M¨angder och kardinalitet

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin

Specialkursen HT07 28 september 2007

M¨angder och kardinalitet

Dessa blad utg¨ or skissartade f¨ orel¨ asningsanteckningar kombinerat med

¨ ovningar. Framst¨ allningen ¨ ar inte fullst¨ andig utan m˚ aste kompletteras med egna anteckningar och probleml¨ osningar.

1. M¨ angdl¨ ara

En m¨ angd ¨ ar en ”p˚ ase” som inneh˚ aller ”element”. Denna naiva definition ¨ ar dock problematisk...

Speciellt finns en tom p˚ ase, som kallas tomma m¨ angden och betecknas ∅.

Om A ¨ ar en m¨ angd, ¨ ar {A} ocks˚ a en m¨ angd. Den har ett element – n¨ amligen A. Vad ¨ ar egentligen ett element...?

Vi skriver x ∈ A om x ¨ ar ett element i A, annars x 6∈ A. L˚ at A och B vara m¨ angder. Om

∀x(x ∈ B =⇒ x ∈ A),

s¨ ager vi att B ¨ ar en delm¨ angd till A och skriver B ⊆ A. Om dessutom A 6= B talar man om en ¨ akta delm¨ angd. J¨ amf¨ or begreppet strikt olikhet.

Har man en samling m¨ angder kan man bilda nya genom diverse konstruk- tioner. L˚ at A och B vara tv˚ a m¨ angder. Man kan bilda unionen, A ∪ B, och snittet A ∩ B. Om A ∩ B = ∅ s¨ ager man att m¨ angderna ¨ ar disjunkta: de saknar gemensamma element.

Om C = A ∪ B g¨ aller

∀x(x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)).

Formalisera snittet!

Vi kan bilda produktm¨ angden av tv˚ a m¨ angder A × B = {(a, b); a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Det ¨ ar allts˚ a m¨ angden av ordnade par.

Ovning 1: Vad ¨ ¨ ar A × ∅?

Vi skriver A ⁿ f¨ or A × A × · · · × A d˚ a n ∈ N (J¨amf¨or R ⁿ ). Vad ska vi mena med A ⁰ ? Kanske ¨ ar A ⁰ = {∅}. Varf¨ or skulle det vara naturligt?

Om A ¨ ar en m¨ angd, ¨ ar P(A) m¨angden av alla delm¨angder till A. Speciellt g¨ aller ∅ ∈ P(A) och A ∈ P(A).

Jag vill tacka Christer Kiselman och Lars-˚ Ake Lindahl, som jag l˚ anat n˚ agra id´ eer av

till ¨ ovningar och uppl¨ agg.

1.1. Relationer

En relation, R mellan elementen i tv˚ a m¨ angder A och B ¨ ar en delm¨ angd av A × B.

Vi skriver att aRb om (a, b) ∈ R. Om A = B talar man om en relation p˚ a A. Vi ska ˚ aterkomma till relationsbegreppet senare. Ett exempel p˚ a en relation ¨ ar ’=’ p˚ a m¨ angden A. Formellt har vi ’=’= {(x, x); x ∈ A}.

Ovning 2: Formalisera, d.v.s. skriv upp som en m¨ ¨ angd, relationen < p˚ a N!

1.2. Funktioner och avbildningar

Vad ¨ ar en funktion (eller avbildning)? Vad betyder skrivs¨ attet f : X → Y och x 7→ f (x)? Formellt ¨ ar en funktion f : X → Y en relation mellan X och Y som uppfyller

∀x(x ∈ X =⇒ ∃y(y ∈ Y ∧ (x, y) ∈ f ∧ ∀z(z 6= y =⇒ (x, y) 6∈ f ))) Tolkad som en delm¨ angd av X × Y ¨ ar funktionen inget annat ¨ an funktionens graf,

G f = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f (x)}.

M¨ angden av avbildningar X → Y brukar betecknas Y ^X . Ett litet sidosp˚ ar

L˚ at n = {1, 2, . . . , n} och 0 = ∅. L˚ at X vara en icke-tom m¨ angd. Vi ser att X ¹ naturligt kan identifieras med X. F¨ or varje x ∈ X finns ju funktionen f _x : 1 → X som avbildar 1 p˚ a x, och varje funktion 1 → X ¨ ar av den typen.

Overtyga dig nu om att X ¨ ² p˚ a liknande s¨ att kan identifieras med X × X d.v.s. med X ² . Och att X ⁿ kan identifieras med X ⁿ . Hur kan vi anv¨ anda detta f¨ or att definiera X ⁰ och o¨ andliga produkter...?

Bilder och urbilder

L˚ at f : X → Y . Om A ⊆ X s˚ a kallas f (A) = {f (x); x ∈ A} bilden av A. Om B ⊆ Y s˚ a definierar vi f ⁻¹ (B) = {x ∈ X, f (x) ∈ B}, kallad urbilden eller den inversa bilden av B.

Observera att f (X) inte beh¨ over vara lika med Y .

Ovning 3: L˚ ¨ at f : R → R, x 7→ x ² . Best¨ am f (R, ) f ⁻¹ ([0, 1]) och f ⁻¹ ([−1, 0]).

L˚ at sin beteckna den vanliga, reella sinusfunktionen. Best¨ am sin ⁻¹ ([0, 1/ √ 2]).

(Observera att det inte ¨ ar fr˚ agan om arcsin! Utred g¨ arna sambandet...)

Injektioner och surjektioner

En avbildning f : X → Y kallas injektiv om x 6= y medf¨ or f (x) 6= f (y).

Om f ¨ ar injektiv kan man bilda en avbildning f ⁻¹ : f (X) → X, som har

egenskapen att f ⁻¹ (f (x)) = x och f (f ⁻¹ (y)) = y f¨ or alla x ∈ X och alla y ∈ f (X) ⊆ Y .

Man s¨ ager att f ¨ ar surjektiv om f (X) = Y . Om f ¨ ar b˚ ade surjektiv och injektiv s¨ ags f vara bijektiv.

Ovning 4: S¨ ¨ ok p˚ a n¨ atet efter dessa termer. Finns svenska ord? Finns olika definitioner? ¨ Overensst¨ ammer de?

2. Kardinaltal

Hur kan man m¨ ata storlek (m¨ aktighet) p˚ a m¨ angder? Genom avbildningar!

Tv˚ a m¨ angder X och Y s¨ ags ha samma kardinaltal om det finns en bijektion f : X → Y .

Man skriver d˚ a X ≈ Y och card X = card Y . Vad ¨ ar card X? Kanske card X ¨ ar m¨ angden av alla m¨ angder Y s˚ a att X ≈ Y ? Men detta leder till sv˚ arigheter...

Relationen ≈ ¨ ar reflexiv, symmetrisk och transitiv. Relationen = mellan kardinaltal ¨ arver dessa tre egenskaper.

Man s¨ ager att X har kardinaltal h¨ ogst lika med kardinaltalet f¨ or Y om det finns en injektiv avbildning f : X → Y . Man skriver d˚ a card X 6 card Y . Om cardX = card Y g¨ aller uppenbarligen card X 6 card Y och card Y 6 card X. ¨ Ar omv¨ andningen sann, d.v.s. g¨ aller det att card X 6 card Y och card Y 6 card X medf¨or att card X = card Y . Ja, enligt Cantor–Bernsteins sats fr˚ an 1898. Vi ˚ aterkommer till den.

2.1. Andliga kardinaltal ¨

Om X och Y ¨ ar ¨ andliga m¨ angder ¨ ar det l¨ att att f¨ orst˚ a och r¨ akna med kardi- naltal. Det ¨ ar helt enkelt ”antalet element” i m¨ angden. Ofta identifierar man (kanske lite slarvigt) card X med antalet element i X.

L˚ at x = card X och y = card Y . Vi definierar x + y = card(X ∪ Y ). (Vi f¨ oruts¨ atter att X och Y ¨ ar disjunkta.) Detta st¨ ammer f¨ or ¨ andliga m¨ angder.

P˚ a samma s¨ att definierar vi produkten xy = card(X × Y ).

Potenser. Notera att antalet avbildningar fr˚ an X in i Y ¨ ar y ^x , ˚ atminstone om X inte ¨ ar tom. S˚ a vi definierar y ^x = card(Y ^X ). Speciellt ¨ ar card(∅ ^X ) = 0, om X 6= ∅; det finns inga s¨ att att avbilda en icke-tom m¨ angd in i tomma m¨ angden.

Ovning 5: Visa att xx = x ¨ ^{card 2} f¨ or alla ¨ andliga kardinaltal x.

2.2. O¨ andliga kardinaltal

Det minsta o¨ andliga kardinaltalet betecknas med ℵ ₀ , vilket uttalas alef-noll.

Bokstaven ℵ ¨ ar den f¨ orsta i det hebreiska alfabetet. Det n¨ ast minsta betecknas

ℵ ₁ , och s˚ a vidare.

Ar tv˚ ¨ a kardinaltal, x, y , alltid j¨ amf¨ orbara, dvs g¨ aller alltid x 6 y eller y 6 x? Svaret ¨ar ja, OM man accepterar urvalsaxiomet... Det f¨oljer att det finns ett minsta o¨ andligt kardinaltal.

Det minsta o¨ andliga kardinaltalet, ℵ ₀ ¨ ar lika med kardinaliteten f¨ or det naturliga talen N. (Varf¨or?)

Man kan visa att ℵ ₀ + ℵ ₀ = ℵ ₀ och ℵ ² ₀ = ℵ ₀ . Det ¨ ar ungef¨ ar samma sak som att visa att card Z = card N och card Q = card N.

Man kan visa att f¨ or o¨ andliga kardianaltal x och y, d¨ ar x 6 y, g¨aller:

x + x = x, x ⁿ = x (n ∈ N) och att x + y = xy = y. J¨amf¨or r¨akneregler f¨or vanliga tal!

D¨ aremot g¨ aller att x 6 2 ^x men 2 ^x 6= x f¨or alla kardinaltal x. Vi skriver d˚ a x < 2 ^x .

Kontinuumhypotesen kan nu formuleras: ℵ ₁ = 2 ^ℵ

.

Ovning 6: S¨ ¨ ok p˚ a n¨ atet och ta reda p˚ a n˚ agot om Kontinuumhypotesen.

Om X ¨ ar en m¨ angd med kardinalitet x, s˚ a ¨ ar 2 ^x kardinaliteten hos en m¨ angd Y ^X d¨ ar Y har tv˚ a element, t.ex. Y = {0, 1}. Detta ¨ ar m¨ angden av alla avbildningar X → {0, 1}. Det ¨ ar l¨ att att se att den m¨ angden har samma kardinalitet som potensm¨ angden till X, P(X), genom f¨oljande konstruktion.

F¨ or varje A ⊆ X, l˚ ater vi χ _A : X → {0, 1} vara den karakt¨ aristiska funk- tionen som definieras genom χ A (p) = 1 om p ∈ A och χ A (p) = 0 om p 6∈ A.

Vi ser att avbildningen A 7→ χ _A ¨ ar en bijektion mellan P(X) och Y ^X . Sats 1. F¨ or varje kardinaltal x g¨ aller att x < 2 ^x , d.v.s. att potensm¨ angden alltid har strikt st¨ orre kardinalitet ¨ an m¨ angden.

Bevis. L˚ at X vara ¨ an m¨ angd med kardinalitet x. Vi ser l¨ att att x 6 2 ^x . Avbildningen f : X → P(X), x 7→ {x} ¨ar n¨amligen injektiv. (Vad h¨ander om X = ∅?).

Antag nu att card P(X) 6 card X. D˚a skulle det finnas en injektion g : P(X) → X. Vi ska se att det antagandet ¨ar mots¨agelsefullt.

L˚ at

B = {g(A); A ∈ P(X) och g(A) 6∈ A}.

L˚ at b = g(B). Unders¨ ok om b ∈ B! Det leder till en mots¨ agelse mot anta- gandet att en s˚ adan injektion g finns. 

Cantor–Bernsteins sats

Sats 2. Om det f¨ or tv˚ a kardinaltal x och y g¨ aller x 6 y och y 6 x, s˚ a g¨ aller x = y.

Bevis. ¨ Oversatt till m¨ angder X och Y betyder f¨ oruts¨ attningarna att vi har tv˚ a injektiva avbildningar f : X → Y och g : Y → X. Vi ska anv¨ anda dessa f¨ or att konstruera en bijektion h : X → Y .

F¨ or att g¨ ora detta ska vi anv¨ anda f och g f¨ or att g˚ a fram och tillbaka

mellan X och Y , och s˚ a att s¨ aga sy ihop avbildningen h.

Definiera A ₀ = X r g(Y ). Sedan definierar vi, steg f¨or steg B k = f (A _k−1 ) och A _k = g(B _k ), f¨ or k = 1, 2, 3, . . . .

L˚ at A = A ₀ ∪ A ₁ ∪ A ₂ ∪ · · · = S A _k , och definiera:

h(x) =  f (x) x ∈ A g ⁻¹ (x) x 6∈ A

Det ˚ aterst˚ ar att kontrollera att h ¨ ar injektiv och surjektiv genom att studera ett antal olika fall. 

N˚ agot om talm¨ angder

De naturliga talen N har kardinaltal ℵ 0 . Eftersom det ¨ ar naturligt att lista de naturliga talen genom att r¨ akna upp dem: 0, 1, 2, 3, . . . kallas denna m¨ angd, och alla m¨ angder med kardinaltal ℵ ₀ (o¨ andligt) uppr¨ akneliga m¨ angder.

Vi har f¨ oljande resultat.

Sats 3. N, Z och Q ¨ar uppr¨akneliga m¨angder. R och C ¨ar inte uppr¨akneliga.

Vi har

ℵ ₀ = card N = card Z = card Q < card R = card C.

Bevis. Den f¨ orsta likheten (fr˚ an v¨ anster) ¨ ar per definition sann. De tv˚ a f¨ oljande visas genom att r¨ akna upp m¨ angderna.

F¨ or att visa att card N < card R kan vi anta att det finns en bijektiv avbildning f : R → N (vi vet att card N 6 card R). Genom ett diagonalise- ringsf¨ orfarande kan vi hitta ett reellt tal som missas av avbildningen. Det finns dock n˚ agra tekniska sm˚ a bekymmer.

Den sista likheten f¨ oljer av att xx = x f¨ or alla o¨ andliga kardinaltal x, och satsen ¨ ar visad. 

Vi ser allts˚ a att det finns ”lika m˚ anga” naturliga som rationella tal, fast de rationella talen ligger mycket t¨ atare p˚ a tallinjen. D¨ aremot finns det ”m˚ anga fler” reella tal ¨ an rationella tal. Samtidigt finns det ”lika m˚ anga” punkter i komplexa talplanet (och mer allm¨ ant i R ⁿ , n > 1) som p˚ a tallinjen. ¨ And˚ a verkar planet (och rummet) vara mycket st¨ orre ¨ an tallinjen. F¨ or att f¨ orklara detta beh¨ over man dimensionsteori och m˚ atteori; m¨ angdteorien ensam r¨ acker inte. Dessa begrepp studeras inom analys och topologi.

De reella tal som inte ¨ ar rationella kallas irrationella. De irrationella talen

¨ ar allts˚ a inte uppr¨ akneliga. (Varf¨ or?)

Vad ¨ ar d˚ a ett reellt tal? Ett noggrant svar ¨ ar ganska komplicerat att ge, och f¨ ortj¨ anar n¨ astan en hel kurs... Ett s¨ att ¨ ar att s¨ aga att ett reellt tal gr¨ ansv¨ ardet av en f¨ oljd av rationella tal som konvergerar. Allts˚ a ¨ ar r ett reellt tal om

r = lim

n→∞ q _n , d¨ ar q _n ∈ Q och lim

N →∞ diam{q _n ; n > N } = 0.

Om A ⊆ R ¨ar diam(A) l¨angden (diametern) p˚ a det minsta slutna intervall

som inneh˚ aller alla punkter i A. Om A bara best˚ ar av rationella tal s˚ a ¨ ar

diametern ett rationellt tal (eller +∞).

Man kan ocks˚ a beskriva reella tal genom decimalutveckling (som ett de- cimalbr˚ ak): ett reellt tal ¨ ar ett heltal plus ett tal av typen

0, a 1 a 2 a 3 a 4 · · · =

∞

X

i=0

a i

10 ⁱ d¨ ar 0 6 a ⁱ 6 9.

Denna beskrivning ¨ ar dock inte oproblematisk. Vi har inte entydighet, t.ex.

¨ ar 0.99999 . . . = 1.000000. (Bevisa det!) 2.3. Ovningar ¨

Ovning 7: Visa att A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) genom att spr˚ ¨ akligt formulera vad det inneb¨ ar att x tillh¨ or h¨ ogerledet respektive v¨ ansterledet.

Illustrera ocks˚ a med ett Venndiagram.

Ovning 8: L˚ ¨ at A och B vara ¨ andliga m¨ angder. Visa att card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).

(card A ska allts˚ a tolkas som antalet element i A, s˚ a att − ¨ ar v¨ aldefinierat.) Ovning 9: H¨ ¨ arled en analog formel f¨ or

card(A ∪ B ∪ C) = . . .

H¨ ogerledet ska inneh˚ alla kardinaltal f¨ or olika snitt av de inblandade m¨ ang- derna. [Ledning: Skriv f¨ orst A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) och utnyttja f¨ oreg˚ aende

¨ ovning flera g˚ anger.]

Ovning 10: Visa att card([0, 1]) = card(]0, 1[) (ledning: Anv¨ ¨ and Cantor–

Bernstein) och att card(]0, 1[) = card(R). I det sista fallet borde du explicit kunna ange en bijektion mellan m¨ angderna. Kan du g¨ ora det ocks˚ a i det f¨ osta fallet?

Ovning 11: Vi vet att card N < card R och card N < card P(N). Visa att ¨ card R = card P(N). [Denna ¨ovning ¨ar kanske ganska sv˚ ar, innan man klarat av f¨ orsta analyskursen. Den som kan n˚ agot om o¨ andliga serier kan g¨ arna f¨ ors¨ oka. Kanske kan du visa card R 6 card P(N) eller card P(N) 6 card R.]

Ovning 12: Vi har sett att varje reellt tal kan skrivas som ett o¨ ¨ andligt decimalbr˚ ak. Ett decimalbr˚ ak kallas periodiskt om det har formen

r = A, a 1 a 2 . . . a m b 1 b 2 . . . b n b 1 b 2 . . . b n . . . d¨ ar sekvensen b ₁ b ₂ . . . b _n upprepas i o¨ andlighet.

a) Visa att det periodiska decimalbr˚ aket 0, 1272727 . . . ¨ ar rationellt och skriv

det p˚ a formen p/q.

b) Bevisa att varje periodiskt decimalbr˚ ak ¨ ar rationellt.

c) G¨ aller omv¨ andningen, d.v.s. ¨ ar varje rationellt tal ett periodiskt decimal- br˚ ak? Bevis?

Ovning 13: Ett reellt tal kallas algebraiskt om det ¨ ¨ ar en rot till polyno- mekvation av typen

a _m x ^m + a _m−1 x ^m−1 + · · · + a ₁ x + a ₀ = 0,

d¨ ar varje a _i ¨ ar ett heltal. M˚ anga irrationella tal ¨ ar algebraiska, men man kan visa att t.ex. π och e inte ¨ ar algebraiska. S˚ adana tal kallas transcendenta.

a) Visa att varje rationellt tal ¨ ar algebraiskt b) Visa att √

2 + 1 och √ 2 + √

3 ¨ ar algebraiska.

c) Bevisa att om α > 0 ¨ ar algebraiskt s˚ a ¨ ar √

α algebraiskt.

d) Bevisa att m¨ angden av algebraiska tal ¨ ar uppr¨ aknelig. [Ledning: Hur m˚ anga algebraiska tal finns det som kommer fr˚ an ekvationer av grad h¨ ogst M ∈ N och med |a i | 6 M, i = 0 . . . M? Kanske hj¨alper det att visa att en uppr¨ aknelig union (d.v.s. en union av uppr¨ akneligt m˚ anga m¨ angder) av

¨ andliga m¨ angder ¨ ar uppr¨ aknelig?]

Ovning 14: Visa att card C = card R genom att konstruera en injektiv ¨ avbildning fr˚ an R ² → R. [Ledning: Arbeta med decimalutvecklingar.]

Ovning 15: Ett reellt tal r kallas ber¨ ¨ akningsbart om det finns ett dator- program som r¨ aknar ut det. Vi tolkar detta (utan att bli allt f¨ or tekniska) som att det existerar ett datorprogram som tar ett naturligt tal N som in- data och svarar genom att r¨ akna ut de N f¨ orsta decimalerna r (Eller b¨ attre, producerar ett rationellt tal r N s˚ a att |r N − r| 6 10 ^−N , vilket inte riktigt ¨ ar samma sak).

Det finns ingen ¨ over gr¨ ans f¨ or hur m˚ anga instruktioner programmet f˚ ar utf¨ ora eller hur mycket minne som f˚ ar g˚ a ˚ at – men programet m˚ aste va- ra ¨ andligt stort och det m˚ aste bli klart i ¨ andlig tid. Det inneb¨ ar att bara

¨ andligt m˚ anga instruktioner har utf¨ orts n¨ ar programmet ¨ ar klart. Och att ba- ra ¨ andligt mycket minne anv¨ ants. Det typiska ¨ ar att tids- och minnes˚ atg˚ angen

¨ okar med storleken p˚ a N .

Det spelar egentligen ingen roll vilken sorts dator som ¨ ar inblandad, men l˚ at oss anta att det ¨ ar en bin¨ ar dator, d¨ ar ett datorprogram allts˚ a best˚ ar av en (¨ andlig, men hur l˚ ang som helst!) f¨ oljd ettor och nollor.

a) L˚ at C vara m¨ angden av datorprogram. Best¨ am card C!

Man kan visa att alla algebraiska tal ¨ ar ber¨ akningsbara. Likas˚ a ¨ ar π och e

ber¨ akningsbara. Om α och β ¨ ar ber¨ akningsbara, ¨ ar α + β, αβ, α/β och

α ^β ber¨ akningbara, de tv˚ a senare under f¨ oruts¨ attning att operationen ¨ ar v¨ aldefinierad.

b) L˚ at B beteckna m¨angden av ber¨akningsbara reella tal. Anv¨and resultatet i a) f¨ or att best¨ amma card B.

c) Vilket kardinaltal har m¨ angden av icke ber¨ akningsbara reella tal? Kan ge

n˚ agot exempel p˚ a ett s˚ adant tal? Motivera! Beh¨ ovs de icke ber¨ akningsbara

talen alls?