Bestämalla stationära punkterför funktionenf(x;y;z)=(xy+z)e x+2y+3z o hbestämderas karaktär

Tentamen iTMA975 Reell Matematisk analys F, del B den 14/1 2005,kl.8.3012.30.

Hjälpmedel:Inga,ej hellerräknedosa

Telefon:KarinKraft,073-977 92 68

Förgodkänt krävsminst 24poäng.

LösningaranslåsiMatematiskt Centrumefter tentamen.

Resultatet anslåsiMatematiskt Centrum senasttreve kor eftertentamen.

Obs!Angenamn, personnummersamtlinje o hinskrivningsår.

1. Bestämalla stationära punkterför funktionenf(x;y;z)=(xy+z)e

x+2y+3z

o hbestämderas

karaktär. (8p)

2. Låt f varaen C 1

-funktion på R 2

.Visa att funktionen u(x;y;z) = z

y f(

xy

z 2

; y

x

) satiserar die-

rentialekvationen

x

u

x +y

u

y +z

u

z

=0: (7p)

3. Beräkna RRR

K (xz

2

+y 2

)dxdydz,där K är detområde somdenieras avolikheterna

x 2

+y 2

+z 2

1; z p

x 2

+y 2

; x0; y0; z0: (8p)

4. Bestämminimumavx 2

+y 2

+z 2

dåx 2

+2y 2

+2z=10. (7p)

5. Beräknakurvintegralen R

F
dr,då

F= yz os(xy)+y;xz os (xy)+z;sin(xy)+x

o h ärkurvan x=2 ost, y=sint, z=sin 2

2t,0t2. (8p)

6. Beräkna RR

Y

F
NdS,då Y ärellipsoiden 4x 2

+y 2

+3z 2

=4 mednormalriktningutåt, o h

F=

(x;y 1;z)

(x 2

+(y 1) 2

+z 2

) 3=2

: (7p)

7. a.Angevadsom menas medattettvektorfält F=(P;Q) ärett potentialfält. (2p)

b.Låt F=(P;Q) varaettpotentialfältmedpotential U.Visa hur R

F
dr kan beräknasmed

hjälpavU. (6p)

8. Låt f(x;y) vara kontinuerlig på ett kompaktområde D.Dela in Didelområden. Vadmenas

medenRiemannsummahörandetillenvissindelning?VisaattRiemannsummornakonvergerar

mot RR

D

f(x;y)dxdy då indelningens nhetgår mot noll. (7p)

1. Bestämstationärapunktertillf(x;y;z)=(xy+z)e x+2y+3z

. Sättg=e x+2y+3z

. Vihar

f 0

x

=(y+xy+z)g; f 0

y

=(x+2(xy+z))g; f 0

z

=(1+3(xy+z))g;

f 00

xx

=(y+y+xy+z)g; f 00

xy

=(1+x+2(y+xy+z))g; f 00

xz

=(1+3(y+xy+z))g;

f 00

yy

=(2x+2(x+2xy+2z))g; f 00

yz

=(2+3(x+2xy+2z))g; f 00

zz

=(3+3(1+3xy+3z))g:

f 0

x

=f 0

y

=f 0

z

=0ger xy+z = y = x

2

= 1

3 ,x =

2

3 , y =

1

3 , z =

1

3

xy = 5

9

. Det nnsalltså

endast en stationärpunkt, ( 2

3

; 1

3

; 5

9

). Medderivatori denna punktskall vititta på denkvadratiska

formen

Q=f 00

xx h

2

+f 00

yy k

2

+f 00

zz l

2

+2f 00

xy hk+2f

00

xz hl+2f

00

yz kl

=( 1

3 h

2

+ 4

3 k

2

+3l 2

+ 10

3

hk+2hl+4kl)e 1=3

:

Kvadratkompletteringger

e 1=3

Q= 1

3 (h

2

+10hk+6hl)+ 4

3 k

2

+3l 2

+4kl

= 1

3

[(h+5k+3l) 2

25k 2

9l 2

30kl℄+ 4

3 k

2

+3l 2

+4kl

= 1

3

(h+5k+3l) 2

7k 2

6kl= 1

3

(h+5k+3l) 2

7(k+ 3

7 l)

2

+ 9

7 l

2

:

AvdettaframgårattQärindenit,såatt ( 2

3

; 1

3

; 5

9

)ärensadelpunkt.

2. f(s;t)ärenC 1

-funktion. Föru(x;y;z)= z

y f(

xy

z 2

; y

x )är

u 0

x

= z

y (f

0

s

y

z 2

+f 0

t

y

x 2

)= 1

z f

0

s z

x 2

f 0

t

;

u 0

y

= z

y 2

f + z

y (f

0

s

x

z 2

+f 0

t

1

x )=

z

y 2

f+ x

yz f

0

s +

z

xy f

0

t

;

u 0

z

= 1

y f+

z

y (f

0

s

2xy

z 3

)= 1

y f

2x

z 2

f 0

s :

Alltsåär

xu 0

x +yu

0

y +zu

0

z

= x

z f

0

s z

x f

0

t z

y f+

x

z f

0

s +

z

x f

0

t +

z

y f

2x

z f

0

s

=0:

3. I rymdpolära koordinater, x = rsin os', y = rsinsin', z = r os, beskrivs K av 0  r  1,



4





2

, 0'



2

. Dåär

ZZZ

K (xz

2

+y 2

)dxdydz= Z 

2

0 Z 

2



4 Z

1

0 (r

3

sin os 2

 os'+r 2

sin 2

sin 2

')r 2

sindrdd'

= Z

1

0 r

5

dr
Z 

2



4 sin

2

 os 2

d
Z 

2

0

os'd'+ Z

1

0 r

4

dr
Z 

2



4 sin

3

d
Z 

2

0 sin

2

'd'

= 1

6

Z 

2



4 1

4 sin

2

2d
1+ 1

5

Z 

2



4

(1 os 2

)sind
Z 

2

0 1

2

(1 os2')d'

= 1

6

Z 

2



4 1

8

(1 os4)d+ 1

5

[ os+ 1

3 os

3

℄

=2

=4



4

= 1

48



4 +



20 (

1

p 1

3 1

p )=(

1

192 +

p

2

48 ):

4. Sökminimumavf(x;y;z)=x +y +z dåg(x;y;z)=x +2y +2z=10. Dåminimumantas är

rf =rgförnågottal,dvs.

2x=
2x; 2y=
4y; 2z=
2;

eftersom rg6=0. Viharalltså

x( 1)=0; y(2 1)=0; z=:

Den förstaekvationen sägeratt x =0eller =1. Antag x =0. Omy =0ärg =2z =10, z =5,

f =25. Om y 6=0ärz == 1

2

, g =2y 2

+1=10, y 2

= 9

2 , f =

9

2 +

1

4

= 19

4

. Antag x 6=0. Då är

z==1,2 16=0,y=0,g=x 2

+2=10,x 2

=8,f =8+1=9. Enjämförelseavf-värdenager

attminimumärf(0; 3

p

2

; 1

2 )=

19

4 .

5. : x = 2 ost, y = sint, z = sin 2

2t, 0  t  2. På är z = 4sin 2

t os 2

t = x 2

y 2

o h dz =

2xy 2

dx+2x 2

ydy.

F
dr=yz os(xy)dx+ydx+xz os(xy)dy+zdy+sin(xy)dz+xdz

=d(zsin(xy))+ydx+zdy+xdz:

Då är sluten, är R

d(zsin(xy)) = 0. Projektionen

1

av på xy-planet ärellipsen x

2

4 +y

2

= 1

genomlöptett varvipositivled. OmD ärområdetinnanför

1

,gerGreensformel

Z

ydx+zdy+xdz= Z

ydx+x 2

y 2

dy+x(2xy 2

dx+2x 2

ydy)

= Z

1 (y+2x

2

y 2

)dx+(x 2

y 2

+2x 3

y)dy= ZZ

D [2xy

2

+6x 2

y (1+4x 2

y)℄dxdy

= ZZ

D (2xy

2

+2x 2

y 1)dxdy= ZZ

D

dxdy= (D)= 
2
1= 2;

ty RR

D xy

2

dxdy= RR

D x

2

ydxdy=0p.g.a. symmetri. Alltsåär R

F
dr= 2.

6. Medr=(x;y 1;z)o hr=jrj=(x 2

+(y 1) 2

+z 2

) 1=2

ärF= r

r 3

. Förr6=(0;1;0)är



x x

r 3

= r

3

1 x
3r 2

x

r

r 6

= r

2

3x 2

r 5

o hanalogt



y y 1

r 3

= r

2

3(y 1) 2

r 5

,



z z

r 3

= r

2

3z 2

r 5

,så att

r
F= 3r

2

3(x 2

+(y 1) 2

+z 2

)

r 5

=0:

Punkten (0;1;0)liggerinnanförY. LåtY

1

varasfärenx 2

+(y 1) 2

+z 2

=a 2

,därradienaärsåliten

att Y

1

ligger innanförY. Om Y

1

harutåtriktad normal, så ärY Y

1

rand till områdetD mellan Y

o h Y

1

, o h en tillämpning av Gauss' sats ger att RR

Y Y

1

F
NdS = RRR

D

r
Fdxdydz =0, så att

RR

Y

F
NdS= RR

Y1

F
NdS. PåY

1

ärr=jrj=ao hN= r

a

. Alltsåär

ZZ

Y1

F
NdS= ZZ

Y1 r

a 3

r

a dS=

ZZ

Y1 a

2

a 4

dS= 1

a 2

4a 2

=4: