Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Carolus Alfr. Theod. Ädelgren Holmiensis. In audit. Gustav. die IX Apr. MDCCCXLII. H. a. m. s., P. II

3

CALCULI

VARIATIONUM

INTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATIONES

quas

VEMA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

SMMI1SIL

M&31MSMI

meciianices docens

et

€AROLVS ALFR. THEOD. ÄDELGREN

HOLMIENSI8.

in audit. gustav. die ix apr. mdcccxlii.

H. A. M. S.

P. II. MAG.

(jpsalie

TROMAN, KAMMARHERREN IIOS H. M. DROTTNINGEN

M. M.

UÖGVÅLBORNE HERR FRIHERRE

CARL

JEDWARD

BONDE

SAMT

HÖGVÄLBORNE HERR FRIHERRE

KNUT

PHILIP

BONDE

med _{högaktning egiiivdt}

af

5. Ex allatis _{jam patet, quo maximum sit vel minimum integrale} (leiinitum

(dcnotanlibus, ut solet fieri, p et q prim i ordinis derivalas ipsius z par¬

tiales), satis esse faciendum aequationi

Quarum prior aequatio est derivatarum partialium in genere 2:i or¬

dinis _{(eademque linearis qua derivatas 2:i ordinis), cujus integrale, rela¬} tionen» continens _{ipsarum a:, y et z, genus — licet modo indelinito,}

quippe quod arbitrarias (in genere duas) contineat functiones —

indica-bit _{qua'sitae superficies}

— Antequam alteram (6) adgi*edimur, hajc fere

observasse _juvabit.

A. Limites _{integralis (5) propositi ex ipsa indicantur projectione}

in _{xvplano perimetri superficiei, i. e. curvaj aut cui'varuin, quarum per}

ambitum terminatur _{superficies qua^sita cylindris xyplano ad normam}

ductis. In _{sequentibus spatium ipsius xyplani, quod bis continetur cy¬}

lindris, projcctioncm superficiei appellabimus. Estquc projectionis hujus

perimeter, breviter perimeter projecta, qua» limites indieat integralis (5).

r(.v,i/)=o projectam superficiei perimetrum denolet. Ponaturr=o, resoluta _{p. r. a i/, duos modo suppeditare valöres Fx et fx, quoruin} ille _{major; atque resoluta p. r. a x duos modo ^y et Jyy quoriim ille}

major. F(.v, y) manebit -^o — priori in casu — pro valoribus y inter

Fx et _{fx, posteriori autem pro valoribus x inter gy et Jy.}

In omnibus — ut ex. _gr. in\

j*fidydx

seu

J*[

3%)/

dxdy

ubi

prior integratio p. r. å y fieri debet, limites erunt Fx et fx. Fiat

in-tegralio a minori ad majorem. — Reslat id, quod inde provenit,

inte-grari p. r. a x et quidem ab x minima ad maximam earum, quas

con-dp dp

cedat _{aequatio perimetri T=o. At isla dat —dx+—dy=o seu}

(brevi-dy . . X

^

ter) T +r—= 05 ideoque .v maxima et minima dabuntur a rt— o,

cli-minatd inde _{y ope ipsius r= o.}

In omnibus _{autem, ubi prior integratio p. r. a x fieri debet, limi¬} tes erunt _{gy et Jy. Fiat integratio a minori ad majorem. — Reslat}

id, quod inde provenit, integrari p. r. a y et quidem ab y minori ad

majorem, datis his a V=o eliminatä inde x ope ipsius r—o.

Itaque in integrationibus elementa dx et dy positiva ponentur.

De caetero _{ponantur limites beic commemorati finita» esse}

magnitu-dinis, seu projecta superficiei perimeter curva esse ab omni parte inelnsa.

5. Considerentur _{jam a?quationis (6) termini}

J*ftdxdy

+

j"fidydx

seu

f/{(&*)'

+

dxdy,

breviter

|

dxdy,

et

quidem

primo

f

f

B, dxd,j.

-Est _{quidem ille =}

_f

—B), denotante B valorem ipsius B

im-J _F

f F

posita in eo Fx loco y, B imposita fx. — At r negativa est in

evane-f

scendo _{pro y=Fx (quoniam r o maneret}

pro valoribus y inter Fx et

11

est _{pro y = fx, quoniam T positiva est in evanescendo pro y=zfx. •—}

Itaque — exemplo Cel. Ostrogbadsky*) — sumta positiva, erit

n ßr, fp~ —7—^ pro u—Fx, t r(r).

1

J

-Brw»*toy=fx'

fdx(B-B)

scu

=/^7<iv,

ffD'dx,,,J

complectente integrali novissiino omnia puncta perimetri r=0 projectio-nis _superficies

Simili usque modo habebitur •

SfA'dxd,j=.f^-'d^

ideoque erit

jj\A'+

D)dxd'J

=f$F*d»+/%

_*»

₍₇₎

complectentibus membri posterioris integralibus omnia puncta perimetri r(x,y) =0. — In Iiis elementa dx et dy _{nec non} yr'* _{e* VP°"}

sitiva sunt exislimanda.

At in unum _{jam reduci licet ambo haec}

integralia et quidem

pluri-bus _{(si placet) modis. Scilicet in co res versatur ut in iis x et y,}

ae-quatione r=o _conjunctae, una eademquc variabili ambae exprimantur.—

du dx

Quae autem _cumque ea erit, positiva illa elementa —et —-—-

aequa-yfr v i"/

lia sunt. Nain _{quoniam x et y lieic eae sunt, quibus aequationi T}

—o

fiat _{satis, erit iis T* dx + T/dy}

=0, _ideoque positiva illa aequalia erunt.

*) In Disscrtatione supcrius commemoratå.

dy

et

dx

Jam _{quoniam integralia (7) totum complectantar ambitum} perime-tri ab omni _{parle inclusa? T=o, inferamus exeinplo Cel. Poisson} — ut in unum reducantur amb.o biec integralia — loco dx et dy elementum

ipsius ambitüs

ds =

Y

dx*

dy*

quo il lato poslquam ambo

integralia

respeclu ipsius s, inlegratio

debet fieri

in-tegralis in puncto perimetri quolibet) usque ad s=l (denotante l totam

perimetrum)} quare elementum ds in integrando positivuni erit ponendum. Ttaque positiva illa elementa el =————, atque am¬

bo _{(7) in unum boc colliguntur}

rlAr' +Br

/

K

f

_Yr"+r;

in _{qua jam variabilis ipsa s independens putatur, illiusque differenliale}

positivuni. Qua? lieic occurrant z functiones putantur esse _ipsarum x et y, ex iequ. (,'») superficiei determinatac; ipsie au(em x et y functiones

ipsius Sy natura; curvae r(x,y)=o convcnienles.

(». Eadem _{prorsus ralione termini}

_/

+

/

v(

13

rl

PT'

/ • — : was

•7o

ideoquc tota aequatio

(6)

forinam:

f.,

<{

lW«+r/

Vr't

r/i

observatis _{quae in fine N:i praecedentis sunt dicta.}

Posuimus _{perspicuitatis ergo aequationem r=o, resolutam}

succes-sive _{p. r. a x et y, binos iis modo suppedilare valöres: seu projectam} lianc _{perimetrum binis modo in punetis secari a rectis ad axes}

co-ordinatarum _{parallclis. Jam vero ex allatis facile est intellectu, si}

plu-res suppeditaverit aequatio _{curvae, quanam} via aequationem (6) in

ean-dem formam _{(8) transformari beeret. Scilieet integrationes, in N:is 4} et S _{indicafae, tunc successive fieri a primo ad secundum inlersectionis}

punctum, a tertio ad quartum, &c. (supposito pari borum numero) po-nerentur.

7. Jam _{quid, ut aequationi liuie Limitum (8) bat satis, in}

praeei-puis aliquot casibus sit laciendum videamus. i:o)

Quoties omnimodo fuerit data perimeter illa projecta r(x9y)=o, ips/1

år=o erit. — Tunc enim omnibus, quac in quaestionem vocantur,

superfi-ciebus _{projecta illa perimeter communis ponitur: ideoque non modo}

coor-dinatis x et _{y superbeiei quaesitae bt satis aequationi T(.r,y)=o, sed ipsis}

quoque x +öx et y+åy alius cujuscumque earum, quae hcic

comparan-tur, aequationi r(x+d.r,y+dy)= oj i.e. Fdx+r^y seu år=o est. llaque ut tunc bal satis aequationi (8), non nisi posteriori illius parli

rl Pr, + Qr/

f

(ö)

J0

Vr»+r;

satisfaeiendo _{opus erit. '}

A) «Tamque si ipsa perimeter superficiei pcrfectc fuerit data curva et _{quidem aequationibus}

C _r(x,ij)

= o,I

\F(x,y,z)= o;J

ipsa etiam co = o erit. — Nam quum omnibus, quae in quaeslionem vo-cantur, superliciebus perimeter illa communis ponatur; aequationibus

{i::}"

salis

non

modo coordinalis

x9y^z

superliciei

qnaesitae, sed

ipsis quoquc x+åx,y+åy, z+åz alius cujuscumque earum, qua; beic

com-parantur, superficierura. Itaque et ör=o est et una

F(x,y,z) =o et F(x+åx,y+dy, z+dz) —o, i. e.

dz—rcåx—y.öy

—o est,

7t et x denotantibus partiales ipsius _{z derivatas in supcrficie F=o.} Itaque co beic (N:o 2) = (n-p) åx+(x-q)åx est,

r'

seu _{(quoniam år}

—o) \n-p (x-(j)]åx,

^4

i. e. = o: nam _{quoniam perimeter in utraque}

su-perfieie (quaesitå atque ipsa F=.o) dueta est; erit in ambilu illius

et dz—pdx₊fjdy

et dz=ndx_+xdy,

ideoque pdx+_ydy=ndx+xdy,

/ xdy T'

i. e. _-p=

(q-x)—=(x-<i)-Quae cum ita _{sint, sequationi illi Limitum (8) per se beic est}

sa-tisfactum; atque determinandis functionibus, quas in genere duas secum fert _{integrale aequationis (i>), arbitrariis}

una ex co habetur conditio, ut

per datam curvam perimetruui transeat superficies.

B) Si autem nihil aliud de curva ista _{perimetro fuerit postulalum,} quam ut projectio illius r(x:y)=.o sit, — id quod accidit, dum quaestio

Iii

est _{proposita inveniendi}

superficierum,

cylindro

ad

xyplanum

normali

r(x,y) =o desectarum, eam cui maximum

sit minimumvc

integrale

il-lud _{(3), datis limitibus ab ipsa jT=o, — quo tunc}

_sequationi

_{(9) bat}

tis, perfecte licet indeterminata dz

ideoque

satis

. . pr + Qry

faciendum _{ipsi —■==== o, seu in genere ipsi}

W*+r/

Pr'+ _{Qr/ =} o, (io)

quae igitur relatio per totum

obtinebit

ambitum

ipsius

r(x, y) = o

unam lieic praestabit conditionem determinandis funetionibus _quas

2:o)

(r(x,y) = ol Si ambarum,' quas' modo consideravimus, condiUonum s \

J-lF(x,y,V=oJ

altera sola in _{problemate fuerit enuntiata, — id quod accidit ex. gr.} dum _{quaestio est proposita}

_{inveniendi superficierum, cylindro ad xypla¬}

num inclinato desectarum, _eam cui minimum sit integrale illud (3), ipsis quoque limitibus quaerendis a projectione curvae intersectionis —5

tunc öx et _{dy indefinitis relictis z superficiei ad limitem variari aliter}

nequire ponitur, quam quod in superficie F(x,y,z)=0 fieri possit: seu,

tributis _{ipsis x et y variationibus indefinitis dx et dy, nulla alia}

varia-tio _{ipsi z ibidem contingere posse ponitur dz, quam ut ab islis x +dx,} y+dy,z+dz satisfial aequationi F(x4-d.r,y+dy, z+dz)— o, i. e. [quoniam

F(x,1/,z) =o heic est] ab ipsis dx, dy, dz aequationi

dz = ndx + _xdy.

Itaque tunc

(o = (n-p) dx

+ (*-</) dy,

/ dx \

7C-J)

dr:

r'

unde _{aujuatio Limitum (8) heic abit in}

s+(„-,)(

j»+0£)

j

dsdr

/

•'dsår±tp±iɱW*zll

%+ P(TI-P) + G(*"?) = °> (H )

qua; järn, lina cum ipsa

y,*) = <>,

iinani praestabit conditionem determinationi _{fiinctionum arbitrariarum.}

8, I na in _{praecedentibus considcratå curva perimetro invenimus, si} periecte fuerit data ista duabus equidem (ut solot) sequationibus, ;oqusi¬

tion i lunc Limitum _{(8) idcntice esse satisfactum, niillamque igilur ab}

ca eonditionem determinationi functionum arbitrariarum _{praestari, cui}

qui-dein delcrminationi conditio lina ex eo _{ipso sit data, quod}

per curvam

datam transcat _{superficies, seil, ut fiat satis duabus curva; aequationibus;}

tum _{quoque, si curva; istius perimetri non nisi alterutra fuerit data}

a>-quatio, alterain quadam compensari aequatione, quam conciliat aequatio

ipsa Limitum.

Ilac it»ilur ratione alterutram licebit inveniri condilionom

dotcrmi-nandis _{arbitrariis, quas in genere duas secum fert integrale sequationis (5),}

functionibus. Interdum fit ut altera ex eo concilietur _{conditio, ut exearit} iinaginaria aut infinita ex integrali: interdum — et quidem, ut constal,

17

in _{casibus quos in Actis Acad. Scient. Paris.*) excellentissime olim}

ex-plicavit perill. Laplace, et ad quos (ut infra ostendetur) referri licet

universam _{problematis superßciei minima; solutionem — ex eo quod data} sit p aut q superficiei quaesitae in ambitu perimetri dati. At complelam edere _{hujus rei tlieoriani baudquaquam (ut facile patet) licebit, certe} donec commune aliquod (si fieri _umquam potest) contigerit inveniri

ma-joris momenti idioma integraliuni sequationum 2:i ordinis derivatarum

partialium. jXihilominus dum, ut fieri solct, talis fuerit formae integrale aequalionis (3), ut arbitrarias quas continet functiones ex eo determinari

liceat, ut per datas duas curvas transeat superficies5 alteram illam con-ditionem diversis in casibus ex considcratione allerius curvae _perimetri

inveniri licebit.

Etenim _{ponalur integrale propositum (3) ad zonam referri super¬} ficiei _{quaesitae, duabus interclusam curvis perimetris}

j

=«j

j

r(xiV)

=°

i

quarum projectioncs r(x,y) = o et j(x,y) = 0 tales sint, quales in N:o

6 _{diximus, illaque huic circumscripta.}

— Patet equidem, integrale tunc

omnia elemcnta _{dxdy areae duabus r=o et j=0 circumscripta;}

comple-cli, nec non _utrumque integralium (6) differentiam _esse integralis, _cu¬

jus limites ab altera T=o, atque integralis cujus ab altera j=o sunt

petendi. Ilaque ea, qua; in N:is ö & C de illo sunt allata, in hoc

qunque quadrant; undc posteriori membro aequationis (8) duo ibi

ex-positis similes terinini, ad curvam j=o refercndi, iidemque ab

exposi-tis subtrahendi _{contingunt. De ca'tero quum a se invicem in genere}

non pendeant _{Iii limites^ patet,}

quo huic fiat satis aequationi, ulrique illiiis _{parti = o positae seorsim esse satisfacienduin. — Qua; cum ita}

sint, jam patet ea, quae in N:o 7 praecedenti de altera curva perimetro sunt _{allata, in alteram aeque convenirej quae igitur heic repetere non} opus est. Solum hoc adjiciatur:

*) Hist. de l'Acad. Roy. des Sciences, An. 1773: Recherche» snr le Calc. Int.

aux Diff. _{part. p. M. de laPlace}

, p. 59G seqq.

3:o)

Si9 postulatis in probleraate — ut diximus —~ duabus curvis

peri-inetris, de alteruira n*hil _{fuisset pronuntiatum; quo tunc parti,}

quae hane _{respicit, aequationis (8) fieret satis, i e. aequationi}

o =r-äsl, $(r'åx+rjån) + (t*-påx-qty) (Pr'+ Qry)

Vr'*+r/

seu

(Vr't+_r/

_Vf+r/

_Vrft+r*

_\

patet, quoniam åx9dij9 dz perfecte heic indeterminatae manerent, satis esse faciendum _{in genere tum aequationi pi* jrqtj}

—o seu (quoniam _i*dx+t dy

=

o) aequationi

Pdy~Qdx = o,->

tum _lpsi

g: = O 5J V /

quae igitur tunc inservirent alteram statuendo relationem ambarum fun-ctionum arbitrariarum.

Sufficiant ista in _{praesenti. Fortasse nos in}

praecedentibus

aliquan-tulum lucis attulisse _{*) videbimur doctrinae, cujus,}

quamvis ardui non

pa-rum sit _{argumenti, peracta}

explicatio utilitatem olim erit baud minimam

interpretanda naturae _{legibus allatura**). Prius tarnen quam}

continue-*) Dissimulare hoc loco non _{possumus, Cel. Poisson}

— uti nobis videtur —

praesertim methodo, qua in N:o 26 Dissert. cit. in deduccndis _{aequationibus} Limi-tum fuerit _{usus, rei baud satis bene consuluisse.}

**) ln principio "Additamenti (de Curvis_{Elasticis)" operis} supra citati

"Metlio-dus inveniendi lineas curvas &c." _{perill. Eulehus in banc rem sie fere loquitur:} Jain _{pridem summi}

quique Geometrae agnoverunt, Älethodi in boc Libro tradit.v