TNA001
Kontrollskrivning 3 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2014-09-22 Sixten Nilsson
1. A är falskt, ty vi har villkoret − > 0 ⇔ ( − 1) > 0 ⇔ (gör teckenschema) ⇔ < 0 eller
> 1, d.v.s. = ]∞, 0[ ∪ ]1, ∞[.
B är sant, ty ( ) = = , d.v.s. ( ) är en exponentialfunktion , och denna är strängt avtagande om 0 < < 1.
C är falskt, ty −1 ≤ sin ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin ≤ 1.
D är falskt, ty tan ej definierat för = + , ∈ ℤ, vilket innebär att tan 2 ej definierat för = + , ∈ ℤ, d.v.s. tan 2 har den naturliga definitionsmängden ∈ ℝ: ≠ + , ∈ ℤ .
Svar: B
2. A är falskt, ty ln( − 1 ) är inte definierat om − 1 ≤ 0 ⇔ ≤ 1, och för dessa är då inte heller
( ) definierat.
B är sant, ty > 0 för alla ∈ ℝ och då är ln( ) definierat och lika med − 1 för alla ∈ ℝ.
C är falskt, ty låt t.ex. = 1, = så har vi VL = −1 medan HL = 0. Anm: ”Förväxla” inte med logaritmlagen ln − ln = ln .
D är sant, ty det är precis en av logaritmlagarna.
Svar: B, D
3. A är falskt, ty om < < så är cos < 0. Anm: Vi har i detta fall att cos = − √1 − sin = −√1 − B är falskt, ty sin 2 = 2 sin cos ≠ 2 sin = 2
C är sant, ty cos 2 = 1 − 2 sin = 1 − 2 . D är sant, ty ligger i andra kvadranten.
E är falskt, ty eftersom sin(− ) = − sin = − , så får vi sin − sin(− ) = − (− ) = 2 ≠ 0.
F är sant, ty eftersom cos(− ) = cos , så får vi cos − cos(− ) = cos − cos = 0.
Svar: C, D, F
4. sin 2 + = ⇔ sin 2 + = sin ⇔ 2 + = + 2 eller 2 + = − + 2 ⇔ 2 = 0 + 2 eller 2 = + 2 ⇔ = eller = +
Svar: = eller = + , ∈ ℤ.
5. 4 − 4 = 3 ⇔ [Låt = > 0] ⇔ 4 − 4 − 3 = 0, > 0 ⇔ ⋯ ⇔ ⋯ ⇔
= ⇔ = ⇔ = ln .
Anm: Andragradsekvationens andra rot = − uppfyller inte villkoret > 0 och ger då ingen lösning i .
Svar: = ln
6. Följande villkor skall vara uppfyllda samtidigt (d.v.s. vi söker snittmängden mellan dessa villkor):
1. > 0, ty då är termen ln definierad.
2. 4 + 3 > 0 ⇔ > − , ty då är termen ln(4 + 3) definierad.
3. 4 ≤ 4 + 3, ty ln 4 + 2 ln ≤ ln(4 + 3) ⇔ (om villkor 1 och 2 uppfyllda) ⇔ ln 4 ≤ ln(4 + 3) ⇔ (ty ln − funktionen är strängt växande) ⇔ 4 ≤ 4 + 3
Det tredje villkoret är ⟺ 4 − 4 − 3 ≤ 0 ⇔ 4 − + ≤ 0 ⇔ (gör teckenstudium) ⇔ ∈ − , .
Vi får den sökta snittmängden (illustreras lämpligen på talaxel) ∈ 0, .
Svar: ∈ 0,
