Stambråkets möjligheter att berika bråkundervisningen
En läromedelsanalys om en läromedelsseries möjligheter att utveckla en förståelse för stambråk i grundskolans årskurs 4–6.
Författare: Linda Didrik Sjöbladh &
Petter Nordliden
Examensarbete
Abstrakt
Denna läromedelsanalys syftar till att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv belysa vilka möjligheter en läromedelsserie i matematik erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk. Studien utgår från sex kritiska aspekter av stambråk:
areamodellen, linear measurement, inverse order relationship, stambråk som mängden av en helhet, partitioning och iterating. Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv med en deduktiv ansats har läromedlen analyserats genom en textanalys.
Resultatet visar att samtliga kritiska aspekter av stambråk finns representerade i läromedlet. Samtidigt behandlas flertalet av dem i mindre utsträckning, vilket kan leda till en begränsad concept image av stambråk hos elever. Resultatet visar även att det vanligaste variationsmönstret i läromedlen är fusion, vilket innebär att elever behöver kunna urskilja flera kritiska aspekter av lärandeobjektet samtidigt. Detta försvårar möjligheten att tillägna sig förståelsen för stambråk. I resultatet framgår det också att areamodellen är den vanligast förekommande representationsformen i läromedelsserien. En konsekvens för undervisningen blir således att representations- former som bygger på linear measurement behöver få större plats inom ramen för den ordinarie undervisningen. Detta för att elever ska få en större förståelse för stambråk och en berikad concept image vilket i sin tur möjliggör förståelsen för mer avancerade matematiska principer. Sammanfattningsvis diskuteras att lärare behöver förhålla sig kritiskt till matematikläromedel samt vara medvetna om vilka möjligheter det erbjuder.
Nyckelord
Stambråk, bråk, variationsteori, kritiska aspekter, partitioning, iterating, inverse order relationship, concept image, variationsmönster
Tack
Med stor tacksamhet vill vi tacka vår handledare Helena Grundén som gett oss värdefull feedback under studiens gång och har varit ett stöd under hela processen. Vi vill även rikta ett tack till handledningsgruppen och de opponenter som bidragit med hjälp till att förbättra vårt arbete. Avslutningsvis vill vi tacka nära och kära som har stöttat och lyssnat på oss i arbetet under en tid då utbildningen inte varit som den traditionellt brukar vara.
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Syfte och frågeställningar ... 2
3 Bakgrund ... 3
3.1 Läroplanen om bråk ... 3
3.2 Concept definition & concept image av bråk ... 3
3.3 Tidigare forskning ... 4
3.3.1 Representationsformer – hur de berikar elevers concept image ... 4
3.3.2 Fraction as a comparer ... 6
3.3.3 Tillägnandet av kognitiva scheman ... 6
3.4 Läromedel i matematikundervisningen ... 7
4 Teoretisk utgångspunkt ... 8
4.1 Variationsteori ... 8
4.2 Lärandeobjekt ... 8
4.3 Kritiska aspekter ... 8
4.4 Variationsmönster ... 9
4.4.1 Kontrast ... 9
4.4.2 Generalisering ... 9
4.4.3 Fusion ... 10
4.5 Variationsteorins betydelse för studien ... 10
5 Metod ... 11
5.1 Textanalys ... 11
5.2 Etiska överväganden ... 11
5.3 Urval ... 12
5.3.1 Matematik Alfa, Matematik Beta & Matematik Gamma ... 12
5.3.2 Avgränsningar ... 12
5.4 Analys ... 13
6 Resultat... 15
6.1 Kritiska aspekter i uppgifterna ... 15
6.1.1 Areamodellen & linear measurement ... 15
6.1.2 Inverse order relationship & stambråk som mängden av en helhet .. 16
6.1.3 Partitioning & iterating ... 17
6.2 Variationsmönster av kritiska aspekter ... 18
6.2.1 Areamodellen & linear measurement ... 18
6.2.2 Inverse order relationship & stambråk som mängden av en helhet .. 19
6.2.3 Partitioning & iterating ... 20
6.3 Sammanfattning ... 21
7 Diskussion ... 22
7.1 Metoddiskussion ... 22
7.2 Resultatdiskussion ... 23
7.3 Konsekvenser för undervisningen ... 25
7.4 Vidare forskning ... 27
8 Referenslista ... 28 9 Bilagor ... I 9.1 Begreppslista ... I 9.2 Missivbrev ... IV 9.3 Analysschema ... V
1 Inledning
Bråk har historiskt sett utgjort ett av de mest problematiska områdena inom matematikundervisningen i grundskolan. I internationella studier framkommer det att 90 % av de deltagande eleverna har bristande kunskaper inom området, vilket har fått forskare att ställa sig frågan om bråk är för svårt för elever att tillägna sig. Samtidigt påvisas det att elever från östasiatiska nationer har utvecklat goda förhållningssätt till operationer för bråk. Därmed innebär det att problematiken berör hur undervisningen är utformad, snarare än elevers möjligheter att tillägna sig området (Zhang, Clements
& Ellerton, 2014b). I en amerikansk studie tillförs till denna problematik, att fyra av fem lärare säger att de upplever sina kunskaper som otillräckliga i samband med bråkundervisningen (Lewis & Perry, 2013). Konsekvensen av detta blir att lärare till stor del förlitar sig på sitt matematikläromedel som således får starkt inflytande över det innehåll som lärs ut (Lewis & Perry, 2013; Norton & Wilkins, 2013).
Progressionen för bråkundervisningen bör röra sig från vardagsbegrepp, till konkreta representationer och material, för att sedan beröra mer abstrakta förhållanden (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Ett sådant abstrakt förhållande handlar om elevers förmåga att förstå att bråk kan delas upp i stambråk, vilket definieras som bråk där täljaren är 1 (1⁄31
⁄4) och kan användas som referensenhet för att tolka bråk med samma nämnare (2⁄33
⁄4) (Kiselman & Mouwitz, 2008). Förståelsen för stambråk är en förutsättning för att kunna utföra de grundläggande operationerna partitioning (uppdelning av en helhet) och iterating (upprepning av stambråket).
Operationerna är i sin tur beroende av vilka representationsformer som synliggörs i undervisningen (Lewis & Perry, 2013; Perry & Lewis, 2017). I förlängningen innebär även en djupgående förståelse för stambråk möjligheten att tillägna sig mer avancerade matematiska principer som rationella tal, proportionalitet och algebraiskt tänkande (Cortina, Visnovska & Zuniga, 2014; Norton & Wilkins, 2013; Tzur &
Hunt, 2015).
Trots att bråkundervisningen bör följa en tydlig progression visar Zhang, Clements och Ellerton (2014a) att matematikläromedel generellt, till övervägande del, representerar bråk genom olika typer av areor. Detta riskerar att begränsa elevers uppfattning om vad bråk och stambråk är, samt deras möjlighet till att tillägna sig ovan nämnda matematiska principer (Zhang et al., 2014a). Genom att identifiera hur stambråk framställs i en svensk läromedelsserie kan studien uppmärksamma vad lärare eventuellt behöver komplettera sin undervisning med för att elever ska kunna utveckla en god förståelse av det matematiska området. Studien ämnar därmed att belysa de möjligheter en läromedelsserie erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk.
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna läromedelsanalys är att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv belysa vilka möjligheter en läromedelsserie, i grundskolans årskurs 4–6, erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk. I studien besvaras följande frågeställningar:
• Vilka kritiska aspekter av stambråk finns representerade i de olika matematikläromedlen?
• Hur varieras de kritiska aspekter av stambråk som finns representerade i matematikläromedlen?
3 Bakgrund
I detta kapitel presenteras bakgrunden för läromedelsanalysen. Relevanta begrepps- definitioner för studien återfinns i bilaga 1 och läses med fördel innan resten av studien. Först, i bakgrunden, berörs vad läroplanen säger om bråk för att sedan beskriva en generell definition av området i relation till begreppen concept definition och concept image. Kapitlet fortsätter med tidigare forskning, som baseras på en systematisk litteraturstudie om stambråk av Didrik Sjöbladh och Nordliden (2020).
Kapitlet avslutas med att behandla matematikläromedels roll i undervisningen.
3.1 Läroplanen om bråk
Enligt skolverket (2019) ska undervisningen grundas i Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet och därmed är det relevant att redogöra för vad styrdokumenten uttrycker att undervisningen ska innehålla. I kursplanens syfte, för matematik, uttrycks det att elever ska ges möjlighet att utveckla grundläggande matematiska begrepp och metoder samt en förståelse för hur de kan användas (Skolverket, 2019). Den här studien berör begrepp, i form av bråk och stambråk, samt metoder som används vid olika typer av representationsformer av bråk. Ur det centrala innehållet berörs tal i bråkform i vardagliga situationer och därmed utgör stambråk ett av de grundläggande matematiska begrepp som undervisningen bör behandla (Skolverket, 2019).
3.2 Concept definition & concept image av bråk
Inom matematiken är matematiska koncept generellt tydligt definierade och fungerar som en utgångspunkt för lärandet. Huruvida definitionerna överensstämmer med individers uppfattningar av koncepten, är däremot inte självklart. Det råder alltså en diskrepans mellan de generella definitionerna av matematiska koncept och den uppfattning som individer tillägnar sig. En concept definition är den utformning av ord som används för att specificera ett visst matematiskt begrepp (Tall & Vinner, 1981). En sådan concept definition av bråk är: uttrycket av 𝑎⁄𝑏 där a kallas för täljare och b för nämnare (Kiselman & Mouwitz, 2008). Utöver denna grundläggande definition, behöver elever även uppfatta bråk som (National Council of Teachers of Mathematics, 2000):
• en andel av när ett objekt delas i ett antal lika stora delar.
• när ett antal objekt fördelas mellan olika individer.
• en del av en helhet.
• en enhet.
• ett tal på en tallinje.
• en division alternativt som en kvot av en division (4÷8=4⁄8).
• utgöra en faktor i en multiplikation.
• beskriver storleksförhållandet mellan två mängder.
Bråk introduceras för elever redan i tidig ålder med hjälp av vardagsbegrepp som hälften och en hel. Tillsammans med förståelsen för ett objekt kan delas mellan individer samt tillförandet av symbolspråk, utgör begreppen en utgångspunkt för undervisningen. De fungerar som en brygga för att koppla bråk till ett ämnesspecifikt
sammanhang och att närma sig den mer formellt accepterade definitionen av bråk (Lamon, 2007). I undervisningen innebär detta att elever tillägnar sig en individuell concept image utifrån den concept definition som kommuniceras och synliggörs (Tall
& Vinner, 1981). På så vis baseras en concept image på allt som associeras med det matematiska innehållet bråk hos respektive elev. Det omfattar alltså samtliga av de mentala bilder, egenskaper och processer som elever tillägnat sig, medvetet eller omedvetet genom undervisningen. Således innebär detta att en concept definition leder till tillägnandet av en personlig concept image, vilket i sin tur överensstämmer i varierande grad med den formella definition (Tall & Vinner, 1981).
Om ambitionen för undervisningen är att elever ska utveckla en concept image för bråk som i så hög utsträckning som möjligt överensstämmer med en önskad concept definition, behöver undervisningen hjälpa elever att utveckla en förståelse för samtliga av de dimensioner av bråk som tidigare presenterats. Det räcker inte att elever får lära sig en definition, utan de behöver få uppleva och arbeta med bråk i de sammanhang de förekommer i och på så vis utveckla en god concept image (Tall &
Vinner, 1981).
3.3 Tidigare forskning
I detta avsnitt presenteras de avgörande faktorer för stambråk som identifierats med hjälp av tidigare forskning. Fortsättningsvis, i studien, kommer de avgörande faktorerna likställas med det variationsteoretiska begreppet kritiska aspekter. I avsnitten beskrivs olika representationsformer med fokus på areamodellen och linear measurement, och hur de förhåller sig till förståelsen av stambråk. Sedan behandlas de specifika aspekter som representationsformerna ämnar utveckla.
Avsnittet baseras främst på amerikanska studier (Lewis & Perry, 2013; Norton &
Wilkins, 2013; Perry & Lewis, 2017; Tzur & Hunt, 2015; Wilkins & Norton, 2011;
2018; Zhang et al, 2014a; 2014b; 2015) samt två mexikanska studier (Cortina et al., 2014; 2015). Det innebär att resultatet från tidigare forskning bör betraktas utifrån en internationell kontext och kan inte nödvändigtvis generaliseras till en svensk kontext.
3.3.1 Representationsformer – hur de berikar elevers concept image
Inom det forskningsområde som berör bråk generellt, och stambråk i synnerhet, råder det konsensus om att en förståelse för stambråk är vital för att kunna tillägna sig mer avancerade matematiska principer som exempelvis algebraiskt tänkande (Cortina, Visnovska & Zuniga, 2014; Norton & Wilkins, 2013). Att utveckla en god concept image för bråk och stambråk är en förutsättning för att kunna tillägna sig det matematiska området. För att bygga upp en elevs concept image krävs undervisning som berör en stor variation av representationsformer vilket främjar ett högkvalitativt lärande (Zhang et al., 2014a; 2015). Elever uppvisar generellt en god förståelse för bråk när de använder sig av areamodellen som representationsform. Däremot uppstår svårigheter när bråk istället relateras till omkrets, mätning, volym, tallinjen eller åtskillnad av objekt (Zhang, et al., 2014a; 2014b).
Areamodellen
När elever introduceras för det matematiska området bråk används ofta areamodellen eftersom den fyller en viktig funktion som konkretiserande verktyg (Lamon, 2007).
Även om areamodellen besitter många förtjänster, riskerar ett överanvändande att begränsa elevers concept image och i längden tillägnandet av mer abstrakta områden inom matematiken (Lewis & Perry, 2013; Perry & Lewis, 2017; Zhang et al., 2014a).
I en studie av Zhang et al. (2014a) konstateras att elevernas concept image var begränsad till de representationsformer de mött i matematikläromedlen. Detta visades i samband med uppgifter som behandlade bråk som åtskillnad av objekt (1⁄ 3av 12 äpplen grupperas i tre högar med fyra äpplen) där eleverna istället löste uppgiften genom att rita geometriska figurer som sedan skuggades. Med detta exempel, konstateras att matematikläromedlen har dikterat såväl undervisningens innehåll som elevernas sätt att uppfatta bråk (Zhang et al., 2014a). Areamodellen är begränsad som representationsform när bråk som 6⁄ 4berörs. Bråket är problematiskt att beskriva med hjälp av areor och i läromedel kompenseras detta ofta med att introducera blandad form (1+2⁄4). Areamodellen begränsar även elevers möjligheter att förstå partitioning (uppdelning av bråk i stambråk) och iterating (upprepning av stambråket) vilket motverkar förståelsen för att ett stambråk kan användas som ett tolkningsverktyg.
Trots areamodellens begränsningar är det den vanligast förekommande representationsformen i undervisningen. Följaktligen behöver undervisningen beröra och synliggöra fler representationsformer för att elever ska kunna utveckla en god begreppslig förståelse av stambråk och i förlängningen bråk (Norton & Wilkins, 2013; Wilkins & Norton, 2011; 2018).
Linear measurement
Linear measurement som representationsform kan komplettera undervisningen och erbjuder möjligheter där areamodellen är begränsad. Linear measurement handlar om, i likhet med areamodellen, att jämföra hur antalet delar förhåller sig till en helhet, samtidigt som ett större fokus riktas mot stambråket (Norton & Wilkins, 2013;
Wilkins & Norton, 2018). Representationsformen utgår från längder och tallinjer, där ett stambråk upprepas det antal gånger som behövs för att uppnå något så stort som en helhet, alternativt hur många gånger stambråket ryms i helheten (Cortina et al., 2014). Genom att stambråk synliggör hur många gånger en del kan upprepas för att motsvara en helhet, kan eleverna uppfatta att olika stambråk är av olika storlek.
Samma längd kan delas in i 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4 för att på så vis illustrera att en större nämnare ger en mindre andel, inverse order relationship (Perry & Lewis, 2017; Tzur & Hunt, 2015). Linear measurement gör även elever medvetna om att storleken på ett stambråk är beroende av vad som utgör en helhet (1⁄2 m är inte detsamma som 1⁄2 km).
Representationsformen bidrar även till att utveckla en förståelse för att: kunna se bråk som en mängd och inte endast som en del av en helhet; att ett bråk kan utgöra en punkt och ett tal på en tallinje; samt att bråk kan vara större än 1 (Lewis & Perry, 2013; Perry & Lewis, 2017).
En undervisning med hjälp av linear measurement berikar även elevers concept image (Zhang et al., 2014a; 2014b; 2015). Zhang et al. (2014a) utförde en klassrumsintervention, utifrån representationsformen, där de behåller samma matematiska innehåll konstant, stambråken 1⁄2, 1⁄3 och 1⁄4, men varierar hur de uttrycks. Stambråken representeras i samband med volym, omkrets, längd, tallinjen samt åtskillnad av objekt för att de ska framträda på olika sätt. Eleverna som deltog, påvisade generellt efter interventionen en förbättrad concept image (Zhang et al., 2014a). Trots representationsformens möjligheter att komplettera undervisningen är
den ofta bortprioriterad, alternativt mindre frekvent förekommande i matematik- läromedel (Lewis & Perry, 2013).
3.3.2 Fraction as a comparer
Cortina, Visnovska och Zuniga (2015) hävdar att elever inte får tillräcklig med undervisning som berör jämförelser med bråk - fraction as a comparer. Fraction as a comparer stimulerar elevers förståelse av förhållandet mellan proportionalitet och rationella tal samt för resonemang inom multiplikation och division. En konsekvens av att elever inte får arbeta tillräckligt med fraction as a comparer är att de tenderar att tolka bråk utifrån sin förståelse för naturliga tal. För naturliga tal gäller att ett senare tal i talordningen är större än det föregående. Det motsatta gäller storleken på ett stambråk där ett större tal i nämnaren innebär en mindre andel - inverse order relationship (Cortina et al., 2014; 2015).
Undervisning som baseras på att använda fraction as a comparer är avgörande för att utveckla förståelse för fyra faktorer av stambråk. Den första faktorn innebär förståelse för att ett stambråk inte är ett tal som representerar ett föremål utan en mängd av en egenskap hos ett föremål (längd/vikt). Den andra behandlar stambråkets förhållande till referensenheten (sträcka A är 1⁄5 så lång som sträcka B och B är fem gånger så lång som sträcka A). De avslutande faktorerna som utvecklas är att kunna se stambråket frånskilt från det som utgör referensenheten och att stambråket kan upprepas oberoende av den (1⁄ 7 kan upprepas och bilda bråket 9⁄7). Samtliga faktorer är viktiga för att utveckla en god förståelse för inverse order relationship (Cortina et al., 2014; 2015).
Cortina et al. (2014; 2015) presenterar en framgångsrik undervisningsstrategi för att stärka elevers uppfattning av inverse order relationship. Den utgår från icke standardiserade måttenheter där stambråket står för storleken av en del, separerad från vad som utgör referensenheten. Nämnaren i stambråket likställs med det antal upprepningar som krävs för att skapa något som är lika stort som referensenheten.
Inledningsvis använder eleverna sina händer för att mäta bredden på ett fönster. En mindre hand kräver fler upprepningar och en större hand färre. Detta kunde senare relateras till förståelsen för hur stambråk bör tolkas med avseende på inverse order relationship. När antalet upprepningar ökade för att uppnå referensenheten, blev det tydligt för eleverna att bitarna blev mindre (Cortina et al., 2014; 2015).
3.3.3 Tillägnandet av kognitiva scheman
Inom det kognitiva forskningsfältet studeras lärande utifrån tillägnande av mentala scheman (Wilkins & Norton, 2011; 2018). De scheman som elever tillägnar sig, inom området bråk, bygger på en hierarkisk progression där stambråk är av stor betydelse.
Det första schemat i ordningen är equipartitioning scheme där elever utvecklar en förståelse för del-helhetsprincipen. Det innebär att elever kan tolka bråk som en helhet som kan delas i mindre delar. Detta utvecklas primärt genom undervisning som berör olika modeller av areor som sedan exempelvis delas upp eller skuggas (Norton &
Wilkins, 2013; Wilkins & Norton, 2011; 2018).
Det andra schemat, partitive unit fraction scheme, innebär att elever tillägnar sig en förståelse för operationerna partitioning och iterating. Partitioning innebär att ett bråk
kan delas upp i ett antal delar bestående av stambråket (7⁄ 7 delas upp 7 gånger i stambråket 1⁄7). Iterating innebär att elever har förståelse för att ett stambråk kan upprepas det antal gånger som ryms i helheten (1⁄ 7 kan upprepas 7 gånger i helheten).
Till detta schema tillhör även förståelse för inverse order relationship (Norton &
Wilkins, 2013; Wilkins & Norton, 2011; 2018). Genom schemat utvecklar elever mer omfattande sätt att betrakta bråk på. När stambråk används, genom iterating, synliggörs det faktum att ett bråk även kan vara större än 1 (6⁄4), som annars riskerar att missuppfattas. Utöver detta kan ett utvecklat partitive unit fraction scheme stimulera tillägnandet av mer avancerade kognitiva scheman (Tzur & Hunt, 2015;
Lewis & Perry, 2013).
I en studie visar Tzur och Hunt (2015) hur elever kan utveckla partitioning och iterating som bygger på stambråk i förhållande till en referensenhet. Eleverna tilldelas en pappersremsa som sedan delas mellan olika individer. De får öva på att uppskatta storleken på delen (stambråket) vilket i sin tur synliggör det upprepade förhållandet (iterating). Allt eftersom de ombeds dela pappersremsan med fler antal individer synliggörs även det omvända förhållandet där andelarna blir mindre - inverse order relationship. Andelarna förs sedan in i en matris för att synliggöra storleks- förhållanden mellan dem (Tzur & Hunt, 2015).
3.4 Läromedel i matematikundervisningen
Ett matematikläromedel kan rymma en mängd olika delar, där allt från lärarhandledning, arbetsblad, grundböcker, digitala hjälpmedel och konkretiserande material ingår. I dagligt tal, när begreppet matematikläromedel används, är det elevers individuella läroböcker som avses. I Sverige dominerar matematikläroboken undervisningens innehåll och utformning, vilket bidrar till att elever uppfattar matematikundervisningen som ett tillfälle när de ska producera i sina matematik- läroböcker (Johansson, 2003; Sidenvall, 2019).
De flesta läromedel erbjuder elever ett introducerande exempel där efterföljande uppgifter avses lösas med samma eller en liknande metod (Sidenvall, 2019;
Grevholm, 2014). Läroboken erbjuder goda möjligheter att repetera procedurer men däremot är den ofta förhållandevis begränsad i syfte att utveckla övriga förmågor i undervisningen. En procedurinriktad undervisning signalerar dessutom att uppgifter bör lösas snabbt och effektivt med hjälp av algoritmer, snarare än att föra matematiska resonemang (Sidenvall, 2019). Detta kan få allvarliga konsekvenser då det mekaniska räknandet upptar en omfattande del av undervisningen och övriga förmågor, som exempelvis kommunikations- eller problemlösningsförmågan, ges inte lika stort utrymme (Skolinspektionen, 2009).
Enligt Grevholm (2014) visar forskningen att elever behöver få möta de matematiska områdena på ett varierat sätt, vilket i sin tur ställer högre krav på det material som används. Skolinspektionens (2009) rapport visar att lärare känner en stor osäkerhet inför att tolka syfte, innehåll och kunskapskrav i kursplanen för matematik, vilket leder till att större tillit riktas mot läromedlet. Att matematikläromedel är granskade och helt motsvarar kursplanens innehåll är en vanlig missuppfattning hos lärare.
Läromedel innehåller endast den tolkning som författare och förlag gjort av kursplanen (Grevholm, 2014).
4 Teoretisk utgångspunkt
I följande kapitel redogörs för studiens teoretiska utgångspunkt - variationsteorin.
Först beskrivs teorins bakgrund för att sedan redogöra för (för studien) relevanta begrepp som: lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. Avslutningsvis redogörs för variationsteorin betydelse för studien.
4.1 Variationsteori
Variationsteorins utveckling har sitt ursprung i den fenomenografiska traditionen.
Initialt utvecklades lärandeteorin i Hong Kong strax efter millennieskiftet och har sedan dess spridits till länder runt om i världen. Fenomenografin intresserar sig främst för att identifiera på vilka skilda sätt människor upplever ett visst fenomen (Marton
& Pang, 2013; Lo, 2014). Variationsteori utgår från att identifiera ett lärandeobjekt utifrån vilket innehåll som ska behandlas; vad elever förväntas lära sig utifrån innehållet; samt vilka kritiska aspekter elever behöver lära sig utifrån lärandeobjektet (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017; Marton & Pang, 2006; Marton, 2015).
4.2 Lärandeobjekt
Lärandeobjektet utgår från den didaktiska frågans svar på vad undervisningen ska handla om. Till skillnad från ett lärandemål som klargör vad elever bör tillägna sig, signalerar lärandeobjektet istället en startpunkt för lärandet. Lärandeobjektet delas i sin tur in i direkt- och indirekt objekt, där det förstnämnda avser det praktiska innehållet, som exempelvis det matematiska området bråk. Det senare avser en förmåga elever ska kunna bemästra i förhållande till innehållet, som exempelvis att redogöra för storleksförhållanden mellan bråk (Lo, 2014; Kullberg et al., 2017;
Marton & Pang, 2006; Marton, 2015). I lärandesituationer tolkar elever ett lärandeobjekt utifrån sina tidigare erfarenheter för att skapa en förståelse. För att uppnå den allmänna förståelsen av lärandeobjektet behöver det sättas i en kontext (Lo, 2014). Exempelvis kan symbolen för stambråket 1⁄2 introduceras i ett sammanhang där ett objekt delas mellan två individer. Enligt variationsteorin, har lärande uppstått, då en individ uppfattar fler aspekter av ett lärandeobjekt än tidigare (Lo, 2014). I detta fall har elever vidgat sin uppfattning om lärandeobjektet genom att bli medvetna om att halva objektet även kan uttryckas med hjälp av symbolen 1⁄ .2
4.3 Kritiska aspekter
Varje lärandeobjekt besitter specifika särdrag och kvalitéer vilka elever behöver bemästra för att utveckla sin förståelse. De kallas för kritiska aspekter av ett lärandeobjekt. Inför undervisningen om ett lärandeobjekt krävs en djupgående analys där lärare kritiskt reflekterar och identifierar vad som kan vara svårt för elever att tillägna sig (Lo, 2014). Eftersom lärare redan tillägnat sig de kritiska aspekterna är det viktigt att vara medveten om att elever kommer uppfatta lärandeobjektet på ett annat sätt än vad de själva gör. Följaktligen måste de kritiska aspekterna separeras från lärandeobjektet för att sedan introduceras en åt gången. Det som tas för givet, alternativt inte berörs, riskerar att leda till missförstånd och kunskapsluckor samt utgör i förlängningen ett hinder för lärandet (Lo, 2014; Kullberg et al., 2017). En kritisk aspekt för bråk är då lärare uttrycker exempelvis 1⁄3 men inte specificerar att
1⁄ 3svarar mot en helhet eller talet 1. Det riskerar att försvåra inlärningen på grund av något som läraren tar för givet (Lo, 2014).
Elever lär på olika sätt och har varierande erfarenheter med sig in i en lärsituation vilket innebär att vad som utgör en kritisk aspekt hos någon inte nödvändigtvis utgör detta för andra (Lo, 2014). För att som lärare identifiera de kritiska aspekterna uppmuntras de att granska läroböcker, utgå från sina erfarenheter av miss- uppfattningar hos elever, utföra elevintervjuer, för- och eftertester samt ta del av forskning och learning studies (Lo, 2014).
4.4 Variationsmönster
En grundläggande tes inom variationsteorin är att effektivt och meningsfullt lärande sker genom upplevelsen av skillnader snarare än likheter. För att kunna förstå vad något är måste elever få erfara vad det inte är. Det är förmågan att urskilja dessa skillnader som elever behöver få hjälp med. Således är det upp till läraren att skapa lärandetillfällen där variationerna synliggörs (Lo, 2014; Marton & Pang, 2013).
Variationsteorin erbjuder två former av variationsmönster separation och fusion, där separation i sin tur omfattar två delbegrepp i form av kontrast och generalisering.
Separation utgör en dimension av hur ett lärandeobjekt kan varieras. Detta sker då lärandeobjektet antingen separeras från vad det inte kan vara (kontrast), alternativt då det påvisas variationer av vad det kan vara (generalisering) (Marton & Pang, 2006).
4.4.1 Kontrast
Lärande bör ta sin utgångspunkt i hur elever uppfattar ett lärandeobjekt utifrån sina tidigare erfarenheter. Därefter bör objektet separeras från sitt sammanhang genom att elever får chansen att urskilja skillnader från sina tidigare uppfattningar och på så vis tillägna sig nya kunskaper. Detta kallas för att skapa en kontrast. Kontrastering sker vanligast genom att påvisa vad något inte är i förhållande till vad det faktiskt är (Lo, 2014: Kullberg et al., 2017; Marton & Pang, 2006). Om en lärare exempelvis vill arbeta med stambråket 1⁄3 utifrån den kritiska aspekten inverse order relationship, behöver det visas i förhållande till 1⁄2 eller 1⁄ .4 Vid en kontrastering behålls således lärandeobjektet konstant, medan omständigheterna omkring varierar vilket hjälper elever att urskilja skillnader. Kontrastering är en medveten process där såväl elevers ursprungliga uppfattningar av ett visst fenomen, som deras nya kunskaper, måste förbli i fokus samtidigt (Lo, 2014; Kullberg et al., 2017; Marton & Pang, 2006).
4.4.2 Generalisering
Generalisering innebär att ett värde fokuseras, samtidigt som aspekter som ännu inte varit i förgrunden separeras och varieras en i taget. Det fokuserade värdet ämnas således att generaliseras samtidigt som övriga värden varieras (Lo, 2014; Marton &
Pang, 2006). Värdet 1⁄ 3 behålls konstant samtidigt som representationsformen varieras. 1⁄3 kan inledningsvis beskrivas som en area där såväl cirklar, rektanglar och kvadrater belyser värdet. Därefter kan det påvisas linjärt som ett tal på tallinjen eller som en andel av en helhet. Generalisering ämnar skapa en förståelse för att lärandeobjektet kan förekomma i olika sammanhang och anta olika uttryck.
4.4.3 Fusion
Fusion innebär att flera kritiska aspekter och variationsmönster varieras simultant.
Det betyder att såväl skillnader som likheter påvisas i samma uppgifter (Lo, 2014;
Kullberg et al., 2017; Marton & Pang, 2006). En uppgift som är utformad för att elever ska kunna erfara fusion hade exempelvis behandlat ett flertal stambråk (1⁄21
⁄31
⁄4), samtidigt som de representeras med olika representationsformer (bild, symboler, skrift). I en sådan uppgift varieras värdet och hur det uttrycks samtidigt.
4.5 Variationsteorins betydelse för studien
Valet av teori bör göras i förhållande till syfte och frågeställningar för en studie.
Teorin ska kunna tillföra något och bidra till att urvalet kan bearbetas utifrån en teoretisk utgångspunkt (Eliasson, 2013). Studiens syfte är att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv synliggöra vilka möjligheter läromedel erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk. Inom det matematiska området bråk är variation av representationsformer för elever en förutsättning för att tillägna sig en god förståelse för bråk och stambråk (Norton & Wilkins, 2013; Wilkins & Norton, 2011; 2018). Variationsteorin utgör således en relevant teoretisk utgångspunkt för läromedelsanalysen eftersom lärande uppnås då ett lärandeobjekt belyses med skillnader och variationer. De variationsteoretiska begreppen är applicerbara på studiens frågeställningar genom att den första ämnar identifiera vilka kritiska aspekter av stambråk läromedlet tar upp för att i den andra frågeställningen avgöra läromedlets möjligheter till att variera aspekterna genom olika variationsmönster.
5 Metod
I detta kapitel beskrivs textanalys som metod och dess relevans för studien. Vidare beskrivs etiska överväganden samt urval och avgränsningar för läromedlet och dess uppgifter. Avslutningsvis beskrivs genomförandet av analysen för studien.
5.1 Textanalys
Textanalys handlar om att kvalitativt läsa och analysera texter, såväl skrivna som uttryckta i bild. Utförandet börjar med att identifiera den problematik som finns för ett visst område och därefter formuleras forskningsfrågor som utgör grunden för studien. Vidare väljs ett lämpligt empiriskt material ut, som sedan kan analyseras i relation till problemet. Avslutningsvis genomförs en mer detaljerad analys av det empiriska materialet (Boréus, 2015; Widén, 2019). I detta arbete utgörs texterna av läromedel, eftersom syftet är att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv belysa vilka möjligheter en läromedelsserie erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk.
Läromedel har, som konstaterats i bakgrunden, en stark ställning i matematik- undervisningen i Sverige. I läromedel inkluderas både skrivna texter och bilder i syfte att underlätta förståelsen för elever. Boréus (2015) menar att texter har en viktig del i samhället och påverkar människors uppfattningar av diverse fenomen, vilket gör texter till något som är av värde att analysera. En möjlig tolkning av detta är att texter i läromedel kan forma elevers sätt att tänka om ett visst matematiskt innehåll och därmed är en analys av läromedel relevant.
5.2 Etiska överväganden
I samband med genomförandet av en forskningsstudie behöver etiska överväganden genomsyra utformningen. Riktlinjer som tillfaller dessa etiska övervägande är bland annat att inkluderade artiklar genomgått en kritisk granskning (peer-reviewed) samt att metodologin är tydligt framskriven. I övrigt behöver forskningen vara sanningsenlig; rättvis i bedömningen av andra forskares resultat; samt medvetet granska och redovisa utgångspunkterna för studierna (Vetenskapsrådet, 2017).
Samtliga av de artiklar som används i den här studien är peer-reviewed och metodologin är tydligt framskriven. Med avseende på sanningsenlighet och rättvis bedömning har vi som författare ambitionen att förhålla oss så objektiva som möjligt.
Ett sätt att säkerställa detta är att vi använder ett analysschema som tolkningsverktyg för analysen, vilket hjälper oss att följa de urvalskriterier och avgränsningar som gjorts. På så vis undviks att olika uppgifter i läromedlen tolkas utifrån skilda förutsättningar. Samtidigt som ambitionen är att vara objektiv i analysen, och därmed uppnå så hög tillförlitlighet som möjligt, är det svårt att förhålla sig helt förutsättningslös eftersom vi studerat området tidigare. Utöver redan nämnda riktlinjer bör samtliga berörda parter informeras och ge sitt samtycke till studien (se bilaga 2), vilket har tagits hänsyn till i utformandet av läromedelsanalysen (Vetenskapsrådet, 2017). Eftersom studiens data baseras på information som ges via ett läromedel ställs inga krav på ett sådant samtycke. Utgivningsförlaget har däremot gett sitt samtycke för att inkludera bilder och figurer som förekommer i läromedlen i denna läromedelsanalys.
5.3 Urval
För att kunna göra ett urval av läromedel, som är av relevans till studiens syfte, behövde urvalskriterier sättas upp. Urvalskriterierna ämnade att avgränsa vad som inte inkluderades i studien. Detta benämns som ett strategiskt urval (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Urvalskriterierna för studien är följande:
• Att läromedlen är grundade i nuvarande läroplan och därmed publicerats efter 2011
• Att det finns läromedel för samtliga årskurser på mellanstadiet från förlaget
• Att läromedlen är aktuella och används i verksamheten
• Att läromedlen inkluderar ett avsnitt om bråk och uppgifter som behandlar stambråk
Det strategiska urvalet kompletterades med ett bekvämlighetsurval utifrån vilka läromedel som används i de kommuner där vi som lärare ämnar vara verksamma (Denscombe, 2018). Urvalet begränsades till en läromedelsserie för att kunna analysera progressionen av stambråk i undervisningen och samtidigt erhålla en hanterbar mängd data i förhållande till studiens omfattning.
5.3.1 Matematik Alfa, Matematik Beta & Matematik Gamma
Matematik Alfa (Undvall, Melin, Johnson, Welén & Liber AB, 2019), Matematik Beta (Undvall, Melin, Johnson, Welén, Dahlin & Liber AB, 2020) och Matematik Gamma (Undvall, Melin, Johnson, Welén, Dahlin & Liber AB, 2021) är tre läromedel som är utformade för att motsvara matematikundervisningen i årskurs 4–6, baserad på nuvarande läroplan. Hädanefter i studien kommer de benämnas som Alfa, Beta och Gamma. Tillsammans utgör de en del av en läromedelsserie som omfattar hela grundskolan. För varje enskilt läromedel finns en grundbok som ämnar att fungera till merparten av alla elever då varje avsnitt erbjuder uppgifter på tre nivåer. Grundboken finns även i en A- och B-bok som berör samma innehåll men riktar sig till elever med motoriska svårigheter. Utöver grundboken finns det en basbok (lägre nivå) och en utmaningsbok (högre nivå) som ska underlätta för en samlad undervisning, där elevers olika behov får utrymme i samma klassrum. Varje kapitel inleds med ett uppslag med ”Kan du det här”, som är ett förtest hämtat från tidigare årskurser, vilket kan ge en indikation om vilken nivå elever bör räkna på. Varje nivå har samma antal uppgifter och är tänkta att kunna utföras med liknande tidsåtgång. En del uppgifter är försedda med en symbol, vilken ämnar träna resonemangsförmågan utifrån EPA (enskilt, par, alla). Till materialet finns det även en tillhörande lärarguide, terminsplanering, digitala presentationer, filmer, arbetsblad, läxor, kartläggningsmaterial och diagnoser på läromedlets hemsida. Alfa, Beta och Gamma omfattar ett stort underlag för undervisningen i årskurs 4–6 och på grund av studiens begränsade omfattning inkluderas endast grundboken för samtliga årskurser.
5.3.2 Avgränsningar
En utgångspunkt för uppgifter som inkluderades i analysen var att de behandlar bråk, där stambråket är av betydelse för att lösa uppgiften. Exempel på uppgifter där stambråk behandlas men som exkluderades från studien är bland annat uppgifter som avser att överföra skriftspråk (en fjärdedel) till symbolspråk (1⁄4). Förståelsen för stambråkets betydelse är i sig inte avgörande för att lösa uppgiften och faller därmed
utanför ramen för studiens syfte. Vidare har uppgifter där stambråk behandlats i samband med decimaltal, procent samt minsta gemensamma nämnare exkluderats från studien, eftersom det tillkommer andra kritiska aspekter i relation till dessa uppgifter. Ett exempel på en sådan uppgift är då elever ska avgöra vilket tal som är störst av stambråket 1⁄ 3och decimaltalet 0,1 (Undvall et al., 2020). Uppgiften visar förvisso en kontrast av stambråket i förhållande till decimaltalet, men eftersom andra kritiska aspekter tillkommer, som exempelvis att omvandla bråket till ett decimaltal, faller uppgiften utanför studiens syfte. De uppgifter som behandlar flera kritiska aspekterna för stambråk samtidigt, har placerats in under samtliga berörda kritiska aspekter.
5.4 Analys
Studien har en deduktiv ansats som utgångspunkt för analysarbetet. Det innebär att forskningen tar sin utgångspunkt i en teori eller allmän regel för att härleda slutsatser och påståenden. I den kvalitativa forskningen utgör teorin ett analysverktyg för hur man samlar in data (Fejes & Thornberg 2019). I denna studie utgör variationsteorin grunden för den deduktiva ansatsen.
Utifrån tidigare forskning, som presenterades i bakgrunden, identifierades sex kritiska aspekter som avgörande för elevers möjligheter att tillägna sig en förståelse för stambråk. De var areamodellen, linear measurement, inverse order relationship, stambråk som mängden av en helhet, partitioning och iterating. I läromedelsanalysen inkluderades dessa aspekter i ett analysschema (se tabell 1) som ställdes mot frågorna
“Hur representeras de kritiska aspekterna i uppgifterna som ingår i läromedelsserien?” och “Vilka variationsmönster kan identifieras av de kritiska aspekterna i uppgifterna?”. Analysschemat utgör således ett tolkningsverktyg för läromedlen.
Tabell 1: Analysschema
För att undersöka om analysschemat skulle vara hållbart som tolkningsverktyg, och därmed öka studiens tillförlitlighet, utfördes en pilotstudie. Det innebär att datainsamligsmetoden testas i förväg för att se om den fungerar i praktiken och på så sätt undvika allvarliga problem senare i studien (Denscombe, 2018). Detta genomfördes i studien gentemot ytterligare ett läromedel som uppfyllde urvalskriterierna. Resultatet av pilotstudien visade att analysschemat skulle fungera för analysen. Läromedlet som analyserades inkluderades inte i studiens resultat, utan
verkar endast för att understödja studiens möjligheter att nå ett så tillförlitligt och trovärdigt resultat som möjligt.
Vid analyserandet av läromedelsserien utfördes först en översiktlig läsning av uppgifterna, som systematiskt placerades in i schemat utifrån fråga 1 (se bilaga III).
Därefter bearbetades datan mer detaljerat för att höja tillförlitligheten i resultatet, genom att uppgifterna lästes ännu en gång för att kunna kontrollera att tolkningen inte förändrats under studiens gång. I detta skede hade det även konstaterats att stambråk som mängden av en helhet utgjorde ett mer omfattande resultat än vad som tidigare förväntats. Denna kritiska aspekt kompletterades i analysschemat. Avslutningsvis detaljstuderades respektive uppgift som placerats in under de kritiska aspekterna för att identifiera vilka variationsmönster som förekom utifrån fråga 2 (se bilaga III).
6 Resultat
I kapitlet redovisas resultatet utifrån studiens frågeställningar. Först besvaras på vilket sätt de kritiska aspekterna av stambråk förekommer i uppgifterna i läromedelsserien.
Vidare behandlas de kritiska aspekterna utifrån deras möjligheter till lärande i relation till de variationsteoretiska begreppen kontrast, generalisering och fusion.
6.1 Kritiska aspekter i uppgifterna
I tabell 2 redovisas resultatet av analysen som gjorts på de tre läromedlen utifrån studiens första analysfråga. För respektive läromedel är det 27, 35 och 46 uppgifter som behandlar stambråk. Tabellen presenterar det antal gånger som en kritisk aspekt förekommer i de analyserade uppgifterna. Vissa av uppgifterna berör mer än en kritisk aspekt vilket resulterar i att den sammanlagda procentsatsen överstiger 100 %. Vidare kommer nedslag i de viktigaste delarna av resultatet att presenteras.
Hur representeras de kritiska aspekterna i uppgifterna som ingår i läromedelsserien?
Läromedel Alfa Beta Gamma
Kritiska aspekter Antal Procent Antal Procent Antal Procent Areamodellen 11 av 27 40,7 % 9 av 35 25,7 % 17 av 46 37,0 % Linear measurement 4 av 27 14,8 % 6 av 35 17,1 % 4 av 46 8,7 %
Inverse order
relationship 6 av 27 22,2 % 9 av 35 25,7 % 1 av 46 2,2 %
Stambråk som mängden av en helhet
5 av 27 18,5 % 9 av 35 25,7 % 23 av 46 50 %
Partitioning 4 av 27 14,8 % 2 av 35 5,7 % 4 av 46 8,7 % Iterating 8 av 27 29,6 % 7 av 35 20 % 6 av 46 13,0 %
Tabell 2: Resultattabell 1
6.1.1 Areamodellen & linear measurement
Areamodellen har, som synliggörs i tabell 2, en framträdande roll som representationsform i läromedelsserien oavsett årskurs och är därmed den kritiska aspekt av stambråk som berörs flest gånger. Samtliga kapitel för bråk i de tre läromedlen introduceras med hjälp av en representation utifrån en areamodell i form av en pizza, för att synliggöra stambråk som en del av en helhet. I introduktionen kommuniceras att objektet ska delas lika mellan ett specifikt antal individer, där stambråket uttrycks i symbol och skrift i relation till areamodellen. Vidare berörs även begreppen täljare, nämnare och bråkstreck med avseende på definitionen av lärandeobjektet bråk.
Uppgifter som berör areamodellen i läromedlet representeras bland annat med färgade geometriska figurer, som exempelvis kvadrater, cirklar och rektanglar. Figurerna
erbjuder ett visuellt stöd för att uppfatta stambråket som en del i förhållande till sin helhet. Elever erbjuds stöttning genom att följa ett tidigare exempel från föregående sida som bland annat uttrycker samma bråk.
Bild 1: Exempel på uppgift med areamodell (Undvall et al., 2019:71)
Utöver uppgifter där areamodellen berörs i bild, är även ett antal textuppgifter tydligt kopplade till representationsformen. Exempelvis handlar uppgifterna om att dela en tårta, paj eller chokladkaka i olika delar. Den här typen av uppgift behandlas i varje avsnitt med fokus på resonemangsförmågan där elever ombeds arbeta tillsammans.
De ska förklara hur stor del som ätits när hälften av en halv chokladkaka är uppäten (Undvall et al. 2021).
I Gamma introduceras blandad form för att illustrera bråk som är större än 1.
Introduktionen berör blandad form med hjälp av pizzor som delas i mindre delar.
Detta fungerar som en brygga för att tolka övriga uppgifter i avsnittet. I merparten av uppgifterna ska elever omvandla ett bråk från bråkform till blandad form. Övriga uppgifter som behandlar blandad form förmedlas med en areamodell som är skuggad på liknande sätt som i bild 2, utifrån femtedelar (11⁄5= 21⁄5).
Bild 2: Areamodellen med blandad form (Undvall et al., 2021:79)
Utöver areamodellen som representationsform visar analysen att linear measurement – som tar sin utgångspunkt i tallinjer, sträckor och längder – behandlas i samband med stambråk i läromedelsserien. Uppgifter som avser linear measurement kopplat till tallinjen förekommer endast två gånger i de tre läromedlen. I samband med detta behöver elever identifiera hur tallinjen är uppdelad i stambråk för att sedan upprepa stambråket för att fastställa punkterna på tallinjen. I övrigt berörs representationsformen i samband med geometriska figurers omkrets (se bild 3).
Bild 3: Exempel på uppgift med linear measurement (Undvall et al., 2020:48)
6.1.2 Inverse order relationship & stambråk som mängden av en helhet Inverse order relationship berörs främst i Alfa och Beta och vid ett tillfälle i Gamma (Undvall et al, 2019; 2020; 2021). I Alfa och Gamma finns ingen specifik introduktion för aspekten men däremot finns representationen i Beta (se bild 4). Introduktionen tar
sin utgångspunkt i de naturliga talen 6 och 3 samtidigt som talen 1⁄6 och 1⁄3 illustreras med en pizza för att kommunicera det omvända förhållandet för stambråk.
Bild 4: Introduktion till inverse order relationship (Undvall et al., 2020:9)
De flesta uppgifterna som berör inverse order relationship har symbolen som indikerar att lösningsprocessen bör genomföras utifrån EPA (enskilt-par-alla). I bild 5 visas hur majoriteten av uppgifterna som berör inverse order relationship är utformade. Elever får tillsammans resonera och motivera för vilket av stambråken som motsvarar störst andel.
Bild 5: Exempel på uppgift för inverse order relationship (Undvall et al., 2019:192)
Uppgifter som relaterar till den kritiska aspekten, stambråk som mängden av en helhet, ämnar utveckla förståelsen för att ett stambråk utgör en mängd av en egenskap hos ett föremål (exempelvis längd eller vikt). I samtliga läromedel berörs denna kritiska aspekt och i Gamma omfattar den 50 % av uppgifterna som berör stambråk (se resultattabell 2). Uppgifterna introduceras med hjälp av ett bestämt antal föremål, exempelvis 10 frukter, som kategoriseras efter vad som utgör helheten (10), andelen (1⁄5) samt antalet föremål som utgör mängden (2 frukter). Elever ges sedan ett tillvägagångssätt för hur de stegvis kan lösa uppgifterna. Till stor del är uppgifterna likartat formulerade och går ut på att beräkna en andel av en helhet, exempelvis 1⁄ 10
av 250 sidor i en bok (Undvall et al., 2019).
6.1.3 Partitioning & iterating
De mentala operationerna partitioning (uppdelning) och iterating (upprepning) förekommer med varierande frekvens i de olika läromedlen. Genom ett introducerande exempel belyses operationerna med hjälp av en upprepad addition av stambråk. Uppgifter som ställer krav på att kunna utföra partitioning och iterating är exempelvis då elever ombeds att redogöra för hur stor andel som är kvar att läsa, då
5⁄ 6är läst (Undvall et al., 2019). Partitioning utför elever när de konstaterar att 5⁄6
utgår från stambråket 1⁄6. Iterating behöver de använda sig av för att avgöra hur många sjättedelar som återstår av hela boken.
Genom analysen har ingen specifik uppgift kunnat kopplas till partitioning utan att samtidigt beröra någon av de övriga kritiska aspekterna för stambråk. Däremot förekommer uppgifter som enbart fokuserar på iterating. I bild 6 är antalet andelar redan givna vilket innebär att partitioning redan är utfört. För elever går uppgiften ut på att upprepa delarna så att de motsvarar punkterna på tallinjen.
Bild 6: Exempel på uppgift för iterating (Undvall et al., 2020:14)
6.2 Variationsmönster av kritiska aspekter
I tabell 3 redovisas resultatet av analysen som utförts på de tre läromedlen utifrån studiens andra analysfråga. I den här tabellen redovisas resultatet oberoende av i vilket av de tre läromedlen som uppgifterna förekommer i. Istället presenteras uppgifterna kopplat till de kritiska aspekterna och i relation till det variationsmönster som identifierats. För att se fördelningen utifrån olika läromedel - se bilaga II.
Vilka variationsmönster kan identifieras av de kritiska aspekterna i uppgifterna?
Variationsmönster Kontrast Generalisering Fusion Kritiska aspekter Antal Procent Antal Procent Antal Procent
Areamodellen - - 14 av 36 38,9 % 22 av 36 61,1 %
Linear measurement - - 1 av 13 7,7 % 12 av 13 92,3 %
Inverse order relationship
8 av 16 50,0 % - - 8 av 16 50,0 %
Stambråk som mängden av en helhet
- - 1 av 36 2,8 % 35 av 36 97,2 %
Partitioning - - - - 10 av 10 100 %
Iterating - - 3 av 21 14,3 % 18 av 21 85,7 %
Tabell 3: Resultattabell 2
6.2.1 Areamodellen & linear measurement
Kontrast innebär att ett lärandeobjekt kontrasteras mot något det inte är, i syfte att skapa en gemensam utgångspunkt för lärandet (Lo, 2014). I läromedlet förekommer inga specifika uppgifter som konsekvent behandlar kontrast i relation till areamodellen eller linear measurement. Däremot kan variationsmönstret härledas till areamodellen i två informationsrutor. Kontrasten påvisas genom att en pizza delas i stambråket 1⁄3 och kontrasteras mot en annan pizza uppdelad i sex bitar (1⁄6), för att påvisa hur många gånger delen behöver upprepas för att motsvara helheten.
Variationsmönstret generalisering förutsätter att ett värde ges fokus samtidigt som det antar olika uttryck (Lo, 2014). För att generalisera värdet av ett stambråk används linear measurement vid ett tillfälle i läromedelsserien. Elever förväntas avgöra, i relation till en kvadrats omkrets, var på sträckan de har passerat 1⁄4, 2⁄4, 3⁄ 4och 4⁄4
utifrån en given startpunkt. En övervägande del av uppgifterna, där areamodellen
generaliseras, ser ut på ett liknande sätt i alla årskurser. I bild 7 visas en uppgift där elever förväntas generalisera värdet 1⁄2 och 1⁄4 utifrån en bildrepresentation och sedan svara med en symbolrepresentation.
Bild 7: Areamodell i relation till generalisering (Undvall et al., 2021:115)
Fusion innebär att flera kritiska aspekter och variationsmönster förekommer i en uppgift samtidigt (Lo, 2014). Vid analys av läromedlen framgår det att en majoritet av uppgifterna behandlar stambråk utifrån areamodellen och linear measurement i relation till fusion. Då andelen fusionsuppgifter är betydligt större än för övriga variationsmönster, innehar denna kategori ett större omfång av formuleringar och uttrycksmönster. I bild 8 representeras en areamodell där värden varieras samtidigt som de uttrycks med olika geometriska figurer. Elevers uppgift är att svara hur stor andel de olika delarna utgör. I bilderna synliggörs även den progression som sker i förhållande till stigande årskurs, där bilden till vänster varierar två värden (1⁄2 och
1⁄4), och bilden till höger varierar fler värden (1⁄2, 1⁄4, 1⁄8 och 1⁄16) samtidigt som fler geometriska figurer återfinns (kvadrat, rektangel och triangel).
Bild 8: Areamodell i relation till fusion (Undvall et al., 2019:193; 2021:73)
En textuppgift där fusion behandlas i förhållande till linear measurement är följande:
“En tredjedel av en halv är lika med en sjättedel. Förklara varför, till exempel genom att rita en bild.” (Undvall et al. 2021:72). Där ställs olika värden mot varandra, samtidigt som elever behöver tolka och förklara. Därmed behöver de relatera 1⁄2 mot
1⁄6 samtidigt som de representerar det på valfritt sätt. Exempelvis skulle ett svar kunna representeras med en sträcka eller tallinje, men även med hjälp av en area.
6.2.2 Inverse order relationship & stambråk som mängden av en helhet För uppgifter som behandlar inverse order relationship används variationsmönsterna kontrast och fusion. Kontraster påvisas i läromedlet utifrån att elever ska avgöra vilket av stambråken som utgör den största andelen (1⁄ 7 eller 1⁄4). Som det framgår av tabellen berörs inte inverse order relationship utifrån generalisering, men däremot återfinns flera uppgifter som svarar mot fusion. I bild 9 visas en uppgift där elever behöver uppfatta värdena 1⁄3 i förhållande till 1⁄4. Samtidigt behöver de uppfatta flera kritiska aspekter, exempelvis efter hur lång del av sträckan Vilgot och Zoe möts samt hur det förhåller sig till hela sträckan (helheten).
Bild 9: Inverse order relationship i relation till fusion (Undvall et al., 2020:14)
Stambråk som mängden av en helhet innehåller liten variation av de variationsteoretiska mönstren, vilket kan utläsas i tabell 3. Fusion är ett framträdande variationsmönster i samtliga uppgifter utom en. I uppgifterna behöver elever dels beräkna hur mycket 1⁄5 av 20 mil motsvarar och därefter även svara på hur mycket
4⁄5 motsvarar. Uppgifterna är lika till utformningen samtidigt som de uttrycks på olika sätt genom tid, vikt, volym etc.
6.2.3 Partitioning & iterating
Variationsmönstret generalisering berörs endast vid ett fåtal tillfällen för iterating. Ett tillfälle där detta uttrycks är då elever ska svara på frågan: “Hur många sjättedelar/fjärdedelar är en hel?” (Undvall et al., 2020). De förväntas kunna uppfatta att en sjättedel behöver upprepas sex gånger för att motsvara helheten, på samma sätt som att en fjärdedel behöver upprepas fyra gånger.
Flera av uppgifterna som kräver att elever har tillägnat sig operationerna partitioning och iterating, är utformade som i bild 10. Denna uppgift skulle kunna ses som både en kontrast och fusion. Kontrast, eftersom stambråket ställs mot ett annat bråk för att elever ska få möjlighet att urskilja skillnaderna. Samtidigt ställer den här typen av uppgift krav på att simultant kunna se att bråket 2⁄3 består av 2 upprepningar av stambråket 1⁄3 för att sedan jämföra det med stambråket 1⁄2. Eftersom flera värden och kritiska aspekter varieras samtidigt utgör detta ett exempel på en uppgift som kan relateras till fusion.
Bild 10: Partitioning och iterating relaterat till fusion (Undvall et al., 2019:197)
Partitioning och iterating behandlas även i relation till en tallinje, där elever förväntas namnge de markerade punkterna. Inledningsvis behöver de förstå hur stora delarna mellan talen är (1⁄5) med hjälp av partitioning. Därefter behöver delarna upprepas för att motsvara markeringarna för bokstäverna. Samtidigt måste elever vara medvetna om att stambråket kan upprepas och vara större än 1. Även den här uppgiften kan relateras till fusion då det är flera kritiska aspekter som varieras i samma uppgift.
Bild 11: Partitioning och iterating relaterat till fusion (Undvall et al., 2021:47)
6.3 Sammanfattning
I resultatet, som redovisar hur kritiska aspekter representeras i läromedlet, framkommer det att areamodellen som representationsform genomgående upptar en omfattande del av läromedelsserien. Den representeras främst genom skuggade geometriska figurer, men även textuppgifter anknyter till stor del till olika typer areor.
Resultatet för linear measurement visar att representationsformen upptar en begränsad del av läromedlen. Den uttrycks endast två gånger i förhållande till en tallinje och i övrigt främst i samband med geometriska figurers omkrets. Vidare framgår att inverse order relationship förekommer i uppgifter som jämför två stambråk med varandra. Ett undantag görs dock i introduktionen för ett av kapitlen, där areamodellen används. För stambråk som mängden av en helhet visar resultatet att uppgifterna är utformade på liknande sätt, oavsett om de uttrycks i en textuppgift eller i en beräkningsuppgift. Introduktionen till detta avsnitt behandlar en stegvis förklaring för hur elever bör lösa uppgiften vilken även återfinns på andra ställen i läromedlet. Den kritiska aspekten finns representerad i samtliga årskurser men upptar i Gamma 50 % av uppgifterna som berör stambråk. Samtliga av de uppgifter som behandlar den mentala operationen partitioning (uppdelning) förekommer i uppgifterna tillsammans med iterating (upprepning). Den senare förekommer emellertid enskilt vid ett fåtal tillfällen, exempelvis i samband med en tallinje.
I resultatet, som redovisar vilka variationsmönster som identifieras utifrån de kritiska aspekterna, framkommer det att variationsmönstret kontrast endast förekommer för inverse order relationship. För generalisering visar resultatet att det främst förekommer i samband med areamodellen där elever ska kunna tolka stambråken i areor och överföra till exempelvis symbolrepresentationer. För partitioning och inverse order relationship förekommer generalisering inte alls, samt endast vid ett fåtal tillfällen i relation till linear measurement. Det vanligast förekommande variationsmönstret i läromedlen är fusion. I dessa uppgifter varieras flera kritiska aspekter samtidigt genom att skilda värden tolkas utifrån en helhet som antar olika representationer. Exempelvis karaktäriseras fusionsuppgifter kopplade till areamodellen av att geometriska figurer, alternativt delbara objekt som motsvarar en area, relateras till varierande värden. Ytterligare ett exempel på fusion är i samband med uppgifter som berör partitioning och iterating. Operationerna utgår bland annat från att dela upp ett bråk utifrån dess stambråk, vilket sedan kan upprepas oberoende av vad som utgör helheten.
