Delbarhetsregler för 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12

1 av 11

DELBARHET

Delare och primtal

Definition 1. Om a och b är heltal så säger vi att b delar a om det finns ett heltal q så att a=qb. Vi säger att b är delare (eller faktor) till a.

Man kan också säga att a är multipel till b eller att a är delbart med b Att b delar a betecknas |b a .

Exempelvis 4|16, 5|30, 3| 36 medan 5 | 13 (5 delar inte 13).

Varje heltal a har faktorer (delare) 1± och ± . Dessa faktorer (delare) kallas triviala. a Definition 2. En delare till a som inte är trivial kallas en äkta delare till a .

Exempelvis. Talet 12 har triviala delare ± , 1 ± och äkta delare 12 ± , 32 ± ± , 64 ±

Definition 3. Ett heltal ≥ 2 kallas primtal om det saknar äkta delare.

Här är några primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,…

Sats 1. Det finns oändligt många primtal.

Exempel 1. Dela upp talet 60 i primfaktorer.

Lösning: 60 6 10 2 3 5 2 2 3 5= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ²⋅ ⋅

Sats 2. Varje heltal ≥ 2 kan skrivas som en produkt av primtal på exakt ett sätt (om vi struntar i faktorernas ordning.)

Följande sats följer direkt ur definitionen av delare.

Sats 3. Om a,b,c,x och y är heltal så gäller 1) 1|a

2) a|0

3) ( a|b och a|c) ^⇒ a|(b+c) 4) a|b ⇒ a|bx

5) ( a|b och a|c) ⇒ a|(bx+cy) 6) ( a|b och b|c) ^⇒ a|c 7) ( a|b och b|a) ⇒ a=±b 8) ( a|b och b > 0) ^⇒ a < b

2 av 11 Bevis. Vi bevisar 3)

Anta att a|b och a|c. Då finns det heltal r och s sådana att b=ar och c=as

Därför

( )

b c ar as a r s+ = + = +

som visar att a är en faktor (delare) till b+c.

Delbarhetsregler för 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12

För att avgöra om ett tal a är delbart med ett tal b kan vi dela a med b (t ex med mini räknare, eller ett dataprogram) och kolla om detta är sant. Men det finns enkla regler om delbarhet med några tal.

Till exempel. Ett tal är delbart med 2 om talets slutsiffra är jämn, dvs om talet slutar med 0, 2,4,6, eller 8.

Alltså är 772436 delbart med 2 medan 44885 är inte delbart med 2.

Här är reglerna för delbarhet med 2,3,4,5,6,8,9,10,12.

Tal b regeln för delbarhet med

b Exempel

2 Ett tal är delbart med 2 om (och endast om) talets sista siffra är jämn.

23458 är delbart med 2.

2245 är inte delbart med 2 3 Ett tal är delbart med 3 om

talets siffersumma är delbart med 3.

310120212 är delbart med 3 eftersom siffersumman 3+1+0+1+2+0+2+1+2=12 är delbart med 3.

Talet 242 är inte delbart med 3.

4 Ett tal är delbart med 4 om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.

53724 är delbart med 4 eftersom 24 är delbart med 4. 53725 är inte delbart med 4 5 Ett tal är delbart med 5 om

sista siffran är 0 eller 5 Talet 12340 är delbart med 5 Talet 12343 är inte delbart med 5

3 av 11 6 Ett tal är delbart med 6 om

det är delbart med 2 och 3 10120212 är delbart med 6 8 Ett tal är delbart med 8 om

det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.

37824 är delbart med 8 eftersom 824 är delbart med 8.

9 Ett tal är delbart med 9 om talets siffersumma är delbart med 9.

40212 är delbart med 9 eftersom siffersumman 4+0+2+1+2=9

är delbart med 9.

10 Ett tal är delbart med 10 om

sista siffran är 0. 232340 är delbart med 10 12 Ett tal är delbart med 12 om

det är delbart med 4 och 3 111216 är delbart med 12

Heltalsdivision med rest Talet 32 är inte jämt delbart med 5.

32

5 kan vi skriva som 6 2 + . 5 Härav kan vi skriva 32 6 5 2= ⋅ + .

(Anmärkning 1: Heltalsdivision kan vi betrakta som upprepad subtraktion. För att få ovanstående resultat kan vi subtrahera talet 5 sex gånger från 32. Vi får resten 2.) Talet 6 kallas för kvoten och talet 2 för resten i ovanstående heltalsdivision.

Sats 3 (Kvot och restterm vid heltalsdivision.)

Låt a och b vara två heltal. Då existerar två unika heltal q och r sådana att a q b r= ⋅ + , där 0≤ <r b| |.

Talet q i satsen kallas för kvoten och talet r för den principala resten.

I stället ”den principala resten” säger vi oftast bara ”resten”.

Anmärkning 2. Notera att resten r ≥ 0 och att r < |b| (enligt kravet i satsen) medan a,b och q kan vara negativa.

4 av 11

Anmärkning 3: Det är uppenbart att resten r =0 om och endast om a är delbart med b.

Exempel 2. Talet 32 kan vi uttrycka på flera sätt som en linjär kombination av talet 5.

32 1 5 27 32 4 5 12

32 1 5 37

32 6 5 62

32 6 5 2

= ⋅ +

= ⋅ +

= − ⋅ +

= − ⋅ +

= ⋅ + ,

Endast r=2 i sista raden uppfyller kravet 0≤ <r b| | dvs 0≤ <r 5 Exempel 3. Hitta kvoten och resten då 328 delas med 101.

Lösning: Huvudräkning eller upprepad subtraktionen av 101 gör 328=3∙101+25

Svar. Kvoten är 3, resten är 25.

Exempel 4. Hitta kvoten och resten då 36 delas med 12.

Lösning:

36=3∙12+0

Svar. Kvoten är 3 , resten är 0. Talet 36 är delbart med 12.

Anmärkning 4:(Negativt a) Om vi ska bestämma kvoten och resten då a delas med b, där a är ett negativt tal, då väljer vi q så att q b a⋅ ≤ (men ”så nära som möjlig” talet a ). På detta sätt får vi att resten uppfyller kravet 0≤ <r b| |.

Exempel 5. Hitta kvoten och resten då

a) 13 delas med 4. b) 13 delas med –4. c) –13 delas med 4 d) –13 delas med –4.

Lösning

a) 13=3∙4+1, q=3, r=1.

b) 13=–3∙(–4)+1, q= –3, r=1.

Notera att vi har negativt a i frågorna c) och d). Därmed ska vi välja q så att q b a⋅ ≤ men

”så nära som möjlig” talet a . Då får vi r som uppfyller kravet 0≤ <r b| |. c) –13=–4∙4+3, q= –4, r=3.

5 av 11 d) –13=4∙(–4)+3, q= 4, r=3.

Kongruensen

Definition 4. Låt m vara ett heltal. Om två heltal a och b har samma rest vid division med m säger vi att a och b är kongruenta modulo m och skriver

(mod ) a b≡ m .

Mängden av alla heltal som har samma rest vid division med m kallas restklass modulo m.

Exempel 6.

a) 23 8 (mod5)≡ eftersom 23 och 8 har samma rest 3 vid division med 5, medan 23 11 (mod5)≡ eftersom 23 och 11 kar olika rester vid division med 5,

b) 9 16 ( 5) 72 44(mod 7)≡ ≡ − ≡ ≡ eftersom 9, 16, –5 ,72, 44 har samma rest 2 vid division med 7.

c)

Exempel 7.

Alla tal som har resten 3 vid division med 5 kan beskrivas som {5k+3:k Z∈ } {... 7, 2,3,8,13,18,23,28,33,38,...}= − −

och därmed bildar en restklass modulo 5.

Här är alla fem restklasser modulo 5:

0 {5 : }

K = k k Z∈ ( dvs alla heltal som är delbara med 5)

1 {5 1: }

K = k+ k Z∈ ( dvs alla heltal som har resten1 vid division med 5)

2 {5 2 : }

K = k+ k Z∈ ( dvs alla heltal som har resten 2 vid division med 5)

3 {5 3: }

K = k+ k Z∈ ( dvs alla heltal som har resten 3 vid division med 5)

4 {5 4 : }

K = k+ k Z∈ ( dvs alla heltal som har resten 4 vid division med 5)

6 av 11 Sats 4 Låt a,b och m vara hel tal. då gäller

(mod )

a b≡ m om och endast om (a b− )är delbart med m.

Bevis.

i) ^⇒

Anta först att a b≡ (mod )m . Då har a och b samma rest vid division med m.

Därmed kan vi skriva a q m r= ⋅ +₁ och b q m r= ₂⋅ + . Härav

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

a b− = q m r⋅ + − q m r⋅ + = q q m− ⋅ som visar att (a b− )är delbart med m.

ii) ^⇐

Anta nu att (a b− )är delbart med m. Vi ska visa att rester r och ₁ r₂ vid division av a och b med m är lika.

Låt a q m r= ⋅ +_{1 1} och b q m r= ₂⋅ + ₂. Härav

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

a b− = q m r⋅ + − q m r⋅ + = q q m r r− ⋅ + − . Vi kan skriva

1 2 1 2

(r r− ) (= a b− −) (q q m− )⋅ .

Eftersom (q q m₁− ₂)⋅ och (a b− ) är delbara med m ( notera att (a b− )är delbart med m enligt antagande) så är (r r₁− ₂)också delbart med m dvs

1 2

(r r− )= ⋅k m för ett heltal k. (*)

Men 0≤ <r m₁ | | och 0≤ <r₂ | |m ger att 0 |≤ − <r r_{1 2}| | |m . (**)

(**) och (*) visar att r r₁− =₂ 0 dvs att r r₁= ₂. Alltså gäller a b≡ (mod )m . Därmed har vi bevisat satsen.

7 av 11 Exempel 8.

Bestäm om följande påstående är sanna eller falska.

a) 128 122 (mod 3)≡ b) 124 122 (mod 3)≡ c) 238 208 (mod10)≡ d) 346 330 (mod10)≡ e) 2≡ −19 (mod 3) f) 3 20 (mod5)− ≡ Lösning a) : Enligt ovanstående sats gäller

(mod )

a b≡ m om och endast om (a b− )är delbart med m.

Därför 128 122 (mod 3)≡ gäller om och endast om (128 122) 6− = är delbart med 3. Det sista är sant.

Lösning e) 2≡ −19 (mod 3) gäller om 2 ( 19) 21− − = är delbart med 3. Det sista är sant.

Lösning f) − ≡3 20 (mod5) gäller om − −3 20= −23 är delbart med 5. Det sista är inte sant.

Svar: a) sant b) falskt c) sant d) falskt e) sant f) falskt

Räkneregler för kongruenser.

Sats 5. Låt a,b,c, , m vara heltal. Då gäller (mod )

a a≡ m Kongruensen är en reflexiv relation

(mod ) (mod )

a b≡ m ⇔ ≡b a m Kongruensen är en symmetrisk relation

(a b≡ (mod ) och m b c≡ (mod ))m ⇒ ≡a c(mod )m Kongruensen är en transitiv relation

( ) (mod ) , där är ett heltal.

a≡ a km+ m k Periodiska egenskaper

Sats 6. Låt a,b, m och k vara heltal.

Anta att a b≡ (mod )m . Då gäller (mod )

a k b k+ ≡ + m och (mod )

a k b k⋅ ≡ ⋅ m

Sats 7. Låt a,b,c ,d, m vara heltal.

Anta att a b≡ (mod ) och cm ≡d (mod )m . Då gäller a c b d+ ≡ + (mod ) m

8 av 11 och a c b d⋅ ≡ ⋅ (mod ) m

Sats 8. Låt a,b, m vara heltal.

Anta att a b≡ (mod ) m och k ≥ 0 ett heltal.

Då gäller a^k ≡b^k (mod )m .

Anmärkning 5: Satser 5-8 bevisas enklast med hjälp av Sats 4.

Anmärkning 6: Ovanstående satser använder vi för att förenkla bestämning av resten vid heltalsdivision, så kallade moduloräkning.

Moduloräkning

I många problem är vi intresserade endast av resten (och inte kvoten) vid heltalsdivision.

I sådana fall pratar vi om moduloräkning. Då man räknar med resterna vid heltalsdivision med heltalet m säger man att man räknar modulo m, och ibland att man räknar i Zm . Följande två frågor betyder samma sak:

1) Bestäm resten vid divisionen av A med m.

2) Beräkna A modulo m .

Om beräkning innehåller från börjar endast rester dvs tal 0,1,…,m–1 säger vi oftast på tredje sätt:

3) Beräkna A i Zm

Exempel 9. Beräkna 9⁵mod 7

{alternativt skrivsätt: Beräkna 9⁵ (mod 7) } .

Lösning: Frågan är samma som ” Bestäm resten vid heltalsdivision av 9 med 7. ⁵ Vi ska förenkla beräkning med hjälp av kongruensregler.

Eftersom 9 2 (mod 7) ≡ har vi att 9⁵ ≡2 (mod 7) ⁵ .

Därmed kan vi bestämma resten som vi får vid heltalsdivision av 2 med 7 (som är uppenbart ⁵ enklare än att beräkna resten vid heltalsdivision av 9⁵med 7).

Vi beräknar 2⁵ =32 som har resten 4 vid division med 7.

9 av 11 Därmed har vi fått svaret 9⁵ mod 7 = 4.

Anmärkning 7: Ovanstående beräkning kan vi kort beskriva på följande sätt

5 5

9 mod 7 2 mod 7 =32 mod 7 4 mod 7 =4= = . (Detta sätt används i vår kursbok.)

Exempel 10. Beräkna 16 i Z¹³ 17 .

Lösning: Vi söker resten vid division av 16¹³ med 17, eller kortare, vi söker 16 mod 17 ¹³ Notera att 16≡ −1(mod 17) (eftersom 16– (–1)=17 är delbart med 17).

Därför 16¹³ ≡ −( 1) (mod 17)¹³ Nu har vi :

( 1) (mod 17) ( 1) mod 17 ( 1 17) mod 17 16mod 17 16− 13 = − = − + = = Svar: 16

Exempel 11. (gammal KS) Bestäm 17 mod 7⁶⁴ .

Lösning: Notera att 17 3(mod 7)≡ . Därför 17⁶⁴ ≡3 (mod 7)⁶⁴ . Nu beräknar vi ^{3 mod 764} =

( )

Eftersom 9 2(mod 7)≡ har vi 9³² ≡2 (mod 7)³² . Vi har kvar att bestämma 2 mod 7. ³²

Vi beräknar potenser av 2 och inser att 2³=8 har resten 1 (mod 7) som vi använder för att förenkla beräkning:

Vi skriver om 2³² =(2 ) 2^{3 10}⋅ ² och räknar rester för varje faktor för sig:

(2 )3 10≡1(mod 7) och 2² ≡4(mod 7). Enligt lagar för kongruenser har vi

3 10 2

(2 ) 2⋅ ≡ ⋅1 4(mod 7)

Därmed är 2 mod 7³² =4 och därför 17 mod 7⁶⁴ =4 Svar 4.

10 av 11

Slutligen betonar vi den viktigta skillnaden mellan utrycken bmod m och kongruensen a b≡ (mod )m .

1) Utrycket bmod m (när det står utan tecken ≡ för kongruensen) betyder ”resten vid divisionen av b med m” dvs ett tal.

2) Utrycket a b≡ (mod )m är påståendet ” a och b har samma rest vid division med m”, och har värdet sant eller falskt.

Exempelvis 23 mod 5 är lika med 3, 234 mod 10=4,

26 mod 7=5, medan

28 13 (mod5)≡ är ett sant påstående, 286 132 (mod10)≡ är ett falskt påstående.

Räkning i Z

. Inverterbarhet i Z

.

Räkning i Zm. När vi räknar endast med principala rester vid heltalsdivision med m, dvs med tal 0,1,2,….(m–1),säger vi att vi räknar i Zm.

Här anger vi en additionstabell och en multiplikationstabell för räkning i Z5 och Z6

--- Z5 addition Z5 multiplikation

+ ∙

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

11 av 11

--- Z6 addition Z6 multiplikation

+ 0 1 2 3 4 5 ∙ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5

2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4

3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3

4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2

5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1

Additiva inverser i Zm.

Låt a vara ett tal i Zm Om a+b =0 säger vi att b är additiv invers till a i Zm och betecknar b= –a. Till exempel Talet 4 har additiv invers 2 i Z6 eftersom 4+2 =0 i Z6.

(Alltså –4 (mod 6)=2).

Multiplikativa inverser i Zm.

Ett tal a i Zm har multiplikativt inverterbar om det finns något tal i Zm som multiplicerat med a ger 1.

Ett sådant tal kallas inversen till a och betecknas a⁻¹.

Notera att 0 saknar multiplikativ invers eftersom 0⋅ = ≠b 0 1 för alla b i Zm Talet 1 har inversen 1.

För att betona att det handlar om inversen vid multiplikation (och inte vid addition) säger vi att a⁻¹är a:s multiplikativa invers.

I ovanstående tabell för Z5 ser vi att alla tal förutom 0 har invers (exempelvis, inversen till 3 i Z5 är 2 eftersom (3 2) mod5 1⋅ = .

I tabellen för Z6 ser vi att endast 1 och 5 är inverterbara i Z6