n d eller U S A .
Det äldsta k ä n d a beviset för metodens f ö r e k o m s t i A m e r i k a har j a g funnit i G . A . Wentworth's & T h . H i l l ' s A Practical Arithmetic (Boston 1 8 8 2 ) . V a r i f r å n dessa författare erhållit u p p s t ä l l n i n g e n är inte bekant.
E n annan viktig f ö r e s p r å k a r e för den nya divisionen är som n ä m n t D . E . Smith, vilken i flera arbeten mellan 1900 och 1920, bl. a. r ä k n e l ä r o r tillsammans med W e n t w o r t h , rekommenderat metoden.
Sannolikheten talar för att den nya l å n g a divisionen introdu- cerades tidigare i E n g l a n d ä n i U S A . B l . a. p å grund av intensiv propaganda av k ä n d a experter torde metoden ha t r ä n g t igenom i U S A p å mycket kort tid, troligen före 1920.
Sammanjattning
Att den n y a metoden utan större s v å r i g h e t e r t r ä n g d e igenom i E n g l a n d och U S A kan ha berott p å att den är ganska lik det äldre förfaringssättet. V a r e sig kvoten skrives till h ö g e r eller ovanför dividenden, a n v ä n d e r man i stort sett samma b e r ä k n i n g s - metod och terminologi.
Annorlunda förhåller det sig med de kontinentala länderna.
42
V i l l m a n ö v e r g å f r å n t r a d i t i o n e l l a u p p s t ä l l n i n g a r t i l l d e n n y a e n g e l s k a m e t o d e n , ä n d r a s i n t e e n d a s t l ä g e t f ö r k v o t e n u t a n o c k s å f ö r d i v i s o r n . D e s s a o m f l y t t n i n g a r m e d f ö r d e s s u t o m i b l a n d , att t i d i g a r e t i l l ä m p a d t e r m i n o l o g i m å s t e ö v e r g e s . A t t d ä r v i d u t l ä s a r ä k n i n g e n s o m »172 d i v i d e r a t m e d 19», v i l k e t ä r v a n l i g t p å E u r o - p a s k o n t i n e n t , ä r m i n d r e p r a k t i s k t ä n d e t i E n g l a n d v a n l i g a »19 i i / 2 > .
D e t f i n n s t y d l i g e n g o d a s k ä l t i l l att m e t o d e n s l o g i g e n o m i E n g l a n d o c h A m e r i k a , s å s n a r t s o m f ö r d e l a r n a u p p m ä r k s a m m a t s . M o t s t å n d e t m o t u p p s t ä l l n i n g e n k a n f ö r m o d a s h a v a r i t s t a r k a r e i T y s k l a n d o c h I t a l i e n , t r o t s att e n s t a k a f ö r f a t t a r e b e t y d l i g t t i d i - g a r e ä n i E n g l a n d o c h U S A f ö r o r d a d e d e n .
Citerad litteratur.
C a j o r i , F . A History of Mathcmatical Notations, 2 V b l s . 1928-29.
C a n t o r , M . Vorlcsungen iiber Gcschichtc der Mathematik, 4 V o l s . 1880-1908.
K a r p i n s k i , L . C . The History of Arithmetic. 1925.
L a r s é n . A . , M a g n e . O . & V a n a s , E . Utredning rörande enhetlig ter- minologi och enhetliga beteckuingssätt och uppställningstyper i den elementära matematikundervisningen. 1958.
S a n f o r d . V e r a . A Short History of Mathciuatics. 1929.
S m i t h , D . E . Rara Arithmetica. 1908.
History of Mathematics, 2 V o l s . 1923-25.
T r o p f k c , J . Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, 2 V o l s . 1902-03.
U n g e r , F . Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwicklung vom Ausgange des Mittclalters bis auf die Gcgen- zvart nach den Originalquellen bcarbeitet. 1888.
Y a n ä s . E . D i v i s i o n e n s h i s t o r i a i S v e r i g e . Lychnos 1954-55. J955-
