Март—апрель, 2013. Том 54, № 2

Март—апрель, 2013. Том 54, № 2

УДК 517.982.22+517.518.36

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ФУНКЦИЙ УОЛША В BM O

С. В. Асташкин,

Л. Малигранда, Р. С. Суханов

Аннотация. Рассматриваются последовательности независимых функций Уолша в пространстве функций ограниченной средней осцилляции. Изучаются геометри- ческие свойства порожденных ими подпространств, в частности, найдены необхо- димые и достаточные условия их дополняемости.

Ключевые слова: функции Радемахера, функции Уолша, пространство функций ограниченной средней осцилляции, дополняемое подпространство.

1. Введение и формулировка результатов

Пространство BM O = BM O[0, 1] состоит из всех функций f ∈ L 1 [0, 1] с ограниченной средней осцилляцией, т. е. таких, что

kf k BM O := sup

I

1

|I|

Z

I

|f (u) − f I | du < ∞,

где супремум берется по всем интервалам I ⊂ [0, 1] и f I := _|I| ¹ R

I

f (u) du. Ес- ли в последнем определении рассматривать только двоичные интервалы I _m ⁱ = ((i − 1)2 ^−m , i2 ^−m ] (m = 0, 1, 2, . . . , i = 1, . . . , 2 ^m ), то получим диадическое про- странство BM O _d . Ясно, что BM O ⊂ BM O _d и kf k _d := kf k _{BM O}

_d

≤ kf k _{BM O} для всех f ∈ BM O. Кроме того, L _∞ [0, 1] ⊂ BM O, и для всех f ∈ L _∞ = L _∞ [0, 1] име- ем kf k _{BM O} ≤ kf k _L

_∞

. В то же время BM O 6= L _∞ и BM O _d 6= BM O. Например, ln |s − 1/2|χ _[0,1] (s) ∈ BM O \ L _∞ и ln |s − 1/2|χ _[1/2,1] (s) ∈ BM O d \ BM O.

Пусть дана последовательность возрастающих натуральных чисел 1 ≤ p 1 <

p 2 < . . . . Рассмотрим последовательность функций Уолша f k = Y

i∈A

k

r i , A k ⊂ {p k + 1, p k + 2, . . . , p k+1 }, (1) где r _i (t) — функции Радемахера, определенные на отрезке [0, 1], т. е.

r _i (t) = sgn[sin(2 ⁱ πt)] (i ∈ N).

Ввиду [1, теорема 1] система {f k } ^∞ _k=1 , определенная соотношением (1), эк- вивалентна в BM O d каноническому базису l 2 , точнее для любой финитной по- следовательности a = (a k ) ^∞ _k=1

√ 1

2 kak 2 ≤

∞

X

k=1

a _k f _{k d}

≤ √

2kak ₂ , (2)

Работа первого автора выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10–01–00077).

c 2013 Асташкин С. В., Малигранда Л., Суханов Р. С.

где kak ₂ :=

 _∞ P

k=1

a ² _k

 1/2

. В этой же работе доказано, что подпространство [f _k ], порожденное последовательностью {f k } ^∞ _k=1 (т. е. замкнутая линейная оболочка множества {f k }), дополняемо в пространстве BM O d . Напомним, что замкну- тое линейное подпространство Y банахова пространства X называется допол- няемым в X, если существует ограниченный линейный проектор P : X → X, образ которого совпадает с Y.

Основная цель данной работы — изучение системы функций {f k } из (1) в

«обычном» пространстве BM O. Важно отметить, что последнее пространство инвариантно относительно сдвига в отличие от его двоичного варианта BM O d

и поэтому играет гораздо более важную роль в анализе. Мы покажем, что в BM O соотношение (2) может не выполняться, а геометрические свойства под- пространства [f _k ] (в частности, его дополняемость), по существу, определяются четностью количества элементов множеств A _k . Полученные здесь результаты являются естественным развитием работы [2], в которой аналогичные вопро- сы рассматривались для системы Радемахера. В частности, это относится к теоремам 1(a) и 3, которые обобщают соответственно теоремы 2 и 4 из [2].

Приведем формулировки основных результатов работы, где выражение ви- да f  g означает, что cf ≤ g ≤ Cf для некоторых c > 0 и C > 0, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов норм (полунорм) f и g. Кроме того, всюду далее предполагается, что множества A k и функции f k

определяются соотношением (1).

Теорема 1. (a) Если все множества A k содержат нечетное число элемен- тов, то с некоторыми универсальными константами для любой последователь- ности a = (a k ) ^∞ _k=1 ∈ l 2 выполнено

∞

X

k=1

a k f k

_{BM O}

 kak 2 + sup

s≥1

    

s

X

k=1

a k

    

. (3)

(b) Если все множества A _k содержат четное число элементов, то с некоторы- ми универсальными константами для любой последовательности a = (a _k ) ^∞ _k=1 ∈ l ₂ выполнено

∞

X

k=1

a _k f _{k BM O}

 kak ₂ . (4)

Теорема 2. Если {k _i } (k ₁ < k ₂ < . . . ) — множество всех k ∈ N, для кото- рых количество элементов множества A _k нечетно, то с некоторыми универсаль- ными константами для любой последовательности a = (a k ) ^∞ _k=1 ∈ l 2 выполнено

∞

X

k=1

a _k f _{k BM O}

 kak ₂ + sup

s≥1

    

s

X

i=1

a _k

_i

    

. (5)

Напомним, что последовательность {x n } ^∞ _n=1 из банахова пространства X называется базисной, если она является базисом в замкнутой линейной обо- лочке [x n ]. Кроме того, говорят, что базисная последовательность {x n } ^∞ _n=1 без- условна, если для любой перестановки π натурального ряда последовательность {x π(k) } ^∞ _k=1 также базисная в X. Как известно (см., например, [3, теорема 1.1]), базисная последовательность {x n } ^∞ _n=1 безусловна в X тогда и только тогда, ко- гда из сходимости ряда

∞

P

n=1

a n x n (a n ∈ R) следует сходимость ряда

∞

P

n=1

θ n a n x n ,

где {θ n } ^∞ _n=1 — произвольная последовательность знаков, т. е. θ n = ±1. Тем самым, применяя теорему 2, получаем

Следствие 1. Следующие условия эквивалентны:

1) {f k } ^∞ _k=1 — безусловная базисная последовательность в BM O;

2) {f _k } ^∞ _k=1 эквивалентна в BM O каноническому базису в l ₂ ;

3) все множества A k , кроме, может быть, конечного числа, содержат четное число элементов.

Последнее утверждение дает необходимые и достаточные условия дополня- емости подпространства [f k ] в BM O.

Теорема 3. Следующие условия эквивалентны:

1) подпространство [f _k ], порожденное последовательностью {f _k } ^∞ _k=1 , допол- няемо в BM O;

2) все множества A _k , кроме, может быть, конечного числа, содержат четное число элементов.

2. Доказательства

Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся два вспомогательных пред- ложения, первое из которых составляет содержание задачи 12(b) из [4, с. 266]

(доказательство с приведенными ниже константами см. в [2, предложение 1]).

Определим функционал A(f ) = sup

I

1

,I

2

|f I

₁

− f I

₂

|, где I 1 , I 2 — смежные двоич- ные интервалы одинаковой длины.

Предложение 1. Для всех функций f ∈ L ₁ [0, 1] справедливо неравенство 1

3 (kf k _d + A(f )) ≤ kf k _{BM O} ≤ 32(kf k _d + A(f )). (6) Предложение 2. Пусть функции f k определены в (1), последователь- ность вещественных чисел a = (a k ) финитна и f := P

k≥1

a k f k .

(i) Если все множества A k содержат нечетное число элементов, то 2

3 max

s≥1

    

s

X

k=1

a k

    

≤ A(f ) ≤ 8 max

s≥1

    

s

X

k=1

a k

    

. (7)

(ii) Если все множества A k содержат четное число элементов, то A(f ) = 2 max

s≥1 |a s |. (8)

Доказательство. Пусть I — произвольный двоичный интервал длины 2 ^−r , т. е. I = I _r ⁱ = (i2 ^−r , (i + 1)2 ^−r ]. Введем обозначения m _k := min A _k , M _k :=

max A _k , s = s(r) = max{k : M _k ≤ r}. Если все M _k > r, то полагаем s = 0. Тогда (f k ) I =  sgn(f k | I ), k ≤ s,

0, k > s.

Действительно, если k ≤ s, то f k постоянна на I. В случае, когда k > s, имеем f k = Q

i∈B

k

∪C

k

r i , причем r i постоянны на I для всех i ∈ B k , в то время как

R

I

Q

i∈C

_k

r i = 0. Отсюда ввиду независимости функций r i , i ∈ C k , относительно отрезка I получаем

(f _k ) _I = 1

|I|

Z

I

f _k (t) dt = c

|I|

Z

I

Y

i∈C

_k

r _i (t) dt = c

|I|

Y

i∈C

_k

Z

I

r _i (t) dt = 0,

где c равно значению функции Q

i∈B

_k

r i на I.

Поэтому если I 1 , I 2 — смежные двоичные интервалы длины 2 ^−r , то f I

₁

−f I

₂

=

s

X

k=1

a k sgn(f k | I

₁

)−

s

X

k=1

a k sgn(f k | I

₂

) =

s

X

k=1

a k [sgn(f k | I

₁

)−sgn(f k | I

₂

)]. (9)

Пусть I — наименьший двоичный интервал, содержащий объединение интерва- лов I ₁ и I ₂ . Предположим, что его длина равна 2 ^−j . Из определения I следует, что объединение I 1 ∪I 2 лежит в середине I (пусть I 1 лежит слева, а I 2 — справа).

Как нетрудно видеть, в зависимости от того, каковы отрезки I 1 и I 2 , индекс j пробегает все целые значения от 0 до r − 1.

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения. Если a, b ∈ N и a ≤ b, то [a, b] := {i ∈ N : a ≤ i ≤ b}. Ввиду определения s имеем

s

S

k=1

A k ⊂ [1, r].

Положим B :=

s

[

l=1

[m k , M k ] и B ⁰ := [1, r] \ B =

s+1

[

l=1

[M l−1 + 1, m l − 1],

где M 0 = 0, а m s+1 = r+1. Кроме того, всюду далее |A| — количество элементов множества A ⊂ N.

Сравним между собой значения функций f k , 1 ≤ k ≤ s, на промежутках I 1

и I 2 . Если m k > j + 1, то все функции r i с индексами из A k меняют знак при переходе от I 1 к I 2 , причем в этом случае r i | I

₁

= −1, а r i | I

₂

= 1. Следовательно, для таких k имеем f _k | I

1

= (−1) ^|A

^k

^| , а f _k | I

2

= 1. Если же M _k ≤ j, то все функции r _i с индексами из A _k постоянны на I, поэтому f _k | _I

₁

= f _k | _I

₂

. В зависимости от того, в какое из множеств B или B ⁰ попадает число j+1, рассмотрим два случая.

(a) j + 1 ∈ B ⁰ . Иначе говоря, M _l−1 + 1 ≤ j + 1 ≤ m _l − 1 при некотором l = 1, 2, . . . , s + 1. Если l = s + 1, то j ≥ M _s , откуда ввиду (9) и ранее сделанных замечаний следует, что f _I

₁

− f _I

₂

= 0. В случае, когда предыдущее неравенство выполнено для l = 1, 2, . . . , s, получаем, что M _l−1 ≤ j < m _l − 2 и, значит, в силу тех же причин

f I

₁

− f I

₂

=

s

X

k=l

a k (f k | I

₁

− f k | I

₂

) =

s

X

k=l

a k ((−1) ^|A

^k

^| − 1). (10)

Так как j принимает все значения от 0 до r − 1, то (10) выполнено для l ∈ F 1 , где множество F 1 состоит из всех таких k, что отрезок [M k−1 + 1, m k − 1] непуст (если 2 ≤ k ≤ s, то это эквивалентно тому, что между множествами A k−1 и A k

имеется «зазор»; 1 ∈ F 1 , если 1 6∈ A 1 ).

(b) j + 1 ∈ B. Тогда m _l ≤ j + 1 ≤ M _l при некотором l = 1, 2, . . . , s. В этом

случае функции r i меняют знак при переходе от I 1 к I 2 , если i ∈ A ^(j) _l := {p ∈

A l : p > j}, и постоянны на I, если i ∈ A l \ A ^(j) _l . Поэтому f l | I

2

= (−1) ^|A

^(j)l

^| f l | I

1

.

Так как в этом случае j + 1 < m l+1 и j ≥ M l−1 , учитывая замечания, сделанные перед п. (a), ввиду (9) получаем

f I

₁

− f I

₂

= a l f l | I

₁

(1 − (−1) ^|A

^(j)l

^| ) +

s

X

k=l+1

a k ((−1) ^|A

^k

^| − 1). (11)

Предположим, что все числа |A k | нечетны. Тогда прежде всего из (10) следует, что

|f I

1

− f I

2

| = 2     

s

X

k=l

a k

    

, l ∈ F 1 . (12)

В том случае, когда существует такое j, что m l ≤ j + 1 ≤ M l и либо f l | I

₁

= −1, либо 

A ^(j) _l 

 четно, опять, но уже из равенства (11) получаем соотношение (12) (но во втором случае с заменой l на l + 1). Обозначим через F множество всех l, для которых выполнено (12). Ясно, что F ⊃ F 1 .

Нетрудно видеть, что для каждого l = 1, 2, . . . , s имеется и иная возмож- ность. Так, если j = m l − 1, то A ^(j) _l = A l . Так как r m

_l

| I

₁

= 1 и r i | I

₁

= −1, если i ∈ A l , i 6= m l , в этом случае f l | I

1

= 1. Поэтому из (11) следует, что

|f I

1

− f I

2

| = 2     

s

X

k=l+1

a k − a l

    

, l = 1, 2, . . . , s. (13)

Заметим, что выражение |f I

₁

− f I

₂

| для любой пары смежных двоичных ин- тервалов I 1 и I 2 определяется одним из равенств (12) или (13). Поэтому из определения функционала A(f ) вытекает, что

A(f ) = 2 max max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l+1

a k − a l

    

, max

1≤l≤s<∞, l∈ F

    

s

X

k=l

a k

    

! .

Кроме того, для произвольной финитной последовательности (a k ) выполнено неравенство

1 3 max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l

a k

    

≤ max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l+1

a k − a l

    

≤ 2 max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l

a k

    

. (14)

Действительно, с одной стороны, для произвольных 1 ≤ l ≤ s 

   

s

X

k=l

a _k     

≤     

s

X

k=l+1

a _k − a _l     

+ 2|a _l | ≤ 3 max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l+1

a _k − a _l      (если s = l, сумма

s

P

k=l+1

a _k полагается равной нулю). Наоборот, для 1 ≤ l ≤ s 

   

s

X

k=l+1

a k − a l

    

≤     

s

X

k=l+1

a k

    

+ |a l | ≤ 2 max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l

a k

     .

Кроме того, max

s≥1

    

s

X

k=1

a k

    

≤ max

1≤l≤s<∞

    

s

X

k=l

a k

    

≤ 2 max

s≥1

    

s

X

k=1

a k

    

. (15)

Левое неравенство в (15) очевидно, а правое вытекает из того, что для произ- вольных 1 ≤ l ≤ s

    

s

X

k=l

a _k     

≤     

s

X

k=1

a _k −

l

X

k=1

a _k     

≤     

s

X

k=1

a _k     

+     

l

X

k=1

a _k     

≤ 2 max

s≥1

    

s

X

k=1

a _k      .

В итоге неравенство слева в соотношении (7) следует из ранее полученного равенства для A(f ) и левого неравенства в (14). Для того чтобы получить неравенство справа в (7), достаточно использовать правые части (14) и (15).

Ситуация, когда каждое из множеств A k содержит четное число элементов, гораздо проще. В этом случае равенства (10) и (11) показывают, что либо f I

₁

− f I

₂

= 0, либо |f I

₁

− f I

₂

| = 2|a l |, l = 1, 2, . . . , s. Тем самым получаем (8).

Доказательство теоремы 1. Достаточно применить предложения 1 и 2, а также соотношение (2).

Доказательство теоремы 2. Пусть f :=

∞

P

k=1

a _k f _k . Из соотношений (10) и (11) точно так же, как при доказательстве предложения 2, следует, что

A(f )  max sup

k=1,2,...

|a k |, sup

s≥1

    

s

X

i=1

a k

_i

    

! ,

где {k i } (k 1 < k 2 < . . . ) — множество всех k ∈ N, для которых число |A ^k | нечетно. Тем самым из предложения 1 и соотношения (2) получаем нужное утверждение.

Для доказательства теоремы 3 нам потребуется еще одно вспомогательное утверждение о блок-базисах последовательности {f k } ^∞ _k=1 в BM O.

Обозначим через U = {u n } ^∞ _n=1 произвольный блок-базис системы {f k } ^∞ _k=1 , т. е.

u _n =

s

_n+1

X

k=s

n

+1

a _k f _k , n = 1, 2, . . . , где 1 ≤ s 1 < s 2 < . . . и a k ∈ R. Кроме того, пусть

γ _n (U ) =

s

_n+1

X

k=s

_n

+1

a _k , n = 1, 2, . . . .

Предложение 3. Если в последовательности {f k } ^∞ _k=1 есть бесконечно много элементов, для которых |A k | нечетно, то замкнутая линейная оболоч- ка [f _k ] ⊂ BM O содержит дополняемое в [f _k ] подпространство E, изоморфное c ₀ .

Доказательство. Пусть E — множество всех k ∈ N, для которых |A k | нечетно. Тогда по условию | E | = ∞. Из предложений 1 и 2, а также соотноше- ния (2) вытекает существование блок-базиса U = {u _n } ^∞ _n=1 , удовлетворяющего условиям:

(a) ku _n k BM O = 1, n = 1, 2, . . . ; (b) ku _n k d ≤ √

2

 s

n+1

P

k=s

_n

+1

a ² _k

 1/2

≤ 2 ⁻ⁿ⁻⁵ , n = 1, 2, . . . ; (c) γ n (U ) = 0, n = 1, 2, . . . ;

(d) {k : a k 6= 0} ⊂ E .

Действительно, предположим, что функции u 1 , . . . , u n−1 уже построены.

Для любого n ∈ N найдутся достаточно большое m n ∈ N и такие числа b k ≥ 0, k = 1, 2, . . . , m _n , что

m

_n

X

k=1

b ² _k

! ^1/2

≤ 2

9 · 2 ⁻ⁿ⁻⁷ и

m

_n

X

k=1

b k = 1. (16)

Положим a ⁰ _k = b k , если k = 1, 2, . . . , m n , и a ⁰ _k = −b k−m

n

, если k = m n + 1, . . . , 2m _n . Выберем s _n+1 > s _n настолько большим, чтобы отрезок натураль- ного ряда {s _n + 1, . . . , s _n+1 } содержал не менее 2m n элементов из множества E , и затем переиндексируем a ⁰ _k числами из пересечения {s _n + 1, . . . , s _n+1 } ∩ E с сохранением порядка. Для остальных значений k из отрезка {s _n + 1, . . . , s _n+1 } положим a ⁰ _k = 0. Тогда если u ⁰ _n :=

s

n+1

P

k=s

n

+1

a ⁰ _k f k , то ввиду (2) и первого соотно- шения в (16)

ku ⁰ _n k d ≤ √ 2 · 2

m

_n

X

k=1

b ² _k

! ^1/2

≤ 2

9 · 2 ⁻ⁿ⁻⁵ .

Кроме того, так как из определения чисел a ⁰ _k и второго равенства в (16) следует max

s

_n

+1≤s≤s

_n+1

    

s

X

k=s

_n

+1

a ⁰ _k     

=

m

n

X

k=1

b _k = 1, из предложений 1 и 2 получаем

2

3 ≤ A(u ⁰ _n ) ≤ 8 и 2

9 ≤ ku ⁰ _n k BM O ≤ 288.

Тем самым, как легко видеть, функция u _n := _ku

0

^u

⁰ⁿ

n

k

BM O

удовлетворяет усло- виям (a), (b) и (d). Условие (c) выполняется ввиду того, что по построению

s

n+1

P

k=s

n

+1

a ⁰ _k = 0.

Докажем, что подпространство E := [u _n ], порожденное функциями этого блок-базиса в пространстве BM O, изоморфно c ₀ .

Пусть f ∈ [u n ]. Если f =

∞

P

n=1

β n u n (β n ∈ R), то

f =

∞

X

n=1 s

n+1

X

k=s

n

+1

β _n a _k f _k

!

=

∞

X

k=1

γ _k f _k ,

где γ k = β n a k , если k = s n + 1, . . . , s n+1 . Предполагая, что p, q ∈ N удовлетворя- ют неравенствам s n−1 ≤ p < s n < s n+l < q ≤ s n+l+1 с некоторыми положитель- ными целыми n и l, оценим сумму

q

P

k=p

γ k . Ввиду свойств (d), (c), (a), а также предложений 1 и 2(i)

    

q

X

k=p

γ _k     

=     

s

n

X

k=p

γ _k +

s

_n+l

X

k=s

n

+1

γ _k +

q

X

k=s

n+l

+1

γ _k     

=     

s

_n

X

k=p

β _n−1 a _k +

n+l−1

X

i=n s

_i+1

X

k=s

_i

+1

β _i a _k +

q

X

k=s

_n+l

+1

β _n+l a _k











≤ |β n−1 |     

s

_n

X

k=p

a k

    

+

n+l−1

X

i=n

|β i |     

s

_i+1

X

k=s

_i

+1

a k

    

+ |β n+l |     

q

X

k=s

_n+l

+1

a k

    

≤ sup

n

|β n | 

   

s

n

X

k=p

a _k     

+     

q

X

k=s

n+l

+1

a _k     

!

≤ sup

n

|β n |  3

2 A(u _n−1 ) + 3

2 A(u _n+l )



≤ 9

2 (ku _n−1 k BM O + ku _n+l k BM O )k{β _n }k c

0

= 9k{β _n }k c

0

. Применяя теорему 1(a), неравенства (2), а также свойства (a), (b), получаем

kf k BM O ≤ C kf k d + sup

q≥1

    

q

X

k=1

γ k

    

!

≤ C

∞

X

n=1

β n u n

_d

+ 9k{β n }k c

₀

!

≤ C

∞

X

n=1

2 ⁻ⁿ + 9

!

k{β n }k c

0

= 10Ck{β _n }k c

0

.

С другой стороны, ввиду предложения 1 и свойств (a), (b) для всех n ∈ N A(u n ) ≥ 1

32 ku n k BM O − ku n k d ≥ 1

32 − 2 ⁻ⁿ⁻⁵ ≥ 1 64 .

Следовательно, в очередной раз применяя предложения 1 и 2 (см. также нера- венства (7) и (15)), получим

kf k BM O ≥ 1

3 A(f ) ≥ 1 9 sup

n∈N

sup

s

_n

+1≤p<q≤s

_n+1

    

q

X

k=p

β _n a _k     

≥ 1

72 A(u n )k{β n }k c

₀

≥ 1

72 · 64 k{β n }k c

₀

. Таким образом, система {u n } эквивалентна в BM O каноническому базису c 0 , и, следовательно, подпространство E изоморфно c 0 . Так как подпростран- ство [f k ] сепарабельно, по теореме Собчика (см., например, [5, следствие 2.5.9]) E дополняемо в [f _k ] ^∞ _k=1 , и предложение доказано.

Доказательство теоремы 3. Пусть сначала все множества A _k , кро- ме, может быть, конечного числа, содержат четное число элементов. Тогда по следствию 1 последовательность {f _k } ^∞ _k=1 эквивалентна в BM O каноническому базису в l ₂ . С другой стороны, одним из следствий классического неравенства Джона — Ниренберга (см., например, [6, замечание 3.19]) является вложение BM O ⊂ L p [0, 1] для каждого 1 ≤ p < ∞. Так как {f k } ^∞ _k=1 — ортонормиро- ванная система в L 2 [0, 1], соответствующий ортогональный проектор P огра- ничен из L 2 [0, 1] на подпространство [f k ], причем последовательность {f k } ^∞ _k=1 в L 2 [0, 1] также эквивалентна каноническому базису l 2 . Следовательно, для каждой функции f ∈ BM O

kP f k BM O  kP f k L

₂

≤ kP kkf k L

₂

≤ CkP kkf k BM O ,

т. е. проектор P ограничен в BM O и его образ совпадает с замкнутой линейной оболочкой [f k ] в этом пространстве. Тем самым подпространство [f k ] дополня- емо в BM O.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что подпространство [f k ]

дополняемо в BMO и одновременно множество E всех k ∈ N, для которых

|A k | нечетно, бесконечно. Пусть P 1 : BM O → [f k ] — ограниченный линейный проектор, образ которого совпадает с [f _k ]. По предложению 3 существует под- пространство E, дополняемое в [f _k ] и изоморфное c ₀ . Пусть P ₂ : [f _k ] → E — ограниченный линейный проектор с образом E. Тогда P := P ₂ ◦ P 1 — линейный проектор, ограниченный в BM O, образ которого совпадает с E. Следователь- но, BM O содержит дополняемое подпространство, изоморфное c ₀ . Так как BM O — сопряженное пространство (точнее, BM O = (Re H 1 ) ^∗ , см., например, [3, теорема 5.5]), это противоречит известному результату Бессаги — Пелчин- ского о том, что сопряженное пространство не может содержать дополняемого подпространства, изоморфного c 0 (см. [7, следствие 4]). Таким образом, если множество E тех k ∈ N, для которых |A k | нечетно, бесконечно, то подпростран- ство [f k ] не дополняемо в BM O, и тем самым теорема доказана. 

ЛИТЕРАТУРА

1. M¨ uller P. F., Schechtman G. On complemented subspaces of H

¹

and BM O // Lect. Notes Math.. 1989. V. 1376. P. 113–125.

2. Astashkin S. V., Leibov M., Maligranda L. Rademacher functions in BM O // Studia Math..

2011. V. 205, N 1. P. 83–100.

3. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ, 1999.

4. Garnett J. B. Bounded analytic functions. New York: Springer-Verl., 2007.

5. Albiac F, Kalton N. J. Topics in Banach space theory. New York: Springer-Verl., 2006. (Grad.

Texts Math.; V. 233).

6. Korenovskii A. Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions. Berlin;

Heidelberg: Springer-Verl., 2007.

7. Bessaga C., Pe ªczy´nski A. Some remarks on conjugate spaces containing subspaces isomorphic to the space c

0

// Bull. Acad. Polon. Sci. S´ er. Sci. Math. Astr. Phys.. 1958. V. 6. P. 249–250.

Статья поступила 19 января 2012 г.

Асташкин Сергей Владимирович, Суханов Роман Сергеевич Самарский гос. университет,

ул. Академика Павлова, 1, Самара 443011

astash@samsu.ru, surose@yandex.ru

Lech Maligranda (Малигранда Лех)

Lule a University of Technology

^◦

SE-971 87 Lule

^◦

a, Sweden

lech.maligranda@ltu.se