ICKE-TRADITIONELLA UNDERVISNINGSMETODER I MATEMATIK

ICKE-TRADITIONELLA

UNDERVISNINGSMETODER

I MATEMATIK

Lärares syn på deras fördelar, nackdelar, ramfaktorer

samt syn på matematiska kompetenser

Sammanfattning

Matematikundervisning består oftast av att läraren håller en kort genomgång, varefter elever på egen hand får räkna uppgifter inom det beskrivna innehållet. Förutom denna traditionella undervisningsme-tod (TU) finns även andra icke-traditionella undervisningsmeundervisningsme-toder (ITU). Svensk matematikundervis-ning har även visats främja huvudsakligen procedurhanteringskompetens, en av flera kompetenser som matematikundervisning ska främja enligt vissa teoretiska ramverk. I detta examensarbete besvarade ITU-praktiserande matematiklärare från Sverige, Danmark och Australien en enkät samt diskuterade sin undervisning i intervjuer, inklusive hur de anser att olika matematiska kompetenser bäst kan ut-vecklas hos högstadieelever. Lärarna uttryckte fördelar med ITU såsom ökad elevmotivation, självstän-dighet och prestation. De nämnde även nackdelar och ramfaktorer som begränsar dem i deras under-visning, till exempel tidsåtgång, elevernas låga självförtroende och traditionella syn på matematikäm-net. Lärarna bidrog även med konkreta tips på hur man som lärare kan fokusera på specifika kompe-tenser genom till exempel fokus på alternativa lösningar, begreppskartor, spel, gruppuppgifter och hel-klassdiskussioner.

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

1.1 Syfte och frågeställningar ... 1

2 Bakgrund ... 1

2.1 Traditionell undervisningsmetod ... 1

2.2 Variation och icke-traditionella undervisningsmetoder ... 2

2.3 Matematiska kompetenser ... 3

2.4 Teoretiskt ramverk för matematiska kompetenser ... 4

3 Metod ... 5

3.1 Urval och avgränsningar ... 5

3.2 Enkät ... 6

3.3 Intervjuer ... 6

3.4 Analysmetod ... 6

3.5 Metoddiskussion ... 8

4 Resultat och analys ... 9

4.1 Lärarna och deras använda undervisningsmetoder ... 9

4.2 Frågeställning 1: Faktorer som påverkar användning och val av undervisningsmetod ... 9

4.2.1 Fördelar med icke-traditionella undervisningsmetoder ... 10

4.2.2 Nackdelar med icke-traditionella undervisningsmetoder ... 10

4.2.3 Ramfaktorer för icke-traditionella undervisningsmetoder ... 10

4.3 Frågeställning 2: Hur elever bäst lär sig matematiska kompetenser ... 11

5 Diskussion ... 13

5.1 Frågeställning 1: Faktorer som påverkar användning och val av undervisningsmetod ... 13

5.2 Frågeställning 2: Hur elever bäst lär sig matematiska kompetenser ... 14

6 Slutsatser ... 15

7 Litteraturförteckning ... 17

8 Bilagor ... 20

Bilaga 8.1 Utdrag ur svensk läroplan med avseende på matematiska kompetenser ... 21

Bilaga 8.2 Utdrag ur dansk läroplan med avseende på matematiska kompetenser ... 22

Bilaga 8.3 Utdrag ur australiensk läroplan med avseende på matematiska kompetenser ... 23

Bilaga 8.4 Urvalstext/inbjudningstext ... 24

Bilaga 8.5 Enkätfrågor ... 25

Bilaga 8.6 Intervjuguide på svenska ... 31

Bilaga 8.7 Intervjuguide på engelska ... 35

Bilaga 8.8 Klassificeringar ... 39

Bilaga 8.9 Lärarnas använda undervisningsmetoder ... 42

1

Sedan 90-talet har svenska läroplaner genomsyrats av ett ”nytt” fokus inom undervisning i matematik, såväl som i andra ämnen. Istället för att endast planera det innehåll eleverna ska lära sig - som till ex-empel algebra - ska undervisningen även utveckla elevers specifika kompetenser (Bergqvist et al. 2009, 6). Olika, relativt snarlika, teorier och ramverk har utformats, även i andra delar av världen, för att dela upp matematikämnet i olika kompetenser som ska ges plats inom matematikundervisning (t.ex. Lithner et al. 2010; NCTM 2000; Kilpatrick, Swafford & Findell 2001; Niss & Jensen 2002). Enligt en rapport från Skolinspektionen (2009, 17) arbetar elever i svensk skola företrädesvis med procedurer och algo-ritmer. Detta innebär att undervisningen fokuserar huvudsakligen på så kallad procedurhanteringskom-petens (Lithner et al. 2010).

Dessutom vet man att matematikundervisning i svenska klassrum domineras av en undervisnings-metod där läraren håller en kortare gemensam genomgång baserat på en lärobok, följt av enskilt arbete inom området i fråga då läraren hjälper individuella elever separat (Skolverket 2003, 20). Denna undervisningsmetod betecknas här som traditionell undervisningsmetod (TU) och upplevs ofta vara svår, tråkig och amotiverande (Johansson & Öberg 2006, 12; Skolverket 2003, 21, 40).

Förutom TU har olika icke-traditionella undervisningsmetoder (ITU) växt fram, till exempel laborativ matematik (Al-Absi 2013; Rystedt & Trygg 2010). ITU-användning skapar en variation som efterfrågas i svensk läroplan (Skolverket 2011, 8), som hjälper det stora spektrumet elever som lär sig bättre i olika situationer och som möjliggör utveckling av fler matematiska kompetenser (Boaler 2002, 47; Skolin-spektionen 2009, 17; Skolverket 2003, 30). Kopplingen mellan utveckling av matematiska kompetenser och ITU ligger till grund för examensarbetets följande syfte och frågeställningar.

1.1 Syfte och frågeställningar

Syftet med detta arbete är att fördjupa kunskapen om hur lärare som använder sig av ITU (ITU-lärare) tänker kring olika undervisningsmetoder och hur de kan stödja elevers utveckling av matematiska kom-petenser. Genom intervjuer utreds tankar hos ITU-lärare på högstadium i Sverige, Danmark och Au-stralien med avseende på följande frågeställningar:

1. Vilka fördelar, nackdelar och ramfaktorer anser ITU-lärare påverkar användning och val av undervisningsmetod?

2. Hur ser ITU-lärare på hur elever bäst lär sig olika matematiska kompetenser?

2 Bakgrund

Detta avsnitt innehåller en beskrivning över traditionell undervisningsmetod (TU), de matematiska kompetensernas reform och hur variation i form av icke-traditionella undervisningsmetoder (ITU) kan utveckla fler matematiska kompetenser. Kapitlet avslutas med en fördjupad jämförelse över matema-tiska kompetenser i svensk, dansk och australiensk läroplan enligt ett utvalt teoretiskt ramverk.

2.1 Traditionell undervisningsmetod

Matematikundervisning i Sverige består till stor del av TU som huvudsakligen utgår från läroboken,

med mycket eget räknande på uppgifter där man applicerar de formler som läraren precis undervisat om (Carlstein & Olofsson 2020, 4; Johansson & Öberg 2006, 4; Jonsson et al. 2014, 21; Skolinspekt-ionen 2009, 17). I en internationell jämförelse framkommer det dessutom att användning av TU är ännu mer etablerad i Sverige jämfört med andra länder (Skolverket 2004, 69).

2

TU i form av enskilt arbete i läroboken även om andra undervisningsmetoder upplevs som roligare (Rus-sell 2015, 98; Veysel 2010, 39). Till viss del kan elevernas preferens för TU förklaras av att icke-tradit-ionella undervisningsmetoder (ITU) kan innehålla mer ångest-ökande aspekter såsom att presentera inför helklass (Russell 2015, 98). Dessutom ger TU varje elev möjlighet att utvecklas i sin egen takt då det huvudsakliga arbetet sker enskilt (Skolverket 2003, 24).

Oftast upplevs dock TU vara svår, tråkig, monoton, variationsfattig och amotiverande, sakna verklig-hetsanknytning och kan ses som ”en hastighetstävling bland eleverna” (Johansson & Öberg 2006, 12; Skolverket 2003, 21, 40). Undervisningsmetoden innebär ytterst lite variation (Skolverket 2003, 20) samt att den vunna kunskapen inte lika enkelt kan appliceras på världen utanför klassrummet (Boaler 2002, 44). Liknande beskrivning på TU finns även i andra länder som till exempel USA och Tyskland, medan man till exempel i Japan undervisar på ett annat sätt (Kilpatrick 2001, 48-50).

2.2 Variation och icke-traditionella undervisningsmetoder

Det faktum att vi i Sverige till stor del använder oss av TU visar att matematikundervisningen saknar variation (Russell 2015, 21). Sådan variation rekommenderas för alla ämnen i läroplanen (Skolverket 2011, 8) och krävs för att elever ska lära sig olika saker (Skolverket 2003, 24). Genom variation kan man även komma åt olika matematiska kompetenser och hjälpa det stora spektrumet elever som lär sig bättre i olika situationer (Boaler 2002, 47; Skolverket 2003, 30).

Eftersom de vanligaste läroböckerna ofta saknar variation kan man som lärare planera en variationsrik undervisning utifrån från läroplansmålen med olika läromedel och undervisningsmetoder (Skolverket 2003, 39). Användning av olika ITU för att variera matematikundervisningen inkluderar, men är inte begränsat till, grupparbete och kooperativt lärande (Davidson & Kroll 1991; Smith, McKenna & Hines 2014), laborativ/praktisk matematik (Al-Absi 2013; Rystedt & Trygg 2010), användning av digitala verk-tyg (Drijvers 2013), helklassdiskussioner (Gonzáles och DeJarnette 2013), utforskande samtal (Webb, Witlow & Venter 2017), problembaserat lärande (Mustaffa et al. 2017), imaginära dialoger (Wille 2017), matematikkartor (Lennerstad & Larsson 2003), flippade klassrum (Saunders 2014), utomhusmatema-tik (Fägerstam & Blom 2013) och drama (Duatepe-Paksu & Ubuz 2009; Öfverström 2006).

ITU har även påvisats öka elevernas motivation (t.ex. Öfverström 2006, 113), självständighet (t.ex. Len-nerstad & Larsson 2003, 25) och prestation (t.ex. Rohrer, Dedrick & Stershic 2014, 6; Webb, Witlow & Venter 2017 572). I kontrast med ökad elevprestation vid ITU har Boaler (2002, 44-45) dragit slutsatsen att eleverna lär sig lika mycket, men olika, matematik i ITU som i TU. Andra fördelar med ITU är tids-effektivisering av lärarens arbete (Johansson & Öberg 2006, 15), ett bättre socialt klimat (Grip 2013, 4; Veysel 2010, 14), en högre grad av verklighetsanknytning så att eleverna kan använda sina kunskaper utanför klassrummet (Boaler 2002, 44-45; Fägerstam & Blom 2013, 66; Mustaffa et al. 2017, 497) samt att till exempel kooperativt lärande kan förbättra elevernas syn på matematikämnet (Smith, McKenna & Hines 2014, 238).

3

I kontrast mot den dåvarande matematikundervisningen som fokuserade mycket på memorering och snabbhetsberäkningar skedde en reform under 80 - 90-talet (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, 115). Förutom att undervisa ett visst matematiskt innehåll skulle man enligt reformen även utveckla specifika

matematiska kompetenser. Dessa kompetenser överskrider de vanliga matematiska innehållsområdena

såsom algebra eller geometri och kan vara till exempel ”problemlösningskompetens” (Lithner et al. 2010, 161), ”modelleringskompetence” (Niss & Jensen 2002, 52) eller ”adaptive reasoning” (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, 116). Dessa exempel kommer från olika teorier och ramverk som har utformats för att dela upp matematiska kunskap i olika kompetenser, varav alla ska ges plats inom matematikun-dervisning. Två exempel inkluderar MCRF-ramverket (”Mathematical Competency Research Framework”; Lithner et al. 2010) och KOM-projektet (”Kompetencer och Matematiklæring”; Niss & Jensen 2002) som till stor del liknar de ”standards” som NCTM utformat (”National Council of Teachers of Mathematics”, USA; NCTM 2000).

Skolinspektionens granskning av undervisningen i matematik i grundskolan år 2009 visade att nära hälften av klassrumstiden i åk 7-9 upptogs av läroboksuppgifter (Skolinspektionen 2009, 17). Av dessa uppgifter innebar hela 90 % av observationerna att ”räkna i boken enligt givna regler”, vilket jag likstäl-ler med ”rutinuppgifter”. När ITU användes, det vill säga då läraren frångick läroboken och gav eleverna uppgifter i form av lösblad eller skrev upp andra uppgifter på tavlan, minskade andelen klassrumstid som upptogs av rutinuppgifter från 90 % till 64 %. Rapporten fann att sådan ITU-användning ökade elevernas utveckling i andra förmågor än procedurhanteringsförmåga från mellan 9 % och 14 % till mel-lan 40 % och 47 % (Skolinspektionen 2009, 17). Studien visar en stark positiv korrelation där samtliga kompetenser förutom procedurhanteringskompetens ökar tillsammans (Bergqvist et al., 2009, 42). Dessutom fann man en stark negativ korrelation mellan procedurhanteringskompetens och övriga kom-petenser, speciellt i förhållande till kompetenser i problemlösning, resonemang och kommunikation. En möjlig förklaring är att man vid ren procedurhantering inte behöver förstå matematiken, medan detta är nödvändigt vid till exempel problemlösning. Ett annat viktigt fynd är att undervisning som leds aktivt av en lärare ökar antalet förmågor som utvecklas hos eleverna i jämförelse med när eleverna arbetar med läroboksuppgifter (Bergqvist et al. 2009, 44).

En annan indikator på att svenska elever inte utvecklar olika matematiska kompetenser i tillräckligt hög grad är skillnaden i slutbetyg som lärare ger elever i ämnet matematik i jämförelse med vad de uppvisar på nationella prov (Skolinspektionen 2009, 9). Nationella provuppgifter mäter elevernas specifika ma-tematiska förmågor. Även om det nationella provet ska främja en rättvis och likvärdig betygsättning (Skolinspektionen 2009, 9) rapporterar Skolverket att upp till 81 % av elever i åk 9 på vissa skolor får högre slutbetyg än vad deras nationella provbetyg uppvisar. Stora avvikelser mellan genomsnittligt slut-betyg och genomsnittligt slut-betyg på nationella prov har uppvisats kontinuerligt under åren 1998-2008 (Skolverket 2009, 9-10, 15-16). Detta indikerar att eleverna inte alltid betygsätts med tillräcklig hänsyn till de matematiska förmågorna.

Skolinspektionens granskning av matematik i grundskolan som gjordes för över 10 år sedan har (ännu) inte upprepats. Andra studier som rapporterar om till exempel lärares användning av kurs- och ämnes-planer kan dock ge ledtrådar. I flera grundskoleämnen rapporterade Skolverket att lärare i sin under-visningsplanering har ett mycket svagt fokus på respektive ämnes syfte, vilket innebär att förmågemålen kommer i skymundan. Vid undervisningsplanering står fortfarande endast det centrala innehållet i fo-kus (Skolverket 2018, 30, 32). En annan rapport från Skolinspektionen påvisar brister i mellanstadiee-levers klassrumsinteraktion, vilket minskar deras chans att utveckla kommunikationsförmåga och

re-sonemangsförmåga (Skolinspektionen 2020, 4). Även inom gymnasiematematik rapporterar

Skolin-spektionen brist på undervisning i problemlösning, djupare diskussion om begrepp samt diskussioner och reflektioner (Skolinspektionen 2016, 5), det vill säga brist i utveckling av framför allt

4

Sammanfattningsvis syns en koppling mellan undervisningsmetod och elevers möjligheter att utveckla olika matematiska kompetenser. Utifrån ovanstående mer nyligen publicerade rapporter som inte en-bart fokuserar på matematikundervisning är det dessutom troligt att de flesta lärare har lika lite fokus på matematiska kompetenser idag.

2.4 Teoretiskt ramverk för matematiska kompetenser

Då examensarbetet inkluderar intervjuer med lärare från Sverige, Danmark och Australien studerades respektive lands läroplaner med avseende på matematiska kompetenser. I bilaga 8.1 - 8.3 citeras text från svensk, dansk respektive australiensk läroplan med viktiga nyckelord i kursiv stil. I samtliga cite-rade texter syns ett tydligt fokus på att elever ska undervisas enligt matematiska kompetenser; i svensk läroplan finns fem matematiska ”förmågor” (Skolverket 2011, 55), i dansk läroplan finns sex ”matema-tiska kompetencer” (Børne- och undervisningsministeriet 2019, 31, 49-51) och i australiensk läroplan finns fyra ”proficiencies” (sve. ”färdigheter”; ACARA 2020).

Som tidigare nämnts har olika ramverk utvecklats för att beskriva matematiska kompetenser (t.ex. NCTM 2000; Niss & Jensen 2002). I detta examensarbete används ramverket MCRF (Lithner et al. 2010), vilket beskriver elevers möjlighet att utveckla sex olika matematiska kompetenser: Problemlös-ningskompetens, representationskompetens, sambandskompetens, procedurhanteringskompetens, re-sonemangskompetens samt kommunikationskompetens. Ramverket valdes eftersom det på ett rätt-framt sätt kan appliceras speciellt på svensk läroplans matematiska förmågor (Skolverket 2011, 55).

Problemlösningskompetens innebär att eleven med en på egen hand vald strategi ska kunna lösa

pro-blem. Representationskompetens innebär att eleven lär sig att använda olika matematiska begrepp/re-presentationer medan sambandskompetens innefattar att lära sig att se samband emellan begreppen.

Procedurhanteringskompetens innebär att eleven lär sig hur man applicerar specifika

procedurer/al-goritmer. Resonemangskompetens innebär att eleven lär sig att resonera, det vill säga att berättiga val och slutsatser. Till sist står kommunikationskompetens för att eleven, oftast auditivt, men även fysiskt (inklusive skriftligt), lär sig att kommunicera genom ett gemensamt system av symboler och beteenden (Lithner et al. 2010, 161-165).

Nedan kopplas förmågorna, ”kompetencer” och ”proficiencies” i de tre ländernas läroplaner till de ma-tematiska kompetenserna i det valda teoretiska ramverket för att visa att det är möjligt att jämföra samt-liga fem intervjuade lärares tankar om matematiska kompetenser. Kopplingarna sammanfattas i tabell 1. Vissa kompetenser har en tydlig motsvarighet, medan vissa kräver en viss tolkning.

Svensk läroplan: Problemlösningskompetens har en tydlig koppling till det första förmågemålet (den

första punkten) i det citerade stycket i svensk läroplan. Det andra förmågemålet i svensk läroplan inne-håller representationskompetens (första delen) såväl som sambandskompetens (andra delen). Tredje förmågemålet har en stark koppling till procedurhanteringskompetens. Resonemangskompetens syns tydligt i det fjärde förmågemålet. I femte och sista förmågemålet syns än en gång representationskom-petens samt även till viss del resonemangskomrepresentationskom-petens. Dock är den allra tydligaste komrepresentationskom-petensen i den sista punkten kommunikationskompetensen. Denna tolkning av de olika kompetenserna/förmågorna i svensk läroplan liknar den som tidigare gjorts av Walfridsson och Sanfridsson (2016, 13).

Dansk läroplan: I en tidigare jämförelse mellan den danska och svenska läroplanen för matematik med

hjälp av den danska uppdelningen i sex ”kompetencer” kan kommunikationskompetensen enkelt kopp-las till den danska ”kommunikationskompetencen” (Pareto, Vejbæk & Wølner, 2012, 6). Likaså anser jag att ”ræsonnement og tankegangskompetencen” kopplas till resonemangskompetensen, samt att ”re-præsentation og symbolbehandling” kopplas till både representationskompetensen och

sambandskom-petensen. Niss & Jensen (2002, 100) indikerar också att även behandling av formler, det vill säga

pro-cedurhanteringskompetens, faller under ”Symbol- och formalismekompetence” = ”repræsentation og symbolbehandling” i dansk läroplan. Enligt Pareto, Vejbæk & Wølner (2012, 6) inkluderar Sveriges

5

den sistnämnda kommer med i svensk läroplan med uttrycket ”formulera och lösa problem med hjälp av matematik” eftersom man då tar med verkligheten in i matematiken. Den danska ”hjælpemidlerkom-petencen” beskriver elevernas användning av analoga och digitala hjälpmedel (Pareto, Vejbæk & Wølner 2012, 6). I svensk läroplan finns detta inte med i förmågemålen, utan står istället explicit i slutet av tredje stycket under rubriken ”Syfte” (Skolverket 2011, 54).

Australiensk läroplan: De ”proficiencies” som uttrycks i australiensk läroplan liknar inte den svenska

och danska läroplanen till samma grad och kan enklare kopplas till Kilpatricks uppdelning i fem ”strands of mathematical proficiency” (2001, 116). Australienska läroplanens ”Understanding” kopplar jag till Kilpatricks ”Conceptual understanding” och enligt dess definition till det valda ramverkets

representat-ionskompetens och sambandskompetens. På samma sätt kopplar jag australienska läroplanens

”Rea-soning” till Kilpatricks ”Adaptive rea”Rea-soning” och enligt dess definition till det valda ramverkets

resone-mangskompetens. ”Fluency” i australiensk läroplan kopplar jag till Kilpatricks ”Procedural fluency” och

enligt dess definition till det valda ramverkets procedurhanteringskompetens. Australienska läropla-nens ”Problem solving” kopplar jag till Kilpatricks definition för ”Strategic competence” och ännu en-klare till det valda ramverkets problemlösningskompetens. I ”Problem solving” ingår även ”formulate, represent” vilket är det närmaste jag kan se som härrör till det valda ramverkets

kommunikationskom-petens.

I nedanstående tabell sammanfattas jämförelsen av matematiska kompetenser i läroplanerna från de tre länderna, vilket visar att de är jämförbara och att det valda ramverket kan användas för att analysera intervjuresultat från lärare i samtliga länder.

Tabell 1: Koppling mellan det valda ramverkets kompetenser och svensk, dansk resp. au-straliensk läroplan.

Kompetens enligt Lith-ner et al. 2010 Svensk läro-plan (”förmågor”) Dansk läroplan (”kompetencer”) Australiensk läro-plan (”proficiencies”) Resonemang Förmågemål 4 Ræsonnement og

tankegang (sve. ”Re-sonemang och tan-kegång”)

Reasoning (sve. ”att kunna resonera”)

Representation Förmågemål 2 Repræsentation og symbolbehandling (sve. ”Representat-ion och symbolbe-handling”)

Understanding (sve. ”förståelse”)

Samband

Procedurhantering Förmågemål 3 Fluency (sve. ”att kunna flytande”) Problemlösning Förmågemål 1 Problembehandling Problem solving (sve.

”problemlösning”) Modellering

Kommunikation Förmågemål 5 Kommunikation

Saknar uttalad separat

kom-petens i ramverket Saknar uttalad separat förmåga Hjælpemidler (sve. ”Hjälpmedel”) Saknar uttalad sepa-rat ”proficiency”

3 Metod

Detta avsnitt beskriver examensarbetets metod där några lärare som använder icke-traditionella under-visningsmetoder (ITU) besvarade en enkät och sedan intervjuades samt hur detta material analyserades.

3.1 Urval och avgränsningar

6

med fyra lärare) samt skickades via personlig kontakt (en lärare). Lärare som är aktiva i de Facebook-grupper som användes har troligen större engagemang i läraryrket än genomsnittet. Detta innebär ett begränsat urval i en liten grupp lärare som är entusiastiska användare av ITU. Detta är ett lämpligt urval för examensarbetet eftersom frågeställningarna rör hur just ITU-lärare ser på val av undervisningsme-tod och matematiska kompetenser.

3.2 Enkät

Enkäten (bilaga 8.5) som skickades ut till medgivande matematiklärare inleddes med en introduktions-text om anonymitet, nyttjande av data, sparande av rådata och samtycke till enkät såväl som intervju. Enkäten hjälpte mig med förberedelse inför samt tidsbesparing under intervjun. De första frågorna syf-tade till att presentera lärarna som grupp med avseende på till exempel genomgången lärarutbildning, medan enkätens sista frågor syftade till att ta reda på vilka ITU lärarna använder sig av.

3.3 Intervjuer

Intervjumetoden valdes för att ge insikt i hur ITU-lärare tänker på djupet kring sin undervisning. Inter-vjun gjordes digitalt enligt en intervjuguide (bilaga 8.6 på svenska och bilaga 8.7 på engelska). Att inter-vjun skulle spelas in (både ljud och bild) informerades om i enkäten samt vid interinter-vjuns början. Inter-vjufrågorna hade utformats för att öka chansen att täcka examensarbetets två frågeställningar. Första delen av intervjun innehöll generella frågor om lärarens syn på sin egen ITU samt deras syn på tradit-ionell undervisningsmetod (TU). Exempelfråga: ”Skulle du vilja berätta lite om hur de undervisnings-metoder du använder fungerar och varför du använder just de här undervisnings-metoderna?” Lärarna fick även möj-lighet att diskutera varför, hur, vilka fördelar och nackdelar som finns, vad som är viktigt att tänka på vid användning av dessa, etcetera. Mycket av det som lärarna diskuterade i den första delen av intervjun relaterar till frågeställning 1.

Oavsett om läraren spontant kommit in på matematiska kompetenser i första delen eller inte kom det mer i fokus i intervjuns andra del. Här utgick vi från det i respektive lands läroplan som berör matema-tiska kompetenser och jag bad dem relatera detta till sin egen undervisning. I intervjun använde jag ordet förmåga/”ability”/”competency”/”proficiency” för att det torde vara mer igenkännbart för de olika lärarna. Detta kopplas i analysen till MCRF-kompetenserna enligt tidigare tolkning (se tabell 1). Jag bad dem om tips till mig som blivande lärare om hur jag kan utveckla specifika kompetenser. Exempelfråga: ”Om vi vill att eleverna ska kunna förklara varför de valt att göra på ett visst sätt och motivera sina slutsatser – hur kan jag hjälpa mina elever med det?” I mån av tid bad jag till sist varje lärare att beskriva ett drömscenario för att få in ytterligare information om vad som begränsar dem idag.

Intervjuerna transkriberades i efterhand. Följande uteslöts i transkriberingen av administrativa skäl samt lämplighet för forskningsfrågorna: a) korta kommentarer från mig såsom ”ja/nej”, ”jag förstår”, etcetera b) skratt, harklanden, etcetera c) talspråksord/fyllnadsord som ”så”, ”liksom” etcetera, samt d) då någon påbörjar en mening och sedan börjar på en ny mening istället. Transkribering uteslöts även då innehållet inte på något sätt rörde examensarbetets fokus, till exempel i början av intervjun när vi diskuterade dagens händelser. När lärarens namn nämndes byttes detta ut mot antingen initialer eller första bokstaven i förnamnet. De gånger då ett eller några få ord är underförstådda lades dessa till mel-lan hakparenteser för att förbättra läsförståelsen. Alla lärare erbjöds möjligheten att få läsa transkribe-ringen efter intervjun.

3.4 Analysmetod

7

underliggande underklassificeringar (se exempel nedan samt fullständig lista i bilaga 8.8). Varje klassi-ficering relaterades till en av de två frågeställningarna; allt inom klassiklassi-ficering 1 inklusive underklassi-ficeringar berörde frågeställning 2 och allt inom övriga klassiunderklassi-ficeringar berörde frågeställning 1.

Klassificeringarna valdes utifrån frågornas utformning samt de typer av svar som förväntades, till ex-empel att jag förväntade mig att lärarna skulle svara i form av fördelar, nackdelar och ramfaktorer inom frågeställning 1. Vissa klassificeringar lades till och andra togs bort allteftersom intervjuanalyser utför-des för att kunna besvara frågeställningarna på bästa möjliga sätt. Nya underklassificeringar och ibland teman (se exempel nedan samt fullständiga listor i bilaga 8.8) identifierades när fler än 30 textstycken fick samma klassificering. När vissa klassificeringar inte användes i tillräcklig utsträckning togs dessa bort. Vid ändringar i klassificeringslistan omanalyserades även tidigare transkriberingar för att säker-ställa resultatens tillförlitlighet.

Ett textstycke gavs en eller flera klassificeringar. Efter klassificeringen samlades svar från olika lärare för respektive klassificering. De textstycken som hörde till samma lärare sammanfattades i egna ord. Samtliga sammanfattningar för de lärare som uttryckt sig inom resp. klassificering, sammanfattades därefter som grupp. För klassificeringar med fler än 30 tillhörande textstycken skrevs sammanfatt-ningar per tema istället för per lärare. Dessa teman skapades efter att ha gått igenom samtliga text-stycken som tillhörde respektive klassificering. Samtliga sammanfattningar sattes sedan ihop och för-kortades i sin tur för att göra det möjligt att presentera lärargruppens gemensamma åsikter.

Översikt över klassificeringarna (fullständig lista i bilaga 8.8):

1) Matematisk kompetens i undervisningen (frågeställning 2):

Definition: Läraren nämner hur matematiska kompetenser kommer in i hens undervisning. Exempel: ”Ofta så tänker många kanske ju att det är betygen, att man vill definiera E, C, A, men jag börjar alltid med att formulera ’vilken förmåga vill jag utveckla’." (Anna)

Sex underklassificeringar – en för varje kompetens enligt Lithner et al. (2010). Dessa var givna på förhand utifrån det teoretiska ramverket.

2) Syn på TU (frågeställning 1):

Definition: Läraren beskriver sin syn på traditionell undervisningsmetod och hur det funge-rar.

Exempel: ”Jag tycker det var en bra definition på det. Jag tror att det är ganska vanligt det där.” (Vilma)

8

3a) Fördelar med ITU (frågeställning 1):

Definition: Läraren nämner fördelar med ITU.

Exempel: ”Engagerade elever, de tycker faktiskt att det är roligare. Det är väl en jättestor fördel, tänker jag.” (Petra)

Sex teman inklusive till exempel ”högre motivation” och ”tidsbesparing”.

3b) Nackdelar med ITU (frågeställning 1):

Definition: Läraren nämner nackdelar med ITU.

Exempel: ”Nackdelen är ju just det att om jag är ensam på skolan och gör det, då blir det ju lite svårt, för det tar för lång tid...” (Anna)

4) Ramfaktorer för ITU (frågeställning 1):

Definition: Läraren nämner vad som begränsar hen eller andra lärare att kunna börja/fortsätta med ITU.

Exempel: “Flipped classroom I think is a really interesting idea, and I have worked with some teachers who have tried it before at other schools, but …you wouldn’t get the response that you need from the students that we have – if you ask students to do things in their own time, most of them just won’t.” (Bror)

Tolv teman inklusive till exempel ”tid”, ”kollegor” och ”elevens motivation”.

5) ITU i klassrummet (frågeställning 1):

Definition: Läraren nämner hur det fungerar, vad som är viktigt att tänka på och tips vid användning av ITU.

Exempel: ”The one that is working is the one that is learning…I’m not the first one to realise that we need to limit the talkativeness/speaking time of the teacher.” (Sven)

3.5 Metoddiskussion

Intervjuer med ITU-lärare ger utförlig information om deras uppfattning om ITU och drar nytta av deras professionella kunskap inom området. Det är dock viktigt att poängtera att urvalet är begränsat till de lärare som väljer att vara aktiva i Facebookgrupper där man diskuterar matematikundervisning samt att samtliga lärare valts ut eftersom de använder och är oerhört positiva till ITU. Dessa faktorer kommer så klart att färga intervjusvaren och denna studie är därför inte på något sätt representativa för en stor grupp lärare eller hela lärarkåren.

9

Dels på grund av intresse och dels på grund av svårigheter att få tag på lärare som undervisar ITU har två lärare från andra länder än Sverige intervjuats. Måhända skulle resultatet ha blivit mer konsekvent om samtliga lärare utbildats och arbetat inom samma skolväsende. Trots detta anser jag att enigheten bland lärarna var hög oberoende av nationalitet.

4 Resultat och analys

Här beskrivs lärarna och deras använda undervisningsmetoder samt hur de besvarat frågor som relate-rar till frågeställning 1 respektive frågeställning 2.

4.1 Lärarna och deras använda undervisningsmetoder

Tre kvinnor och två män i åldrarna 33-62 år från två olika skolor i Sverige, en i Danmark och en i Au-stralien intervjuades (se tabell 2). Tre lärare hade vanlig lärarexamen (eller motsvarande för respektive land), en hade lärarexamen via kompletterande pedagogisk utbildning (KPU) och en var utbildad spe-ciallärare. Lärarna undervisade 2-17 timmar matematik för högstadieelever1 _{i veckan och hade} undervi-sat från 1 år upp till 24 år. Den nyaste läraren hade snart nått ett år av icke-traditionella undervisnings-metoder (ITU), medan läraren med längst erfarenhet av ITU hade använt detta på olika stadier i 30 år. Fyra lärare använde ITU 80-100 % av sin undervisningstid på högstadiet, medan en lärare använde det runt 50 %. Lärarnas använda undervisningsmetoder sammanfattas i bilaga 8.9. Samtliga lärare höll med om den beskrivna definitionen av traditionell undervisningsmetod (TU).

Tabell 2: Demografisk data

Fingerat namn Vilma Anna Sven Petra Bror

Typ av ort Större stad,

Sverige Mindre ort, Sverige Större ort, Danmark Mindre ort, Sverige Mindre ort, Australien Utbildning Speciallärare Vanlig

lärarexamen Vanlig lärarexamen KPU Vanlig lärarexamen

Högstadiemate-matik per vecka (timmar) 16 17 6-11 (i åk 7-9) 2 8 Verksam lärare (år) 24 16 16 (i åk 7-9) 16 1 Använt ITU (år) 20 16 30 10 1 Andel ITU (%) 80 80 100 50 90

Demografisk data för intervjuade lärare. ITU = icke-traditionella undervisningsmetoder

4.2 Frågeställning 1: Faktorer som påverkar användning och val av undervisningsmetod Lärarna uttrycker att TU ibland kan fungera bättre än ITU eftersom rutin förenklar för både elever och lärare. Oftast uttrycker sig lärarna dock negativt om TU; att lärare som praktiserar ren TU proppar ele-ver fulla med sin kunskap utan att eleele-verna själva har bett om det, i ett tyst klassrum, istället för att eleverna själva ska inse att de besitter kunskap som de kan använda sig av. Lärarna säger också att TU är torr och tråkig, fokuserar för mycket på rätt och fel, motverkar kreativitet och nyfikenhet, får elever att tappa såväl tålamod som intresse och kan minska förståelsen av innehållet. De anser att TU bara fångar elever som ligger på "mittennivå" och att man inte får med sig eleverna på ytterkanterna.

Lärarna anser att elever som undervisas enligt TU ofta får uppfattningen av att de är i skolan för att visa hur mycket de kan istället för att faktiskt lära sig matematik. De säger även att TU kräver att läraren ständigt ger individuell hjälp till sina elever. Lärarna anser att elever som undervisas enligt TU inte får kunskaper som de kan använda sig av i framtiden, då de redan efter ett par veckor inte längre kommer ihåg hur man gör, vilket de tror beror på att eleverna oftast bara lär sig hur man ska göra något, utan att egentligen förstå matematiken.

10

I de kommande delavsnitten delas frågeställning 1 upp i fördelar, nackdelar respektive ramfaktorer för ITU. I bilaga 8.10 finns även ytterligare information om hur lärarna anser att ITU i klassrummet går till på bästa sätt.

4.2.1 Fördelar med icke-traditionella undervisningsmetoder

Elevernas ökade motivation: Lärarna nämner att de börjat använda ITU för att TU inte fungerat för

lågpresterande elever, varken genom att ge fler läxor eller fler uppgifter. I jämförelse med TU uttrycker de att ITU är roligare och mer spännande, såväl för elever som för läraren själv, att det väcker intresse och nyfikenhet, vilket bidrar till högre motivation, engagemang och entusiasm, speciellt hos eleverna. De säger även att ITU skapar en trivsam atmosfär i klassen. Sven har dessutom sett en märkbar ökning i andelen av just hans elever som efteråt har valt matematisk linje på gymnasiet (Danmark).

Elevernas ökade självständighet och prestation: Lärarna uttrycker också att ITU gör eleverna mer

självständiga och självsäkra, att de vågar ha fel, äger kunskap själva och hjälper varandra, vilket även ökar lärandet hos dem som hjälper. Med ITU anser lärarna att eleverna lär sig mer innehåll på kortare tid och når högre nivåer av matematiken, såväl starka som svaga elever. De anser att eleverna inte lär sig att bara enbart använda verktyg och formler, vilket är vanligare när de använder TU. En högre pre-station märker lärarna även vid betygssättning då de anser att fler elever får godkänt betyg vid ITU-undervisning.

Förenklar och tidseffektiviserar lärarens arbete: Att elever ofta hjälper varandra i ITU förenklar även

för läraren som då inte alltid ens behöver befinna sig i klassrummet - istället kan eleverna få upptäcka matematik på egen hand: "The one that is working is the one that is learning" (Sven). Bror upplever att hans elever också uppvisar bättre beteende än i andras TU-klassrum. Lärarna anser sina undervisnings-metoder vara mer tidseffektiva så att eleverna hinner gå igenom mer innehåll, även om det kan ta lite längre tid i uppstarten. Det är huvudsakligen gruppdynamiken som kan vara svår att få igång, speciellt eftersom eleverna är vana vid TU. Lärarna får med sig fler elever i undervisningen, vilket sparar tid i form av till exempel färre omprov. Ibland kan dock ITU även efter uppstarten vara mer tidskrävande; om man ber eleverna att hitta bättre lösningar så tar det enligt lärarna längre tid än att helt enkelt visa dem den bästa lösningen.

4.2.2 Nackdelar med icke-traditionella undervisningsmetoder

Elever kan ibland uppleva att ITU saknar rutin, att det är stökigt och tycker det är svårt att till exempel arbeta med praktiskt material. Lärarna anser att olika innehållsområden fungerar olika bra och svaren varierar mellan lärarna. Bror är även något skeptisk till grupparbeten eftersom det är svårt att bedöma vem i gruppen som gjort vad och därmed vem som faktiskt förstått och bidragit till grupparbetet. Den självständighet som lärarna försöker uppnå kan också vara frustrerande för eleverna, speciellt för dem som har dåligt självförtroende i matematik. Elever som endast är intresserade av att bli godkända kan också tycka ITU är jobbigt eftersom undervisningen verkar hållas på en högre nivå. Enligt Bror fungerar inte praktiskt material alls i hans klassrum eftersom eleverna antingen förstör eller snor materialet. Lä-rarna möter också ett visst motstånd av elevernas föräldrar när de undrar varför eleverna "leker” på matematiken.

4.2.3 Ramfaktorer för icke-traditionella undervisningsmetoder

Tid en viktig ramfaktor: Tid begränsar samtliga lärare i vilka undervisningsmetoder de vill/kan

11

Elevernas ålder, beteende, förkunskaper och självförtroende begränsar: Lärarna nämner också att om

eleverna inte är tillräckligt villiga att följa lärarens icke-traditionella instruktioner och beter sig illa i klassrummet försvåras ITU ytterligare. Att det är svårt att motivera elever på högstadiet anser Sven be-ror på att de är "lazy at that period". Skilda meningar råder om vilken årskurs på högstadiet är lättast att undervisa ITU. Lärarna understryker behovet av att känna till elevernas förkunskaper och att läraren tydligt kopplar ett nytt område till vad eleverna gjort tidigare. Om man vill skapa självgående elever som vågar ge sig på svåra problem menar lärarna att undervisningen begränsas av att eleverna har lågt själv-förtroende och är rädda för att säga och göra fel.

Elevernas intressen, motivation och syn på matematikämnet begränsar: Sven motiverar sina elever

genom att inte alltid vara expert på allt som sker i klassrummet, utan låter eleverna stå för en del av lärandet genom att lära de andra om sina intressen – när dessa har en synlig koppling till matematik. Lärarna nämner även att en motiverande undervisning skapas genom att använda sig av saker som är nytt och revolutionerande i samhället. De säger också att de flesta eleverna kommer med en viss syn på matematik som överensstämmer med TU där de förväntar sig en enda lösning och ett enda rätt svar som de ska lära sig. Ofta kommer denna syn direkt från föräldrarna. När eleverna inte får det förväntade bemötandet kan de bli arga och besvikna. Därför önskar lärarna att hela samhället skulle se matematik på ett annat sätt. Petra säger att många elever verkar tycka att man ska sluta leka i matematiken när man kommer till högstadiet och är skeptiska till ITU. I kontrast till detta säger Vilma att hennes elever kan få för sig att ITU innebär "fri lek" och behöver få dem att koncentrera sig på undervisningen istället för att leka.

Lärarens personlighet, erfarenhet och utbildning begränsar: Lärarna uttrycker även att framgång

inom ITU kräver fortbildning, konferensdeltagande, utvecklingsprojektpengar, litteraturläsande och er-farenhet. Tre lärare nämner också att lärarens personlighet är viktig i steget mot ITU och hur man väljer att undervisa; man behöver ett stort självförtroende, måste vara bekväm med att inte alltid vara experten i rummet och behöver verkligen tro på den nya metoden man testar: "Är du inte ärlig eller genuin med varför du provar eller vad du gör, så lyser det igenom och då funkar det inte." (Petra)

Kollegial uppfattning av ITU påverkar: För att lättare kunna börja och fortsätta använda ITU nämner

lärarna kollegialt stöd i form av diskussionsplank, att kollegor kan hjälpa till att hitta nya metoder, vara motiverande och se till att effekten av ITU-användning verkligen blir långvarig och vidspridd på skolan. Två lärare nämner även nyttan med att ha tillgång till specialpedagoger med matematikexpertis. Lä-rarna uttrycker att det kan vara svårt att få med sig kollegor, delvis eftersom de redan har en negativ syn på ITU. Denna generella, negativa syn gör att Bror gör vad han kan för att inte trampa någon på tårna, vilket begränsar hans användning av till exempel utomhusmatematik.

Klassens sammansättning och grupperingar påverkar: Lärarna påpekar även att klassens

samman-sättning är viktig och att eventuella grupper som sätts samman behöver väljas ut med omsorg. Man behöver vara tydlig med att läraren bestämmer hur grupperna ska se ut och att alla ska kunna samarbeta med alla andra - utan sura miner.

Ett eget klassrum skulle vidga ramarna: Två lärare pratar båda om möjligheterna med att ha ett eget

klassrum där man kan förvara praktiskt material för undervisningen såsom kuber och egengjorda spel, eller för att kunna smycka väggarna med multiplikationstabeller och listor på elevframgångar. De talar även om att möbleringen skulle kunna vara gjord på olika sätt i olika delar av klassrummet för till ex-empel grupparbete eller individuellt arbete.

4.3 Frågeställning 2: Hur elever bäst lär sig matematiska kompetenser

12

nationella prov eftersom man då får med olika förmågor. Sven uppskattar att en tredjedel av hans under-visningsplanering fokuserar på att utveckla förmågor och Bror säger att det nog borde spela en större roll än vad den gör i hans undervisning i nuläget, vilket jag tolkar vara endast vid bedömning. Vilma säger att förmågorna inte alls väger in i hennes undervisningsplanering, men berättar vid annat tillfälle att hon förändrar sin undervisning om hon märker att eleverna inte verkar ha utvecklat en viss förmåga.

I följande stycken presenteras lärarnas syn på hur de skulle utforma sin undervisning för att ge eleverna förutsättning att utveckla var och en av de sex olika matematiska kompetenserna.

Problemlösningskompetens: Lärarna uttrycker att problemlösning ofta är en svår förmåga att utveckla

hos elever, speciellt hos dem med dåligt matematiksjälvförtroende. De anser att eleverna ofta lotsas för mycket och inte lär sig riktig problemlösning. Lärarna har olika, men ofta liknande generella förslag på hur man kan lära elever problemlösning. De rekommenderar att visa eleverna flera alternativa lösningar och föreslår att eleverna ska jämföra dem på egen hand. Tre lärare poängterar att problemen ska lösas i grupp, medan Bror föreslår att man i helklass ska bryta ned problemet. Lärarna förespråkar att eleverna får använda praktiskt material och/eller får göra verklighetsanknutna uppgifter vid problemlösning. De poängterar också att eleverna ska kunna skapa sina egna problem och att det är bra om eleverna får skapa något som läraren kan ha svårigheter att lösa samt sedan utvärdera dessa egengjorda problem.

Begreppskompetens: Lärarna föreslår att begreppskompetens kan förbättras genom att man visar

samma representation på olika sätt - genom att verklighetsgöra ett begrepp, rita det på olika sätt såsom i form av begreppskartor (även bra för sambandsförmåga, se nedan), enklare bilder eller genom att de-monstrera fysiska objekt. De föreslår att man skriver upp en begreppslista varje lektion istället för en lista över vad eleverna ska göra den lektionen. Ett konkret exempel från Sven är att man på samma gång visar eleverna många olika sorters tal som multipliceras (till exempel komplexa tal, negativa tal, bråk) för att hjälpa dem att förstå begreppet multiplikation.

Sambandskompetens: Lärarna anser att man ständigt ska visa samband mellan olika innehållsområden

för eleverna, till exempel när man börjar på ett nytt område, både för att eleverna ska se en röd tråd i sitt lärande och för att de ska känna framgång i att de redan har lärt sig något. Vilma uttrycker också att man i svensk skola verkar hålla på med alldeles för lite sambandskompetens och att elever borde få lära sig flera olika begrepp på samma gång. Även om detta kan "stöka till det” för eleverna i början, vilket Vilmas kollegor ofta kritiserar henne för, anser hon att eleverna blir mycket duktigare i slutändan.

Procedurhanteringskompetens: Lärarna uttrycker användandet av algoritmer och formler, det vill säga

procedurhantering, som något tråkigt, som kan verka skrämmande för elever, som kräver mängdträ-ning, som ofta prioriteras för mycket av lärare samt ofta tar död på elevernas matematikintresse. Sven jämställer procedurhantering med att eleven kan receptet för pannkakor, men utan rätt ingredienser så kan eleven inte göra något vettigt av det. För att eleverna ska ta till sig procedurhantering föreslår Petra att man ger formler roliga namn samt att eleverna får träna på förmågan med hjälp av lek/spel eller genom att använda formlerna på data ur elevernas vardag.

Resonemangskompetens: För att utveckla resonemangskompetens föreslår två lärare specifikt att man

13

Kommunikationskompetens: Mycket av det som lärarna föreslår angående resonemangskompetens

lik-nar det som föreslås för att öka kommunikationskompetens. I de fem lärarnas klassrum sker mycket muntlig kommunikation, till exempel får elever först tänka på frågor enskilt, sedan diskutera i par och sedan i helklass (enskilt-par-alla; EPA). Lärarna pratar ofta om helklassdiskussioner med många aktiva elever, att eleverna muntligt får beskriva geometriska objekt för andra elever att rita upp. Några lärare skriver även medvetet småfel på tavlan som ökar elevernas aktivitet under genomgången. Sven låter eleverna presentera större individuella projekt i slutet av terminen. Petra uttrycker att det vore orättvist att inte låta elever träna muntlig kommunikation p.g.a. det muntliga nationella provet i åk 9. Vid muntlig kommunikation poängterar lärarna att det är viktigt att på ett diskret sätt rätta elevernas användning av vardagliga uttryck genom att repetera vad eleven sagt, men säga det med korrekt matematiskt språk. Förutom verbal kommunikation tycker lärarna att det är viktigt att lära eleverna att skriva ned lösningar i hela meningar, som en röd tråd utan att hoppa över steg och som gör det enkelt för till exempel elevens kompis att förstå. Detta brukar lärarna visa genom att antingen låta eleverna titta på andras lösningar och förbättra dem, alternativt lyfta fram de elevlösningar som är bra, det vill säga be de elever som fått bra utfall på en provuppgift att visa hur de gjort för resten av klassen. Sven har även ett konkret tips att förbjuda suddgummin på lektionerna så att eleverna lättare ska kunna lära sig av sina misstag.

5 Diskussion

I detta avsnitt sammanfattas och diskuteras examensarbetets resultat i relation till litteratur, även här uppdelat på respektive frågeställning.

5.1 Frågeställning 1: Faktorer som påverkar användning och val av undervisningsmetod I detta delavsnitt diskuteras frågeställning 1 med avseende på lärarnas syn på traditionell undervisnings-metod (TU), fördelar såväl som nackdelar med icke-traditionella undervisningsundervisnings-metoder (ITU) och ram-faktorer för densamma. Till sist diskuteras lärarnas tankar kring hur de får ITU att fungera i klassrum-met.

I frågeställning 1, som svar på varför de använder sina specifika ITU nämns såväl nackdelar med TU som fördelar med ITU. Generellt pratar lärarna om TU likt hur det beskrivits i delavsnitt 2.1, med fokus på negativa aspekter (t.ex. Skolverket 2003, 20-21, 40). Boaler (2002, 45-46) uttrycker även att TU ökar risken för att elever uttrycker ogillande för matematik som ämne och drar slutsatsen att TU inte låter dem utvecklas som människor och tänka egna tankar. Fördelar med ITU som lärarna nämner har även påvisats tidigare (se avsnitt 2.4), inklusive elevernas ökade motivation (t.ex. Duatepe-Paksu & Ubuz 2009, 283), ökade självständighet (t.ex. Saunders 2014, 45) och ökade prestation (t.ex. Davidson & Kroll 1991, 363). Lärarna nämner även att deras arbete förenklas både i form av tidseffektivitet (t.ex. Johans-son & Öberg 2006, 15) samt att de får bättre ”kontroll” över klassen.

14

Lärarnas svar om hur ITU ska bedrivas i klassrummet (se bilaga 8.10) fokuserar mycket på att skapa ett accepterande och hjälpsamt klimat i klassrummet (se även Grip 2013, 4; Veysel 2010, 14). Dessutom nämner lärarna att de använder många digitala verktyg, gör sin undervisning roligare med hjälp av spel och praktiskt material samt att de eftersträvar en stark verklighetsanknytning i undervisningen. Denna verklighetsanknytning bekräftar andra studiers slutsats att eleverna lär sig på ett annorlunda sätt med ITU som ger dem möjligheten att använda sin kunskap utanför klassrummet (Boaler 2002, 44-45; Fä-gerstam & Blom 2013, 66; Mustaffa et al. 2017, 497). Min åsikt är att det faktum att de intervjuade lärarna ständigt försöker nå mer verklighetsanknytning torde göra att eleverna blir mer motiverade (se även Johansson & Öberg 2006, 15), lär sig mer och högre nivåer av matematik och faktiskt kan använda det de lärt sig i sina egna nutida och framtida liv. Detta borde, enligt mig, vara en bättre väg att gå än att låta elever traggla sig igenom matematiken i ett grådaskigt, självkritiserande mörker.

5.2 Frågeställning 2: Hur elever bäst lär sig matematiska kompetenser

I frågeställning 2 uttrycker lärarna olika tyngdpunkt på de kompetenser som elever ska utveckla. För att utveckla elevernas matematiska förmågor hade jag förväntat mig att lärarna skulle föreslå specifika ITU såsom ”utomhusmatematik” eller ”problembaserat lärande”, men istället gav de oftast konstruktiva för-slag på kortare aktiviteter, olika sätt att prata med eleverna, etcetera. Detta innebär alltså att lärarna i denna studie inte gav uttryck för en direkt koppling mellan ITU och ett högre antal matematiska kom-petenser.

Tydliga skillnader syns dock mellan de intervjuade ITU-lärarna i denna studie och hur lärare generellt uttryckte sig om lektionsaktiviteter i en rapport från TIMSS (”Trends in International Mathematics and Science Study”). I TIMSS-rapporten uppgav lärarna att 50-60 % av svenska elever vid åtminstone hälf-ten av lektionerna fick förklara sina svar (resonemangskompehälf-tens) och själva bestämma hur de ska lösa ett problem (problemlösningskompetens; Skolverket 2004, 71). Andelen elever sjönk till ~20 % på frå-gan om eleverna vid minst hälften av lektionerna fick arbeta med problem vars lösningsmetoder inte är omedelbart uppenbara (mer tydlig problemlösningskompetens) eller arbeta tillsammans i små grupper (grupparbete). Verklighetsanknytning uttrycktes för runt 40 % av svenska elever vid minst hälften av lektionerna (Skolverket 2004, 71). I min åsikt bör elever vid samtliga lektioner få tillfälle att öva på ovanstående, men detta får endast mindre än 30 % av svenska elever göra vid varje lektion enligt rap-porten (Skolverket 2004, 71).

I dagens matematikundervisning som huvudsakligen styrs av läroboken (Skolverket 2003, 39), som i sin tur företrädesvis innefattar rutinuppgifter är det mest procedurhantering som elever får chansen att utveckla (Skolinspektionen 2009, 17). Därför rekommenderar Skolinspektionen att lärare ska erbjuda andra aktiviteter än läroboksuppgifter för att kunna utveckla fler kompetenser (Skolinspektionen 2009, 22). Walfridsson och Sanfridsson (2016, 36) sammanfattar att användning av olika undervisningsme-toder har möjlighet att utveckla fler förmågor hos eleverna. Lärarna i min studie uttrycker att eleverna i stort sett alltid får förklara sina svar och att undervisningen är väldigt fokuserad på problemlösning. För att definitivt ta reda på om ITU leder till mer fokus på fler kompetenser, behöver man, i min åsikt, göra en liknande studie som Skolinspektionen gjorde 2009, inklusive en jämförelse mellan TU- och ITU-klassrum. Min slutsats utifrån ITU-lärarnas beskrivningar av sin undervisning är dock att det finns goda möjligheter för att elever i ITU-klassrum får chansen att utveckla fler kompetenser än i TU-klassrum.

15

kunskap, gärna i form av grupparbeten och olika sorters kommunikation (Imsen 2006, 52-53, 208, 326). Jag tänker att elevaktivitet i form av till exempel social aktivitet och problemlösning stimulerar till mer tänkande och därmed bättre förståelse.

Med avseende på problemlösningskompetens anser lärarna att detta är det svåraste att utveckla hos eleverna och de flesta rekommenderar att visa eleverna alternativa lösningar och gärna arbeta i grupp. Att lära sig av andra elever genom att få tillgång till deras synsätt på ett problem har bevisats vara bra för att öka elevers problemlösningskompetens, även för elever med särskilda behov (Jakobsson & Nils-son, 117).

Begreppskompetensen verkar lärarna i studien se som att eleverna normalt sett får nog av oavsett hur

läraren utformar sin undervisning. Lärarna verkar inte fokusera speciellt mycket på denna kompetens. Även om Skolinspektionens granskning i Sverige inte påvisade några direkta brister med avseende på begreppsförmåga ska man dock som lärare så klart ändå aktivt se till att samtliga förmågor utvecklas hos eleverna (Skolinspektionen 2009, 16, 18).

Däremot anser de intervjuade lärarna att sambandskompetens får för lite plats inom matematikunder-visning. Lärarna poängterar att läraren alltid ska poängtera samband och kopplingar mellan olika be-grepp, medan andra studier föreslår att elever ska reflektera/arbeta i grupp för att utveckla sambands-kompetens (Jakobsson & Nilsson, 118).

Sammanfattningsvis, även om lärarna inte uttryckligen själva säger att de får in fler kompetenser genom att använda ITU, indikerar deras beskrivningar av sin undervisning att de får in mer

kommunikations-kompetens, problemlösningskommunikations-kompetens, sambandskompetens och resonemangskompetens än vid TU.

6 Slutsatser

Svar på frågeställningarna:

1. Fördelar, nackdelar och ramfaktorer som de intervjuade ITU-lärarna anser på-verka användning och val av undervisningsmetod:

o Fördelar med traditionell undervisningsmetod (TU): rutin kan förenkla, ele-verna är vana vid detta.

o Nackdelar med TU: tysta klassrum, torrt, tråkigt, motverkar kreativitet/nyfikenhet. Elever tappar intresse och lär sig att göra matematik, inte förstå den.

o Fördelar med icke-traditionella undervisningsmetoder (ITU): Ökad motivat-ion, självständighet och prestation hos eleverna. Förenklat arbete för läraren, inklusive tidsmässigt.

o Nackdelar med ITU: Svårt vid uppstart, kan ibland ta längre tid. Fungerar inte för alla elever eller i alla innehållsområden.

16

2. Intervjuade ITU-lärare anser att elever bäst lär sig specifika matematiska kompe-tenser på följande sätt:

o Problemlösningskompetens: Diskussioner om alternativa lösningar, gärna i grupp, med praktiskt material, verklighetsnära och/eller egengjorda uppgifter.

o Begreppskompetens: Läraren visar samma begrepp på olika sätt samtidigt, be-greppskartor, begreppslistor på tavlan.

o Sambandskompetens: Läraren påpekar ständigt kopplingar mellan olika innehålls-områden/begrepp.

o Procedurhanteringskompetens: Lek/spel, roliga namn på formler, elever der egen data, eleverna får poäng för att bara identifiera vilken formel som ska använ-das.

o Resonemangskompetens: Gruppuppgift där respektive elev har en bit information var, gruppuppgift där varje representant från expertgrupper redovisar i ny tvärgrupp, spelet Ulysseus, diskussion om alternativa lösningar och hur man kan ha resonerat i demonstrerade felsvar.

o Kommunikationskompetens: alternativa lösningar, enskilt-par-alla(EPA)-meto-den, helklassdiskussioner, förbättra anonyma lösningar i grupp, medvetet skriva fel som lärare på tavlan, större individuella elevprojekt, förbud mot suddgummin på lekt-ionen.

17

ACARA. 2020. Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority - Foundation to year 10

curriculum - Mathematics – Key ideas

https://www.australiancurriculum.edu.au/f-10-curriculum/mathematics/key-ideas/ (Hämtad 2020-11-23)

Al-absi, M. 2013. The Effect of Hands-on Activities on Third Graders’ Achievement in Mathematics.

Dirasat. 40(1), 511–518. https://doi.org/10.12816/0000681

Bergqvist, Ewa; Bergqvist, Tomas; Boesen, Jesper; Helenius, Ola; Lithner, Johan; Palm, Torulf och Palmberg, Björn. 2009. Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet -

Grund-skolan våren 2009. Forskningsrapport. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning,

Göte-borgs universitet.

Boesen, Jesper; Lithner, Johan och Palm, Torulf. 2018. Assessing mathematical competencies: an anal-ysis of Swedish national mathematics tests. Scandinavian journal of educational research 62(1): 109-124. doi: 10.1080/00313831.2016.1212256.

Børne- och undervisningsministeriet. 2019. Matematik: Faghæfte 2019. København: Børne- och undervisningsministeriets forlag.

https://emu.dk/sites/default/files/2020-09/GSK_Fagh%C3%A6fte_Matematik.pdf

Carlstein, Malin och Olofsson, Moa. 2020. Undervisningsmetoder i matematik: Problembaserad

undervisning och traditionell undervisning i ett samspel. Examensarbete, Jönköpings universitet.

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Ahj%3Adiva-48196

Davidson, Neil och Lambdin Kroll, Diana. 1991. An Overview of Research on Cooperative Learning Re-lated to Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 22(5): 362–365. doi: 10.2307/749185.

Drijvers, Paul. 2013. Digital technology in mathematics education: why it works (or doesn’t). PNA 8(1): 1–20. doi: 10.1007/978-3-319-17187-6_8.

Duatepe-Paksu, Asuman och Ubuz, Behiye. 2009. Effects of Drama-Based Geometry Instruction on Stu-dent Achievement, Attitudes, and Thinking Levels. The Journal of educational research (Washington,

D.C.) 102(4): 272–286. doi: 10.3200/JOER.102.4.272-286.

Einarson, Henrik. 2009. Alternativa metoder att undervisa matematik - En studie om några lärares

syn på alternativ till lärobok. Examensarbete, Växjö universitet (numera del av Linnéuniversitet).

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Avxu%3Adiva-5677

Fägerstam, Emilia och Blom, Jonas. 2013. Learning biology and mathematics outdoors: effects and at-titudes in a Swedish high school context. Journal of adventure education and outdoor learning 13(1): 56–75. doi: 10.1080/14729679.2011.647432.

Imsen, Gunn. 2006. Elevens värld: introduktion till pedagogisk psykologi. 4. uppl. Lund: Studentlit-teratur.

González, Gloriana och DeJarnette, Anna. 2013. Leading Classroom Discussions. Mathematics

Teach-ing in the Middle School 18(9): 544-551. doi:10.5951/mathteacmiddscho.18.9.0544.

Grip, Kerstin. 2013. En hermeneutisk fenomenologisk studie om drama som matematikdidaktiskt

verktyg. Examensarbete, Högskolan i Gävle.

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Ahig%3Adiva-14776

Hugosson, Mathilda. 2017. Varför traditionell undervisning i matematik? - Fyra lärares syn på varför

den traditionella undervisningen i matematik tar stor plats och vilka hinder som finns för att bedriva annan typ av undervisning i årskurs F-3. Examensarbete, Mälardalens högskola.

18

Jakobsson, Inga-Lill och Nilsson, Inger. 2011. Specialpedagogik och funktionshinder. Att möta barn

och unga med funktionsnedsättningar i en utvecklande lärmiljö. Stockholm: Natur & Kultur.

Johansson, Helena och Öberg, Liselotte. 2006. Matematikbokens vara eller icke vara? – Alternativa

arbetssätt i matematik. Examensarbete, Luleå tekniska universitet. http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Altu%3Adiva-46773

Jonsson, Bert; Norqvist, Mathias; Liljekvist, Yvonne och Lithner, Johan. 2014. Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior 36: 20-32. doi: 10.1016/j.jmathb.2014.08.003.

Kilpatrick, Jeremy; Swafford, Jane och Findell, Bradford. 2001. Adding it up: Helping children learn

mathematics. National research council (Ed.). Vol. 2101. Washington, DC: National Academy Press.

Lennerstad, Håkan och Larsson, Krister. 2003. Matematikkartor. Nämnaren, 3, 22-27. http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2227_03_3.pdf

Lithner, Johan; Bergqvist, Ewa; Bergqvist, Tomas; Boesen, Jesper; Palm, Torulf & Palmberg, Björn. 2010. Mathematical competencies - A research framework. I C. Bergsten, E. Jablonka & T. Wedege (red.). Mathematics and mathematics education: Cultural and social dimensions. Linköping: Svensk förening för matematikdidaktisk forskning (SMDF), 157-167.

Mustaffa, Najihah; Ismail, Zaleha; Tasir, Zaidatun och Said, Mohd Nihra Haruzuan Mohamad. 2016. The Impacts of Implementing Problem-Based Learning (PBL) in Mathematics: A Review of Literature.

International Journal of Academic Research in Business and Social Sciences 6(12): 490-503. doi:

10.6007/ijarbss/v6-i12/2513.

NCTM. 2000. Principles and standards for school mathematics. National Council of Teachers of Math-ematics. Vol. 1. Reston, VA, USA: National Council of Teachers of MathMath-ematics.

Niss, Mogens och Højgaard Jensen, Tomas. 2002. Kompetencer og matematiklæring: Idéer og

inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens

temahæfteserie. Vol. 18. København: Undervisningsministeriets forlag.

Pareto, Lena; Vejbæk, Leif och Wølner, Tor Arne. 2012. Fælles nordisk læreplan: Matematik. GNU

matematik: läroplaner och GNUbisk kub. Projektrapport interreg-projekt Grænseoverskridende

nordisk undervisning.

https://interregoks.eu/download/18.2f79a9231506ca1137617370/1472022924620/GNU%20fxlles%2 0lxreplan%20matematik.pdf (Hämtad 2020-11-22)

Rohrer, Doug; Dedrick, Robert och Stershic, Sandra. 2014. Interleaved Practice Improves Mathematics Learning. Journal of Educational Psychology 107(3): 900–908. doi: 10.1037/edu0000001

Russell, Laurence (2015). Exploring systematic lesson variation – A teaching method in mathematics. Licentiatavhandling, Linköpings universitet.

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Aliu%3Adiva-119025

Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena. 2010. Laborativ matematikundervisning  : vad vet vi? Göteborg: Na-tionellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet.

Saunders, Joanna. 2014. The flipped classroom: Its effect on student academic achievement and

criti-cal thinking skills in high school mathematics. Doktorsavhandling, Liberty University, Virginia, USA.

Skolinspektionen. 2009. Undervisningen i matematik i grundskolan. Skolinspektionens rapport 2009:5. Stockholm: Skolinspektionen.

Skolinspektionen. 2016. Senare matematik i gymnasieskolan (matematik 3c). Skolinspektionens kvalitetsgranskning 2014:2725. Stockholm: Skolinspektionen.

19

Skolverket. 2003. Lusten att lära – med fokus på matematik. Nationell kvalitetsgranskning 2001:113. Skolverkets rapport 221. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. 2004. TIMSS 2003 - Svenska elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i skolår

8 i ett nationellt och internationellt perspektiv. Skolverkets rapport 255. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. 2009. Redovisning av uppdrag om skillnaden mellan betygsresultat på nationella prov

och ämnesbetyg i svenska, matematik och engelska i årskurs 9. Redovisning av regeringsuppdrag

2008:3789. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. 2011. Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet: reviderad 2019. 6 uppl. Stockholm: Skolverket. https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/laroplan-lgr11-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och- fritidshemmet (Hämtad 2020-08-31)

Skolverket. 2018. Lärares användning av kurs- och ämnesplaner. Redovisning av regeringsuppdrag. Dnr 2018:10. Stockholm: Skolverket. https://www.skolverket.se/getFile?file=4026 (Hämtad 2020-12-18)

Smith, Thomas; McKenna, Cornelius och Hines, Ellen. 2014. Association of group learning with math-ematics achievement and mathmath-ematics attitude among eighth-grade students in the US. Learning

En-vironments Research 17(2): 229–241. doi: 10.1007/s10984-013-9150-x.

Veysel, Sümer (2010). Att arbeta laborativt i matematik - För- eller nackdel? Examensarbete, Malmö högskola. http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Amau%3Adiva-27783

Walfridsson, Elin; Sanfridsson, Sofia (2016). Traditionell matematik-undervisning duger väl? – En

lit-teraturstudie om alternativa undervisningsmetoder i matematik och hur dessa kan påverka elevers prestationer i och attityder till matematik. Examensarbete, Linköpings universitet.

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn%3Anbn%3Ase%3Aliu%3Adiva-129064

Webb, Paul; Whitlow, J.W & Venter, Danie. 2017. From Exploratory Talk to Abstract Reasoning: a Case for Far Transfer? Educational Psychology Review 29(3): 565–581. doi: 10.1007/s10648-016-9369-z. Wille, Annika. 2017. Imaginary Dialogues in Mathematics Education. Journal Für

Mathematik-Didak-tik 38(1): 29–55. doi: 10.1007/s13138-016-0111-7.

Öfverström, C. 2006. Upplevelse, inlevelse och reflektion - drama som en aktiv metod i lärandet  : en

teoretisk analys och en empirisk undersökning av hur lärare tänker när de använder drama som me-tod. Licentiatavhandling, Linköpings universitet.

20

21

Bilaga 8.1 Utdrag ur svensk läroplan med avseende på matematiska kompetenser

Nedan citeras text från underrubriken ”Syfte” i kursplanen för matematik i svensk grundskola, i vilken viktiga nyckelord har kursiverats.

”Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att

 formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och meto-der,

 använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

 välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa

rutinupp-gifter,

 föra och följa matematiska resonemang, och

 använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frå-geställningar, beräkningar och slutsatser.”

22

Bilaga 8.2 Utdrag ur dansk läroplan med avseende på matematiska kompetenser

Nedanstående citat är taget ur danskt ”faghæfte” med avseende på motsvarigheten till högstadiet (”3. trinforløb”) där jag har kursiverat viktiga nyckelord.

 ”Problembehandling vedrører opstilling og løsning af matematiske problemer, dvs. matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder.”

 ”Modellering vedrører processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemer fra omverdenen. Det vedrører også analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i omverdenen.”

 ”Ræsonnement og tankegang vedrører matematisk argumentation og karakteristika ved matematisk tankegang. ”

 ”Repræsentation og symbolbehandling vedrører anvendelse og forståelse af repræsentationer i matematik, herunder matematisk symbolsprog.”

 ”Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om matematik”

 ”Hjælpemidler vedrører kendskab til, anvendelse og valg af relevante hjælpemidler i matematik.”

23

Bilaga 8.3 Utdrag ur australiensk läroplan med avseende på matematiska kompetenser Nedan följer ett citat från ”Key ideas” på webbsidan för ”Australian curriculum, assessment and repor-ting authority” (ACARA 2020), med egengjorda kursiveringar av viktiga nyckelord:

”In Mathematics, the key ideas are the proficiency strands of understanding, fluency, problem-solving and reasoning. The proficiency strands describe the actions in which students can engage when learning and using the content.

 Understanding: Students build a robust knowledge of adaptable and transferable mathematical

concepts. They make connections between related concepts …

 Fluency: Students develop skills in choosing appropriate procedures; carrying out procedures flexibly, accurately, efficiently and appropriately; and recalling factual knowledge and concepts readily. Students are fluent when they calculate answers efficiently....

 Problem-solving: Students develop the ability to make choices, interpret, formulate, model and

investigate problem situations, and communicate solutions effectively. Students formulate and solve problems when they use mathematics to represent unfamiliar or meaningful situations…

 Reasoning: Students develop an increasingly sophisticated capacity for logical thought and ac-tions, such as analysing, proving, evaluating, explaining, inferring, justifying and generalis-ing. Students are reasoning mathematically when they explain their thinking, when they deduce and justify strategies used and conclusions reached…”