DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Differentialekvationer. Inledning

1 av 6

DIFFERENTIALEKVATIONER.

INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner.

ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

i) En differentialekvation är ordinär om den okända funktionen beror av 1 variabler.

T ex.

) sin(

) ( ) ( 2 )

(x y x y x x

y    

är en ordinär DE (Den okända funktionen y(x) beror av en variabel x)

ii) Om den okända funktionen beror av 2 eller flera variabler ( då kallas funktionens derivator för partiella derivator ) kallas DE för partiell differentialekvation.

T ex.

y x y y x y f x x

f ( , ) ( , )2 2







är en partiell DE.

I vår kurs ingår endast några typer av ordinära DE.

EKVATIONENS ORDNING

En differentialekvations ordning definieras som ordningen hos den högsta förekommande derivatan.

T ex.

a) Ekvationen y(x) y(x) y(x) x¹⁰ x⁴ är av tredje ordningen.

b) Ekvationen y x

dx dy dx

y

d ₂ ln

2





 är av andra ordningen.

c) Ekvationen y(t) y(t)t⁸ är av första ordningen.

Uppgift 1. Bestäm ordningen av följande differentialekvationer

a) y(x) y(x)sinx y (x)

b) ₄

4 2 2

tan dt

y d dt

y t d dt y

dy    

Svar. a) tre b) fyra

LÖSNING TILL EN DIFFERENTIALEKVATIONEN

En lösning till en differentialekvation är en funktion som är definierad på ett intervall (a,b) och som på detta intervall uppfyller det samband som differentialekvationen anger.

T ex y(x)e⁴^x är en lösning till ekvationen y(x)4y(x)0 på intervallet (,). Uppgift 2. Bestäm om y(x) är en lösning till differentialekvationen y(x)5y(x)5x1 om

a) y(x) x2e⁵^x b) y(x)xCe⁵^x där C är ett konstant tal c) y(x)e⁴^x

(2)

Armin Ha

Lösning a) Först ekvation Vänster Eftersom Därmed Svar. a)

Uppgift )

( 

 x y om a) y(x) d) y(x) Svar. a) ENKLA Ekvatio

)

)(

( x

y ⁿ löser vi 1. Ekva

x y( ) Exempe

Lösning x y( ) Alltså h

x y( ) För varj (en pa Till exe för C = för C =4 I grafen för C =

alilovic: EXTRA

g:

t, från y(x) nen och får rledet VL=

m HL = x5 d är y(x)

) ja b) ja c t 3. Bestäm 2 ) (

3  

 y x y

e²x

 Ce²x

) ( C ) ja b) ja c)

A EKVATI oner av typ

) ( x

 f genom upp ationen y(

dx x

f 



⁽ ⁾

el. Lös ekv

g: Från y x xdx



⁴ ²

har vi oändli C x² 

2

je val av ko artikulär lö empel,

– 1 har vi e 4 har vi en n bredvid ha

– 1, 0, 1, 2

A ÖVNINGAR

e x

x 2 ⁵ ) 

:

(x)5y( y

1

x ser vi e x

x2 ⁵ en c) nej m om y(x) ä

0 ) (x  y

b) y(x) C är ett kons ) ja d) ja e) n

IONER AV

(dvs. der prepad inte

) ( ) (x  f x

 C

vationen y ( x x

y( )4 h C x²  ( dä

igt många lö (Den all nstanten C sning).

en partikulä annan parti ar vi lösning 2, 3 och 4.

har vi y ( x

 )

x 1 e10 att VL =HL n lösning till

är en lösnin

e²x

10 ) stant tal) nej

V TYP y⁽ⁿ⁾

rivatan av o egration. V

har oändlig

x x) 4

(  .

har vi är C ett ett k

ösningar. A lmänna lös

får vi en lös

är lösning y ikulär lösnin

gskurvorna

2 av 6 e x)110

2 (

5  x5  e ^x

L l DE

ng till differ

c) e) y(

) ( ) (x  f x ordning n är Vi integrerar gt många lös

konstant tal) Alla ges av u

sningen)

sning

2 )

(x  x²  y

ng y(x)

x

5 . Vi subs

5 ) 2e⁵^x  x

entialekvati

ex

x

y( ) , e x

x) 3 ⁵

( 

given expli r högerledet sningar

)

uttrycket

 . 1 4 2x²  .

Differentia

stituerar (xy

1 x

ionen

icit som en t f(x) n gå

alekvationer.

)

x och y(x

n funktion av ånger.

Inledning

) x i

v x)

(3)

3 av 6 Uppgift 4. a) Lös ekvationen y(x)3x² 1

b) Bestäm den lösning som uppfyller kravet y(1)5. Lösning. a) Från y(x)3x² 1 har vi

C x x dx x

x

y⁽ ⁾



⁽³ ² ¹⁾  ³  

Alltså är y(x) x³ xC den allmänna lösningen.

b) För att få den lösning som uppfyller kravet y(1)5substituerar vi x=1 och y=5 i den allmänna lösningen y(x) x³ xC och bestämmer C.

Vi har 51³ 1C som ger C=3.

Alltså är y(x) x³ x3 den lösning som uppfyller y(1)5. Svar. a) y(x) x³ xC b) y(x)x³x3

2. Ekvationen y(x) f(x) har oändligt många lösningar som vi får genom att integrera högerledet två gånger:

Först bestämmer vi första derivatan genom att integrera andra derivatan ) 1

( )

(x f x dx C

y 



 ^.

Därefter integrerar vi en gång till och får

2

) 1

) ( ( )

(x f x dx dx C x C

y 

 

 

Uppgift 5. Lös ekvationen y(x)sinxx³

Lösning. Från y(x)sinxx³ har vi

1 4 3

cos 4 )

(sin )

( x C

x dx

x x x

y 



   

Integrera en gång till:

2 1 5 1

4

sin 20 4 )

cos ( )

( x C x C

x dx

x C x x

y 



      

Svar. ₁ ₂

5

sin 20 )

( x C x C

x x

y    

Uppgift 6.

a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y(x)10sinx3x² b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoren

3 ) 0

( 

y

1 ) 0

( 

 y

Lösning.

a) Från y(x)10sinx3x² har vi

1 3

2) 10cos

3 sin 10 ( )

(x x x dx x x C

y 



   

(4)

4 av 6 Integrera en gång till:

2 1 4 1

3

sin 4 10 )

cos 10 ( )

( x C x C

x dx

C x x x

y 



      

Alltså är ₁ ₂

4

sin 4 10 )

( x C x C

x x

y     den allmänna lösningen.

b) Från y(0)3 och allmänna lösningen har vi 3

4 0 0 0 sin 10

3 ₁ ₂ ₂

4









 C C C

Från y(0)1 och y(x)10cosxx³C₁ har vi 11 10

1 0

0 cos 10

1  ³ C₁   C₁ C₁ 

Därmed är 11 3

sin 4 10 ) (

4





 x x

x x

y den sökta lösningen som uppfyller båda villkor.

Svar. a) ₁ ₂

4

sin 4 10 )

( x C x C

x x

y     b) 11 3

sin 4 10 ) (

4  





 x x

x x

y

TILLÄMPNINGAR

Hastighet och acceleration vid en rätlinjig rörelse.

Låt s(t) beskriva position av en objekt som rör sig rätlinjig längs s-axeln (t ex x-axeln y-axeln eller z-axeln) . Då har vi följande formler för hastigheten v(t), farten |v(t)| och

accelerationen :

Positionen vid tiden t: s s(t) Hastigheten : v(t) s(t) Farten: |v(t)||s(t)|

Accelerationen a(t)s(t)

den totala längden av vägen som objekt passerar under tidsintervall t1≤ t ≤ t2 är





2

1

| ) (

|

t

dt t v

L .

Härav kan vi beräkna positionen s(t)om hastigheten v(t)är känd:



^

 v t dt C t

s( ) ( )

Om vi vet accelerationen a(t)då kan vi beräkna hastigheten ^v⁽^t⁾^



^a⁽^t⁾^dt^^C¹

och därefter integrera en gång till för att få positionen ^s⁽^t⁾^



^v⁽^t⁾^dt^^C²

Uppgift 7.

En partikel rör sig längs y-axeln med accelerationen a(t)4 ( i lämpliga enheter t ex m/s²). Vid tidpunkten t betecknar vi partikelns position med y(t) och partikelns hastighet med v(t).

Bestäm partikelns position y(t) och v(t) om y(0) =50 och y(1) =42.

Tips: y(t)v(t), y(t)v(t)a(t) Lösning:

Från y(t)a(t) har vi y t( )4.

(5)

Armin Ha

Därför ( t y⁽ ⁾



Vi integ t y⁽ ⁾



Alltså y Konstan y(0) =50 Först, fr

D 50

) (t  y Nu subs

2 42 Alltså y Nu har Svar: y

Uppgift

En balk första pu godtyck

4

4  w

dx y d

a) Bestä ) ( EI

x

w 

0 ) 0

( 

y ) 0

( 

 y b) Rita Lösning

Vi subst

4 5

4 

dx y d

eller dx d⁴

alilovic: EXTRA

( efter en in dt 



⁽⁴⁾ grerar en gå

dt C t



⁽⁴ ⁾ t t

y( )2 ² nterna C och 0 och y(1) rån y(0) =50 och därför 5 2 ² 

 t Ct stituerar vi y

50 2 C 

2 )

(t  t² y

vi v(t) y 2 )

(t  t² y

t 8.

k med belast unkten inlä klig punkt p

) 0

( 

EI x

w .

äm y(x) då ) (

50 xx² 0 , y(1)0

0 och y(1) a grafen (me g.

tituerar ( EI

x w

) (

50 x x²  x x

y 50 ²

4 4





A ÖVNINGAR

ntegration) C t

 4

ng till och f C t t2 ² 

D Ct



h D bestämm

=42.

0 får vi 50 .

y(1) =42 oc

6



 C 50 6 

 t 4 )

(  

 t t

50 6 

 t o

tning w(x) ä ggs som i o å balken fö

, 0

0 ) ed miniräkn

( ) 50 I x

x  

 0 x

50 .

får D Ct .

mer vi med

h får

6

ch v(t)4

är fast i båd ovanstående ljande diffe

nare) till y(x

2)

x i ekva

5 av 6 d hjälp av gi

6 4t

da änder. Om e figuren, sa erentialekva

x), 0 x

ationen ₄

4

dx y d

ivna villkor

m ett koordi atisfierar koo ation

1

) (

4  

EI x w y

Differentia

inatsystem m ordinaterna

0 och får

alekvationer.

med origo i (x,y) för en

Inledning

den n

(6)

Armin Ha

Vi integ

Villkore Från y y(x) = b) Grafe

Svar. a

alilovic: EXTRA

grerar fyra g

en y(0)0 0 ) 1

(  och

=

en till funkt

a) y(x) =

A ÖVNINGAR

gånger och f

0 och y(0) h y(1)0

tionen y(x)

för den allm

0

) ger C₄ får vi

(balken m

6 av 6 männa lösnin

4=0 och C₃

med belastn

b ngen

3=0

och där

ning):

b) Se grafen

Differentia

med

n.

alekvationer. Inledning