%A,.
DE MOTU LIQUIDORUM IN YASIS
OBSERVATIONES
t
QVAS
VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.
p. p.
hao. ERICÜ8 EDLUND
ET
EV. VICTOR EHRENH. ton ZEIPEL
EPLANDO-ROSLACUS STIPEND. HESS.
IN AUDIT. GUSTAV. DIE X DEC. MDCCCXLV.
H. P. M. S.
n.
UPSALIiE WAHLSTRÖM ET C.
BRUKS-PATRONEN HÖGÅDLE HERR
CARL SAM. FREDRIK v. ZE1FEL
✓
SAMT
BRUKS-PATRONESSAN HÖGÄDLA FRU
FREDRIKA WILH. v. ZEIPEL
född IIASFFNER
mina hulda Föräldrar
med vördnad och härleh
i
tillegnadt
af
VICTOR.
COIVSISTORII ECCLESIASTICI NOTARIEN
HERR MAGISTER
JOHAN ERIK FAST
SAMT
™ CHRISTINA JULIA ANGELINA FANT
född von ZEIPEIj
med broderlig vänskap och kärlek
VICTOR,
9
valorem retinere. Si hoc integrale per y(ö) significemus, mem- brum posterius aequationis (15) habebimus = y(27r) — ^(o) = o.
Idcirco fit
2n
dR dR\
Pr + 8k + wr ) dO — o (ifi)
4. Si ß angulus appellatur, quem cum normali superfi-
ciei format linea, secundum quam particula quaedam liquidi,
ad ipsam superficiem sita, movetur, et si tota velocitas par- ticulae A dicitur, obtinemus
dL dl* dL
/"(-
Cosß =
llBdn + Sade+WBd^
'dL JR
sive
V i /dL\ (JL\\
) + R'\de) + \dz)
dR dR
~ ""
~dH ~WbTz
Cosß= — (17)
+y
i /dR\' /dR\*
+ R'\ds) +
Quum autem superficies vasis ejusmodi ponatur, ut ad
valorem quemlibet ipsorum z et 0 unicus tantum respondeat
valör ipsius R$ sequitur, ut angulus, quem cum radio vectore producto format ea pars normalis, quae est inträ superficiem,
nusquam omnino acutus fieri possitj quare cosinus liujus
anguli, qui facile invenitur esse = — .
R'\Sj +
2.
10
Semper est negativus habendus. Cosinus ß autem ita deter¬
minatus, si non apqualis est nihilo, Semper positivus sit9 ne-
cesse est. Quum igitur signum elementorum, ex quibus inte¬
grale definitum in aequatione (16) constat, variarenon possit,
ex cadem aequatione sequitur, ut
dR dR
~ r« + s«M+WR dz
Q. E. D.
Facillime intelligitur, metbodum demonstrandi, qua supra
usi sumus, etiam in eo casu mutatis mutandis adbiberi posse,
quum ad valorem quendam ipsorum a et ö plures valöres
ipsius R respondeant.
S. Quumsuperficies vasispluribusaequationibus, f[Ry 0, z)=o,
f,(R, 9, z) = o, f„(R, 9, z) = 0 etc., exprimitur, loco aequa-
tionis (IS) nullo negotio obtinemus
/ / dR dR\f f dR, dR\
J*(-*+%^-+wr —)d9+^R,^Bl_+
271 Q'
4H y*-■*./«.(
o" 2ti
■{■ d"+ "" +-[ de = — + ?("') — f,y)
+ ÜP,(«")— + Facillime autem invenimus
vi«) - 'rS-"); vi*) = v,(»')•, ?,(«") = ?„(«"); etc-
11
Obtinemus igitur, quia elementa, ex quibus intcgralia de-
finita in aequatione (18) constant, semper eodern signo sint af-
fecta,
dR dR
— Pr + % + wr — == o;
dR, dR,
Pr,+ 8b/ + wr, — o}
dR„ dR„
Pr + 8R h Wii = ©:
dB *" dz '
etc. etc. etc.
Ex aequatione (11) igitur necessario sequitur, ut, quum liquida e vasis formae cujuslibet effluant, particulae, quae inilio
motus in superficie sitae fuerint, secundum superficiem semper
moveantur.
6. Si liquidum e vase non eflluit, sed tarnen in motu est,
dq in aequatione (12) = o poni oportet. Quum aequationi (15)
lioc modo satisfiat, quicunque sit motus liquidi, sequitur, ut
proprietas, de qua lieic agitur, etiam in hoc casu valcat.
7. Hsec demonstratio, quum in eo nitatur, quod eadeni
quantitas liquidi duo successiva et inter se parallela plana per-
fluat, non ulterius extendi potest, quam ad summum planum,
quod totum sub superficie libera situm est. Sed quamquam
nullo modo dicere possumus, eandem quantitatem liquidi duo
parallela plana perfluere, quae foramen, per quod liquidum
effunditur, secant, proprietas ta&en demonstrata inter plana
i
ii
parallela, quae foramen amplectuntur, exsistit, quum z-axis
et plana, quae ad eum sunt ad normam ducta, situ sint ar-
bitraria.
§• ii
De motu particularum, quae initio motüs liquidi in su- perficie libera sitae sunt.
8. Duc s-axein per foramen, per quod liquidum effluit,
ad punctum quodlibet in superficie libera. Circa biinc axem finge cylindrum, cujus radius major sit, quam maxima fora¬
minis longitudo. Si A differentiam significat inter eas quan-
titates liquidi, quae in hoc cylindro ad tempora t et t + dt
conlinentur, et si B quantitalem denotat, quae per tempus dt
superficiem cylindri perfluxit, babebimus
dq — A + B
(dq ut antea denotante quantitatem liquidi, quae per tempus
dt e vase efQuit).
Sit f(zr, 0, r, t) = o aequatio superficiei liberae. (z' lieic
utimur pro z, quae ad aequalionem superficiei vasis perti- net.) Per tempus dt zr pro puncto quodam superficiei in
dzr . . . dz'
z' h dt mutaturj si igitur — dt per elementum seetionis
dt dt
transversalis cylindri (r, dr,dfy multiplicamus, babemus
271 r
A ~ ridr>de 0«)
y-
¥
o 0
r
13
^ jf* a • >
Obtinemus
2n z'
JJ =—dt^fJprdzdB.O z . . . (20)
Itaque erit
27» r z
dq = — r,dr,dt/+ J*(irdz\dB. . . (21)
O \ O dt Z J
Obs. Facile est intelligere, signum (—) ante signum inte-
grationis in aeqqu. (19) (20) ponendum esse. Namque si quan-
titas liquidi, quae in cylindro ficto continetur, per tempus dt
crescat, integrale ipsum definitum in aequ. (19) positivum fit5
si autem diminuatur, negativum. Eodemque modo, si quan- tilas, quae est extra cylindrum, crescat, integrale definitum in
aequ. (20) fit positivum$ si contra diminuatur, negativum. Per-
spicuum autem est, utramque liarum quantitatum eodem tem¬
pore crescere non posse, sed aut utramque diminui, aut al¬
teram crescere, dum altera diminuatur. Si nunc utraque di¬
minuatur, sunt A et B quantitates positivaej quare signum
(—) ante intcgralia definita in aeqqu. (19) (20) est ponendum.
Si autem altera crescat, dum altera diminuatur, utrumque in¬
tegrale signo (—) est afficiendumj quum illud integrale defi¬
nitum, quod in boc casu per se jiositivum est, ab eo sit sub-
trahendum, quod per se negativum est, quodque, ut positi-
vum sit, signum (—) obtinere debet.
Quum dq in aequ. (21) a radio cylindri v sit independens;
derivata partialis ipsius dq respectu ipsius r aequalis estnihilo.
u
Obtinebimus igitur
2n *
ffdz' dz' dz fd.[ir f \ .
dXwr+*"*~*r+*J -+■*)"-•* ■■<**>
aut, si dr ex aequat. (il) in aequ. (22) substituitur,
_
2n *'
/(5+ ""Tr~ ~Tr+ *)* = (25)
Sed habemus
da' da <VWs /"ds
s*' do m ~~ nr ~ ~d»
unde
271
//dz' dz' dz' dz dz
i \~dt + Tr + V To ~ "V ~*dr~S'dO+ )1dS
j* d.JulzdB dO (24)
Ex iis autem, quse supra de fimctione » allata sunt, fa-
eillime intelligi potest, dextrum membrum aequationis (24) äquale esse niliilo.
.dEquatio (24) igitur abit in
271
ffdz' dz' dz' dz dz \
■i\T+li'T+a' M- w''-ft*T-a'do +",')d6=°- (23)
15
9. Conditio, cui satisfiat necesse est, si partieulae liquidi,
quse initio motus in superficie vasis fuerunt, semper in ea inanebunt, est secundum aequ. (8)
dr dr
_„,+8r_+w,_=„,
sive
dt dr dt dr dt
— fi — + »r — — + wt — — = o (26)
dr dOdr dt dr
Si jF(r, 0, t) — o est aequatio superficiei vasis, habemus
dJF
dF dF dr 10
dr + dB — 05 unde — =
et
ideoque
dr dO dO dF
dr
dF_
dF dF dt dr
~<h HF = °' nn dr = ~dFi
dt
dF
drdt dO dt
dO dr dF dO
dt Praeterea est
dr dt dt dr
Hoc modo aequatio (26) in hane jam redacta est formaln
dt dt
dr rdO
t*t —— »r-72+ w* = °>
16
(ju a re aequatio (25) in sequentem transformatur
2it
10. Quaeramus jam aeqtiationem conditionalem, cui satis¬
fiat necesse est, si particulae, quae, antequam liquidum moveri
eoepit, in superficie libera sitae fuerunt, Semper in eadem sub
motu remanebuut.
Sit aequatio superficiei liberae ad tempus t
/K? r? ') = °y (28)
ad tempus t + dt eadem aequatio fit
f(z0, r, t + dt) = o. . % (20)
Coordinatae particulae cujusdam, quae adtempus t sunt r,0, z ,
quaeque aequationi (28) satisfaciunt, sunt ad tempus t + dt in
r+fiz,dty d +8z,dt, z'+ivz<dt mutataej quee quidem, si in ae-
quationem (29) inferuntur, eidem salisfacere debent, si par- ticula etiam ad tempus t+ dt in superficie libera sita sit. JE- quatio, quam quaerimus, hoc modo fit
fiz! + wx.dt, 0 + 8z,dt, r + [*t'dt, t + dt) = o,
. >
sive
/<//■ af df df \, , ^
+ + + . (30)
quae quidem aequatio, quum coordinatae particulae (z', 0, r) ad tempus t aequationi (28) satisfaciunt, in sequentem abit
17
vel, si per —df dividimus*),
dz '
dz' dz' dz!
m
11. Si particulae qusedam liquidi, qua; ad tempus t in superficie libera fuissent, non ad tempus t + dt in eadem es-
sent sitae, facillime est intelligere, eas inter superficiem libe-
ram et planum, ex quo z numeratur, Semper esse quaerendasj
ex quo sequitur, ut, si coordinatae omnium harum particula-
rum successive in aequ.(29) substituantur, valöres bujus aequa-
tionis aut, quod idem valet, aequationis (52) obtineamus eo- dem signo Semper affeetos. Quum igitur elementa, e quibus
integrale definitum in aequ. (27) constet, si non aequalia sint nibilo, semper idem signum retineant, ex eadem aequatione
obtinemus
dz' dz! dz'
-jrdt + JV ~j—^ 8z'dr dO = o (35)
Quamquam aequatio (27) non pro aliis valoribus ipsius r valeat, quam qui longiludine maxima foraminis sunt majores5 demonstratio tarnen omni, qua in boc casu potest, gaudet ge- neralitate, quum s-axis a foramine ad punctum qnodlibet in superficie libera duci possit.
*) Quum, sicuti ex aequat.(21) facillime patet, aequatio superficiei
liberae cjusoiüdi ponatur, ut ad valorem quendam ipsorum r et 0 uni- df
eus soluui respondcat valor ipsius z!, sequitur, ut-y-f signum nun mutet.
M-J/
18
Ope «equationis (11) igitur demoustravimus, partieulas li-
quidi, quae initio motus in superlicie libera sitae fuerint, in
eadem Semper esse permansuras.
12. Si liquidum non e vase effluit, sed aliquo modo in
vase movetur, proprietas, quam demonstravimus? etiam valet.
Nam in hoc casu est 2ti r
ex quo sequitur, ut aequationi (52) satisfactum «it.
