DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676 Differentialekvationer. Inledning

1 av 7

DIFFERENTIALEKVATIONER.

INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner

ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER ( ODE)

i) En differentialekvation är ordinär om den okända funktionen beror av 1 variabler 0

)) ( ),...

( ), ( ), ( ,

(x y x y x y x y⁽ ⁾ x 

F ⁿ (ekv1)

---

Om vi löser ut y⁽ⁿ⁾(x) ur (ekv1) då säger vi att DE är skriven på normal form:

0 )) ( ),...

( ), ( ), ( , ( )

( ⁽ ¹⁾

)

( x G x y x y x y x y ^ x 

yⁿ ⁿ (ekv2)

---

Beteckningar:

Vi betecknar derivator på tre olika sätt:

1. y(x), y(x), y(x), y⁽⁴⁾(x), y⁽⁵⁾(x)...,y⁽ⁿ⁾(x) (Lagranges notation)

2. _n

n

dx y d dx

y d dx

dy, , ₃ ,...,

3 2 2

(Leibniz notation ) 3. )Dy(x),D²y(x),D³y(x),...,,Dⁿy(x (Eulers notation)

Några exempel på ordinära DE:

) sin(

) ( ) ( 2 )

(x y x y x x

y     , z(t)5z(t)z(t)t4

4 4 2 2

tan dt

y d dt

y t d dt y

dy     , ( ) ( ) ⁴

u u du P

u

dP   , ₂ sin(8 )

2

dt t dS dt

S

d   , 2

2yDy y3x

D . D²y Dy0

PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER. (PDE)

ii) Om den okända funktionen beror av 2 eller flera variabler ( då kallas funktionens derivator för partiella derivator ) kallas DE för en partiell differentialekvation.

T ex.

y x y y x y f x x

f ( , ) ( , )2 2







 och ( , ) ₂ ( , ) 0

2 2

2

 





 x y

y y g x x

g

är partiella DE.

EKVATIONENS ORDNING

Ordningen av en DE definieras som ordningen hos den högsta förekommande derivatan.

T ex.

(2)

2 av 7

a) Ekvationen y(x) y(x) y(x) x¹⁰ x⁴ är av tredje ordningen.

b) Ekvationen y x

dx dy dx

y

d ₂ ln

2





 är av andra ordningen.

c) Ekvationen y(t) y(t)t⁸ är av första ordningen.

d) PDE ( , ) ₂ ( , ) 0

2 2

2 







 x y

y y f x x

f är av andra ordningen.

Uppgift 1. Bestäm ordningen av följande differentialekvationer a) )y(x) y(x)sinx y (x b) ₄

4 2 2

tan dt

y d dt

y t d dt y

dy    

c) ( , ) ₂ ( , ) 0

2 2

2 







 x y

y y f x x

f

Svar: a) tre b) fyra c) två

LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER

En DE är linjär om den är linjär med avseende på den obekanta funktionen och dess derivator. Detta betyder att en linjär ODE kan skrivas på formen

) ( ) ( )

( )

( ...

) ( )

(x y⁽ ⁾ a ₁ x y⁽ ¹⁾ a₂ x y a₁ x y a₀ x y f x

a_n ⁿ  _n_ ⁿ^     

Om dessutom f(x)0 då är ovanstående ekvation en linjär homogen ekvation.

Notera att vi har linearitet med avseende på y , y ,…, och y⁽ⁿ⁾ men inga krav på koefficienter )a_k(x eller f(x).

Uppgift 2. Bestäm om följande ekvationer är linjära:

a) y(x)2x³y(x)y(x)x²sin(x) b) y(x)2x³y(x)(y(x))² x c) y y'x² lnx d) ln(y')y x

e) y y '0 f) yy' x

Svar: a) ja b) nej, eftersom den innehåller uttrycket (y(x))²som inte är linjär.

c) ja d) nej, eftersom den innehåller uttrycket ln( y som inte är linjär. ') e) ja, f) nej, eftersom den innehåller uttrycket yy som inte är linjär. '

(3)

3 av 7 LÖSNING TILL EN DIFFERENTIALEKVATIONEN Definition1:

En lösning till en ordinär differentialekvation 0

)) ( ),...

( ), ( ), ( ,

(x y x y x y x y⁽ ⁾ x 

F ⁿ (ekv1)

är en funktion y f( x) som är definierad och deriverbar (därmed kontinuerlig) på ETT INTERVALL (a,b) och som på detta intervall uppfyller det samband som

differentialekvationen anger.

--- Alltså, funktionen y f(x) är en lösning på intervallet ( ba, ) om

0 )) ( ),...

( ), ( ,

(x f x f x f⁽ ⁾ x 

F ⁿ för alla x( ba, ).

Enligt definitionen är en lösningskurva (dvs grafen till lösningen) kontinuerlig och glatt (derivatan finns i varje punkt) över sitt definitionsintervall (a,b).

Anmärkning: När vi betraktar en lösning y f(x) till (ekv 1) måste vi alltid tänka på ett intervall (a,b) där lösningen existerar (existensintervall). Oftast söker vi det största av sådana intervall.

Exempel 1. y(x)e⁴^x är en lösning till ekvationen y(x)4y(x)0 på intervallet (,) eftersom funktionen y(x)e⁴^xsatisfierar ekvationen y(x)4y(x)0för varje x(,).

Uppgift 3. Bestäm om y( x) är en lösning till differentialekvationen y(x)5y(x)5x1 på intervallet (,) om

a) y(x)x2e⁵^x b) y(x) xCe⁵^x där C är ett konstant tal c) y(x)e⁴^x Lösning:

a) Först, från y(x)x2e⁵^x har vi y(x)110e⁵^x. Vi substituerar y( x) och y( x)i ekvationen och får:

Vänsterledet VL= y(x)5y(x)110e⁵^x 5(x2e⁵^x)5x1 Eftersom HL = x5 1 ser vi att VL =HL för alla x(,) Därmed är y(x) x2e⁵^x en lösning till DE

Svar: a) ja b) ja c) nej

(4)

Armin Ha

Uppgift )

( 

 x y om a) y(x) d) y(x) Svar:

Skillna lösning

Enligt d är lösnin interva

Exempe

formellt y y för varje

Trots d ange ET interval Vi kan t

x y( )

Notera a Vi kan ä Alltså ä

alilovic: EXTRA

t 4. Bestäm 2 ) (

3  

 y x y

e²x

 Ce²x

) ( C a) ja b) ja

aden mell gen till D

definition 1 ng på ETT i llet och sat

elvis funktio

t satisfierar y2

**(*)**

e x0 .

detta säger v TT intervall

l.

t ex välja et x

1 , x(0,

att lösnings även välja e är y x x1

)

( 

A ÖVNINGAR ,

m om y( x) ä 0 ) (x  y

b) y(x) C är ett kons c) ja d) ja e

lan en fun

E

är ETT int intervall om tisfierar DE

onen y(x)

DE

)

vi INTE att l ( ba, ) såda

tt intervall ti

 en lösnin)

kurvan är k ett intervall , (,0) o

SF1676

är en lösnin

e²x

10 ) stant tal) e) nej

nktion

y

ervall ( ba, m den är kon E i varje x 

x

 1

x x

y 1

) (  , an att funkti

ill höger frå ng till DE (*

kontinuerlig till vänster också en lösn

4 av 7 ng till differ

c) e) y(

) (x

 f

som

)

b alltid kopp ntinuerlig o

) , ( ba

 .

0

x är en ionen uppfy

ån 0. Störst

*).

g och glatt p från 0, stör ning till DE

rentialekvati

ex

x

y( ) , e x

x) 3 ⁵

( 

m formellt

plad till lösn ch deriverb

n lösning til yller ekvatio

av sådana i

å intervalle rst av sådana E (*).

Differentia

ionen

t satisfiera

ningen. En ar i varje p

l denna DE onen i varje

ntervall är (

t (0,). a intervall ä

alekvationer.

ar en DE

funktion y punkt av

E, utan vi må punkt i dett

) , 0

(  : Allt

är (,0)

Inledning

och

) (x

 f

åste ta

så är

(5)

Armin Ha

Uppgift

uppfylle

Bestäm a) (3 Rita ( m Svar:

a) Interv Lösning

Verifier

För att v satisfier (Notera lösninga

alilovic: EXTRA

t 5. Funktio

er DE (x²

( det största 5 )

,3

, b) ( med hjälp av

vall: (

gskurvan a:

ring om en

verifiera om rar en given a att en impl

ar till DE.)

A ÖVNINGAR ,

onen y(x)

)

4  

 y y

a) intervall (0,0) c) (3, v ovanståend

) ,2



implicit fu

m en implici n DE använ licit relation

SF1676

24

 x x

2 4

2





  x

x x

let för lösnin 5)

,3 .

de graf) lösn

b) Interv Lösning

unktion är e

it relation nder vi impli

n kan definie

5 av 7

4

i varje p

ngen genom

ningskurvan

vall: (2 gskurvan b:

en lösning

0 ) , (x y  F

icit deriveri era flera exp

punkt x

m punkten

n i varje fal

) 2 ,

2 c) Lö

till DE

0 ing.

plicita funk

Differentia

 . 2

l.

Intervall:

ösningskurv

ktioner och d

alekvationer.

(2,) van c:

därmed flör

Inledning

ra

(6)

6 av 7

Uppgift 6. Bestäm om funktionen som ges implicit av 4x² y4 ²  , där y0, är en lösning till givna DE på intervallet (2,2):

a) 4yyx b) 3yy2x0 c)

y y x

4

 



Lösning:

Implicitderivering av x² y4 ² 4 ger

y y x y

y

x 8 0 4

2 









 .

a) Detta y substituerar vi i 4yyx och får:

VL= x

y y x

 



 

4 4 =HL,

Därmed är funktionen en lösning till DE i a-delen.

Anmärkning: Vi kan även ange x² y4 ² 4 ( där y0) på explicitform

4 4 x² y  och verifiera lösningen på detta sätt.

Svar: a) ja b) nej, c) ja

Verifiering om en styckvis definierad funktion är en lösning till DE

Verifiering om en styckvis definierad funktion är en lösning till en given DE gör vi i följande två steg:

Steg 1. Vi kontrollerar att funktionen satisfierar ekvationen i inrepunkter i varje delintervall Steg 2. Vi kontrollerar att funktionen har derivatan i intervallens gemensamma ändpunkter (dvs att vänster och höger derivatan är lika i de punkterna) och att DE satisfieras i de punkterna.

Uppgift 7.

a) Bestäm om funktionen







 

 0

0 ) 0

( ₂

x x x x f

y , är en lösning tillyy2xy på intervallet (1,1).

b) Bestäm största intervallet (a,b) där funktionen är en lösning till ekvationen.

Lösning:

a)

Steg 1. Genom att substituera y0i ekvationen får vi VL=0=HL, för alla x (och därmed för x(1,0)).

På samma sätt inser vi att yx² ger VL=y2x2xy=HL och därför satisfierar DE för alla x ( och därmed för x(0,1)).

(7)

Armin Ha

Steg 2. F högerde

0 x , y Steg 1 o

Tillägg:

”visar”

derivata

b) Funk

Svar:

Uppgift a)Bestä på interv Lösning a) Steg 1.

för x På samm och därm

Steg 2. F med 0 o därmed Svar:

Anmärk

 (xf y

”visar”

i punkte

alilovic: EXTRA

Funktionen erivatan lika

0

y och y och Steg 2 v

: Grafen til

att funktion an i punkte

ktionen är en

a) Ja, t 8.

äm om funk vallet (1,1 g:

Genom att s ) 0 , (1 ).

ma sätt inse med för x

Funktionen och högerde är INTE en Nej efterso kning: Grafe







 0 

) x x

x x

att funktion en x=0 (oli

A ÖVNINGAR ,

n y f(x) a med 0. Dä

0 ) 0

( 

y sat visar att fun

l y f(x)

nen har lika en x=0.

n lösning til

b) (,)

ktionen y )

1 .

substituera er vi att y

) 1 , 0

( ).

n y f(x) erivatan lika n lösning på om funktion

en till



 0 0

nen y f( ika vänster

SF1676







 0 

2 x

x x

ärmed är y tisfierar DE nktionen y







 0 

2 x

x x

vänster och

ll DE för va



0 )

(x x

f

0

y i ekva x ger VL







 

0 0 0

x x

x

a med 1. Dä å intervallet nen saknar d

)

x inte är d och höger d

7 av 7 0

0 har uppe

) ( x

 f deri E.

) ( x

 f är e

0 0

h höger

arje x och dä



 0 0 x

x , är

ationenfår L=y1 y=

0

0 har uppen ärmed är y

) 1 , (1 . derivatan i x

deriverbar derivatan).

enbart i punk iverbar i 0

en lösning ti

ärmed är (

en lösning t

vi VL=0=H

=HL och dä

nbart i punk ) (x

 f INT

x=0.

Differentia

kten x=0 vä och y(0)

ill DE på in

,)

 det s

tillyy y

HL, för alla ärför satisfie

kten x=0 vän E deriverb

alekvationer.

änster och

0. Dessut

ntervallet (

sökta interv

a x (och dä erar DE för

nster deriva bar i x=0 oc

Inledning

tom

) 1 ,

1 .

allet.

rmed alla x (

atan lika ch