5 1 0 1 . Dagen före den sista i hvarje termin inställer Rektor undervisningen i skolan och tillkännagifver för lärarne och u n g d o m e n , på h v i l k e n t i d följande dagen de skola i lärosalen församlas t i l l den högtidlighet, hvarmed terminen afslutas.
§ 102. V i d terminssafsliitning är en af Direktionens ledamöter ordförande och leder förrättningen efterföljan- de o r d n i n g :
1. Sång och b ö n ;
2. Ny klassifikation a f lärjungarna samt deras för t e r m i - nen erhållna betyg uppläsas af R e k t o r , l i v a r v i d lär- jungarne-intaga sina platser, hvar och en i den o r d - n i n g han b l i f v i t u p p r o p a d ;
3. Ordföranden tillkännagifver, om något af särskild vigt och betydelse för skolan under terminens l o p p sig t i l l d r a g i t , samt hemförlofvar ungdomen.
4. Bön och sång.
A. EiaMslr&in.
G e o m e t r i f o r n j b e g y i m a r e , a f P . IV. E k m a n , L e k t o r I M a t e m a t i k e n v i d W e s j ö
G y m n a s i u m .
S t o c k h o l m , Hörbergska B o k t r y c k e r i e t , 1 8 4 5 .
I företalet t i l l detta a r b e t e y t t r a r författaren: " M a t e m a t i k e n s t u d e r a s i a l l m ä n h e t i c k e m e d någon s y n n e r l i g framgång i v a r a s k o l o r M a n s k y l l e r derpå, att d e n är ett ä m n e , som ej a l l a k u n n a lära, u t a n b l o t t de f å , som äro u t r u s t a d e m e d eget a n l a g o c h s i n n e derför. V i s s e r l i g e n förutsätter d e n n a , l i k s o m öfriga v e t e n s k a p e r , för möjligheten a f e t t d j u p a r e s t u d i u m e n särskild f a l l e n h e t . M e n att lära sig d e första g r u n d e r n a d e r a f , så v i d t de k u n n a b l i f v a föremål för e l e m e n t a r - u n d e r v i s n i n g e n , d e r t i l l h a r h v a r och e n förmåga i s a m m a m å n , som h a n h a r förmåga a t t i n h e m t a a n d r a k u n s k a p s ä m n e n ; o c h h v a d g e o m e t r i e n i s y n n e r h e t beträffar, så är d e n , rätt b e h a n d l a d , e n i b l a n d de s a k e r , s o m gossen först o c h lättast k a n fatta o c h utöfva. O m förhållandet v i s a r sig a n n o r l u n d a , så l i g g e r felet ej i ämnets b e s k a f f e n h e t , u t a n i behandlingssättet, som är för a b s t r a k t och i c k e afpassadt efter n y b e g y n n a r e n s fattningsförmåga. M a n k a n i c k e f o r d r a a f honom s a m m a skärpa och n o g g r a n n h e t i tänkande o c h b e v i s , s o m a f e n u t b i l d a d g e o m e t e r , o c h derföre p a s s a r i c k e d e n r e n t v e - t e n s k a p l i g a b e h a n d l i n g e n , sådan d e n förekommer t. ex. i E u c l i d i s
Elementa, för i l e n första u n d e r v i s n i n g e n . G e o m e t r i e n måste f r a m - ställas för gossen i början på ett m e r a åskådligt och p r a k t i s k t s a t t , o m l i a n s k a l l få i n t r e s s e lör d e n s a m m a ocli göra f r a m s t e g d u r i . "
"Början bör göras m e d l i n e a i t e c k n i n g på f r i h a n d . Lärjungen v i n n e r d e r i g e n o m e n n y I tig färdighet ocli k o m m e r så småningom u n d e r f u n d m e d de g e o m e t r i s k a s t o r h e t e r n a s b e s k a f f e n h e t o c h e g e n s k a p e r , u n d e r d e t a t t h a n f r a m b r i n g a r , b e t r a k t a r oeh j e m - för d e m . D e f i n i t i o n e r n a fattas sedan u t a n svårighet."
"Derpå l a t e m a n lärjungen i en särskild förberedande k u r s taga e n öfversigt a f g e o m e t r i e n s v i g t i g a s t e s a n n i n g a r , lära sättet a t t m e d t i l l h j e l p a f i n s t r u m e n t e t - verkställa e n k l a r e k o n s t r u k t i o - n e r , a t t mäta och uträkna figurers s t o r l e k s a m t göra tillämpning häraf på fältet. Här må s a t s e r n a framställas u t a n bevis. M e n i n - gen är e j derföre, att de s k o l a a n t a g a s på god t r o . M a n k a n k o m m a t i l l öfvei tygelse o m de g e o m e t r i s k a s a t s e r n a s s a n n i n g både g e n o m o m e d e l b a r åskådning och l o g i s k b e v i s n i n g . Begge i före- n i n g gifva d e n högsta g r a d e n a f i n s i g t ; m e n d e n v i s s h e t , som g e - n o m åskådningen e n s a m v i n n e s , är f u l l t tillfredsställande f ö r n y - b e g y n n a r e n . D e r f ö r e k a n m a n g e r n a låta d e l o g i s k a b e v i s e n v a r a t i l l s v i d a r e . D e behöfvas i c k e för att öfvertyga lärjungen o m s a n - n i n g e n a f s a t s e r n a . För h o n o m , som ännu står på åskådningens s t å n d p u n k t , gäller ögonens vittnesbörd m e r än d e i n m e s t b i n d a n d e s l u t l e d n i n g , o c h är h a n i c k e r e d a n förut g e n o m åskådning öf- v e r t y g a d o m satsens s a n n i n g , så b l i r h a n d e t i c k e h e l l e r g e n o m b e v i s e t , som s n a r a r e förvirrar h o n o m , t y h a n s förstånd år i c k e n o g u t b i l d a d t , för a t t k u n n a följa dess gång e l l e r i n s e dess b e v i - s a n d e k r a f t . H a n f a t t a r möjligtvis de o m e d e l h a r l i g e n på h v a r - a n d r a följande s a t s e r n a s b e r o e n d e a f h v a r a n d r a , m e n k a i i i c k e öf- v e r s e o c h sammanhålla h e l a b e v i s n i n g s k e d j a n ifrån början t i l l s l u t e l l e r k l a r t i n s e , h u r u d e n s i s t a slutföljden sammanhänger m e d o c h är g r u n d a d på d e n första förutsättningen. D e r f ö r e k u n n a i c k e h e l l e r dessa b e v i s gagna såsom tankeöfningar för d e n spädare å l d e r n , t y när t a n k e n i c k e k a n följa m e d , så s t a d n a r h a n , o c h m i n n e t e n s a m t tages i anspråk. G e o m e t r i e n ger n y - börjaren i a l l a f a l l tillräcklig gfning för t a n k e n ; o c h j e m t e t a n - k e n o f v a r d e n äfven h a n d l a g e t , ö g o n m å t t e t , iaktlagelseförmågan och i n b i l l n i n g s k r a f t e n . M a n lär sig a t t m e d uppmärksamhet b e - t r a k t a d e y t t r e t i n g e n , u p p f a t t t a d e r a s f o r m e r och k ä n n e t e c k e n , upptäcka l i k h e t e r o c h o l i k h e t e r s a m t m e d n o g g r a n n h e t oeh t y d - l i g h e t u t t r y c k a i o r d , h v a d m a n f ö r n u m m i t . "
" T i l l d e n n a förberedande k u r s s k u l l e u n d e r v i s n i n g e n k o m m a a t t inskränka s i g för d e m , som t i d i g a r e utgå f r l n s k o l o r n a t i l l p r a k t i s k a y r k e n . S e d a n de genomgått d e n , h a f v a de också i n - h e m t a t h v a d de e g e n t l i g e n behöfva, en öfversigt a f g e o m e t r i e n s innehåll j e m t e a n v i s n i n g t i l l dess användning. D e å t e r , s o m f o r t -
sätta s t u d i e r n a , k u n n a efter e n sädan förberedelse m e d framgång företaga läsningen a f e n m e r a v e t e n s k a p l i g g e o m e t r i , i h v i l k e n h u f v u d s a k l i g a v i g t e n lägges på e n s y s t e m a t i s k u t v e c k l i n g o c h g r u n d l i g b e v i s n i n g a f s a t s e r n a , o c h sålunda höja d e n r e d a n för- värfva åskådliga k u n s k a p e n t i l l v e t e n s k a p l i g i n s i g t . "
A t t v i d a l l u n d e r v i s n i n g , så vidt. möjligt ä r , utgå från åskåd- n i n g e n , är e n p r i n c i p , som legat t i l l g r u n d för h e l a d e n u t b i l d - n i n g , m e t o d i k e n i n y a r e l i d e r v u n n i t , och som för närvarande h y l l a s a f E u r o p a s utmärktaste pedagoger såsom e t t a x i o m ; m e n u t i i n t e t läroämne finner d e n n a p r i n c i n en v i g t i g a r e o c h m e r a f r u k t b ä r a n d e tillämpning än i g e o m e t r i e n . E m e d l e r t i d står d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n i vårt kära fädernesland ä n n u i a l l - mänhet på så r e n t E u c l i d e i s k ståndpunkt, att det helt säkert a f m å n - gen anses för nära n o g h ö g m å l s b r o t t , om någon vågar föreslå e n a n n a n metod för d e n n a u n d e r v i s n i n g s g r e n , än d e n som E u c l i d e s följt v i d s i n framställning a f g e o m e t r i e n s e l e m e n t e r . M å n g e n h y l l a r ännu d e n för längre t i d s e d a n a f e n b e k a n t m a t e m a t i c t i s (Kästnei"°) u t t a l a d e åsigten o m u n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i e n , a t t
" j u m e r m a n aflägsnar sig från E u c l i d e s , desto sämre är det b e - v ä n d t m e d d e n n a u n d e r v i s n i n g . " M e d a l l a k t n i n g både för E u - c l i d e s o c h d e m , som h y s a ett så oinskränkt förtroende t i l l h a n s 'Elementer såsom lärobok i g e o m e t r i e n , måste m a n likväl f ö r -
k a s t a d e n nyssnämnda åsigten, h v i l k e n , i s y n n e r h e t då det är fråga o m d e n aldraförsta u n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i e n , i c k e bål- l e r s t å n d , o m d e n pröfvas u r pedagogisk s y n p u n k t . D e t h a r skett, i d e t j , ) f a l l , såsom i många a n d r a , a t t m a n ej tillräckligen sk.iljt m e l l a n v e t e n s k a p o c h u n d e r v i s n i n g , m e l l a n e n v e t e n s k a p l i g l ä r o - b o k och e n s k o l b o k ; m e n detta går i c k e a n . M a n k a n v a r a e n utmärkt v e t e n s k a p s m a n och d e t oaktadt. en g a n s k a slät pedagog;
e n metod i framställningen a f något läroämne k a n i v e t e n s k a p - ligt, hänseende v a r a förträfflig, m e n ändock ej duga för u n d e r v i s - n i n g e n ; en god v e t e n s k a p l i g lärobok k a n således v a r a e n dålig s k o l b o k , och så är förhållandet m e d ~E.\\c\\Aes Etementer. Säkerligen v o r o e j h e l l e r dessa ämnade a t t , såsom i s e d n a r e t i d e r s k e t t , b e - gagnas t i l l e n lärobok för b a r n ; de s a m i n a n s k r e f v o s h e l t säkert b l o t t i d e n a k t o c h m e n i n g a t t gifva e n strängt v e t e n s k a p l i g s a m m a n f a t t n i n g a f g e o m e t r i e n s e l e m e n t e r , o c h u t a n a t t något a f - s e e n d e l i v a r k e n på pedagogiska p r i n c i p e r e l l e r p r a k t i s k användning i r i n g a s t e mån fick utöfva något i n f l y t a n d e på framställningen.
H v a d r e s u l t a t e t är a f d e r a s användande såsom lärobok u t i s k o - l o r n a , d e t v e t n o g h v a r j e n y b e g y n n a r e , s o m , fastän m e d god faltningsgåfva för öfrigt, likväl a n s e r E u c l i d e s för s k o l a n s värsta b u s e ; som i s i t t a n l e t e s s v e t t a r b e t a r m e d dessa i s i g s j e l f v a så för- träflliga b e v i s , m e n h v i l k a s b e v i s a n d e k r a f t o c h i s y n n e r h e t b e - höflighet h a n oftast i c k e i n s e r , t i l l dess h a n h e l t och hållet för-
•
l o r a r o r s i g l e s j e l f v a innehållet a f h v a d h a n läser; s o m t i l l s l u t i c k e v e l a n n a t råd, än att inprägla a l l t s a m m a n s , satser o c h b e - v i s , i m i n n e t , för a t t o m s i d e r möjligen l e m n a s k o l a n , u t a n a t t a f s i n a E u c l i d e i s k a mödor medföra någon d e n r i n g a s t e v i n s t för s i n b i l d n i n g e l l e r för d e t p r a k t i s k a l i f v e t s bclidf.
M a n h a r a t t b e t r a k t a d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n u r f y r a o l i k a s y n p u n k t e r , a l l t e f t e r de o l i k a ändamål m a n m e d d e n s a m - ma åsyftar. F u r det första k a n i n a n m e d d e n n a u n d e r v i s n i n g afse b l o t t a t a n k e n s öfning o c h således a n s e g e o m e t r i e n såsom i n g e n - t i n g a n n a t än e n tillämpad l o g i k . L ä r o b o k e n Ixdiöfver u r d e n n a s y n p u n k t e n d a s t u p p f y l l a v i l k o r e t a f strängt l o g i s k k o n s e q v e n s , o c h i detta hänseende ä r , m e d några få o b s e r v a n d a , d e n E u c l i d e i s k a läroboken oöfvei trufflig. — M a n k a n , för d e t a n d r a , afse a t t åt lärjungen b i b r i n g a e n nödvändig i n s i g t u t i e l c m e n t a r - g e o m e t r i e n , såsom grundläggning för e t t f r a m t i d a v e t e n s k a p l i g t s t u d i u m a f m a t e m a t i k e n , och då måste läroboken b e d ö m a s , e j blott u r l o g i s k s y n p u n k t , u t a n äfven m e d a f s e e n d e på d e l a i l - i n n e b å l l o c h v e t e n - s k a p l i g uppställning af d e t h e l a . I detta hänseende k u n n a många välgrundade anmärkningar göras m o t E u c l i d e s ' Elcmenter, de d e r v i s s e r l i g e n i c k e k u n n a i vår t i d u r v e t e n s k a p l i g s y n p u n k t anses såsom någon tillfyllestgörande lärobok i e l e m e n t a r - g e o m e t r i e n . För det t r e d j e k a n m a n afse d e n p r a k t i s k a n y t t a n a f g e o m e t r i e n ; o c h i detta hänseende är E u c l i d e s ' lärobok a l l d e l e s o d u g l i g . V a r e d e t nog t i l l b e v i s , a t t m a n k a n lära sig d c sex b ö c k e r n a , u l a n a t t förstå, h u r u areal-innehållet a f d e n e n k l a s t e p l a n a figur s k a l l fin- n a s , u t a n a l t k u n n a göra mänga de a l d r a v i g t i g a s t e k o n s t r u k t i o n e r i p l a n e t , o c h a t t i de flesta p r o b l e m e r , som i d e n nämnde k u r - s e n förkomma., k o n s t r u k t i o n s - m e t o d e n oftast är högst o p r a k t i s k . M å m a n pröfva a b i l u r i från h v i l k e t läroverk s o m h e l d s t , d e r ej läraren t i l l a g t något b r e d v i d E u c l i d e s ' Elementar, o c h m a n s k a l l i allmänhet f i n n a d e n största o s k i c k l i g h e t i a l l tillämpning a f g e o m e t r i e n , äfven i de a l d r a e n k l a s t e f a l l . — S l u t l i g e n , för d e t f j e r d e , k a n m a n m e d d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n åsyfta a t t i a l l m ä n h e t väcka o c h b i l d a d e t m a t e m a t i s k a s i n n e t . V i s k o l a ett ögonblick uppehålla oss v i d d e n n a p u n k t , s o m e j b l o t t i c k e U r , s o m sig bör, a f s e d d i E u c l i d e s ' Elementer, u t a n i allmänhet nära n o g a l l d e l e s förbisedd v i d d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n i våra s k o l o r .
M e d m a t e m a t i s k t s i n n e förstå v i s i n n e t för d e t r e g e l b u n d n a , för det s y m m e t r i s k a , för p r o p o r t i o n ; o c h v i k a l l a tlet för m a t e - m a t i s k t s i n n e , e m e d a n m a t e m a t i k e n , såsom e n v e t e n s k a p o m s t o r h e t e r s förhållanden i a n s e e n d e t i l l f o r m och s t o r l e k , v ä - s e n d t l i g e n måste k u n n a t j e n a att u t v e c k l a d e t s a m m a . D e t t a m a t e m a t i s k a s i n n e , e h u r u väsendlligt för m a t e m a t i k e n s s t u d i u m , får likväl i c k e förblandas m e d m a t e m a t i s k t a n l a g , som e g e n t l i g e n
it*
o c h h t i f v u d s a k l i g e n består u t i el t s i n n e för d e n a b s t r a k t a s a n n i n - gen såsom sådan. M a n s k u l l e t i l l o c h m e d k u n n a v a r a e n g a n - s k a god m a t c m a t i c u s , u t a n a l t hafva d e t m a l c m a t i s k a s i n n e t , i d e n bemärkelse v i tagit d e t , i någon högre g r a d u t v e c k l a d t ; o c h tvärtom t r o v i , att mången k a n äga ett g a n s k a m y c k e t u t v e c k - l a d t m a t e m a t i s k t s i n n e , u t a n a t t derför ens hafva särdeles a n l a g för m a t e m a t i k . S a k e n ä r , a t t det m a t e m a t i s k a a n l a g e t förnäm- l i g a s t l i g g e r u t i förståndet o c h derför framför a l l t f o r d r a r b e v i s , och tillfrcdsställes a f s j e l f v a bevisningen i o c h l u r s i g , d e t m a t e - m a t i s k a s i n n e t d e r e m o t h v i l a r på åskådning o c h känsla o c h t i l l - fredsställes a f s j e l f v a saken i och för s i g ; och m å n g e n , som k l a r t ser och rätt k ä n n e r , h v a d r e g e l b u n d e n h e t , h v a d s y m m e t r i , h v a d p r o p o r t i o n v i l l säga, känner — k a n s k e just derför — i c k e e n s b e h o f a f b e v i s n i n g , u n d e r d e t a n d r a , som e n d a s t l i t a på b e v i s - n i n g e n , försumma a l t äfven genom åskådningen o c h känslan u p p - fatta de m a t e m a t i s k a s a n n i n g a r n a . — M a t e m a t i s k t a n l a g f i n n e s endast hos få m e n n i s k o r , åtminstone i någon högre g r a d ; m e n m a t e m a t i s k t s i n n e finnes hos a l l a o c h s k u l l e v i s s e r l i g e n , g e n o m e n ändamålsenlig u p p f o s t r a n , hos a l l a k u n n a u t v e c k l a s t i l l e n större e l l e r m i n d r e g r a d af f u l l k o m l i g h e t . Så u t v e c k l a d t g e s t a l - t a r d e t sig t i l l e t t s i n n e f ö r o r d n i n g , h a r m o n i , s k ö n h e t , o c h b l i f - v e r sålunda i c k e a l l e n a s t e n g r u n d v a l för e s t e t i s k t s i n n e , u l a n m å s t e , såsom v i t r o , i allmänhet ganska m y c k e t bidraga att gifva ät m e n n i s k a n s h e l a i n r e väsende e n n ö d v ä n d i g , o m v i så få säga, hållning *). . .
A l l a dessa särskilda m o m e n t e r a f d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s - n i n g e n s väsende måste tagas i b e t r a k t a n d e v i d o r d n a n d e t a f u n - d e r v i s n i n g e n . Är d e t n u först fråga o m geometriens n y t t a i r e n t l o g i s k t hänseende, så är k l a r t , a t t u r d e n n a s y n p u n k t d e n geo- m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n i c k e m e d någon framgång k a n företagas förr än lärjungen h u n n i t en sådan å l d e r , a t t h a n börjar känna b e h o f a f e n l o g i s k b e v i s n i n g o c h lätt förmåga a t t fatta e n sådan.
D e t t a är i allmänhet i c k e förhållandet u n d e r d e n första s k o l - åldren, och det v o r e derför v i s s e r l i g e n förspild möda att u n d e r d e n n a period låta lärjungen läsa en sådan lärobok som t. e x . E u - c l i d e s " Elementer. O c h i h v i l k e n s e d n a r e s k o l - p e r i o d d e n n a strän- gare u n d e r v i s n i n g än må bur j a , så är k l a r t , a t t d e n afsedda n y t - t a n d e r m e d måste b l i f v a så m y c k e t s t ö r r e , o m lärjungen r e d a n förut b a r någon k u n s k a p i sjelfva ä m n e t , så a t t i c k e a l l t , både sak o c h b e v i s n i n g , är h o n o m n y t t ; ty följden d e r a f är o f t a s t , a t t b e g g e d e r a b l i f v a i l l a förstådda. I afseende på d e t a n d r a m o m e n -
• ) Almqvist har på ett snillrikt sätt utvecklat ofvanstäende idéer uti före- talet till sin Linearteckning, som dessutom innehåller många andra för- träffliga s a k e r i pedagogiskt hänseende och till hvilket vi derför här
>nse lör en pligt att häuvisa.
tet a f den g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n , e l l e r det r e n t m a l e m a t i s k t - v e t e n s k a p l i g a , så k a n väl d e t t a , i sträng m e n i n g i c k e k o m m a i fråga a n n a t än i s a m b a n d m e d det föregående, och således e j h e l l e r göra sig gällande i s k o l a n förr a n v i d e n något s e d n a r e p e r i o d ; likväl är i n g e n t i n g som h i n d r a r , att en god d e l a f d e t v e t e n s k a p l i g a innehållet k a n m e d fördel m e d d e l a s u t i en t i d i g a r e p e r i o d , h v i l k e t dä endast k a n s k e på åskådningens o c h den p r a k - t i s k a e r f a r e n h e t e n s väg. M a n må i c k e t r o , att d e n tillhörliga v e - t e n s k a p l i g a strängheten d e r i g e n o m något l i d e r ; t y det måste d o c k o m s i d e r erkännas såsom e n g r u n d p r i n c i p för a l l u n d e r v i s n i n g , att a l d r i g taga lärjungen m e r a i anspråk, m e n ej h e l l e r någonsin m i n d r e , än h a n s ålder o c h i n d i v i d u e l a a n l a g medgifva. Står så- l e d e s lärjungen på åskådningens s t å n d p u n k t , så må m a n a n l i t a åskådningskraften; h a r h a n h u n n i t t i l l slutförmågans ståndpunkt, sä må m a n a n l i t a s l u t k r a f t e n . I a k t t a g e r m a n b l o l t d e l t a , så gör m a n väl. M a n må i c k e f o r d r a h v a r k e n för m y c k e l e l l e r för l i t e t ; beggedera s k a d a r . Lärjungens själ k a n l i k n a s v i d en fjäder , s o m , i f a l l i l e n för m y c k e t l a s t a s , b r i s t e r , o c h , i f a l l för l i t e t , s l a p p a s .
U r begge d e anförda s y n p u n k t e r n a se v i således, a t t g e o m e - t r i e n s s t u d i u m både k a n o c h bör inträda i s k o l a n u t i e n t i d i g a r e p e r i o d , än d e n strängt v e t e n s k a p l i g a m e t o d e n k a n börja a t t a n - vändas. Så m y c k e t nödvändigare v i s a r sig d e t t a , när v i b e t r a k t a de t v e n n e återstående m o m e n t e r n a a f den g e o m e t r i s k a u n d e r v i s - n i n g e n , de båda n ä m l i g e n , som afse m e d d e l a n d e t a f p r a k t i s k förmåga och u t v e c k l i n g a f d e t m a t e m a t i s k a sinnet. O c h e h u r u v i g t i g a v i böra a n s e d e t v e n n e förstnämnda m o m e n t e r n a , måste vi likväl anse de t v e n n e s e d n a r e ännu v i g t i g a r e . Få äro n ä m l i - gen d e , som k u n n a erhålla en högre v e t e n s k a p l i g b i l d n i n g i a l l - m ä n h e t , ännu färre d e , som s p e c i e l t egna sig åt m a t e m a t i k e n s s t u d i u m ; m e n för a l l a u t a n u n d a n t a g , åt l i v a d y r k e de än egna s i g , är d e t a f s t o r v i g t a t t i n h e m t a något l i t e t a f g e o m e t r i e n s p r a k t i s k a a n v ä n d n i n g , för a l l a är d e t a f v i g t , a t t h a n d , ö g a , i u b i l l n i n g s k r a f t b l i f v a ö f v a d c , a t t det m a t e m a t i s k a s i n n e t b l i r u t b i l d a d t . Såsom förhållandena n u ä r o , utgå e n stor mängd lär- j u n g a r u r s k o l o r n a före e l l e r s t r a x t efter d e n å l d e r , då d e n stränga v e t e n s k a p l i g a b e h a n d l i n g e n a f g e o m e t r i e n k a n v i d t a g a , o c h l e m n a s k o l a n u l a n a t t h a f v a erhållit någon d e n r i n g a - ste a n s t r y k n i n g a f g e o m e t r i s k b i l d n i n g . A t t det l a är i hög g r a d k l a n d e r v ä r d t , måste h v a r o c h e n e r k ä n n a , s o m a l d r i g så l i t e t forstår a t t u p p s k a t t a g e o m e t r i e n s v i g t såsom b i l d n i n g s m e d e l .
V i d h v i l k e n ålder bör då åskådningsundervisningen i geo- m e t r i e n b ö r j a ? V i tro i c k e , a t t m a n d e r m e d k a n börja för t i - digt. V i t r o , a t t d e n n a u n d e r v i s n i n g k u n d e t i l l - en rätt b e t y d l i g d e l v a r a u n d a n g j o r d , e l l e r åtminstone förberedd, i h e m m e t , i n - n a n gossen ännu i n s a t t e s i s k o l a n . D e t finnes t u s e n d e m e d e l att
101)
g i f v a det späda b a r n e t väckelser åt detta håll, a l t u n d e r dess l e k a r o c h små tidsfördrif, s a m t m e d b e f o r d r a n d e a f o m v e x l i n g u t i d e s s a , låta b a r n e t , sig s j e l f t o m e d v e t e t , få begrepp o m g e o m e - t r i s k a f o r m e r , om talförhållandet!, om g e o m e t r i s k a storbetslöihål- l a n d e n . PF.STALOZZI b a r g i f v i t idéer d c r t i l l : ocli om m a n e n gång s k a l l k o m m a derhäu a t t anse d e t i c k e v a r a n o g gjordt för en förnuftig v a r e l s e s u p p f o s t r a n , u n d e r sex ä s j u år a f dess existens, att e f t e r förmåga föda o c h tvätta k r o p p e n — om någonsin e n r a t i o n e l u p p - f o s t r a n i h e m m e t s k a l l göra sig gällande; så s k a l l u t a n t v i f v e l d e n m a t e m a t i s k a åskådningsundervisningen d e r v i d spola e n h u f - v u d s a k l i g r o l . 1 s k o l a n k a n d e n n a u n d e r v i s n i n g i c k e börja för b i t t i d a . A t t u p p s k j u t a d e n för l ä n g e , a t t , än m e r , såsom v a n - l i g e n hos oss är förhållandet, a l l d e l e s försumma d e n , är a t t för- s u m m a ett a f d e vigtigaste h j e l p m e d e l för m e n n i s k a u s h a r m o n i s k a u t v e c k l i n g .
D e n här anmälda läroboken a f H e r r L e k t o r E k m a n är ämnad a t t utgöra e n h a n d l e d n i n g v i d den första g e o m e t r i s k a u n d e r v i s - n i n g e n i s k o l a n e n l i g t d e här ofvan framställda g r u n d s a t s e r . A r b e t e t är i n d e l a d t i sex böcker, a f h v i l k a de t v e n n e sista h a n d l a o m mätningar på fältet o c h om figurers a f t e c k n i n g i förminskad s k a l a . V i skola v i d d e l t a tillfälle i c k e uppehålla oss v i d dessa sistnämnda, e m e d a n v i e n a n n a n gång t o r d e få a n l e d n i n g att t a l a o m g e o m e t r i e n s p r a k t i s k a tillämpning såsom föremål för u n d e r - v i s n i n g i e l e m e n t a r s k o l a n , och v i l j a blott taga i b e t r a k t a n d e i n - l e d n i n g e n s a m t de f y r a första böckerna, a f h v i l k a d e n första h a n d l a r om räta l i n i e r o c h rätliniga v i n k l a r samt d e r a s m å t t , d e n a n d r a o c h t r e d j e om rätliga figurer och c i r k e l n samt y t m å t t , d e n f j e r d e om s o l i d a figurer och kubikmått. H v a r j e bok är fördelad i t v e n n e h u f v u d a f d e l n i n g a r , d e n e n a u p p t a g a n d e t e o r e m e r , d e n a n d r a p r o b l e m e r , och föregås a f behöfliga d e f i n i t i o n e r och a x i o m e r . I afseende på i n n e h å l l e t , förekommer ungefär d e t s a m m a s o m i de f y r a första böckerna a f Euclides' Elementer (några p r o p o s i t i o n e r äro m e d skäl u t s l u t u a , a n d r a t i l l a g d a ) m e d tillägg a f h v a d som rör l i n i e n , v i n k l a r s , y t o r s o c h r y m d e r s mått. Författaren h a r m e d m y c k e n k o r t h e t o c h p r e c i s i o n i språket framställt s a t s e r n a o c h d e r a s e x p l i k a t i o n ; a n o r d n i n g e n a f d e t h e l a öfverensstämmer tillbörliglvis med s j e l f v a n a t u r e n a f de o l i k a g e o m e t r i s k a s t o r - h e t e r n a , såsom sjelfva den anförda g e n e r e l a innehållsförtecknin- gen gifvev tillkänna. B o k e n b ö r , m e d lärarens v e r k s a m m a biträ- d e , k u n n a m e d fördel begegnas såsom lärobok i s k o l o r n a . S e här, h v a d författaren s j e l f , på ett m e d åskådningsprincipen f u l l k o m l i g t Qfverensstämmande sätt, säger i afseende på dess användande: " d e t v o r e a t t m y c k e t missförstå a l s i g t e n , o m de ( s a t s e r n a ) förelades l ä r - j u n g e n t i l l u t a n läsning u t a n tomtgången förklaring. D e n n e bör i c k e blott, hafva k l a r t fatlat s a n n i n g a r n a , utan äfven, så vidt ske k a n ,
s j e l f upptäckt d e m . T i i l d e n u n d a n uppgifver läraren t i l l e n bör- j a n b l o t t v i l k o r e n o c h förutsättningarna o c h låter lärjungen på f r i h a n d t e c k n a figurerna i öfverensstämnielse d e r m e d , h v a r e f l e r h a n g e n o m frågor l e d e r d e n s e d n a r e a t t upptäcka h v a d som följer a f d e g j o r d a förutsättningarna."
D e a n m ä r k n i n g a r , v i anse oss böra framställa, angå först o c h främst s j e l f v a i n l e d n i n g e n , genom h v i l k e n lärjungen aldraförst s k a l l införas u t i g e o m e t r i e n s s t u d i u m . Författaren börjar m e d a t t d e - f i n i e r a g e o m e t r i , öfvergår sedan t i l l d i f i n i t i o n a f l i n i e , y l a , k r o p p , s a m t v i d a r e , e f t e r att hafva framställt s k i l n a d e n m e l l a n rät o c h k r o k i g l i n i e , p l a n och bugtig y t a , t i l l d e f i n i t i o n a f v i n k e l , r ä t - l i n i g o c h k r o k l i n i g , o c h k o m m e r så t i l l d e f i n i t i o n a f figur, p l a n o c h s o l i d , o. s. v. E n l i g t vår t a n k a föreskrifver åskådnings- p r i n c i p e n a t t v i d u n d e r v i s n i n g e n följa en a l l d e l e s motsatt gång.
M a n bör börja m e d a t t för lärjungen t i l l åskådning framställa solida figurer, såsom i s y n n e r h e t påtagliga o c h i ögonen f a l l a n d e , sedan vända hans uppmärksamhet på y t - f i g u r e r n a , a f h v i l k a d e begränsas, o c b l i n j e r n a , a f h v i l k a äter y t - f i g u r e r n a begränsas, s a m t u t u r dessa åskådningar o m s i d e r söka u t v e c k l a de a b s t r a c t a b e - g r e p p e n k r o p p ( r y m d ) , y t a , o d e t e r i n i n e r a d l i n i a . D e f i n i t i o n på g e o m e t r i k o m m e r t i l l s l u t . V i d a l l t detta är nödigt a t t använda s o l i d a figurer a f mångahanda s l a g , både i a n s e e n d e t i l l f o r m , s t o r l e k , m a t e r i a o c h färg, för att genast ifrån början vänja lär- j u n g e n v i d a t t gifva a k t på d c t v e n n e h u f v u d m o m e n t e r n a u t i g e o m e t r i e n s s t u d i u m , f o r m o c h s t o r l e k , o c h för a t t lära h o n o m , a t t g e o m e t r i e n endast, såsom Författarens d e f i n i t i o n l y d e r , är
" e n lära om s t o r h e t e r m e d afseende på deras utsträckning," m e n i c k e h a r a t t befatta s i g m e d a n d r a e g e n s k a p e r hos k r o p p a r n a . På d e t t a sätt väcker m a n hos lärjungen lätt n o g b e g r e p p e t o m
r u m m e t a b s t r a k t laget o c h o m g e o m e t r i e n såsom rum-lära.
E n a n n a n anmärkning gäller b o k e n s uppställning i d e t h e l a , h v i l k e n s y n e s oss v a r a alltför d o g m a t i s k . D e t k a n väl t y c k a s , a t t d å , e n l i g t s j e l f v a p l a n e n för l ä r o b o k e n , b e v i s n i n g måste v a r a åsidosatt, framställningssättet i c k e g e r n a k a n v a r a a n n a t än d o g - m a t i s k t ; m e n v i bedja att få taga o r d e t i e n något o l i k a b e m ä r - k e l s e mot d e n v a n l i g a , och gå att förklara h v a d v i d e r m e d m e n a . U t i e n lärobok a f ilen s y f t n i n g , som d e n ifrågavarande, bebtifva v i s s e r l i g e n s a t s e r n a i c k e följa h v a r a n d r a u l i någon strängt logisk f ö l j d ; likväl böra de derföre i c k e s a k n a a l l t i n r e s a m b a n d . D e t måste, o m u n d e r v i s n i n g e n s k a l l erhålla k a r a k t e r e n a f a t t v a r a g e n e t i s k , tvärtom finnas ett i visst hänseende ännu i n t i m a r e s a m - b a n d m e l l a n de på h v a r a n n a n följande s a t s e r n a , än i d e n strängt l o g i s k a framställningsmetoden, i det. de böra v a r a så o r d n a d e , att h v a r j e följande på ett e n k e l t o c h n a t u r l i g t sätt, o m e j b e g r u n - d a s , d o c k föranledes a f d e n föregående; och detta k a n , e n l i g t vårt
förmenande, m e d fördel låta sig göra på m e r än ett sätt. Då v i n u säga, a t t H e r r L e k t o r E k m a n s l ä r o b o k s y n e s oss alltför d o g m a t i s k , så m e n a v i d e r m e d , a t t d e t i n r e g e n e t i s k a s a m b a n d m e l l a n s a t s e r n a , o m Ii v i l k e t vi t a l a t , i c k e a l l t i d u t i den äger r u m , u t a n att de särskilda s a t s e r n a stå allför e n s t a k a ; o c h v i tvifla på, a t t u r d e n s y n p u n k t , v i här b e t r a k t a s a k e n , sammanförandet a f t e o r e m e r n a pä ett o c h p r o h l e m e r n a på e t t a n n a t ställe låter försvara sig. D e t t a s e d n a r e k a n möjligen hafva s i n n y t t a m e d sig för att underlätta m i n - n e t a f d e t h e l a ; m e n v i t r o , att författaren v i d v a l e t a f e n sådan a n - o r d n i n g förbisett m y c k e t a f h v a d som gör en lärobok begärlig för l ä r j u n g e n , och m y c k e t a f d e t h e l s o s a m m a i n f l y t a n d e , s o m e n s a n n t g e n e t i s k o r d n i n g u t i u n d e r v i s n i n g e n a l d r i g undgår a t t utöfva på lärjungens b i l d n i n g .
Ännu e n g e n e r e l anmärkning s k o l a v i tillåta oss. E h u r u d e t v i d d e n första u n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i e n i c k e är fråga om stränga b e v i s , u t a n endast o m en k l a r åskådlig i n s i g t u t i s a t s e r n a s s a n - n i n g , så s y n e s d e r e m o t angeläget a l t , så v i d t m ö j l i g t , i c k e f r a m - ställa a n d r a satser än sådana, h v i l k a s s a n n i n g , om de i g e n e t i s k t s a m m a n h a n g o r d n a s , lätteligen hör a f lärjungen k u n n a inses.
A t t b r y t a häremot och g i f v a svårfattliga satser b l o t t såsom m i n - n e s l e x a , ä r , e n l i g t vår t a n k a , ett fel v i d u n d e r v i s n i n g e n ; d e r - i g e n o m v i n n e s i n g e n t i n g för d e t matarna t i s k a s i n n e t s b i l d a n d e . D e t ä r , e n l i g t vår t a n k a , b ä t t r e , att göra d e n n a första åskåd- n i n g s k u r s något ofullständig, än a t t begå det nyssnämnda f e l e t . U r d e n n a s y n p u n k t s k u l l e v i u r d e n för händer v a r a n d e läro- b o k e n v i l j a u t e s l u t a ett och a n n a t teorem o c h p r o b l e m , s o m , e h u r u i sig s j e l f t v i g t i g t , l i k v ä l , t i l l följd a f s i n svårfattlighet, öfverskrider åskådningsundervisningens gränsor. L i k v ä l måste v i m e d g i f v a , a t t e n läroboks äfven praktiska ändamål k a n t v i n g a författaren att något frångå d e n nyss framslälda r e g e l n ; o c h d e t rnåste derför a l l t i d b e r o på läraren att efter eget bepröfvande på bästa sätt använda läroboken.
V i v i l j e i c k e upphälla oss m e d några d e l a i l a n m ä r k n i n g a r , e m e d a n vår alsigt e n d a s t v a r i t a t t bedöma d e t a r b e t e , v i h a f v a för b ä n d e r , u r r e n t pedagogisk s y n p u n k t . E n e n d a omständighet
anse v i oss likväl i c k e böra förbigå, e m e d a n d e n är a f a l l m ä n - n a r e interesse. D e t är i afseende på d e t i läroboken begagnade måttsystem v i v i l j e tillåta oss en anmärkning. I fråga om längd- mått säges; " L ä n g d e r , som n y t t j a s t i l l mått för l i n i e r , äro: aln m e d dess u n d e r a f d e l n i n g a r , qvarter o c h verktum; fot m e d dess u n d e r a f d e l n i n g a r , decimaltum, linie och gran*); s a m t famn."
E n a h a n d a förekommer på a n d r a ställen o m arealmått och k u b i k - mått. E h u r u författaren härvid måhända ansett sig böra utgå
*) Benämningen gran nyttjas k n a p p t , utom i en och annan lärobok.
frän d e t k o n k r e t a , nämligen de v a n l i g a t u m s t o c k a r n a , sä s y n e s likväl d e t anförda uttryckssättet e j r i g t i g t , e m e d a n m a n d e r a f s k u l l e v i l j a d r a g a d e n s l u t s a t s e n , a t t foten a l d r i g delas i v e r k t u m e l l e r a l n e n i d e c i m a l t u m o. s. v. Dä m a n för öfrigt i närvarande t i d gör a l l t för a t t b r i n g a någon reda u t i vårt förvirrade m å t t - , m å l - , ocli v i g t - s y s t e m , synes det v a r a angeläget a t t u t i läroböc- k e r n a l i y l l a och v i d u n d e r v i s n i n g e n genast, ifrån början bos lär- j u n g e n inprägla det s y s t e m , som är antaget såsom d e t r a t i o n e - laste. M å m a n således framställa foten såsom d e n p r i n c i p a l a e n - h e t e n för m å t t , o c h d e c i m a l i n d e l n i n g e n framför a n d r a i n d e l - n i n g a r . D e t är angeläget a t t vänja lärjungen t i l l a t t fästa e n högre b e t y d e l s e v i d mått-enheten, än som k a n v i n n a s , då flere sådana framställas b r e d v i d h v a r a n d r a såsom l i k a goda. V i g t e n häraf för d e n m a t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n är e n o r m . A t t de öf- r i g a måtten äfven måste läras, är k l a r t ; v i v i l j a b l o t t säga, a t t dessa böra hafva e n u n d e r o r d n a d r a n g o c h a t t v i d u n d e r v i s n i n - gen skälet noga bör påpekas, h v a i f ö r m a n n y t t j a r , än större, än m i n d r e mått än n o r m a l e n h e t c n .
O a k t a d t dessa anmärkningar anse v i H e r r L e k t o r E k m a n s lärobuk g a n s k a användbar, u n d e r i a k t t a g a n d e a f d e r e g l o r , h a n s j e l f föreskrifver. B r e d v i d d e i n r e och r e e l a förtjensterua a f detta a r b e t e b e d j a v i a t t få fäsla läsarens uppmärksamhet på e n för—
t j e n s t , s o m v i s s e r l i g e n k a n s y n a s i s i g s j e l f r i n g a , m e n s o m likväl är a f i c k e r i n g a v i g t for e n lärobok — v i m e n a b o k e n s p r y d l i g a y t t r e , både h v a d p a p p e r , s t i l a r o c h f i g u r e r beträffar, I n f l y t a n d e t häraf på u n d e r v i s n i n g e n är i c k e a t t förakta. M å m a n e r i n r a sig våra g a m l a s k o l u p p l a g o r a f E u c l i d e s ' Elementer. V i äro öfvertygade, att mången lärjunge genom d e n n a läroboks b l o t t a y t t r e fått a f s m a k för g e o m e t r i e n s s t u d i u m .
D e n anmälda läroboken i g e o m e t r i e n är s a m m a n s k r i f v e n när- m a s t i ändamål att begagnas såsom lärobok v i d N y a E l e m e n t a r - s k o l a n i S t o c k h o l m , h v a r e s t författaren e n t i d v a r i t lärare. D å d e n första g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n v i d d e n n a s k o l a a f v i k e r från d e n v a n l i g a m e t o d e n i lärdomsskolorna, så må d e t tillålas a t t något närmare u p p l y s a d e r o m . R e d a n i första k l a s s e n t a g e r den geo- m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n s i n b ö r j a n : k u r s e n i d e n n a k l a s s utgöres a f A l m q u i s t s L i n e a r t e c k n i n g , h v i l k e n l ä r j u n g a r n e , u n d e r m o n i - törens närmaste u p p s i g t o c h k o n t r o l l , a f l e c k n a , furst på k r i t - t a f l a , s e d a n på griffeltafla. D e n n a k u r s är ämnad a t t v a r a e n förberedelse, på s a m m a gång för u n d e r v i s n i n g e u i f r i h a n d s t e c k - n i n g o c h i g e o m e t r i . Lärjungarna b l i f v a u n d e r dess genomgå- e n d e b e k a n t a m e d de g e o m e t r i s k a f i g u r e r n a ocli v i n n a , g e n o m c o n - struklionsöfningarna , både e n v i s s h a n d s k i c k l i g h e t o c h säkeihet i ögat. D e r j e u i t e bör läraren söka att g e n o m e n t j e c l i g frågmetod hos lärjungarna väcka de första g e o m e t r i s k a b e g r e p p e n ; o c h v i
h a f v a f u n n i t , att om b l o t t frågorna ställas t ä t t , m a n sällan för- f e l a r a t t a f lärjungarna pä d e t t a första s t a d i u m , m e d l e d n i n g b l o t t a f åskådningen, få r i g t i g a s v a r på de flesta e l e m e n t a r g e o m e - t r i e n s g r u n d s a n n i n g a r . N ä r lärjungarna sålunda l y c k a s a l t göra små upptäckter g e n o m a l t rätt lösa de d e m förelagda p r o b l e - m e r , b l i f v a d e o c k l i f l i g a r e interesserade för s a k e n , och geome- t r i e n b l i f v e r , h v a d d e n a l l t i d b o r d t v a r a , ett a f de lättaste l ä r o - ä m n e n . V i h a f v a v i d e n d y l i k b e h a n d l i n g a f u n d e r v i s n i n g e n a l - d r i g f u n n i t e x e m p e l på någon sådan leda v i d e l l e r räddhåga för g e o m e t r i e n , som alltför ofta alstras genom ett förtidigt begag- n a n d e t a f E u c l i d e s ' Elementer. — I a n d r a o c h t r e d j e k l a s s e n fortsattes den började åskådningsundervisningen, m e n m e r a strängt o c h s y s t e m a t i s k t , e n l i g t E k m a n s lärobok. I a n d r a k l a s s e n läsas första o c h a n d r a b ö c k e r n a , i t r e d j e t r e d j e o c h fjerde. S t e r e o m e t r i e n h a r först i s e d n a r e t i d e r o c h på r c c . p r o p o s i t i o n ( m e n i öfverens- stämmelse äfven m e d företrädarens, H e r r L e k t o r E k m a n s , förut y t t r a d e åsigt) införts t i l l läsning på d e t t a s t a d i u m ; d e n v a r f ö r u t , såsom v a n l i g t , förbehållen för ett v i d a högre s t a d i u m . M å n g a skäl t a l a d e likväl för dess i n f ö r a n d e ; och e r f a r e n h e t e n h a r n u v i s a t , a t t dess s t u d i u m a l l d e l e s i c k e förefaller lärjungarna svårare, u t a n v e r k l i g e n lättare, än läran o m l i n i e r o c h p l a n a f i - g u r e r , — t i l l en h u f v u d s a k l i g d e l väl derför, a t t de finna sig r o a d e a f att se och h a n d t e r a de s o l i d a figurerna. —• V i d inträdet i fjerde k l a s s e n h a r lärjungen sålunda genomgått en t e m l i g e n f u l l - ständig k u r s u t i e l e m e n t a r g e o m e t r i e n . Fortsätter h a n än v i d a r e s i n a s t u d i e r , så h a r h a n en tillräcklig g r u n d v a l a f l e f v a n d e i n s i g t i s j e l f v a ä m n e t , for a t t m e d framgång o c h u t a n svårighet k u n n a följa m e d d e n strängt v e t e n s k a p l i g a u n d e r v i s n i n g , s o m då v i d - t a g e r ; l e m n a r h a n åter möjligen r e d a n så t i d i g t s k o l a n , så gör h a n d e t likväl i c k e u t a n att h a f v a erhållit e n ej r i n g a öfning a f d e t m a t e m a t i s k a s i n n e t , i c k e u t a n a t t medföra många p o s i t i v a k u n s k a p e r i g e o m e t r i e n , soin k u n n a b l i f v a h o n o m t i l l n y t t a i lifvet.
I * . A. Siljeatr&tn.
O m S v e r i g e s L ä r o v e r k , s t y c k e n n r e n a f b r u - t e n s k r i f t , a f filans J ä r t a .
A n d r a Upplagan. Stockholm 1846.
D e t ansedda författarenamnet på detta arbetes t i t e l b l a d väcker u t a n t v i f v e l r e d a n i o c h för sig s j e l f t fäsarens uppmärksamhet. H v i l - k e n åsigt h v a r och e n i d e n här b e h a n d l a d e frågan må t i l l h ö r a , h a n s k a l l i c k e u t a n a k t n i n g o c h i u t e r e s s c k u n n a läsa d e n n a l i l l a s k r i f t ; t y
