TNA001
Kontrollskrivning 4 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2014-10-09 Sixten Nilsson
1. A är falskt, ty kan inte skriva = ∙ för något ∈ ℝ.
B är falskt, ty | | = 2 + (−1) + 1 = √4 + 1 + 1 = √6 ≠ 2 C är sant, ty | + + | =
−2 2 1
= (−2) + 2 + 1 = √9 = 3
D är sant, ty ∙ = 2
−1 1
∙ 0 1
−2
= 0 − 1 − 2 = −3 < 0
Svar: C, D 2. A är falskt, ty linjens ekvation insatt i planets ekvation ger villkoret
(1 − ) + (−1 + 2 ) + (1 + ) = 1 ⟺ = 0, vilket innebär att linjen skär planet då = 0, d.v.s. i punkten (1, −1,1).
Anm: Kontrollera att punkten (1, −1,1) satisfierar planets ekvation.
B är sant, ty = −3 ⟺ 1 − = −3 ⟺ = 4 som ger = −1 + 2 ∙ 4 = 7 och = 1 + 4 = 5.
C är falskt, ty skalärprodukten mellan linjernas riktningsvektorer =
−1 2 1
∙ 1
−4 1
= −8 ≠ 0.
D är falskt, ty planets normalvektor och linjens riktningsvektor är parallella, vilket innebär att linjen är ortogonal mot planet.
Svar: B
3. a) Två plan är vinkelräta om deras normaler är vinkelräta. Låt det sökta planet ha normalen 1 1
−1 så är skalärprodukten mellan planens normaler
= 1 1
−1
∙ 3
−2 1
= 3 − 2 − 1 = 0.
Alltså är planens normaler vinkelräta, vilket innebär att t.ex. planet + − = 0 är vinkelrätt mot det givna planet.
b) Två plan är parallella om deras normalvektorer är parallella. T.ex. är planet 3 − 2 + = 0 parallellt med det givna planet.
Svar: a) T.ex. + − = 0 b) T.ex. 3 − 2 + = 0
4. Vi konstaterar att origo ligger i det givna planet. Även punkten (3,1, −1) ligger i planet.
A är sant, ty origo, som ligger i det givna planet, satisfierar ekvationen i A (låt = = 0) och de båda riktningsvektorerna
2 1 0
och 1 0
−1
är inte parallella och båda är ortogonala mot planets normal (använd skalärprodukt).
B är falskt, ty 1 1 1
och
−1
−1
−1
är parallella.
C är sant, ty punkten (3,1, −1) ligger i det givna planet och satisfierar ekvationen i C (låt = = 0) och riktningarna
2 1 0
och 1 0
−1
är samma som i A.
Svar: A, C
5. ( , 3, −1) ligger i planet ⟺ 2 + 3 − (−1) = 9 ⟺ = (3, , ) ligger i planet ⟺ 2 ∙ 3 + − = 9 ⟺ − = 3
Svar: = , − = 3
6. a) Projektionsformeln ger oss
∥ = ∙
| | =
⎝
⎜⎜
⎛ 1
−1 1
∙ 2 1
−2
√4 + 1 + 4
⎠
⎟⎟
⎞ 2
1
−2
=2 − 1 − 2 9
2 1
−2
= −1 9
2 1
−2 Alltså har vi = −
b)
= − ∥ =
1
−1 1
− −1 9
2 1
−2
=1 9
9
−9 9
+1 9
2 1
−2
=1 9
11
−8 7 Kontroll:
∥ + = −1
9 2 1
−2 +1
9 11
−8 7
=1 9
9
−9 9
= 1
−1 1
=
Svar: a) = − , b) = 11
−8 7
