TNA001
Kontrollskrivning 3 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2015-09-21 Sixten Nilsson Version A
1. Enbart svar anges här.
1 − 3 ln sin 3 cos(3 )
Har definitionsmängd = ℝ x X X X X
Är strängt växande på hela sin
definitionsmängd X X
Är strängt avtagande på hela sin
definitionsmängd x X
Har värdemängd = ℝ x X
Har värdemängd [−1,1] X X
2. A är korrekt, ty cos 2 = 2 cos − 1 = 2 − 1.
B är korrekt, ty om < < så är sin > 0. Alltså får vi av trigonometriska ettan i detta fall att sin = + √1 − cos = √1 −
C är felaktigt, ty sin 2 = 2 sin cos ≠ 2 sin = 2√1 − . Anm: Vi har sin 2 = 2 sin cos = 2√1 − ∙ = 2 √1 −
D är korrekt, ty eftersom sin(− ) = − sin , så får vi sin + sin(− ) = sin − sin( ) = 0.
E är korrekt, ty eftersom cos(− ) = cos , så får vi cos + cos(− ) = cos + cos = + = 2 . Svar: A, B, D, E 3. A är sant, ty vi har ln = ln + ln ⟺ ln − ln = ln , vilket är en av logaritmlagarna.
B är sant, ty om vi använder två av logaritmlagarna får vi
ln( ) − 2 ln − 2 ln = 2 ln( ) − 2 ln − 2 ln = 2(ln + ln ) − 2 ln − 2 ln = 2 ln + 2 ln − 2 ln − 2 ln = 0.
C är sant, ty ln( + 1 ) är definierat för alla reella eftersom + 1 ≥ 1 > 0 för alla ∈ ℝ. Alltså har vi ln = + 1 för alla ∈ ℝ.
D är sant, ty > 0 för alla ∈ ℝ och då är ln definierat och lika med + 1 för alla ∈ ℝ.
Svar: A, B, C, D 4. sin(3 ) = ⇔ sin(3 ) = sin ⇔ 3 = + 2 eller 3 = − + 2 ⇔
= + eller = + Svar: = + eller = + , ∈ ℤ.
5. + 2 = 24 ⇔ [Låt = > 0] ⇔ + 2 − 24 = 0, > 0 ⇔ ⋯ ⇔ ⋯ ⇔
= 4 ⇔ = 4 ⇔ = ln 4 = 2 ln 2.
Anm: Andragradsekvationens andra rot = −6 uppfyller inte villkoret > 0 och ger då ingen
lösning i . Svar: = 2 ln 2
6. Följande villkor skall vara uppfyllda samtidigt (d.v.s. vi söker snittmängden mellan dessa villkor):
1. − 4 > 0 ⟺ (TECKENSCHEMA) ⟺ < −2 eller > 2, ty då är termen ln( − 4) definierad.
2. 10 − > 0 ⇔ < 10, ty då är termen ln(10 − ) definierad.
3. ln( − 4) ≤ ln(10 − ) + ln 2 ⇔ (om villkor 1 och 2 uppfyllda) ⇔
ln( − 4) ≤ ln 2(10 − ) ⇔ (ty ln − funktionen är strängt växande)
− 4 ≤ 2(10 − ) ⇔ − 4 ≤ 20 − 2 ⇔ + 2 − 24 ≤ 0 ⇔ ( + 6)( − 4) ⇔
( ö )
∈ [−6,4]
Vi får den sökta snittmängden (illustreras lämpligen på talaxel) ∈ [−6, −2[ ∪ ]2,4] .
Svar: ∈ ∈ [−6, −2[ ∪ ]2,4]
Version B
1. Endast svar anges här.
1 − 3 sin ln 3 cos(3 )
Har definitionsmängd = ℝ x X X X X
Är strängt växande på hela sin
definitionsmängd X X
Är strängt avtagande på hela sin
definitionsmängd x X
Har värdemängd = ℝ x X
Har värdemängd [−1,1] X X
2. A är korrekt, ty om < < så är sin > 0. Alltså får vi av trigonometriska ettan i detta fall att sin = + √1 − cos = √1 −
B är felaktigt, ty sin 2 = 2 sin cos ≠ 2 sin = 2√1 − Anm: Vi har sin 2 = 2 sin cos = 2√1 − ∙ = 2 √1 −
C är korrekt, ty eftersom sin(− ) = − sin , så får vi sin + sin(− ) = sin − sin( ) = 0.
D är korrekt, ty eftersom cos(− ) = cos , så får vi cos + cos(− ) = cos + cos = + = 2 . E är korrekt, ty cos 2 = 2 cos − 1 = 2 − 1.
Svar: A, C, D, E 3. A är sant, ty ln( + 1 ) är definierat för alla reella eftersom + 1 ≥ 1 > 0 för alla ∈ ℝ. Alltså har vi
ln = + 1 för alla ∈ ℝ.
B är sant, ty > 0 för alla ∈ ℝ och då är ln definierat och lika med + 1 för alla ∈ ℝ.
C är sant, ty vi har ln = ln + ln ⟺ ln − ln = ln , vilket är en av logaritmlagarna.
D är sant, ty om vi använder två av logaritmlagarna får vi
ln( ) − 2 ln − 2 ln = 2 ln( ) − 2 ln − 2 ln = 2(ln + ln ) − 2 ln − 2 ln = 2 ln + 2 ln − 2 ln − 2 ln = 0.
Svar: A, B, C, D 4. + 2 = 24 ⇔ [Låt = > 0] ⇔ + 2 − 24 = 0, > 0 ⇔ ⋯ ⇔ ⋯ ⇔
= 4 ⇔ = 4 ⇔ = ln 4 = 2 ln 2.
Anm: Andragradsekvationens andra rot = −6 uppfyller inte villkoret > 0 och ger då ingen
lösning i . Svar: = 2 ln 2
5. sin(3 ) = ⇔ sin(3 ) = sin ⇔ 3 = + 2 eller 3 = − + 2 ⇔
= + eller = +
Svar: = + eller = + , ∈ ℤ.
6. Följande villkor skall vara uppfyllda samtidigt (d.v.s. vi söker snittmängden mellan dessa villkor):
1. − 4 > 0 ⟺ (TECKENSCHEMA) ⟺ < −2 eller > 2, ty då är termen ln( − 4) definierad.
2. 10 − > 0 ⇔ < 10, ty då är termen ln(10 − ) definierad.
3. ln( − 4) ≤ ln(10 − ) + ln 2 ⇔ (om villkor 1 och 2 uppfyllda) ⇔
ln( − 4) ≤ ln 2(10 − ) ⇔ (ty ln − funktionen är strängt växande)
− 4 ≤ 2(10 − ) ⇔ − 4 ≤ 20 − 2 ⇔ + 2 − 24 ≤ 0 ⇔ ( + 6)( − 4) ⇔
( ö )
∈ [−6,4]
Vi får den sökta snittmängden (illustreras lämpligen på talaxel) ∈ [−6, −2[ ∪ ]2,4] .
Svar: ∈ ∈ [−6, −2[ ∪ ]2,4]
