2010:005
C / D - U P P S A T S
Gödels ofullständighetsteorem
Teodor Gardelli
Luleå tekniska universitet C/D-uppsats Matematik
Institutionen för Matematik
Abstract
This paper concerns Gödel’s incompleteness theorems. I explain Gödel’s proofs of the theorems using his original terminology, which I also concretize through own examples. In the paper I show that Gödel makes a mistake such that his proofs for the incompleteness theorems formally do not hold (even though the idea of the proofs is not affected). I have not been able to find any remarks about this mistake in the literature, so it is possible that it has not earlier been found. Furthermore, I reformulate Gödel’s argument in such a way that the (new) proofs hold, given that there are no other mistakes that have not yet been found.
The first chapter of this paper contains a historical account of (parts of) Gödel’s life, together with a brief account of, and discussion of, his scientific work and of mathematical Platonism. Finally, I analyse some interpretations that have been made (and conclusions that have been drawn) from Gödel’s incompleteness theorems, and show that some of them are reasonable (or tenable) while others are not. Furthermore, I present a modified version of one of Gödel’s own conclusions that, explained somewhat simplified, concerns whether our mathematical knowledge is inexhaustible or not.
Sammanfattning
Denna uppsats behandlar Gödels ofullständighetsteorem. Jag redogör för Gödels bevis av teoremen med hans ursprungliga terminologi, som jag också konkretiserar genom egna exempel. I uppsatsen visar jag även att Gödel begår ett misstag som gör att hans bevis för ofullständighetsteoremen formellt sett inte håller (även om bevisidén inte påverkas). Jag har inte kunnat finna att detta misstag har påtalats i litteraturen, så det är möjligt att denna uppsats utgör ett bidrag till debatten. Vidare omformulerar jag Gödels resonemang på ett sådant sätt att (de nya) bevisen håller, förutsatt att det inte finns något annat misstag som ingen ännu har upptäckt. Uppsatsens första kapitel innehåller en historisk redogörelse för (delar av) Gödels liv, tillsammans med en kortfattad redogörelse för och diskussion av hans vetenskapliga arbeten samt av matematisk platonism. Slutligen utreder jag ett antal tolkningar som gjorts (och slutsatser som dragits) av Gödels ofullständighetsteorem och visar att vissa av dem är rimliga (respektive hållbara) och andra inte. Dessutom presenterar jag en modifierad version av en av Gödels egna slutsatser som, lite förenklat uttryckt, handlar om huruvida vår matematiska kunskap är outtömlig eller inte.
Innehållsförteckning
Inledning ...3
1. Gödels liv ...4
1.1. Uppväxt, skola och familj... 4
1.2. Wienkretsen... 5
1.3. Einstein och tiden i Princeton ... 7
1.4. Matematisk platonism ...10
1.5. Vetenskapliga bedrifter...11
1.6. Personen Gödel...17
2. Gödels första ofullständighetsteorem ...19
2.1. Systemet P...20
2.2. Matematik och metamatematik...20
2.3. Metamatematiska definitioner 1...21
2.4. Axiom och härledningsregler ...22
2.5. Gödelnumrering ...24
2.6. Rekursivitet...27
2.7. Metamatematiska definitioner 2...30
2.8. Representerbarhetslemmat ...42
2.9. Th VI ...43
2.10. Th VII-‐X...48
3. Gödels andra ofullständighetsteorem ...49
3.1. Beviset ...50
3.2. Inverkningar på Hilberts program ...51
4. Några tolkningar och misstolkningar av teoremen ...52
4.1. Konsistens...53
4.2. Tillämpningar utanför matematiken...57
4.3. Outtömlig matematisk kunskap ...60
A. Appendix ...63
A.1. Lista över några tryckfel i ”On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I”...63
A.2. Några ordförklaringar ...63
Referenser ...65
Kort självbiografi...67
Inledning
Denna uppsats om Gödels ofullständighetsteorem kan indelas i två delar. Den första delen är till stora delar biografisk och handlar om Gödels liv. En kort redogörelse för några av Gödels vetenskapliga arbeten ges, i synnerhet för hans konsistensbevis för Cantors kontinuumhypotes där några av hans argument och slutsatser analyseras närmare.
Uppsatsens andra del behandlar de två ofullständighetsteoremen. Gödels bevis av ofullständighetsteoremen analyseras utifrån de begrepp som Gödel själv använde. Jag förtydligar vissa aspekter av hans resonemang samt presenterar egna exempel som bereder vägen för såväl Gödels bevis som för en närmare granskning av dessa. Sedan visar jag att Gödels bevis av ofullständighetsteoremen formellt sett inte håller, som en följd av att en av Gödels definitioner inte fungerar som han tänkte sig att den skulle göra. Jag modifierar denna definition på ett sådant sätt att bevisen håller, förutsatt att det inte finns något annat misstag som ingen ännu har upptäckt. Slutligen diskuterar jag olika tolkningar och misstolkningar av ofullständighetsteoremen, bl.a. utifrån en kritisk granskning av exempel som jag funnit i tidigare diskussioner av ämnet. Exempelvis utreder jag en av Gödels egna slutsatser av teoremen och föreslår en modifikation av denna slutsats.
Denna uppsats har ett vetenskapligt värde genom att jag visar på en brist i Gödels bevis som jag inte kunnat finna omtalad i litteraturen. Några av resonemangen kring tolkningar och misstolkningar av ofullständighetsteoremen kan också vara av vetenskapligt värde, även om många av poängerna har blivit presenterade på andra håll, inte minst av Torkel Franzén. Klargörandet av vissa aspekter av Gödels bevis, både vad gäller den definitionsmässiga strukturen i Gödels resonemang samt de konkreta exempel av Gödels terminologi som jag ger, kan tänkas ha både ett vetenskapligt och ett pedagogiskt värde, då jag inte lyckats finna någon som på detta sätt i detalj utreder bevisen utifrån Gödels egen terminologi.
Uppsatsen förutsätter viss kunskap om predikatlogik och elementär matematik. En del kännedom om mängdteori förutsätts också, särskilt i diskussionen av kontinuumhypotesen.
Att vara bekant med matematikens grundvalar är inte nödvändigt men helt klart behjälpligt, eftersom detta är vad Gödels ofullständighetsteorem handlar om. Även viss argumentationsteoretisk kunskap samt viss bekantskap med kunskapsfilosofi underlättar förståelsen av vissa bitar, kanske i synnerhet delar av ”1.5. Vetenskapliga bedrifter” samt
”4.3. Outtömlig matematisk kunskap”.
1. Gödels liv
1.1. Uppväxt, skola och familj
Kurt Gödel (1906-‐1978) föddes den 28 april 1906 i dåvarande Brünn i Österrike-‐Ungern (numera Brno i Tjeckien). Gödels far var direktör och delägare av en textilfabrik i Brünn, och även Gödels mor jobbade inom textilindustrin i Brünn (även om hon var betydligt mer välutbildad än Gödels far). Gödel hade även en äldre bror, Rudolf, som skulle komma att bli läkare. Gödels föräldrar tillhörde båda den tysktalande befolkningen i Brünn, så det är något missvisande att räkna Gödel som ”tjeck”, vilket vissa gör (se t.ex. Kemerling (2002)).
Han var inte heller jude, även om många misstog honom för att vara det. Att detta skedde kan delvis ha berott på att Gödel umgicks med många judiska intellektuella, både i Wien genom t.ex. Wienkretsen (där nio av de ursprungliga fjorton medlemmarna var av judisk börd) och i Princeton genom inte minst Albert Einstein (1879-‐1955). Att misstas för jude i 1930-‐talets Österrike var inte helt utan komplikationer; exempelvis attackerades Gödel av ett gäng ungdomar när han var på promenad i Wien med sin fru, och det tog tid innan han fick sin Dozent neuer Ordnung-‐tjänst vid Wiens universitet accepterad av nazisterna (se mer om detta nedan under ”1.3. Einstein och tiden i Princeton”). Det var inte bara nazisterna som misstog Gödel för att vara jude, utan det gjorde senare även Bertrand Russell (1872-‐
1970), som skrev i andra volymen av sin självbiografi just att Gödel var jude. Han hävdade också att han varje vecka brukade prata med Einstein, Gödel och Pauli hemma hos Einstein, vilket Gödel inte kunde minnas att det hänt mer än en gång, enligt ett aldrig sänt svar till Russell. (Dawson, 1984a, s. 8)
I skolan var Gödel en framgångsrik student, enligt John W. Dawson, Jr., som sorterade och översatte Gödels vetenskapliga Nachlass1:
Particularly quaint is his first arithmetic workbook, which contains but a single error in computation. […] All of Gödel’s school records attest to his diligence and outstanding performance as a student. Indeed, only once did he receive less than the highest mark – in mathematics. (Dawson, 1984a, ss. 4-‐5)
Gödel lär utöver matematik ha varit intresserad av språk, och han läste bl.a. latin, franska och engelska i skolan. Den forskning Gödel senare kom att bedriva får sägas involvera ett avancerat och stringent språkbruk, och det är nog ingen tillfällighet att de resultat han frambringat härstammar från någon med stort intresse för språk. Värt att lägga märka till är även att Gödel som barn var borta från idrotten under flera längre perioder, bl.a. som en följd av reumatisk feber. Som åttaåring läste Gödel att reumatisk feber kunde orsaka ett svagt hjärta, och sedan dess lär han ha varit övertygad om att han hade ett svagt hjärta, trots att han aldrig fick det bekräftat av läkarna. I femårsåldern, dvs. innan den reumatiska
1 I detta Nachlass finns Gödels vetenskapliga publikationer tillsammans med en hel del opublicerade manuskript, anteckningsböcker, brevkorrespondens, m.m. som donerats till Princetons universitet av Gödels fru efter hans död.
febern, lär Gödel dessutom enligt sin bror ha genomgått en mild ångestneuros. I allmänhet var Gödel närmast hypokondrisk, något som också kom att orsaka hans död. Gödel svalt sig nämligen till döds av rädsla för att bli matförgiftad, efter att hans fru tvingats lämna hans sida när hon av en stor operation och två strokes tvingades vistas på ett konvalescenthem.
Kurt Gödel dog den 14 januari 1978 i Princeton. (Dawson, 1984a, ss. 4-‐5, 12; Goldstein, 2005, s. 50)
År 1924 började Gödel studera vid Wiens universitet. Till en början hade han tänkt ta examen i fysik, men hans planer förändrades av Philipp Furtwängler (som undervisade i matematik) och Heinrich Gomperz (som undervisade i filosofins historia). Furtwänglers föreläsningar i talteori, som var mycket populära, bidrog till att Gödel 1926 bytte huvudämne till matematik. Detta, liksom en hel del annat, känner man till genom ett noga ifyllt men aldrig inskickat frågeformulär som man funnit i hans Nachlass (Dawson, 1984a, s.
5). Gomperz föreläsningar var dock minst lika betydelsefulla som Furtwänglers för utvecklingen av den person och vetenskapsman som Gödel skulle komma att bli. Det var nämligen under Gomperz föreläsningar om filosofins historia som Gödel fann Platon och dennes lära, vilken skulle komma att prägla hela hans vetenskapliga karriär. Gödel bestämde sig redan under sin studietid i Wien för att ”hänge sig enbart åt matematik av
’verklig betydelse’ […]. Det måste vara matematik som [har] metabetydelse, som [är]
filosofiskt porös så att den objektiva källan till abstrakt sanning [kan] ses skina igenom”
(Goldstein, 2005, s. 57). Gödel lyckades dessutom genom sina ofullständighetsteorem, vilket långt ifrån alla matematiker lyckas med, i hög grad att finna (eller skapa?) matematiska bevis vars filosofiska konsekvenser blivit väldiskuterade, även om teoremen har missförståtts av många (se vidare under ”4. Några tolkningar och misstolkningar av teoremen”).
Gödel var i stor utsträckning den vetenskapliga ensamvargen personifierad. Han levde dock inte helt i ensamhet, utan gifte sig 1938 med Adele Nimbursky (född Porkert), ett äktenskap som skulle hålla livet ut. Adele och Gödel hade känt varandra i över tio år innan de gifte sig, och att det tog tid innan de blev ett äkta par berodde nog i viss utsträckning på att Gödels föräldrar hade motsatt sig giftermålet eftersom Adele inte ansågs passande; hon var sex år äldre än honom, frånskild, hade jobbat som dansare och hade ett enligt vissa missprydande födelsemärke i ansiktet. Allt detta till trots så var Adele ett viktigt (uppenbarligen i vissa tider livsnödvändigt) och troget stöd för Gödel. Ordspråket säger ju att ”bakom varje framgångsrik man står en kvinna”, och det ligger nog mycket i att en del av Gödels framgångar kanske inte hade kommit till om han inte haft stöd (både praktiskt och emotionellt, om dock inte intellektuellt) hemifrån. Detta, som delvis är min egen teori, gäller dock knappast för hans mest kända resultat, ofullständighetsteoremen, eftersom de såg dagens ljus redan 1931, alltså sju år före att han gifte sig med Adele.
1.2. Wienkretsen
Gödel började som tidigare nämnt att studera i Wien 1924. Wien var också en viktig plats för Gödel i och med att han under flera år deltog i Wienkretsens samtal. Wienkretsen var en
samtalsgrupp som hade börjat på ett kafé2 men som när deltagarantalet växte flyttade till en lokal på universitetet. Wienkretsen leddes av Moritz Schlick (1882-‐1936), som också undervisade vid universitetet, och bland de andra medlemmarna fanns exempelvis Rudolf Carnap, Otto Neurath och hans syster Olga Neurath samt hennes man Hahns Hahn (som var Gödels handledare när han disputerade). Kretsen inspirerades av naturvetenskapens strikta resonemang och de brittiska (främst David Hume (1711-‐1776) och George Berkeley (1685-‐1753)) empiristernas analys av hur vi får kunskap om vår omvärld. Inom Wienkretsen föddes den filosofiska skola som kallas ”logisk positivism” (ibland kallad
”logisk empirism” eller ”radikal empirism”), och så gott som alla kretsens medlemmar (med undantag för Gödel) var övertygade logiska positivister. Centralt för den logiska positivismen är distinktionen mellan analytiska och syntetiska satser. Analytiska satser är sådana vars sanningsvärde (sanning eller falskhet) beror enbart av de inneboende begreppens mening. Således är t.ex. ”Alla ungkarlar är ogifta” en analytiskt sann sats, eftersom den som förstår ordens innebörd inser att den måste vara sann. Inga empiriska undersökningar behöver göras för att ta reda på satsens sanningsvärde. ”Alla ungkarlar är fula” är däremot en syntetisk sats. Den kan vara sann och den kan vara falsk, och för att ta reda på vilket måste vi undersöka hur verkligheten förhåller sig. De logiska positivisterna menade att alla syntetiska satser som inte är empiriskt verifierbara, dvs. som det inte finns några observationer (eller snarare sinnesförnimmelser) som verifierar, är meningslösa.
Detta innebär att satser som ”Det finns en Gud som existerar utanför tid och rum” blir meningslösa, ty det finns inget sätt att ens i princip undersöka sanningsvärdet hos denna syntetiska sats. De logiska positivisterna utvecklade en språkfilosofisk teori om mening som säger att de empiriska medel som vore relevanta för att upptäcka om en viss sats är sann utgör satsens mening. I allmänhet är många religiösa, etiska och metafysiska frågor meningslösa enligt deras ”verifikationskriterium för meningsfullhet”. Satser som ”Det finns en Gud som existerar utanför tid och rum” eller ”Den objektiva verkligheten orsakar dina sinnesintryck” uttrycker enligt den logiska positivismen inga påståenden, trots att deras grammatiska form antyder det.
Positivisternas slutsats om meningslöshet ligger nära Ludwig Wittgensteins (1889-‐
1951) tal om det osägbara (hur han nu kunde tala om det?)3: ”Vad man icke kan tala om, därom måste man tiga”, som han avslutar sin Tractatus logico-philosophicus. Wittgenstein, som under en lång period var en stor inspirationskälla för många av medlemmarna i Wienkretsen (om dock inte för Gödel), ansåg liksom positivisterna att metafysik och etik hörde till det osägbara. Positivisterna ansåg att det om vilket man inte kan tala nödvändigtvis saknade existens, eller som de själva uttrycker det med hjälp av den antike sofisten Protagoras ord i en gemensamt publicerad skrift:
2 På grund av en svår bostadssituation i Wien med ”dåligt uppvärmda och allmänt otillräckliga bostäder” (Goldstein, 2005, s. 63) trängdes författare, konstnärer och vetenskapsmän på stadens kaféer och förde något av en gemensam, offentlig diskussion kring bl.a. många filosofiska frågor.
3 Wittgenstein skulle nog säga att han inte talar eller skriver om det osägbara, men att det osägbara låter sig visas genom hans text. Wittgenstein insåg själv att mycket av det han skrev i Tractatus enligt hans egna teorier är meningslöst (i meningen att det inte uttrycker något påstående). Därav kan man dock inte sluta sig till att vi inte kan lära oss något av det han skriver; vi kan ändå inse något om det osägbara genom att läsa Tractatus (förutsatt att det finns något som är osägbart).
”Allting […] är tillgängligt för människan. Människan är alltings mått.” (Goldstein, 2005, s. 74)
Wittgenstein däremot, ansåg att det därom man icke kan tala verkligen existerade. Han hade en förkärlek för det mystiska, som var närmast det värsta en positivist kunde tänka sig. Det är underligt att många av positivisterna kunde ha en sådan vördnad, ja närmast en idoldyrkan om man får tro litteraturen, för någon som förhärligar det som de ansåg var så förkastligt. Det ska sägas att Gödel dock inte var den enda i Wienkretsen som inte hyllade Wittgenstein. Även Feigl, som ”alltid [hade] en ovanlig förmåga att komma överens med alla” (Goldstein, 2005, s. 93) fällde sent i livet kärva kommentarer om Wittgenstein. Detta kan ha berott på Wittgensteins behandlig av Carnap (som Feigl var en stor beundrare av);
när Carnap en gång för mycket bett Wittgenstein förtydliga en av sina ståndpunkter blev han för alltid bannlyst ur dennes närvaro. (Goldstein, 2005, ss. 91-‐92)
En punkt där Wittgenstein och positivisterna var överens gällde matematikens natur:
Uppfattningen att matematiken är syntaktisk till sin natur – dess avsaknad av allt deskriptivt innehåll – antyddes alltså redan i beteckningen ”logisk positivism”. (Goldstein, 2005, s. 77)
Detta går rakt emot Gödels övertygelse om att matematiken beskriver en objektiv och abstrakt matematisk verklighet (se vidare under ”1.4. Matematisk platonism” och ”1.5.
Vetenskapliga bedrifter”).4 Trots att Gödel deltog i Wienkretsens samtal är det alltså missvisande att kalla honom för ”positivist”, vilket t.ex. MacTutor gör när de skriver:
”[Gödel] became a member of the faculty of the University of Vienna in 1930, where he belonged to the school of logical positivism until 1938.” (O'Connor & Robertson, 2003)
Wienkretsen upplöstes 1936 när Schlick mördades utanför universitetet av ”en psykotisk före detta student” (Goldstein, 2005, s. 70). Nazismen härskade i Österrike, och inom kort hade samtliga av cirkelns medlemmar emigrerat till Storbritannien eller USA.
1.3. Einstein och tiden i Princeton
Gödel var på besök vid Princetons universitet flera gånger ända sedan 1933 (Dawson, 1984a, s. 7). När han 1939 återvände till Wien från ett besök, blev han kallad till en fysisk undersökning av nazistregeringen. De fann honom, till Gödels stora förvåning, fullt duglig för militärtjänstgöring. Detta innebar en risk som Gödel inte var beredd att ta, och i januari 1940 emigrerade han och Adele till USA. Att ta vägen över Atlanten var för riskabelt, så via den transsibiriska järnvägen, och senare via Yokohama med båt, tog sig paret till San Francisco, dit de anlände i mars 1940. Värt att anmärka är alltså att Gödel flyttade, snarare än flydde, från det naziststyrda Österrike. Anledningarna till att han flyttade hade dock givetvis att göra med det förändrade politiska klimatet. Utöver risken för
4 Det är oklart när Gödel kom att omfatta denna platonistiska tro. Goldstein menar att Gödel
”förälskade sig” i platonismen redan under sin studietid i Wien. Feferman (2006) hävdar, i en recension av Goldsteins bok, att detta påstående inte är tillräckligt väl underbyggt, och pekar på att Gödel så sent som 1933 uttalade sig kritiskt om platonismen. Intressant att lägga märke till är att Feferman själv i en annan artikel skriver ”it is safe to say that Gödel already had firm general platonistic views by the time he came in contact with the Vienna Circle. […] This was around 1926”
(Feferman, 1984, s. 101), vilket alltså var det år då Gödel bytte huvudämne till matematik.
militärtjänstgöring gjorde nazisterna det svårt för Gödel genom att hans ansökan om att bli Dozent neuer Ordnung dröjde, som en följd av hans kontakt med judar som t.ex. Hahn;
faktum är att hans ansökan godkändes, men först efter att Gödel anlänt till USA. (Dawson, 1984a, ss. 8-‐9)
Gödel skulle komma att tillbringa resten av sitt yrkesliv vid Institute for Advanced Study vid Princetons universitet i New Jersey. Hans mottagande där var dock långt ifrån smärtfritt – för att inte tala om Adele som lär ha levt ett ganska ensamt liv i Princeton. Gödel var endast visstidsanställd fram till 1946, då han fick en fast tjänst, och han blev inte professor förrän 1953, fem år efter att han blivit amerikansk medborgare och två år efter att han fått historiens första ”Einstein award” (som han delade med Julian Schwinger). Dawson ger följande förklaring av detta:
[…] some ‘old-‐timers’ at the Institute [for Advanced Study] have suggested that a division of opinion prevailed among Gödel’s colleagues: some felt that Gödel would not welcome the administrative responsibilities entailed by faculty status, while others feared that if he were promoted, his sense of duty and legalistic habit of mind might impel him to undertake such responsibilities all too seriously, perhaps hindering efficient decision-‐making by the faculty. In the event, such fears seem to have been justified (Dawson, 1984a, s. 10).
Det ligger nog mycket i att Gödel inte var den människa som det var enklast att planera praktiska förehavanden med:
Hela [Gödels] tänkande styrdes av ett ”intressant axiom”, som Ernst Gabor Straus, Einsteins assistent från 1944 till 1947, en gång beskrev det: ”För varje faktum finns en förklaring som säger varför detta faktum är ett faktum; varför det måste vara ett faktum. Denna övertygelse utmynnar i hävdandet att det inte finns någon ren tillfällighet i världen, inget givet som inte måste vara givet. Med andra ord, världen kommer aldrig, inte någonsin, att tala till oss som en frustrerad förälder talar till sin upproriska tonåring: Varför? Jag ska säga dig varför. För att jag säger det!” Världen har alltid en förklaring att komma med, eller som [Gödel] uttrycker det, Die Welt ist vernünftig, världen är begriplig. De slutsatser som framkommer genom det rigoröst konsekventa tillämpandet av detta ”intressanta axiom” på varje ämne som logikerns tänkande kommer i kontakt med – allt från förhållandet mellan kropp och själ till världspolitik och den högst lokala politiken vid Institute for Advanced Study – avviker ofta radikalt från det sunda förnuftet och den allmänna meningen. (Goldstein, 2005, ss. 17-‐18)
Det fanns dock en person i Princeton som kunde hantera Gödels speciella intellekt, nämligen Albert Einstein. De två stod varandra mycket nära, något som förmodligen hade flera orsaker. Dels var de båda tysktalande och exilier (i den mån man kan säga att Gödel var i exil), dels hade Einstein övervägt att bli matematiker, liksom Gödel övervägt att bli fysiker.5 Dessutom delade de en intellektuell exil, genom att de hade samma filosofiska hållning kring hur deras arbete ska tolkas; de var båda övertygade realister, dvs. de ansåg att det finns en objektiv (Einstein en fysisk, Gödel en abstrakt matematisk) verklighet och
5 Faktum är att Gödel kom på en lösning (som beskriver vad som ofta kallas ”Gödels roterande universum”) till Einsteins fältekvationer där tiden är en dimension av fyra och inte absolut (dvs. inte definierbar utan referens till individuella objekt), och tidsresor är teoretiskt möjliga. (Gödel, 2000)
att det är denna som beskrivs av deras teorier och bevis. Einstein skriver följande om sin metafysiska hållning:
Det står helt klart för mig att ungdomens religiösa paradis, som därmed gick förlorat, var ett första försök till frigörelse från det ”blott personligas” bojor, från en existens dominerad av önskningar, hopp och primitiva känslor. Därute fanns denna väldiga värld, som existerar oberoende av oss mänskliga varelser och står inför oss som en stor, evig gåta, åtminstone delvis tillgänglig för våra iakttagelser och vårt tänkande. Betraktandet av denna värld kallade på mig som en befrielse … Att genom tänkandet begripa denna utompersonliga värld inom ramen för de givna möjligheterna, det svävade, halvt medvetet och halvt omedvetet, som ett högsta mål för mitt inre öga … Vägen till detta paradis var inte lika behaglig och lockande som vägen till det religiösa paradiset; men den har visat sig lika pålitlig, och jag har aldrig ångrat att jag valde den. (Goldstein, 2005, s. 37)
Uttrycket ”som existerar oberoende av oss mänskliga varelser” visar tydligt att det är en ontologisk realism som Einstein målar upp. Goldstein skriver: ”Einstein tolkade sin teori som en framställning av rumtidens objektiva natur, som är så olik vårt mänskliga, subjektiva perspektiv på rum och tid” (Goldstein, 2005, s. 36). Einsteins beskrivning visar alltså en värld där relativiteten finns i hur saker och ting verkar vara för betraktaren. Enligt den fysiska realismen, som Einstein alltså ansluter sig till, är verkligheten inte på något sätt beroende av (eller relativ) oss människor.
Det ironiska är att Einsteins teori oftast tolkas som ett argument för att det inte finns någon objektiv sanning (”allt är relativt”), för att människan är alltings mått och för andra subjektivistiska ståndpunkter. Detsamma gäller Gödels ofullständighetsteorem, som av många tolkas som ett argument för att matematiken är ofullständig och bara existerar genom våra medvetanden. Tvärt emot detta tolkade Gödel det som att det är våra försök att formalisera matematiken, eller fånga in den, som misslyckas: den matematiska verkligheten undkommer hela tiden våra försök att fånga in den i (konsistenta6) formella system. (Se mer om detta nedan under ”4.3. Outtömlig matematisk kunskap”.)
Gödel och Einstein befann sig alltså även i denna synvinkel i samma båt, nämligen realismens båt. Detta är nog en av de stora anledningarna (utöver att de båda var oerhört skickliga och intresserade av samma ämnen) till deras djupa vänskap. De lär inte ha velat umgås särskilt mycket med någon annan, och de promenerade ofta hem från Institute for Advanced Study tillsammans:
Ekonomen Oskar Morgenstern, som känt Gödel under tiden i Wien, anförtrodde mig [Rebecca Goldstein] i ett brev: ”Einstein nämnde ofta för mig att han under de senare åren av sitt liv ständigt uppsökte Gödel för att få diskutera med honom. Vid ett tillfälle sa han att hans eget arbete inte längre hade någon större betydelse, att han kom till Institutet enbart um das Privileg zu haben, mit Gödel zu Fuss nach Hause gehen zu dürfen”, det vill säga för privilegiet att få promenera hem med Gödel. (Goldstein, 2005, s. 28)
6 Ett formellt system är konsistent om och endast om det inte finns någon sats ϕ, som är uttryckbar inom systemet, sådan att både ϕ och ¬ϕ är härledbara inom systemet. Ett system som inte är konsistent, dvs. inom vilket två motsägande satser kan härledas, är inkonsistent.
Einstein stod alltså ut med, och roades mycket av, Gödels resonemang utifrån dennes
”intressanta axiom”. Jag tror personligen att detta beror på att han var tillräckligt intelligent och förnuftig för att kunna se hur världen tedde sig genom Gödels glasögon, och se det ur en komisk synvinkel, utan att behöva ge upp sitt eget synsätt bara för att han inte lyckades visa att Gödels var motsägelsefullt; där många andra gick under i att försöka möta Gödel, lät Einstein troligtvis Gödel föra sina resonemang till fullo, såg vart de ledde och tog dem för vad de var. Efter Einsteins död 1955 blev Gödel om möjligt ännu mer intellektuellt isolerad från omvärlden:
Den unge mannen i den prydliga vita kostymen skrumpnade ihop till en utmärglad man, insvept i tung överrock och halsduk till och med i New Jerseys varma och fuktiga somrar, en man som såg intriger överallt. Han började tro att det fanns en omfattande sammansvärjning, tydligen i kraft sedan flera århundraden, för att undanhålla sanningen ”och göra människor dumma”. De som upptäckt hela kraften hos det a priori förnuftet, män som 1600-‐talets Leibniz och 1900-‐talets Gödel, var dömda på förhand, trodde han. (Goldstein, 2005, s. 42)
1.4. Matematisk platonism
En av de stora ”kärlekarna” i Gödels liv lär ha varit den matematiska platonismen (nedan ibland kallad kort och gott för ”platonismen”). Som namnet antyder härstammar denna lära från den grekiske filosofen Platon och hans beskrivning av tingens värld (”skuggvärlden”) som en avbild av idévärlden, där de perfekta idéer som tingen var ofullständiga avbilder av fanns. I idévärlden finns således en ”perfekt” triangel och en ”perfekt” cirkel, och de cirklar som vi avbildar till vardags är bara skeva avbilder av cirkelns idé. Långt ifrån alla höll dock med Platon i denna beskrivning. Protagoras (som sade att människan är alltings mått) stod exempelvis för en rakt motsatt åsikt, vad vi idag skulle kalla ”socialkonstruktivism”. Vi ser att kampen mellan dessa två läger fanns redan bland de gamla grekerna. Innan vi går vidare i diskussionen av matematisk platonism, är det på sin plats att definiera vad det är vi talar om:
[A metaphysical] account of mathematics is a variety of (mathematical) platonism if and only if it entails some version of the following three Theses:
1. Existence: Some mathematical ontology exists.
2. Abstractness: Mathematical ontology is abstract.
3. Independence: Mathematical ontology is independent of all rational activities, that is, the activities of all rational beings. (Cole, 2010)
Dessa ontologiska frågor rör alltså existensen av matematiska objekt, fakta osv. och frågan om hur denna existens är beskaffad (t.ex. om den är abstrakt och om den är oberoende av våra aktiviteter). Med ”matematisk realism” kommer jag här att mena en metafysisk teori om matematik som implicerar tes 1 och 3 från ovan. Alla platonister är således realister, men det omvända gäller inte. En matematisk realist måste inte anse att matematiken existerar i en abstrakt verklighet, utan kan anta t.ex. att den existerar i vår rumtid.
(Ytterligare en term, nämligen ”matematisk idealist”, kan vara värd att definiera: en
matematisk idealist accepterar tes 1 men förnekar tes 3 från ovan.) G. H. Hardy (1877-‐
1947) sammanfattar en realistisk intuition om matematiken på följande sätt:
Jag tror att den matematiska verkligheten ligger utanför oss, att vår funktion är att upptäcka eller observera den, och att de satser som vi bevisar, och med stora ord beskriver som våra
”skapelser”, helt enkelt är våra noteringar om vad vi observerat. Detta synsätt har i en eller annan form omfattats av många högt ansedda filosofer från Platon och framåt, och jag ska använda det uttryckssätt som är naturligt för den som ansluter sig till det …
Detta realistiska synsätt är mycket mer plausibelt i fråga om den matematiska verkligheten än i fråga om den fysiska, eftersom matematiska objekt i så mycket högre grad är vad de verkar vara. En stol eller en stjärna är inte alls sådana som de verkar vara; ju mer vi tänker på dem, desto suddigare blir deras konturer i den dimma av förnimmelser som omger dem. Men
”2” eller ”317” har ingenting med sinnesförnimmelser att göra, och deras egenskaper framträder allt klarare ju närmare vi granskar dem. Det må vara att det som passar den moderna fysiken bäst är något slags idealistiskt filosofiskt ramverk – jag tror inte att så är fallet, men det finns framstående fysiker som säger det. Ren matematik, å andra sidan, förefaller mig vara en klippa på vilken all idealism strandar: 317 är ett primtal, inte för att vi anser det eller för att våra medvetanden är utformade på det ena eller andra sättet, utan eftersom det är det, eftersom den matematiska verkligheten är byggd på detta sätt. (Goldstein, 2005, ss. 40-‐41)
Följande är en rättfram (men eventuellt inte fullt beviskraftig) argumentation för matematisk platonism: Vissa matematiska utsagor är uppenbarligen sanna, och om matematiska påståenden ska kunna ha sanningsvärden, måste de referera till någonting;
dessutom är detta ”någonting” uppenbarligen inte en del av rumtiden, ty var i universum skulle du kunna finna t.ex. mängder eller tal? (Cole, 2010)
Ett problem för platonismen är hur vi ska komma i kontakt med den abstrakta domän där de matematiska sanningarna finns. Om vi inte kan det, hur kan vi då ha kunskap eller ens rättfärdigad tro om matematik? (Cole, 2010.) Jag ska inte här undersöka närmare om matematisk platonism är riktig eller ej, utan platonismen kommer huvudsaklighen att diskuteras utifrån hur Gödels vetenskapliga arbete kan ses i ljuset av denna teori.
1.5. Vetenskapliga bedrifter
Gödels första stora vetenskapliga verk var avhandlingen, som godkändes i februari 1930 (Dawson, 1984a, s. 6). I den bevisade han att predikatlogiken är fullständig. Med
”fullständig” menas här att predikatlogikens härledningsregler är tillräckliga för att härleda varje logisk konsekvens7 av en mängd axiom (formler) i ett första ordningens språk (Franzén, 2005, s. 27). Ett vanligt misstag är att man tolkar detta bevis som något typ av undantag från Gödels ofullständighetsteorem eller att predikatlogiken undkommer att vara inkonsistent eller ofullständigt eftersom det inte går att formulera en viss mängd aritmetik inom predikatlogik. Detta är dock en skev analys, för i ofullständighetsteoremens kontext
7 Med att ϕ är en logisk konsekvens av en formelmängd M, menar vi att ϕ är sann i varje modell till M vars lexikon inkluderar ϕ:s lexikon. En modell till M är en struktur (dvs. en individdomän samt en tolkningsfunktion för tilldelning av individer till individkonstanterna och extensioner till predikaten och satssymbolerna) där alla formler i M är sanna. (Bennet, 2004, ss. 32, 43)
har ”fullständig” en helt annan innebörd, nämligen den som ibland betecknas av
”negationsfullständighet” (på engelska: ”negation completeness”). Ett formellt system är negationsfullständigt om och endast om det inte finns någon sats som är uttryckbar inom systemet men oavgörbar inom detsamma. (En sats ϕ är oavgörbar i systemet S om och endast om varken ϕ eller ¬ϕ är teorem i S, dvs. om och endast om varken ϕ eller ¬ϕ är härledbara ur axiomen med hjälp av systemets härledningsregler.) (Franzén, 2005, ss. 17-‐
18)
Gödel presenterade sitt fullständighetsbevis i september 1930 (Dawson, 1984b) på en konferens i Königsberg. Då nämnde han också i förbifarten att aritmetiken är ofullständig (förutsatt att den är konsistent). Detta skulle han senare publicera i ”Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I” (Gödel, 1931). Den romerska ettan (”I”) i slutet av artikelnamnet antyder att en uppföljare var tänkt, där han skulle formellt bevisa sitt andra ofullständighetsteorem, dvs. att inget konsistent formellt system där ”en viss mängd aritmetik” kan uttryckas kan bevisa sin egen konsistens. Detta bevis hade Gödel dock skissat redan i artikeln från 1931, och även det andra teoremet blev så accepterat att han inte behövde genomföra beviset formellt. Någon tvåa kom det således aldrig.
Två av Gödels största matematiska bedrifter utöver ofullständighetsteoremen är två konsistensbevis: att urvalsaxiomet (här förkortat ”AC”, eftersom det på engelska heter
”axiom of choice”)8 är förenligt med Zermelo-‐Fraenkels mängdteori (här förkortat ”ZF”, medan ”ZFC” står för det system som fås av att till ZF lägga AC som ett axiom)9, och att detsamma gäller för Georg Cantors (1845-‐1918) kontinuumhypotes (här förkortad ”CH”, från engelskans ”continuum-‐hypothesis”, se vidare nedan).
I ”Consistency-‐Proof for the Generalized Continuum-‐Hypothesis” (Gödel, 1939) visar Gödel att AC och GCH (= ”generalized continuum-‐hypothesis”, se nedan) följer ur ZF:s axiom tillsammans med axiomet ”Every set is constructible”10, som han i sin tur (genom att visa att detta påstående är sant i en modell till ZF) visar är förenligt med ZF:s axiom, dvs. att
8 AC säger att det givet varje samling av icke-‐tomma ömsesidigt disjunkta mängder finns en mängd som har exakt ett element gemensamt med varje av dessa mängder. AC:s icke-‐konstruktiva (på engelska: ”nonconstructive”) natur, som består i att den postulerar att en viss mängd existerar utan att visa hur vi ska skapa (konstruera) denna mängd, har gjort att AC blivit omstridd. (Jech, 2009)
9 Om inget annat sägs så syftar ord som ”mängdteorin” i regel på Zermelo-‐Fraenkels system, exempelvis när jag säger skriver om AC och ”mängdteorins övriga axiom”. Detsamma tycks gälla många av de författare som jag citerar, exempelvis Gödel. Även om han i ”The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-‐Hypothesis” (Gödel, 1938) utgår ifrån von Neumanns system, skriver han att ett teorem motsvarande det som artikeln visar gäller för ZF, och senare (Gödel, 1939) visar han detta resultat för just ZF. Att många menar ”ZF” eller ”ZFC” när de skriver ”mängdteorin” kan motiveras med påståenden lika följande: ”ZFC is an extremely powerful system that suffices for formally proving most of the theorems of present day mathematics.”
(Franzén, 2005, s. 18)
10 Gödel ger följande förklaring av denna sats: ”[The] term ‘constructible’ is to be understood in the semiintuitionistic sense which excludes impredicative procedures. This means ‘constructible’ sets are defined to be those sets which can be obtained by Russell’s ramified hierarchy of types, if extended to include transfinite orders.” (Gödel, 1938, s. 556)
