(b) Visa att om

TATA79/TEN3 Tentamen, 2017-04-21 Inledande matematisk analys

1.

(a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:

”Alla hundar kan sk¨ alla.”

(b) Visa att om

• n

delat med 7 har rest 2, och

• n

delat med 7 har rest 2, d˚ a har n

n

delat med 7 rest 4.

Solution:

(a) ”Det finns minst en hund som kan inte sk¨ alla.”

(b) Eftersom b˚ ade n

och n

delat med 7 har rest 2 s˚ a ¨ ar n

= 7m

+ 2

f¨ or n˚ agot heltal m

och

n

= 7m

+ 2 f¨ or n˚ agot heltal m

. D¨ arf¨ or ¨ ar

n

n

= (7m

+2)(7m

+2) = 49m

m

+14(m

+m

)+4 = 7(7m

m

+2(m

+m

))+4 s˚ a n

n

delat med 7 rest 4.

2. Visa att

n

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 5

f¨ or alla positiva heltal n.

Solution:

Vi bevisar

n

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

5 (∗)

med hj¨ alp av induktion.

F¨ orst kollar vi att (∗)

¨ ar sann:

1

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = 1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) = 4!

och

1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)(1 + 4)

5 = 5!

5 = 4!, s˚ a (∗)

¨ ar sann.

Nu antar vi att (∗)

¨ ar sann f¨ or n˚ agot ` och betraktar v¨ ansterledet i (∗)

:

`+1

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) =

`

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + (` + 1)((` + 1) + 1)((` + 1) + 2)((` + 1) + 3)

= `(` + 1)(` + 2)(` + 3)(` + 4)

5 + (` + 1)(` + 2)(` + 3)(` + 4)

= (` + 1)(` + 2)(` + 3)(` + 4)  ` 5 + 1



= (` + 1)(` + 2)(` + 3)(` + 4)(` + 5)

5 ,

som ¨ ar h¨ ogerledet i (∗)

, s˚ a vi har visat (∗)

=⇒ (∗)

.

Enligt induktionsprincipen har vi bevisat (∗)

f¨ or alla positiva heltal n.

3.

Hitta alla m¨ ojliga par av ickenegativa reella tal a och b s˚ a att √

a + b =

√ a + √ b.

Solution:

Om vi antar att √

a + b = √ a + √

b (och a ≥ 0 och b ≥ 0) ¨ ar a + b = √

a + b 

= √

a +

√ b 

= a + 2 √ a

√ b + b s˚ a

0 = 2 √ a

√ b

och det medf¨ or att antingen a = 0 eller b = 0. D¨ arf¨ or

√

a + b = √ a +

√

b =⇒ antingen a = 0 eller b = 0.

I den motsatta riktningen:

a = 0 =⇒ √

a + b = √ 0 + b =

√ b = 0 +

√ b = √

a +

√ b;

Och p˚ a samma s¨ att b = 0 =⇒ √

a + b = √

a + 0 = √ a =

√

b + 0 = √ a +

√ b.

D¨ arf¨ or har vi visat att

√

a + b = √ a +

√

b ⇐⇒ antingen a = 0 eller b = 0.

S˚ a alla m¨ ojliga par av reella tal a och b s˚ a att √

a + b = √ a + √

b ¨ ar:

a = 0 och ett godtyckligt b ∈ R; eller

ett godtyckligt a ∈ R och b = 0.

4.

(a) Bevisa att

cos(θ) cos(φ) = cos(θ + φ) + cos(θ − φ) 2

f¨ or alla θ, φ ∈ R.

(b) Skriv om sin(θ) cos(φ) p˚ a ett liknande s¨ att, det vill s¨ aga skriv om det till ett uttryck som inneh˚ aller bara trigonometriska funktioner av θ + φ eller θ − φ.

Solution:

(a) Vi r¨ aknar

cos(θ + φ) + cos(θ − φ)

= (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ)) + (cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ))

= 2 cos(θ) cos(φ).

(b) Vi f˚ ar ocks˚ a r¨ akna

sin(θ + φ) + sin(θ − φ)

= (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ)) + (sin(θ) cos(φ) − cos(θ) sin(φ))

= 2 sin(θ) cos(φ).

s˚ a

sin(θ) cos(φ) = sin(θ + φ) + sin(θ − φ) 2

f¨ or alla θ, φ ∈ R.

5.

Kom ih˚ ag att

exp

(x) =

 0 om n ≤ |x|,

1 +

om n > |x|, f¨ or positiva heltal n och x ∈ R.

(a) Definiera exponentialfunktionen exp : R → R och talel e.

(b) Visa att

exp

(x) ≤ exp(x) ≤ 1 exp

(−x) om n > |x|.

(c) Anv¨ and (b) f¨ or att visa

 n + 1 n



≤ e ≤  n + 1 n



f¨ or alla n ≥ 3.

Solution:

(a) exp(x) = sup

exp

(x) f¨ or alla x ∈ R och e = exp(1).

(b) Eftersom exp(x) = sup

exp

(x) ¨ ar exp(x) en ¨ over begr¨ ansning av (exp

(x))

, s˚ a ¨ ar

exp

(x) ≤ exp(x) (1)

f¨ or alla x ∈ R och n ∈ N.

Eftersom (1) g¨ aller f¨ or alla x ∈ R kan vi s¨ atta −x in ist¨ allet f¨ or x och f˚ ar exp

(−x) ≤ exp(−x) =⇒ 1

exp(−x) ≤ 1

exp

(−x) (2) f¨ or n > |x|, eftersom i s˚ a fall ¨ ar exp

(x) > 0.

D¨ arf¨ or ger (1) och (2) att

exp

(x) ≤ exp(x) = 1

exp(−x) ≤ 1

exp

(−x) . (3) (c) Om vi s¨ atter x = 1 och definitionen av exp

in i f¨ orsta olikhet i (3) f˚ ar vi

att

 n + 1 n



=

 1 + 1

n



= exp

(1) ≤ exp(1) = e

f¨ or n ≥ 2. Om vi s¨ atter x = 1 och definitionen av exp

in i sista olikhet i (3) f˚ ar vi att

e = exp(1) ≤ 1 exp

(−1) =

 n

n − 1



f¨ or n ≥ 2, s˚ a

e ≤  n + 1 n



f¨ or n ≥ 3. Allihop d˚ a ¨ ar

 n + 1 n



≤ e ≤  n + 1 n



f¨ or n ≥ 3.

6.

(a) Definiera a

f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Visa att a

= (a

)

. Solution:

(a) a

:= exp(x ln(a)) f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Vi r¨ aknar (a

)

= exp(y ln(a

)) = exp(y ln(exp(x ln(a)))) = exp(y(x ln(a))) =

exp((yx) ln(a)) = a

.

7.

Kom ih˚ ag att absolutbeloppet av ett reelt tal x ¨ ar

|x| =

 x om x ≥ 0;

−x om x < 0.

(a) Definiera absolutbeloppet |z| av ett komplext tal z och visa att den st¨ ammer

¨ overens med definitionen f¨ or reella tal i fallet imagin¨ ardelen av z ¨ ar noll.

(b) Visa att |zw| = |z||w| for alla komplexa tal z och w.

Solution:

(a) |z| := p

x

+ y

d¨ ar z = x + iy f¨ or reella tal x och y. Om imagin¨ ardelen av z ¨ ar noll ¨ ar z = x och |x| = √

x

+ 0

= √

x

. I fallet x ≥ 0 ¨ ar √ x

= x och om x < 0 ¨ ar √

x

= −x, s˚ a det st¨ ammer ¨ overens med definitionen f¨ or reella tal.

(b) Anta att z = x + iy och w = u + iv f¨ or x, y, u, v ∈ R. D˚ a ¨ ar zw = (x + iy)(u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) s˚ a

|zw|

= (xu − yv)

+ (xv + yu)

= x

u

+ y

v

+ x

v

+ y

u

= (x

+ y

)(u

+ v

) = |z|

|w|

som medf¨ or att |zw| = |z||w| eftersom absolutbeloppet av ett tal ¨ ar aldrig

negativt.