Effektiv prissättning av OMXS30-optioner

NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universitet

Fortsättningskurs C Uppsats

Författare: Johnny Sener & Anders Svensson Handledare: Lennart Berg

VT06

Effektiv prissättning av OMXS30-optioner

- En empirisk undersökning

Sammanfattning

I uppsatsen har vi undersökt köpoptioner med OMXS30 som underliggande, syftet var att se om det fanns möjligheter till att göra arbitrage. Detta innebär att de är felprissatta. Vi har i vår undersökning testat optioners nedre gräns och köp-sälj paritetsvillkoret. Resultaten tyder på att det finns ett antal tillfällen då marknaden inte är effektiv, antalet tillfällen skiljer sig åt under olika marknadsförhållanden. De slutsatser vi kan dra är att marknaden måste vara mogen och marknadens aktörer måste ha en tydlig bild om i vilken riktning marknaden är på väg för att vi ska kunna säga att optionspriserna är effektivt prissatta. När investerare agerar irrationellt och osäkerheten är hög ökar frekvensen av antalet felprissättningar på finansiella instrument, däribland optioner.

Nyckelord: Arbitrage, Lower boundary test, OMXS30, Optioner, Optionsteori och Put-call parity.

Innehållsförteckning

1 Inledning

... 5-7

1.1 Problemformulering ... 6

1.2 Syfte ... 6

1.3 Avgränsningar ... 6

1.4 Motiv till ämnesval... 7

1.5 Tillvägagångssätt... 7

2 Optionsteori

... 8-15 2.1 Vad är en option? ... 8

2.2 Vad bestämmer priset på en option? ... 10

2.3 Optionspremiens bestämningsfaktorer... 11

2.4 Värdering av optioner... 12

2.5 Arbitragerestriktioner ... 13

2.6 Köp-sälj pariteten ... 15

3 Data

... 16-17

4 Empiriska tester

... 18-20

4.1 Test för nedre gränser... 18

4.2 Köp-sälj paritetsvillkoret... 19

4.3 Transaktionskostnader... 20

5 Resultat

... 21-25 5.1 Resultat från test av köpoptioners nedre gräns... 21

5.2 Resultat från test av köp-sälj paritetsvillkoret... 22

5.3 Jämförelse av resultaten från de båda testen ... 23

5.4 Grafisk översyn av empiriska resultat... 24

6 Slutsats och vidare studier

... 26

7 Referenser

... 27

8 Bilagor

Appendix 1:Härledning av köp-sälj pariteten ... 28

Tabeller

Tabell 1: Optionspositioner när arbitrage ej förekommer ... 13 Tabell 2: Test av köpoptioners nedre gränser ... 21 Tabell 3: Test av köp-sälj pariteten ... 22

1 Inledning

Efterfrågan på alternativa investeringsprodukter ökar i takt med att konjunkturen utvecklas positivt. Vi ska i den här uppsatsen undersöka prissättningen av en av de äldsta, men även populäraste produkterna nämligen optioner. Vi kommer att studera och analysera optioner som har det svenska OMXS30¹ index som underliggande. OMXS30 optioner är ett populärt instrument att använda för investeringar. Det kan användas till att spekulera i uppgång och nedgång i hela marknaden. Instrumentet ger även möjlighet till skydd mot den

företagsspecifika risken och möjliggör till en effektivare portföljförvaltning. Volymen för indexoptioner hade en positiv trend fram till slutet av nittiotalet² för att sedan minska samtidigt som konjunkturen vände nedåt tillsammans med IT kraschen. Populariteten hos indexoptionerna har sedan dess ökat med åren som gått.³ Även utomlands är indexoptioner en efterfrågad investeringsform, i USA introducerades det redan 1978 indexoptioner med

S&P 500 som underliggande på CBOE.⁴

Det finns en mängd studier som har studerat indexoptioner tidigare. De marknader som då har undersökts är till stor del CBOE, se Galai (1978) och London, se Klemkosky (1979), två mycket likvida och mogna marknader. Det har gjorts en del studier även på den svenska optionsmarknaden bl.a. av Byström (2000) och Hou (2004). I dessa studier har man studerat om optionspriserna är effektivt prissatta. Resultaten från deras studier tyder på att det finns få tillfällen då marknaden inte är effektiv i sin prissättning av indexoptioner.

1 OMXS30 är ett aktieindex innehållande trettio svenska företagen viktade efter sitt börsvärde.

2 Omsättningen i antalet kontrakt inom parantes, 1997 (3 545 967), 1998 (4 947 486) och 1999 (5 733 106). Data hämtad från www.omxgroup.com 2006-04-26.

3 Omsättning i antal kontrakt inom parantes, 2000 (4 167 488), 2003 (6 371 381) och 2005 (12 220 605). Även denna data är hämtad från OMX.

4 S&P 500 står för Standard and Poor index som innehåller 500 amerikanska aktier. CBOE står för Chicago Board Options Exchange och är världens största handelsplats för optionshandel.

1.1 Problemformulering

Vi kommer här att analysera om det finns felprissättningar på marknaden och om dessa kan utnyttjas för arbitrage. De frågor som vi tänker undersöka och besvara är:

Finns det arbitrage möjligheter på köpoptioner med OMXS30 som underliggande?

Skiljer sig möjligheten till arbitrage åt under olika marknadsförhållanden?

1.2 Syfte

Syftet med uppsatsen är att undersöka om det råder effektiv prissättning och om effektiviteten skiljer sig åt under olika marknadsförhållanden. Vi vill även se om det finns några mönster i marknaden och hur dessa uppenbarar sig, samt om det finns någon möjlighet att använda och tillämpa den information vi får fram från vår analys. Det kan också vara så att marknaden vid vetskap om ineffektivitet justerar för detta och utraderar möjligheterna till arbitrage.

1.3 Avgränsningar

Vi kommer att avgränsa oss till att bara undersöka för köpoptioner med OMXS30 som underliggande. En orsak till att vi begränsar oss är att investerare har en tendens att nästan alltid ha en optimistisk syn på ett underliggande instruments framtida kursrörelse. Detta medför att omsättningen är högre i köpoptioner än i säljoptioner under större delen av året. Vi kommer att redogöra för prissättningen på optioner under tre olika tidsperioder som vardera är ett kalenderår⁵.

5 1997, 1999 och 2001. Tre perioder med olika marknadsförhållanden som skiljer sig tydligt åt. 1997 var en stillastående marknad i förhållande till de övriga två. 1999 var ett år då det rådde hysteri på den globala aktiemarknaden och i synnerhet den svenska. Där minsta lilla bolag som hade med Internet eller något annat område som ingen visste dess riktiga värde, börsintroducerades och blev en kursraket. 2001 hade investerarna vaknat till liv och insett att uppgången var över och optimismen från 1999 hade övergått i en djup pessimism.

1.4 Motiv till ämnesval

Orsaken till varför vi väljer att undersöka möjligheterna till arbitrage i indexoptioner är att det är ett instrument som har en tydlig ökning i omsättning. Indexoptioner är också ett bra

komplement till andra investeringsformer, då det är ett likvidt och väldiversifierat instrument med en risk som bara är systematisk⁶. Undersökningen kommer att ge oss svar på om

marknaden är effektiv i prissättningen av optioner och om dess egenskap i att prissätta optioner förändras under olika marknadssituationer. Resultaten kan sedan användas vid kortsiktiga investeringsstrategier för att minska riskerna som är förknippade med handel i indexoptioner. Resultatens användningsområde är begränsat till indexoptioner. Skälet till detta är att optioner med enskilda aktier som underliggande har ytterliggare en riskparameter, den företagsspecifika risken. Den företagsspecifika risken är väldigt svår att prissätta vilket gör prissättningen av aktieoptioner till ett mer komplicerat instrument än indexoptioner.

1.5 Tillvägagångssätt

Vi kommer först att diskutera bakgrunden till optionsprissättning genom en kort förklaring av optionsteori. Sedan kommer vi att beskriva och diskutera den data vi använder för att efter det presentera de statistiska modeller som ligger till grund för analysen och definiera hypoteserna som ska testas. Därefter presenterar vi och analyserar resultaten utifrån undersökningen. Vi avslutar med att sammanfatta och diskutera vidare forskningsmöjligheter inom området.

6 Systematisk risk är den risk som är förknippad med hela marknader, t.ex. makroekonomiska effekter.

Företagsspecifika risken däremot är den risk som bara gäller det enskilda bolaget. Det är den företagsspecifika risken som gör skillnad för om ett företags aktie har en avkastning som är högre eller lägre än marknadens avkastning. En indexoption har samma avkastning som ett index och har därför diversifierat bort den företagsspecifika risken.

2 Optionsteori

2.1 Vad är en option?

Derivatinstrument är samlingsnamnet på olika finansiella instrument med annorlunda egenskaper. Värden på dessa instrument är knutet till en underliggande tillgång⁷, i detta fall enskilda aktier och aktieindex. Ett av dessa är optioner.

En option är ett avtal mellan två parter, en köpare och en utfärdare.⁸ Optioner förekommer i två olika typer, köpoptioner och säljoptioner. En köpoption ger innehavaren av optionen rättighet, men inte skyldighet att köpa den underliggande tillgången till en visst förutbestämd pris under en specifik tidsperiod. Motsatsen till en köpoption är en säljoption. En säljoption ger köparen en rättighet, men inte skyldighet att sälja den underliggande tillgången till ett visst förutbestämt pris under en specifik tidsperiod.⁹ Det förutbestämda priset kallas för lösenpris och det är till det priset man får köpa eller sälja den underliggande tillgången. Tiden fram till det förutbestämda datumet kallas löptid, eftersom det är under denna tid som

optionen löper på marknaden. Sista möjliga handelsdagen för optionen kallas slutdag, det datumet är förutbestämt vid noteringsdagen och står skrivet i optionskontraktet.¹⁰

För såväl köp som säljoptioner är det endast utfärdaren som är bunden att fullfölja

optionsavtalet om innehavaren begär det. För att kunna åta sig denna risk kräver utfärdaren en premie, priset på optionen när den emitteras. Denna premie är den maximala vinsten som utfärdaren kan erhålla. Förlusten för utfärdare är obegränsad när den ställer ut en köpoption då den underliggande tillgången kan stiga till oändligheten, medan förlusten är begränsad när utfärdaren ställer ut en säljoption då värdet på den underliggande tillgången inte kan bli negativt.

7 För alla derivat förutom de som är knutna till guld finns det en underliggande vara.

8 Gustavsson, (1994), sid 424 – 25

9 Hull, (2003), sid 6

10 Hull, (1997), sid 3

För innehavaren av en köpoption kan vinsten bli obegränsad av samma orsak som utfärdarens förlust, medan förlusten är begränsad till den betalda premien. Detta innebär att innehavaren av en köpoption övertar risken och vinstmöjligheterna på den underliggande tillgången som utfärdaren överlåter. På så sätt förväntar sig köparen en stark uppgång i den underliggande tillgången medan utfärdaren förväntar sig att den underliggande tillgången kommer att sjunka i värde eller ligga still under löptiden. På samma sätt när man köper en säljoption, då överlåter man risken på utfärdaren och utfärdaren avsäger sig sin vinstmöjlighet. I detta fall förväntar sig därmed innehavaren en kraftig nedgång i den underliggande tillgången, medan utfärdaren förväntar sig att den kommer att stiga eller att ligga stilla under löptiden¹¹.

Både köp- och säljoptioner delas vidare in i två kategorier, amerikanska optioner och

europeiska optioner. Skillnaden mellan dessa två är att amerikanska optioner kan lösas in eller kvittas under hela löptiden medan europeiska endast kan lösas in eller kvittas på slutdagen av löptiden. För att frigöra kapital vid innehav av en europeisk option är man alltså tvungen att sälja själva optionen under löptiden. Då amerikanska optioner kan lösas in eller kvittas mot den underliggande tillgången tenderar de generellt att ha ett högre pris än europeiska optioner¹².

I denna studie kommer vi bara att undersöka och testa för europeiska optioner med svenska OMXS30-index som underliggande tillgång. Ett optionsavtal kan upphöra på tre olika sätt.

Det första är att optionen blir värdelös och får förefalla (på slutdagen), vilket typiskt sett sker genom att det aktuella priset på den underliggande tillgången är lägre än lösenpriset vid innehav av en köpoption, medan det andra sättet är att optionen löses in (avslutas och

avräknas) genom att utfärdaren levererar den underliggande tillgången till köparen. Det tredje sättet är att optionen kvittas genom att optionsinnehavaren erhåller ett kontantbelopp som motsvarar marknadsvärdet av optionen. Det är det förstnämnda fallet som ger tillgång till hävstångseffekt, i mån av att den underliggande tillgången utvecklas i samma riktning som villkoren i optionskontraktet. Lösen förekommer dock inte för OMX30 optioner utan ersätts av något som kallas ”stängning”. En stängning blir aktuellt i de fall då optionen på slutdagen har ett realvärde. Stängning innebär en kontantavräkning mellan parterna. Optionsinnehavaren tillgodogör sig optionens realvärde i form av ett kontant slutlikvid, där det är utfärdaren som

11 Gustavsson, (1994), sid 425 & Stoll (1969)

12 Bodie, (2005), sid 702

får betala motsvarande belopp, eftersom optionskontrakt är ett nollsummespel (när den ena gör en vinst måste den andra göra en förlust).

För en köpoption finns det två möjliga utfall, det är antingen noll eller den maximala skillnaden mellan slutkursen på den underliggande tillgången multiplicerat med en

multiplikator (en viktning). Vice versa gäller för säljoptioner. Multiplikatorns roll är att skala ner värdet på optionen, så att optionen blir enkel att omsätta. De flesta vill hellre att en handelspost kostar några tusen istället för att kosta tiotusentalskronor. Att skapa denna

delbarhet kostar inget för marknadens aktörer utan ombesörjs av stockholmsbörsen. Betalning av beloppet till motparten sker några bankdagar därefter. Generellt fungerar alla

standardiserade optioner på samma sätt. Skillnaden som nämnts är den underliggande tillgången.

För en köpoption

Max (0, S0 på slutdagen- K) * λ (1.1)

För en säljoption

Max (0, K – S0 på slutdagen) * λ (1.2)

Med standardiserade optioner menas vanligtvis optioner med korta löptider, dessa med 30 dagars löptid, 60 dagars löptid och 90 dagars löptid samt uppställda med kända lösenpris och underliggande tillgång. Optioner handlas och omsätts i hela kontrakt. Med aktier som

underliggande tillgång motsvarar ett optionskontrakt 100 stycken aktier, medan aktieindex som underliggande tillgång motsvarar också 100 stycken. Handelsposten för aktieoptioner är 10 kontrakt medan för indexoptioner är det ett kontrakt.¹³

S0 är den underliggande tillgångens pris (exklusive utdelningar) λ står för multiplikatorns roll.

K är optionens lösenpris

2.2 Vad bestämmer priset på en option?

En options värde är alltid lika med dess marknadspris, premien. Premien är det pris som innehavaren av optionen betalar till utfärdaren för att få rättigheten att köpa eller sälja den underliggande tillgången till ett visst lösenpris. Premien består av två delar, realvärde och

13 Stoll, (1969)

tidsvärde. Realvärdet för en köpoption är skillnaden mellan det aktuella priset på den

underliggande tillgången och lösenpriset. Detta innebär att ju högre lösenpriset är, desto högre blir realvärdet. Medan realvärdet för en säljoption är skillnaden mellan lösenpriset och det aktuella priset på den underliggande tillgången. Optionens resterande värde kallas tidsvärde och är skillnaden mellan den aktuella optionspremien och realvärdet. Optionens realvärde och tidsvärde påverkas i olika utsträckning av flera olika faktorer, allt annat lika (ceteris paribus).

Realvärdet påverkas av det aktuella värdet av den underliggande tillgången och optionens lösenpris. Tidsvärdet påverkas å andra sidan av optionens återstående löptid och den riskfria räntan. Dessutom påverkas den av hur hög volatilitet den underliggande tillgången förväntas att ha i framtiden. En hög volatilitet gör att premien blir högre eftersom sannolikheten blir större att den underliggande tillgången kommer infria lösenpriset inom löptiden.¹⁴ Detta förklarar att en option i en volatil underliggande tillgång har högre tidsvärde än en option i en mer trögrörlig tillgång.

När en option ligger under det utsatta lösenpriset, d.v.s. i köpoptions fall har ett lösenpris som ligger under det aktuella priset på den underliggande tillgången, säger man att optionen är

”out of the money”. Är lösenpriset och det aktuella priset på den underliggande tillgången identiska säger man att optionen är "at the money" och ligger lösenpriset över det aktuella priset på den underliggande tillgången säger man att köpoptionen är "in the money", optionen har då ett realvärde ¹⁵

2.3 Optionspremiens bestämningsfaktorer

Om priset på den underliggande tillgången, vanligtvis aktier och aktieindex stiger kommer värdet på en köpoption att öka och värdet på en säljoption att minska. I motsvarande sätt kommer köpoptionens värde att minska och säljoptionens värde att öka när priset på den underliggande aktien eller aktieindex faller. En köpoption med lägre lösenpris är alltid mer värd än en köpoption med högre lösenpris. Detta eftersom det är alltid bättre att ha rättigheten att köpa till ett lägre pris än till ett högre. På motsvarande sätt är en säljoption med högre lösenpris alltid värd mer än en säljoption med lägre lösenpris. För både köp- och säljoptioner gäller att en option med lång återstående löptid är mer värd än en med kortare återstående löptid. Det beror på att optionen tidsvärde minskar ju färre dagar det är kvar till lösen.

14 Bodie, (2005), sid 746-48

15 Cox & Rubinstein, (1985), sid 4-5

När till exempel den riskfria räntan stiger ökar köpoptionens värde medan säljoptionens värde minskar. Det beror på att en investering i en köpoption binder mindre kapital än motsvarande köp i den underliggande tillgången. Med hjälp av köpoptionen senarelägger man (under löptiden) alltså en stor utbetalning. Vid högre ränta blir värdet av denna räntevinst större och köpoptionens värde minskar. För säljoptionen blir effekten den omvända. Här senarelägger man en försäljning av den underliggande tillgången. Under löptiden ligger kapitalet bundet och ränteförlusten på detta kapital blir större ju högre räntan är, vilket minskar säljoptionens värde. Räntan har emellertid ingen större inverkan på optionspriset såvida inte optionen har en lång löptid, de vill säga längre än sex månader. När marknaden förväntar sig en hög

volatilitet¹⁶ i den underliggande tillgången blir premien på både köp- och säljoptioner högre.

Detta beror på att sannolikheten är större att den underliggande tillgången under optionens löptid kommer att anta riktigt höga eller låga värden.¹⁷

2.4 Värdering av optioner

Den vanligaste modellen för att bestämma en options teoretiska värde är den välkända Black

& Scholes modellen. Black & Scholes modellen tar endast hänsyn till de faktorer som främst påverkar optionens värde. Dessa är som tidigare nämnts optionens lösenpris, löptid, den riskfria räntan, priset på den underliggande tillgången och volatiliteten. De fyra första

variabler är enkla att implementera i modellen medan volatiliteten är okänd och bygger på den framtida förväntade rörligheten i den underliggande tillgången. Modellen ger därmed endast ett riktmärke på var marknadspriset bör ligga.

Enkelt uttryckt beräknar man med hjälp av modellen värdet på en option genom att räkna ut värdet av den underliggande tillgången som ger optionens värde på slutdagen. Detta minskas med nuvärdet av lösenpriset för att sedan multipliceras med sannolikheten för att optionen får ett pris. Black & Scholes modellen kan endast tillämpas på europeiska optioner och förutsätter några antaganden för modellens giltighet.¹⁸ En annan prissättningsmodell för optioner är binomialmodellen. Till skillnad från Black & Scholes modellen kan binomialmodellen räkna ut värdet på optionen, även om optionen kan lösas in under löptiden och även att

16 Volatiliteten är kursrörelsen på den underliggande tillgången. Det finns både en historisk och en implicit volatilitet. Den historiska räknas fram genom att titta på hur kursen för den underliggande tillgången rört sig historiskt. Den implicita volatiliteten beräknas med hjälp av Black & Scholes, och är den parameter som är okänd vi prissättning av optioner.

17 Hull, (2003), sid 167-70

18 Cox & Rubinstein, (1985), sid 254-55

underliggande tillgången har årliga utdelningar. Denna modell är en process där man framskriver värdet av den underliggande tillgången stegvis.

2.5 Arbitragerestriktioner

Enligt Mertons välutvecklade sats måste man anta att om priserna är över eller under vissa bestämda gränser kommer inte det teoretiska priset och marknadspriset att överstämma. Det kommer omedelbart att upptäckas av marknaden och möjliggöra för arbitrage. Med arbitrage menas en riskfri avkastning, större än den riskfria räntan. Detta menas att de finansiella instrumenten på marknaden är felprissatta (underprissatta eller överprissatta) och därmed resulterar till att det går att erhålla riskfria vinster genom att handla med riskfyllda instrument under en viss tidsperiod. Detta kommer att ske genom till exempel att man ställer ut optionen i kombination med att investera den erhållna premien i den riskfria räntan.¹⁹ Om ovanstående optionspositioner inte kommer att resultera till en riskfri vinst, leder det vanligtvis till att den totala effekten kommer att bli lika med noll, de vill säga när marknadspriset är det korrekta.²⁰ Dessa optionspositioner förtydligas här nedan.

Tabell 1: Optionspositioner när arbitrage ej förekommer Idag Slutdagen

S0≤K K<S0

Utfärda köpoption c - - (K-S0) Köpa säljoption - p (K-S0) - Köpa underliggande - S0 S0 S0

Låna Ke^-rT - K - K

Totalt 0 0

Källa: Cox & Rubinstein, (1985), sid 41

Optionspositionerna i tabellen ovan innebär att en investerare börjar med att utfärda (ställa ut) en köpoption. För att kunna immunisera köpoptionen köper man en säljoption av den erhållna premien, samtidigt som man också köper den underliggande tillgången till ett lånat belopp. På slutdagen, om lösenpriset är lika med eller större än underliggande kommer motpartens långa option (köpt köpoption) inte att utnyttjas och förfalla värdelös. Säljoptionens effekt blir skillnaden mellan lösenpriset och underliggande. Även på slutdagen har man fortfarande kvar den köpta underliggande tillgången eftersom den sedan tidigare är immuniserad, med ett nettonuvärdes belopp som måste betalas tillbaka (skuld). Därmed om det inte förekommer

19 Cox & Rubinstein (1985), sid 34-38

20 Detta kallas även noll-hedge

något arbitrage måste den totala effekten av investerarens optionspositioner blir lika med noll, vilket det också blir. Detta leder till samma resultat även om den underliggande tillgången är större än lösenpriset på optionens slutdag. Detta kan ses i tabellens högra del.

Gränserna utanför vilka arbitrage möjligheter finns, utgörs av att optionen aldrig kan inta ett negativt värde (då optionen förefaller värdelös på slutdagen) och skillnaden mellan den underliggande tillgångens pris och nuvärdet av lösenpriset för den underliggande tillgången, i detta fall för en köpoption. Vice versa gäller det för en säljoption. I samma sats konstaterade Merton att det finns ett samband mellan ovanstående förförande i och med att köpoptionen värde aldrig kommer att vara större än den underliggande tillgångens pris. För en säljoptions värde gäller det att den aldrig kommer att överstiga nuvärdet av lösenpriset på den

underliggande tillgången.

Arbitragegränserna för europeiska köpoptioner respektive säljoptioner

[

^{0,S−Ke−rT}

]

^≤c≤S

max (2.1)

[

^{0,Ke−rT −S}

]

^{≤ p≤Ke−rT}

max (2.2)

Ke rT

S

c≥ ₀ − ⁻ (3.1)

S0

Ke

p≥ ^−rT − (3.2)

c är priset på köpoptionen

S0 är den underliggande tillgångens pris (exklusive utdelningar)

K står för optionens lösenpris

e är basen för den naturliga logaritmen (2,71728)

rär den riskfria räntan

Tstår för optionens återstående löptid på årsbasis

Om de två sista ekvationerna (3.1) och (3.2) gäller är optionspriserna rätt prissatta på marknaden och befinner sig inom gränserna. Det finns då inga möjligheter till arbitrage vinster. De vill säga en europeisk köpoption måste vara lika med eller större än skillnaden mellan nuvärdet av lösenpriset och det aktuella priset på underliggande tillgångens pris. För en europeisk säljoption gäller vice versa. I denna studie har vi avgränsat oss till att bara undersöka och testa för europeiska köpoptioner. I nästa avsnitt kommer vi att redogöra för en

starkare och effektivare sats avseende vilka värdet optionerna måste anta för att eliminera arbitrage möjligheterna, nämligen köp-sälj pariteten.²¹

2.6 Köp-sälj pariteten

För att det inte ska finnas några arbitrage möjligheter på marknaden måste optionspriserna befinna sig inom ett visst prisintervall under hela löptiden²². Stoll utvecklade den välkända köp-sälj pariteten för optionspriser enligt ekvationen nedan:

S0

p Ke

c+ ^−rT = + (4)

Relationen i köp-sälj pariteten antyder att priset på en europeisk köpoption och nuvärdet av lösenpriset på den underliggande tillgången (vänsterledet) är detsamma som priset på en säljoption och priset på den underliggande tillgången (högerledet). Den påvisar på så sätt det exakta sambandet mellan en köp- och säljoption och den underliggande tillgången när vi förutsätter att lösenpriset och löptiden är identiska för både köpoptionen och säljoptionen.

Det ger möjlighet att härleda en europeisk köpoption med känd lösenpris och löptid från en europeisk säljoption med samma lösenpris och löptid. På motsvarande sätt kan man

generalisera en europeisk säljoption från en europeisk köpoption. Om köp-sälj pariteten inte uppfylls möjliggör det för att det förekommer arbitrage möjligheter på marknaden, vilket innebär att värdet på optionerna inte är den korrekta. Marknadens prissättning på antingen köpoptionen eller/och säljoptionen är därmed inte korrekt.²³ Hur dessa riskfria möjligheter utnyttjas av marknaden är omöjligt att förutspå, men den ekonomiska teorin säger att

ekonomin kommer att gå tillbaka mot långsiktig jämvikt. Därmed överstämmer de teoretiska priserna med de optimala på marknaden.

21 Hull, (2003), sid 171-74

22 Ibid, sid 174

23 Ibid, sid 174-76 & Bodie, (2005), sid 720

3 Data

OMXS30-index är ett svensk aktiemarknadsindex bestående av de 30 värdemässigt mest omsatta aktierna på stockholmsbörsen. Syftet med OMXS30-index optioner är att med

OMXS30-index som mått på den underliggande tillgången, ge möjligheten till att placera i en

”marknadsaktie” där avkastningen återspeglar de sammanlagda förändringarna på hela

aktiemarknaden. Dessa OMXS30-index optioner är standardiserade optioner vilket innebär att de är uppställda enligt vissa villkor. Dessa villkor är främst att lösenpriset och löptiden skall framgå samtidigt som de omsätts på en auktoriserad marknadsplats.

Det som skiljer indexoptioner från aktieoptioner är att indexoptioner avser den allmänna utvecklingen, medan aktieoptioner avser utvecklingen i den enskilda aktien. På så sätt ges möjligheten till skydd mot den företagsrisk som är förknippad med den enskilda aktien.

Aktierna som ingår i OMXS30-index påverkar indexets värde med en vikt som är

proportionellt mot aktiens totala värde, där kan ses att Ericsson har en vikt i indexet på drygt 15 %²⁴. En OMXS30-option är av europeisk typ och kan endast utnyttjas på slutdagen.

Slutdagen är alltid fjärde fredagen i slutmånaden (för aktieoptioner är det tredje fredagen).

Dessutom kan man när som helst sälja optionen under dess löptid.

Varje dag så finns det en stor mängd noterade instrument som handlas, främst optioner och terminer som har indexet som underliggande. Det är ur denna mängd data som vi har valt att göra en stickprovsundersökning. Vi har valt att bara välja data utifrån de standardiserade optioner som OMX²⁵ ger ut och står som motpart för. Det data vi har kommer direkt ifrån OMX, vilket gör att vi antar att alla siffror är korrekt. Ett problem däremot är att om det inte har varit någon handel i ett visst instrument en dag finns det inget pris noterat. Skälet till detta är att det är aktörernas marknad, om inget intresse finns för instrumentet så har det ingen omsättning. Vi behandlar dessa observationer som missade observationer.

Vi kommer att undersöka tre olika perioder på vardera ett år. Vår första period (1997), då marknaden var ganska stillastående, ett sådant marknadsförhållande brukar kallas för en

24 Ericssons börsvärde förändras från dag till dag och likaså dess vikt i OMXS30. Den 12-05-06 var Ericsson B:s del av OMXS30 ungefär 15 %.

25 Det finns även andra institutioner som ger ut optioner med OMXS30 som underliggande, då främst banker och fondkommissionärer. Handelsbanken och Carnegie är emittenter till majoriteten av antalet warranter som finns på den svenska marknaden. Deras instrument brukas benämnas som warranter, men är samma sak som optioner men oftast med en längre löptid.

”Deer market”. Marknaden kännetecknas av att den står stilla och analyserar vart andra faktorer rör åt sig för håll för att sedan agera, liknande ett rådjur. Vår andra period (1999), kännetecknas av stor marknadsaktivitet med en positiv trend. Denna situation benämnas ofta som en ”Bull market” efter en tjur som rusar framåt med hornen. Vår tredje och sista period (2001), kännetecknas även den av en stor marknadsaktivitet men med en generell fallande trend. ”Bear Market” är beteckningen på denna situation, efter en björn som slår nedåt. Under varje år kommer vi att undersöka 30 och 60 dagars köpoptioner. Det finns även optioner med längre löptid, men handeln i dessa är väldigt begränsad, vilket medför att det blir väldigt svårt att analysera dessa. Vi har valt optioner som har handel noterat under så många dagar i varje månad som möjligt för att få en så fullständig tidsserie som möjligt. Vi har valt optioner som har ett underliggande värde som ligger mellan månadens första handelsdags slutkurs och månadens sista handelsdags slutkurs. Anledningen till det är att de optioner som har hög omsättning ligger väldigt nära indexkursen hela tidsperioden.

Som framkommer när vi studerar omsättningen i våra tidsserier för optioner med 30 dagars löptid är två olika scenarion. Antingen är omsättningen i början på månaden mycket liten eller noll, till att vara väldigt hög de sista handelsdagarna. Eller så är scenariot det omvända med hög omsättning i början av månaden och liten i slutet av månaden. Detta problem uppstår eftersom vi väljer en option utifrån ovanstående kriterier. Våra serier med en löptid på 60 dagar har nästan ingen omsättning förrän de sista dagarna i varje månad. Detta gör att resultaten från serierna med 60 dagars löptid ska tas med en viss försiktighet.

De kursnoteringar vi använder är slutkurserna för varje dag, eftersom kurserna rör på sig varje dag så kommer vi inte att kunna hitta eventuella felprissättningar som uppkommer under dagen i och med att spreaden mellan köp och säljkurs förändras. Tidigare studier på detta har visat att det finns arbitrage möjligheter men att dessa bara varar i ungefär fem minuter om man räknar in transaktionskostnaderna, se Cheng och White (2003).

Räntan vi använder i undersökningen är tre månader statsskuldväxel på årsbasis, där vi använder dagsnoteringen för aktuell dag. Räntan har under de undersökta perioderna inte varierat nämnvärt, vilket medför att vi skulle kunna använda en räntesats som var konstant för de olika perioderna och ändå få liknande resultat som de vi får när vi ändrar räntan från dag till dag.

4 Empiriska tester

Vår uppgift i uppsatsen är att testa standardiserade köpoptioner med OMXS30 som

underliggande och se om det finns möjligheter att göra arbitrage. För att testa detta utgår vi ifrån metoder som har utvecklats av Merton (1973) och Stoll (1969) och sedan modifierats.

Merton utvecklade ett test för lägre gränser för amerikanska aktieoptioner, som även kunde användas till europeiska aktieoptioner. Anledningen till att Merton utvecklade teorin var att se om det fanns arbitrage möjligheter och om dessa kunde användas. Merton var även med och utvecklade Black & Scholes²⁶ optionsmodell, som har blivit standardmodellen för

optionsprissättning. Stoll utvecklade köp-sälj paritet mellan optioner, vilket även det är ett test för arbitrage. Om denna paritet inte håller kan man riskfritt sälja en köpoption och köpa en säljoption och tjäna pengar.

4.1 Test för nedre gränser

För att testa den nedre gränsen för en köpoption använder vi ekvation 5, som föreslås av Hull (2003). Den är en modifiering av Mertons gränstest och kan även använda på indexoptioner.

Ke rT

S

c≥ ₀ − ⁻ (5)

T är en tidsparameter som räknas ut som i ekvation 6.

total

T

T = t (6)

Där t är antalet handelsdagar till inlösen och är antalet handelsdagar under året. För att kunna använda oss av vår data där vissa parametrar är uttryckta i enheten kronor och andra i enheten punkter, gör vi om våra parametrar enligt ekvation 7 och 8.

total

T

K K S S −

∗ = 0 (7)

26 Merton fick till samman med Scholes ekonomipriset till minne av Alfred Nobel 1997, Black avled innan de fick priset och kunde därmed ej få priset ex post.

1

)

( −

= ⁻

∗

K e Ke

rT

(8)

Där är den relativa förändringen i den underliggande parametern och är den relativa diskonteringen av lösenpriset. För att tolka våra resultat bättre skriver vi om vår ekvation så att den ser ut som i ekvation 9. Där

S∗ e^∗

ετ är vår felterm, inklusive transaktionskostnader för att resultaten ska bli mer realistiska. Transaktionskostnaden kommer att medföra att den arbitrage möjlighet som uppstår kommer att minska i värde eftersom transaktionskostnaden blir en förlust för investeraren.

≥0

−

− +

=S^∗ τ e^∗ c

ε_τ (9)

Alternativhypotesen är ε_τ <0. Om hypotesen är signifikant mindre än noll finns det möjligheter till att göra arbitrage.

Tidigare undersökningar där de lägre gränserna testats har gjorts av bland annat Hou (2004) på indexoptioner och av Berg (1996) och Galai (1978) på aktieoptioner. Deras slutsatser var att frekvensen av brutna gränser var väldigt liten, speciellt när man tog hänsyn till

transaktionskostnader.

4.2 Köp-sälj paritetsvillkoret

Det andra testet vi kommer att utföra är att testa köp-sälj paritetsvillkoret. Vi använder oss av den modell som Hull (2003) föreslår som är en vidareutveckling av Stoll:s version från 1969.

I den nyare modellen tar man hänsyn till räntan och tiden på ett annorlunda sätt än vad Stoll (1969) gjorde. Paritetsvillkoret återfinns i ekvation 10.

S0

p Ke

c+ ^−rT = + (10)

Ekvation 11 är det uttryck som vi testar för att se om det finns några felprissättningar på optionsmarknaden. Vi tar mer transaktionskostnader i våra beräkningar för att få ett mer realistiskt resultat.

=0

−

−

+ ^∗

∗ p e c

S (11)

Alternativhypotesen är att observationerna är skilda från noll, . Är resultatet signifikant, betyder det att det finns möjlighet att göra arbitrage.

≠0

−

−

+ ^∗

∗ p e c

S

4.3 Transaktionskostnader

Transaktionskostnader är en parameter som man vanligtvist brukar anta att den är noll i ekonomisk teori, vilket även är vanligt i fallet med optionsteori. Men problemet då blir att de resultat som analysen frambringar blir inkorrekta. För att undvika detta kan

transaktionskostnader föras in i analysen enligt något av följande alternativ:

Antagande nummer ett är att det finns små transaktionskostnader. Så är fallet för alla stora instutionella investerare som inte agerar med några mellanhänder på marknaden. För dessa är kostnaden för ett optionskontrakt 2 kronor i dag. Det är en clearingavgift som handelsplatsen tar för att administrera kontraktet. 2004 var kostnaden clearingavgiften för indexoptionen 3,50 kronor enligt Hou (2004). Avgifterna sjunker med tiden i takt med att omsättningen ökar, vilket syns på avgifterna på andra finansiella instrument där de är obetydliga.

Det andra antagandet som kan göras kring optioners transaktionskostnad är ett dyrare alternativ, där courtageavgiften räknas in. Detta antagande gäller de investerare som är tvungna att handla genom en mellanhand, oftast privatpersoner och mindre instutionella investerare. I denna kategori skiljer sig courtageavgifterna sig åt beroende på vilken

mellanhanden är. De aktörer som enbart verkar över Internet har en lägre avgift jämfört med dem som har kontor, som man antingen kan ringa eller besöka.

Ett dilemma som finns när det gäller transaktionskostnaderna i Sverige är att du har rätt att kvitta dem som en förlust mot vinster i skattedeklarationen när reavinstskatten ska beräknas.

Denna paradox gör att det egentligen är onödigt att ta med transaktionskostnaderna i modellen, men för att kunna analysera skillnaderna i testerna väljer vi att ta med den.

5 Resultat

I den här delen kommer vi att presenterar resultaten från vår undersökning, för att sedan diskutera och analysera resultaten. Vi kommer att dela upp analysen i fyra delar, en där vi testar den första nollhypotesen (test av nedre gränser), en där vi testar den andra

nollhypotesen (köp-sälj pariteten) och en tredje där vi drar allmänna slutsatser och svarar på de frågor som vi ställt. I den sista delen redovisar vi grafer över våra tester. Graferna visar inte tydligt alla arbitrage möjligheter eftersom de är så små, utan är där för att man ska få en generell uppfattning om möjligheterna till arbitrage under olika marknadsförhållanden.

5.1 Resultat från test av köpoptioners nedre gräns

Vår första nollhypotes som vi testar är om ε_τ ≥0 med hjälp av test för en köpoptions nedre gräns. Ett negativt värde på feltermen ε_τ betyder att det möjliggör för en arbitrage anpassad situation på instrumentet.

Tabell 2: Test av köpoptioners nedre gränser

Tidsperiod Löptid (i dagar)

Antal observationer

<0

ετ ^Frekvens

(%)

1997 30 203 60 29,5 1999 30 197 10 5,1 2001 30 194 31 15.9

1997 60 188 139 73,4 1999 60 226 11 4,8 2001 60 178 35 19,6

I tabell 2 redovisar vi våra resultat från testerna av de nedre gränserna på köpoptioner med OMXS30 som underliggande. Vi ser tydligt att det finns felprissättningar under alla de tre perioder som vi undersökt. Frekvensen är ungefär den samma när vi jämför optioner med 30 och 60 dagars löptid, förutom 1997, då optioner med längre löptid har en större frekvens felprissättningar. När börsen rör sig starkt uppåt (1999, + 66,5 %) har vi en liten frekvens felprissättningar vilket sannolikt beror på att efterfrågan på indexoptioner som

investeringsalternativ ökar. När börsen har en negativ utveckling (2001, -16,7 %) minskar

efterfrågan på indexoptioner, vilket medför att frekvensen felprissättningar ökar. Då inte tillbaka till samma nivå som 1997, men det beror på att marknaden har mognat och att en större mängd investerare ser möjligheterna i optioner. Några speciella mönster under de olika tidsperioderna kan vi inte urskilja utan de dagar då felprissättningar uppstår är slumpmässigt fördelade, vilket medför svårighet för arbitragehandlare att upptäcka de felprissättningar som uppstår. Vi har när vi estimerat våra resultat använt det första antagandet om

transaktionskostnader, att dessa är väldigt små. Är fallet så att du har högre

transaktionskostnader, som är fallet för många investerare, minskar mängden tillfällen drastiskt om du inte har enorma mängder likvida medel.

5.2 Resultat från test av köp-sälj paritetsvillkoret

Resultaten från test av nollhypotesen som är redovisar vi i tabell 3. Ett marknadspris som är skild från noll (0) innebär att det finns möjlighet att göra arbitrage. Vi använder oss av köp-sälj pariteten för att undersöka vår andra nollhypotes på optioner med olika löptid under tre skilda tidsperioder.

=0

−

−

+ ^∗

∗ p e c

S

Tabell 3: Test av köp-sälj pariteten

Tidsperiod Löptid

(i dagar)

Antal observationer

≠0

−

−

+ ^∗

∗ p e c

S ^Frekvens

(%)

1997 30 203 87 42,8 **

1999 30 197 8 4,0 *

2001 30 194 54 27,8 **

1997 60 188 89 77,1 **

1999 60 226 12 5,3 **

2001 60 178 35 19,6 *

Köp-sälj pariteten är ett starkare test av arbitrage möjligheter än testet av optioners lägre gräns, vilket gör att resultaten från tabell 3 skapar större legitimitet för våra resultat än resultaten i tabell 2. Andelen tillfällen som marknaden inte lyckas prissätta optionerna effektivt är stor under 1997. Vi har ett signifikant resultat i hypotestestet i både 30 och 60 dagars löptid, vilket innebär att priserna är skilda från noll. Om vi jämför med senare år ser vi

Vi genomför ett hypotestest för att se om vårt medelvärde är skilt ifrån noll (0). På 5 % signifikansnivå betyder * icke signifikant resultat och ** är ett signifikant resultat.

att marknaden inte är lika mogen i sin struktur. 1999 var frekvensen väldigt låg i

felprissättningen av de undersökta optionerna. Orsaker till det kan t.ex. vara att börsen hade en stark positiv utveckling och omsättningen i optioner hade ökat markant, vilket medför effektivare prissättning. Vi har ett icke signifikant resultat för optioner med 30 dagars löptid, vilket betyder att vi ej kan säga att de är skilda från noll. Detta innebär att det inte finns några felprissättningar. 2001 ökade frekvensen av felprissättningar, vilket borde bero på att

marknaden utvecklades negativt och osäkerheten kring framtiden ökade. Efterföljderna av det är att investerare inte tänker rationellt och misslyckas med att sätta rätt pris. Det som motsäger det är att vi får ett icke signifikant resultat för våra optioner med 60 dagars löptid och kan ej säga att dessa är skilda från noll. Det innebär att det inte fanns några felprissättningar i optioner med 60 dagars löptid.

5.3 Jämförelse av resultaten från de båda testen

Vi får fram liknande mönster i våra resultat från de båda testen. De uppvisar båda att 1997 är det år med mycket högre frekvens av tillfällen som fel pris råder. 1999 har frekvensen i båda testen minskat kraftigt jämfört med 1997, för att till 2001 öka igen. Detta beror på att

marknaden vänder nedåt under det året. Vi observerar inga tydliga mönster i något av testen utan antar att de felprissättningar som uppstår slumpmässigt.

Vi kommer under avsnitt 5.4 att redovisa ett urval av grafer för de olika testen som vi har studerat och observerat. Graf A till D visar hur tillfällen för felprissättningar som har observerats när vi genomfört testet för en options nedre gräns under både 30 och 60 dagars löptid. Vi ser i alla fyra graferna att felprissättningarna uppkommer slumpmässigt och inte går att förutsätta. I graf E till H visas resultat från köp-sälj paritetsvillkoret. Vi kan observera att pariteten rör sig kring nollstrecket utan att kunna uppvisa något speciellt mönster under någon av de olika tidsperioder som vi har undersökt. De frågor som vi ställde var om det fanns några felprissättningar på marknaden och om de skilde sig åt mellan de olika perioderna. Det vi har kommit fram till är att det finns felprissättningar på marknaden och att dessa skiljer sig åt under olika marknadsförhållanden. Under 1997 som var en ganska omogen marknad var frekvensen av felprissättningar hög, jämfört med de övriga två perioderna. 1999 var ett år med en positiv och stark börsveckling, vilket ledde till att mängden felprissättningar gick ned till en väldigt låg nivå. 2001 var ett oroligt år med en negativ utveckling på börsen. Detta ledde till stor osäkerhet och en ökad mängd optioner som var felprissatta jämfört med 1999.

5.4 Figur 1: Grafisk redovisning av de empiriska resultaten

I graferna för test av köp-sälj paritetsvillkoret (E,F,G och H) finns inlagt en streckad linje som ger banden på transaktionskostnaden.

A B

-16 -12 -8 -4 0

Nedre gränstest 30 dagars 1997 Jan feb mars april maj jun juli aug sept okt nov dec kronor

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

Lägre gränstest 30 dagars 1999 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

D

-20 -16 -12 -8 -4 0 4

Lägre gränstest 60 dagar 1999 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Lägre gränstest 60 dagars 2001 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

C

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Köp-sälj paritet 30 dagars 1997 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

köp-sälj paritet 30 dagars 1999 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

E F

-8 -4 0 4 8 12 16 20

köp-sälj paritet 60 dagars 1999 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

-8 -4 0 4 8 12 16

köp-sälj paritet 60 dagars 2001 kronor

jan feb mars apr maj juni juli aug sept okt nov dec

G H

6 Slutsats och vidare studier

De slutsatser vi kan dra från vår studie är att det kan existera ineffektivitet på

optionsmarknaden, med olika stor grad under de perioder som vi har valt att undersöka. På en kanske omogen marknad som 1997 var observerar vi en hög frekvens felprissättningar i motsatts till 1999 då optionsmarknaden var effektivare i sin prissättning. Under en marknad i negativ utveckling som 2001 ökade frekvensen felprissättningar jämfört med 1999. Men frekvensen är inte lika hög som 1997. Vi ser inga tydliga mönster då felprissättningarna uppstår, vilket försvårar möjligheterna att upptäcka dessa och använda dessa för att göra riskfria vinster. Eftersom vi använder slutkurser i vår studie kan vi inte avgöra om de tillfällen som uppstår används eller om marknaden korrigerar detta innan de kan utnyttjas.

En sak som drar ned antalet felprissättningar på marknaden är om du som investerare inte har möjlighet att handla utan de kostnader som tillkommer utöver marknadsplatsens

clearingavgifter. Eftersom dessa kostnader skiljer sig åt bland olika institut kan vi inte estimera ett korret resultat som gäller för alla investerare. De slutsatser vi däremot kan dra är att antalet möjligheter tillriskfria vinster minskar om det tillkommer fler

transaktionskostnader, vilket gör att marknaden rör sig mot något som kan ses som effektivare prissättning.

Vårt studieområde har studerats ett antal gånger, med liknande resultat. Visserligen är de flesta studier gjorda på de stora handelsplatserna som London och CBOE. Omsättningen på den svenska optionsmarknaden har ökat med åren vilket gör att den allt mer börjar likna de stora marknaderna vilket gör att vi har svårt att se om den behöver kartläggas gällande arbitrage möjligheter i någon ytterligare utsträckning. Det som däremot skulle vara ett intressant område att studera, är den mängd av nya optionsliknande instrument som har tagits fram på senare år och är listade på Stockholms fondbörs och NDX²⁷.

27 Nordic Derivatives Exchange, www.ndx.se, andra instrument som handlas på NDX är bl.a. turbooptioner, exotiska optioner och certifikat

7 Referenser

Tidskriftsartiklar

Berg, E, Brevik, T och Sættem, F. (1996)”An examination of the Oslo Stock Exchange options market”, Applied Financial Economics, 6, p. 103 – 13.

Byström, NE. H. (2000)”Stochastic Volatility and Pricing Bias in Swedish OMX-index Call Option Market”, work paper, Department of Economics, Lund University.

Cheng, L och White, J. (2003) “Measuring Pricing Inefficiencies under Stressful Market Conditions”. Journal of Business Finance & Accounting, 30(3) & (4), p. 383 – 411.

Galai, D (1978) “Empirical tests of boundary conditions for CBOE options”, Journal of Financial Economics, 6, p.187 – 211.

Hou, A och Luengo, M. A. (2004)”Empirical test of market efficiency of OMX options” D- uppsats, Industriell och finansiell ekonomi, Handelshögskolan, Göteborgs Universitet, nr.

2004:36

Klemkosky, R. och Resnick B. (1979)”Put-call parity and market efficiency”, Journal of Finance, 34, p. 1141 – 56.

Merton, R. C. (1973) “Theory of rational option pricing”, Bell Journal of Economics and Management Science, 4, p. 141 – 83.

Stoll, H. (1969), “The relationship between put and call options”, The Journal of Finance, vol. 24, No. 5, 801-24.

Böcker

Bodie, Z., Kane, A. och Marcus, A. (2005), “Investments”, McGraw-Hill, New York, 6. e uppl.

Cox, J. och Rubinstein, M. (1985), “Options markets”, Prentice-Hall, New Jersey.

Gustavsson, M. och Svernlöv, M. (1994), ”Ekonomi & kalkyler”, Liber, Malmö.

Hull, J. (1998), “Introduction to futures and options markets”, Prentice-Hall, New Jersey, 3: e uppl.

Hull, J. (2003), “Options, Futures and other derivatives”, Prentice-Hall, New Jersey, 5: e uppl.

Siegel, J, J (2002) ”Stocks for the long run”. McGraw -Hill, New York, 3:e uppl.

Appendix 1

Härledning av köp-sälj pariteten

Köp-sälj paritetsvillkoret förutsätter att en europeisk köpoption med känd lösenpris och löptid kan härleda värdet av europeisk säljoption, med samma antaganden som köpoptionen. Detta förutsätter också att den underliggande tillgången är lika för de både optionerna. För att det inte skall finnas någon möjlighet till arbitrage på marknaden, måste följande

optionsförförande gälla

Idag Slutdagen S0≤K K<S0

Utfärda köpoption c - - (K-S0) Köpa säljoption - p (K-S0) - Köpa underliggande - S0 S0 S0

Låna Ke^-rT - K - K

Totalt c – p - S0 + Ke^-rT 0 0

Nettovärdet av ovanstående optionspositioner blir alltså följande:

Ke rT

S p

c− − ₀ + ⁻ (1)

detta innebär att det finns två positiva termer (köpoptionen och lånet) och två utgiftstermer (säljoptionen och underliggande). Om marknaden är effektiv förekommer det inga arbitrage möjligheter, vilket innebär att summan av ekvation (1) måste vara lika med noll och endast noll.

0 + =0

−

−p S Ke^−rT

c (2)

För att lösa ut värdet på köpoptionen måste vi ställa upp en förstagradsekvation. Detta sker genom att vi ställer upp köpoptionen i vänsterledet som måste vara lika med de övriga parametrar i ekvation (2). Dessa parametrar byter givetvis tecken när priset på köpoptionen kan beräknas.

Ke rT

S p

c= + ₀ − ⁻ (3)

För given lösenpris och löptid samt samma underliggande för både köp- och säljoptionen skall man kunna härleda värdet av en säljoption utifrån en köpoption, därför måste priset på

köpoptionen och nuvärdet av lösenpriset vara lika med priset på säljoptionen och det aktuella priset på underliggande. Detta får vi genom flytta över nuvärdet av lösenpriset till vänsterledet från ekvation (3) och addera det med priset på köpoptionen. När vi genomför detta steg måste därmed priset på säljoptionen flyttas över till högerledet och adderas med priset på den underliggande tillgången.

S0

p Ke

c+ ^−rT = + (4)