TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

(1)

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Liberec 2011

David Botka

(2)

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Studijní program: B2612 – Elektrotechnika a informatika Studijní obor: B2646 – Informační technologie

Konverze monofonních audio signálů na stereofonní pomocí NMF

Mono-to-Stereo Conversion of Audio Signals Using Non-Negative Matrix Factorization

Bakalářská práce

Autor: David Botka

Vedoucí práce: Ing. Zbyněk Koldovský, Ph.D.

Konzultant: Ing. Jiří Málek

V Liberci 14. 5. 2011

(3)

STRANA

S ORIGIN ALN´

IM´

ZADAN´ IM´

(4)

Prohl´ aˇ sen´ı

Byl jsem seznámen s t´ım, ˇze na mou bakaláˇrskou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 o právu autorském, zejména § 60 (ˇskoln´ı d´ılo).

Beru na vˇedom´ı, ˇze TUL má právo na uzavˇren´ı licenˇcn´ı smlouvy o uˇzit´ı mé bakaláˇrské práce a prohlaˇsuji, ˇze s o u h l a s ´ı m s pˇr´ıpadným uˇzit´ım mé bakaláˇrské práce (prodej, zap˚ujˇcen´ı apod.).

Jsem si vˇedom toho, ˇze uˇz´ıt své bakaláˇrské práce ˇci poskytnout licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne poˇzadovat pˇrimˇeˇrený pˇr´ıspˇevek na úhradu náklad˚u, vynaloˇzených univerzitou na vytvoˇren´ı d´ıla (aˇz do jejich skuteˇcné výˇse).

Bakaláˇrskou práci jsem vypracoval samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım bakaláˇrské práce a konzultantem.

Datum: 14. 5. 2011

Podpis

(5)

Podˇ ekov´ an´ı

Chtˇel bych podˇekovat vˇsem, kteˇr´ı mi pomohli s vypracován´ım bakaláˇrské práce.

Dˇekuji pˇredevˇs´ım vedouc´ımu mé práce Ing. Zbyˇnku Koldovskému, Ph.D. za cenné rady, konzultace a pomoc pˇri tvorbˇe této bakaláˇrské práce.

(6)

Abstrakt

Tato práce pojednává o pˇrevodu monofonn´ıch audio signál˚u na stereofonn´ı.

Pro pˇrevod monofonn´ıho audio signálu na stereofonn´ı je tˇreba rozloˇzit monofonn´ı signál do jednotlivých sloˇzek. K tomu vyuˇz´ıváme metodu non-negative matrix factorization (NMF). Popisujeme jej´ı vlastnosti, moˇznosti vyuˇzit´ı a iteraˇcn´ı algoritmy výpoˇctu. K mˇeˇren´ı kvality rozkladu pouˇz´ıváme hodnoty signal to interference ratio (SIR) a signal to distortion ratio (SDR). Rozklady provád´ıme na signálech pomoc´ı NMF se tˇremi r˚uznými objektivn´ımi funkcemi.

Porovnáváme výsledky dosaˇzené s Euklidovskou vzdálenost´ı, Kullback-Leibler (KL) divergenc´ı a Itakura-Saito (IS) divergenc´ı. Dále popisujeme digitáln´ı signál v ˇcasové a frekvenˇcn´ı oblasti a navrhujeme postup pˇrevodu monofonn´ıho signálu na stereofonn´ı.

C´ılem práce bylo navrhnout a popsat postup pro pˇrevod monofonn´ıho audio signálu na stereofonn´ı a pro realizaci implementovat algoritmy v prostˇred´ı MATLAB. Dále pak porovnat výsledky NMF rozkladu s r˚uznými objektivn´ımi funkcemi a z výsledk˚u rozkladu vytvoˇrit stereofonn´ı signál.

Kl´ıˇcov´a slova: non-negative matrix factorization (NMF), pˇrevod monofonn´ıch audio sign´al˚u na stereofonn´ı, signal to interference ratio (SIR), signal to distortion ratio (SDR), spektrogram

(7)

Abstract

This thesis discusses the mono to stereo conversion of audio signals. For mono to stereo conversion is necessary to separate components from mono signal. For separation we a apply method called non-negative matrix factorization (NMF). We describe its characteristics, possibility of using and update rules for computation. To measure the quality of separation we use the signal to interference ratio (SIR) and the signal to distortion ratio (SDR). We perform separations of components from audio signals using NMF with three different cost functions. We compare results reached with Euclidean distance, Kullback-Leibler (KL) divergence and Itakura-Saito (IS) divergence. Next we describe digital signal in time and frequency domain and propose the process for mono to stereo conversion of audio signals.

The aim of the thesis was to propose and describe the process for mono to stereo conversion of audio signals and for realization to implement algorithms in the MATLAB environment. Then to compare results reached with different cost functions and to make stereo signal from results of separation.

Key words: non-negative matrix factorization (NMF), mono to stereo conversion of audio signals, signal to interference ratio (SIR), signal to distortion ratio (SDR), spectrogram

(8)

Obsah

Prohl´aˇsen´ı . . . iii

Podˇekov´an´ı . . . iv

Abstrakt . . . v

Abstract . . . vi

Obsah . . . vii

Seznam obr´azk˚u . . . ix

Seznam tabulek . . . x

Seznam zkratek . . . xi

1 Uvod´ 1 2 Non-negative matrix factorization 3 2.1 Historie . . . 4

2.2 Podobn´e matrix factorization metody . . . 4

2.3 Podm´ınka nez´apornosti . . . 4

2.4 Oblasti pouˇzit´ı . . . 5

2.5 V´ypoˇcet . . . 6

2.6 Objektivn´ı funkce . . . 6

2.7 Multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus . . . 7

2.8 Aditivn´ı iteraˇcn´ı algoritmus . . . 9

3 Popis digit´aln´ıho sign´alu 10 3.1 Casov´ˇ a oblast . . . 10

3.2 Frekvenˇcn´ı oblast . . . 11

3.2.1 Diskr´etn´ı Fourierova transformace . . . 11

3.2.2 Ok´enkovac´ı funkce . . . 12

(9)

3.2.3 Amplitudov´e spektrum . . . 13

3.2.4 Spektrogram . . . 14

4 Pˇrevod monofonn´ıho sign´alu na stereofonn´ı 17 4.1 Vytvoˇren´ı masky . . . 18

4.1.1 Bin´arn´ı maska . . . 18

4.2 Inverzn´ı spektrogram . . . 19

4.3 Vytvoˇren´ı stereo sign´alu . . . 21

5 Mˇeˇren´ı kvality rozkladu − SIR a SDR 22 5.1 Postup v´ypoˇctu . . . 23

6 Praktická aplikace 25 6.1 Rozklad signálu sloˇzeného ze tˇr´ı sloˇzek . . . 26

6.1.1 Zhodnocen´ı v´ysledk˚u . . . 29

6.2 Rozklad zaˇsumˇen´eho sign´alu . . . 31

6.3 Rozklad reálné nahrávky . . . 33

7 Závˇer 36 A Obsah pˇriloˇzeného CD 39 B Manuál k implementaci 40 B.1 NMF . . . 40

B.2 Maska . . . 41

B.3 Inverzn´ı spektrogram . . . 42

B.4 Uloˇzen´ı v´ysledk˚u . . . 43

B.5 Sm´ıchán´ı zvukových signál˚u . . . 44

B.6 V´ypoˇcet SIR . . . 45

B.7 V´ypoˇcet SDR . . . 46

Literatura 47

(10)

Seznam obr´ azk˚ u

3.1 Digitáln´ı signál v základn´ı formˇe a v normalizované formˇe . . . 10

3.2 Ok´enkovac´ı funkce . . . 12

3.3 Aplikace ok´enkovac´ı funkce na sign´al . . . 13

3.4 Dvoustranné a jednostranné amplitudové spektrum . . . 13

3.5 Skuteˇcné a rozmazané amplitudové spektrum . . . 14

3.6 Grafické znázornˇen´ı výpoˇctu spektrogramu . . . 14

3.7 Spektrogram z´aznamu hry na bic´ı . . . 15

3.8 Vliv velikosti bloku na spektrogram . . . 16

3.9 Vliv velikosti pˇrekryt´ı blok˚u na spektrogram . . . 16

4.1 Grafické znázornˇen´ı pˇrevodu monofonn´ıho signálu na stereofonn´ı . . . 17

4.2 Grafické znázornˇen´ı výsledk˚u NMF . . . 18

4.3 Aplikace bin´arn´ı masky na spektrogram . . . 19

4.4 Grafické znázornˇen´ı pˇrevodu spektrogramu do ˇcasové oblasti . . . 19

4.5 Urˇcen´ı pomocn´eho vektoru ok´enkovac´ıch funkc´ı . . . 20

6.1 Sloˇzky sign´alu S₁, S₂, S₃ a souˇcet X v ˇcasov´e oblasti a jejich spektrogramy . . . 26

6.2 P˚uvodn´ı monofonn´ı a výsledný stereofonn´ı signál v ˇcasové oblasti . . 31

(11)

Seznam tabulek

6.1 V´ysledky rozkladu do tˇr´ı sloˇzek . . . 27

6.2 V´ysledky rozkladu do ˇctyˇr sloˇzek . . . 27

6.3 V´ysledky rozkladu do pˇeti sloˇzek . . . 28

6.4 V´ysledky rozkladu do ˇsesti sloˇzek . . . 28

6.5 Hodnoty SIR a SDR rozkladu sign´alu sloˇzen´eho ze tˇr´ı sloˇzek . . . 30

6.6 Casy v´ˇ ypoˇct˚u rozkladu sign´alu sloˇzen´eho ze tˇr´ı sloˇzek . . . 30

6.7 Hodnoty SIR a SDR rozkladu zaˇsumˇeného signálu . . . 32 6.8 Casy v´ˇ ypoˇct˚u rozkladu ˇcásti p´ısnˇe Hledaný muˇz od kapely Taxmeni . 34

(12)

Seznam zkratek

ADC Analogovˇe-digitáln´ı pˇrevodn´ık DFT Diskrétn´ı Fourierova transformace EUC Euklidovská vzdálenost

FFT Fast Fourier transform f_s vzorkovac´ı frekvence

ICA Independent component analysis

IDFT Inverzn´ı diskr´etn´ı Fourierova transformace

IS Itakura-Saito

KL Kullback-Leibler

LDA Linear discriminant analysis NBITS poˇcet bit˚u kvantizaˇcn´ıch ´urovn´ı NMF Non-negative matrix factorization PMF Positive matrix factorization SCA Sparse component analysis SDR Signal to distortion ratio SIR Signal to interference ratio

STFT Short-time Fourierova transformace PCA Principal component analysis

(13)

Kapitola 1 Uvod ´

Audio signály byly dˇr´ıve zaznamenávány a tud´ıˇz i reprodukovány pouze jako monofonn´ı. S rozvojem technologie se zaˇcaly pouˇz´ıvat signály stereofonn´ı, které maj´ı oproti monofonn´ım signál˚um urˇcité výhody. Pˇri pˇrehráván´ı monofonn´ıho audio signálu na soustavˇe s v´ıce reproduktory p˚ujde ze vˇsech reproduktor˚u stejný zvuk.

V pˇr´ıpadˇe stereofonn´ıho audio signálu m˚uˇze kaˇzdý reproduktor pˇrehrávat jiný kanál.

Pokud budou reproduktory správnˇe rozm´ıstˇeny, vznikne prostorový efekt, který obvykle vyvolává v posluchaˇc´ıch výraznˇe lepˇs´ı dojem neˇz pˇri poslechu monofonn´ıho audio signálu.

Nˇekteré zvukové signály jsou poˇr´ızeny nebo uloˇzeny jen jako monofonn´ı. Exis- tuje ale zp˚usob, kterým se m˚uˇze povést tyto monofonn´ı audio signály pˇrevést na stereofonn´ı. Audio signál pˇredstavuj´ıc´ı hudbu bývá sloˇzen z v´ıce sloˇzek, kde jednu sloˇzku m˚uˇze pˇredstavovat hudebn´ı nástroj, n´ızké frekvence, vysoké frekvence, zpˇev atd. Smysl stereofonn´ıch signál˚u spoˇc´ıvá v tom, ˇze ve vˇsech kanálech nen´ı stejný signál. Kaˇzdý kanál stereofonn´ıho signálu m˚uˇze obsahovat r˚uzné sloˇzky, zat´ımco monofonn´ı signál má vˇzdy vˇse sm´ıchané v jenom kanálu a jednotlivé sloˇzky nejsou obvykle k dispozici zvláˇst’.

Pro pˇrevod monofonn´ıho audio signálu na stereofonn´ı je hlavn´ım a nejobt´ıˇznˇejˇs´ım krokem oddˇelen´ı jednotlivých sloˇzek ze zpracovávaného signálu. K tomu lze vyuˇz´ıt metodu nazývanou non-negative matrix factorization (NMF), kterou pˇredstavili Lee a Seung [1] v roce 1999.

(14)

Metoda non-negative matrix factorization (NMF) pˇredpokládá, ˇze celek se skládá z jednotlivých sloˇzek. C´ılem je tyto sloˇzky detekovat − naj´ıt, co patˇr´ı k sobˇe.

Pokud tento proces dopadne úspˇeˇsnˇe, je pak moˇzné jednotlivé sloˇzky od sebe oddˇelit a z nich vytvoˇrit stereofonn´ı signál. Oddˇelené samostatné sloˇzky pak uˇz staˇc´ı rozm´ıstit do r˚uzných kanál˚u. Pˇri rozkladu hudby lze pˇredpokládat, ˇze výsledné sloˇzky budou pˇredstavovat jednotlivé hudebn´ı nástoje. Kvalita výsledného stereofonn´ıho signálu závis´ı pˇredevˇs´ım na kvalitˇe rozkladu do jednotlivých sloˇzek. Pokud se ˇzádná sloˇzka nepodaˇr´ı ani ˇcásteˇcnˇe oddˇelit, výsledný stereofonn´ı signál nemus´ı zn´ıt pˇriliˇs dobˇre. Rozm´ıstit vyseparované sloˇzky do kanál˚u lze pak napˇr´ıklad podle hlasitosti, obsaˇzených frekvenc´ı nebo i podle hudebn´ıch nástroj˚u.

Pro NMF bylo nalezeno uplatnˇen´ı pˇri ˇreˇsen´ı r˚uzn´ych probl´em˚u v mnoha oborech.

Jedná se napˇr´ıklad o analyzován´ı, klastrován´ı i rozpoznáván´ı. Pomoc´ı NMF lze zpracovávat r˚uzné typy dat, napˇr´ıklad obrázky, texty i zvuky.

(15)

Kapitola 2

Non-negative matrix factorization

Non-negative matrix factorization je v souˇcasnosti populárn´ı metoda s ˇsirokým vyuˇzit´ım. Pro vstupn´ı matici V s rozmˇery n × m obsahuj´ıc´ı pouze nezáporná data je c´ılem naj´ıt rozklad

V ≈ WH (2.1)

s podm´ınkou, ˇze matice W i H mus´ı být také nezáporné. Matice W má rozmˇery n × r a matice H má rozmˇery r × m, kde r je redukovaná dimenze matic. Reduko- vaná dimenze matic r je volitelný parametr a udává, do kolika sloˇzek se provede rozklad. Obecnˇe se vol´ı tak, aby byla splnˇena nerovnost (2.2).

r < n · m

n + m (2.2)

Pˇri splnˇen´ı nerovnosti (2.2) docház´ı k redukci dat a výsledek souˇcinu matic W a H m˚uˇze být chápán jako komprimovaná forma matice V (Lee a Seung [1]). Jak vyjadˇruje vztah (2.1), souˇcin matic W a H obecnˇe pˇredstavuje jen aproximaci matice V, proto se NMF nˇekdy oznaˇcuje jako approximate non-negative matrix factorization nebo non-negative matrix approximation (Févotte a kol. [2]).

Rozklad pomoc´ı NMF by mˇel být jednoznaˇcný, ale poˇrad´ı výsledných sloˇzek se pˇredem pokládá za nejednoznaˇcné. Kv˚uli této vlastnosti m˚uˇze být NMF pro nˇekteré praktické aplikace nepouˇzitelná.

(16)

2.1 Historie

Paatero a Tapper [3] p˚uvodnˇe navrhli metodu s názvem positive matrix factorization (PMF). Pozdˇeji Lee a Seung [4] ve svém prvn´ım ˇclánku s touto problematikou nazývali tuto metodu conic coding. V jejich dalˇs´ıch prac´ıch se jiˇz objevuje název non-negative matrix factorization. Následnˇe v ˇclánku [5] pˇredstavili jednoduchý multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus pro výpoˇcet NMF. Od té doby vzniklo mnoho modi- fikac´ı, rozˇs´ıˇren´ı a zobecnˇen´ı a NMF se tak dá vyuˇz´ıt pro r˚uzné úˇcely (Schmidt [6]).

2.2 Podobn´ e matrix factorization metody

Vedle NMF existuj´ı i dalˇs´ı metody ˇreˇs´ıc´ı podobnou problematiku. Mezi nˇe patˇr´ı napˇr´ıklad principal component analysis (PCA), independent component analysis (ICA), sparse component analysis (SCA) a linear discriminant analysis (LDA).

Vˇsechny tyto metody se vzájemnˇe liˇs´ı, a proto i pro stejná vstupn´ı data poskytuj´ı r˚uzné výsledky. Nelze ale samozˇrejmˇe nˇekterou metodu oznaˇcit za nejlepˇs´ı, protoˇze pro ˇreˇsen´ı r˚uzných problém˚u m˚uˇze být vhodnˇejˇs´ı vyuˇz´ıt metodu jinou.

2.3 Podm´ınka nez´ apornosti

Mnohá data popisuj´ıc´ı urˇcitý celek jsou v principu nezáporná. Napˇr´ıklad amplitu- dové spektrum, poˇcet výskyt˚u i obrazová data, kde barvy jednotlivých pixel˚u mohou být ˇc´ıselnˇe vyjádˇreny pomoc´ı zastoupen´ı jednotlivých barevných sloˇzek.

Skládán´ı celku z jednotlivých nezáporných ˇcást´ı nav´ıc umoˇzˇnuje pouze aditivn´ı kombinace, ˇzádné vzájemné vyruˇsen´ı nem˚uˇze nastat. Tato vlastnost se i shoduje s intuitivn´ım pˇr´ıstupem, ˇze celek je souˇctem svých ˇcást´ı. Nezápornost vˇsech matic je tedy u NMF d˚uvodná podm´ınka (Schmidt [6]).

(17)

2.4 Oblasti pouˇ zit´ı

Moˇznosti vyuˇzit´ı NMF, jej´ıho zobecnˇen´ı a rozˇs´ıˇren´ı jsou velmi ˇsiroké. Jedná se napˇr´ıklad o redukci dimenze, hledán´ı pˇr´ıznak˚u, klastrován´ı, oddˇelen´ı sloˇzek z mixu a i rozpoznáván´ı. Moˇzné oblasti pouˇzit´ı popsal Schmidt [6]:

• Zpracov´an´ı obrazu

– hledán´ı ˇcást´ı obliˇceje v obrázku – rozpoznáván´ı obliˇceje

– kódován´ı ˇr´ıdkého obrazu

– hledán´ı krátkých video sekvenc´ı, které reprezentuj´ı celý video záznam

• Zpracov´an´ı textu

– hledán´ı sémanticky podobných slov – rozpoznáván´ı jazyka

• Bioinformatika

– analýza dat popisuj´ıc´ı geny za úˇcelem rozliˇsen´ı r˚uzných druh˚u rakoviny – klasifikace EEG signálu

– analýza chemických zmˇen v lidském mozku

– zpracov´an´ı dat z pozitronov´e emisn´ı tomografie vyjadˇruj´ıc´ı srdeˇcn´ı ˇ

cinnost

• Zpracov´an´ı zvuku

– pˇrepis polyfonn´ı hudby

– hledán´ı spektráln´ıch vlastnost´ı pro klasifikaci zvukových signál˚u – oddˇelen´ı zdroj˚u zvuku z mixu

• Ostatn´ı

– analýza astronomických dat – analýza barevného spektra

(18)

2.5 V´ ypoˇ cet

Rozklad matic (2.1) je obvykle hled´an jako ´uloha minimalizace

W,H≥0min D(V|WH), (2.3)

kde D (V|WH) je objektivn´ı funkce, která urˇcuje kvalitu aproximace. Taková objektivn´ı funkce m˚uˇze být vytvoˇrena jako mˇeˇren´ı rozd´ılnosti dvou matic. C´ılem je tedy naj´ıt takové matice W a H, aby rozd´ılnost vstupn´ı matice V a aproximace WH byla co nejmenˇs´ı (Lee a Seung [5]).

2.6 Objektivn´ı funkce

Objektivn´ı funkce je definovan´a jako

D(V|WH) =

n

X

i=1 m

X

j=1

d([V]_i,j | [WH]_i,j), (2.4)

kde d(x|y) je skalárn´ı objektivn´ı funkce. Zp˚usob˚u, jak poˇc´ıtat hodnotu skalárn´ı objektivn´ı funkce, je v´ıce. ˇCasto se pouˇz´ıvá Euklidovská vzdálenost definovaná vztahem (2.5)

d_{EU C}(x | y) = 1

2(x − y)² (2.5)

a zobecnˇená Kullback-Leibler (KL) divergence¹, nˇekdy oznaˇcovaná jako I-divergence definovaná vztahem (2.6)

dKL(x | y) = x · logx

y − x + y. (2.6)

1Euklidovská vzdálenost (2.5) je symetrická, tzn. d(x|y) = d(y|x). V pˇr´ıpadˇe KL (2.6) se ale obecnˇe d(x|y) 6= d(y|x), z toho d˚uvodu to nelze nazývat vzdálenost´ı. Pouˇz´ıvá se proto pojem divergence.

(19)

Dalˇs´ı moˇznou divergenc´ı je Itakura-Saito (IS) divergence definovan´a vztahem (2.7).

d_IS(x | y) = x

y − logx

y − 1 (2.7)

β-divergence je definovan´a vztahem (2.8).

d_β(x | y) =











1

β(β−1)(x^β + (β − 1)y^β − βxy^β−1) β ∈ R \ {0, 1}

x(log(x) − log(y)) + (y − x) β = 1

x

y − log^x_y − 1 β = 0

(2.8)

IS divergence je limitn´ı pˇr´ıpad β-divergence pro β = 0. Podobnˇe i KL divergence pro β = 1 a Euklidovsk´a vzd´alenost pro β = 2.

Existuje i ˇrada dalˇs´ıch divergenc´ı pouˇzitelných pro vytvoˇren´ı objektivn´ı funkce, napˇr´ıklad Cichocki a kol. [7] navrhli algoritmy s vyuˇzit´ım Csiszár divergenc´ı a Amariho α-divergence. Dhillon a Sra [8] popsali algoritmy pro ˇsirokou rodinu Bregmanových divergenc´ı.

NMF s r˚uznými objektivn´ımi funkcemi poskytuje r˚uzné výsledky a výbˇer objektivn´ı funkce by mˇel být proveden na základˇe typu analyzovaných dat.

2.7 Multiplikativn´ı iteraˇ cn´ı algoritmus

Vyuˇzit´ı Euklidovské vzdálenosti (2.5) a Kullback-Leibler (KL) divergence (2.6) pro výpoˇcet NMF p˚uvodnˇe navrhli Lee a Seung [5]. Jejich odvozen´ı iteraˇcn´ıho algoritmu je zaloˇzeno na minimalizaci (2.3) pomoc´ı metody gradient descent.

Multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus s Euklidovskou vzd´alenost´ı je pops´an vztahy (2.9) a (2.10).

H_aµ ← H_aµ (W^TV)_aµ

(W^TWH)_aµ (2.9)

W_ia ← W_ia (WH^T)_ia

(WHH^T)_ia (2.10)

(20)

Multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus s KL divergenc´ı je pops´an vztahy (2.11) a (2.12).

H_aµ ← H_aµ P

iW_iaV_iµ/(WH)_iµ P

kW_ka (2.11)

W_ia← W_ia P

µH_aµV_iµ/(WH)_iµ P

vH_av (2.12)

Lee a Seung [5] dále dokázali, ˇze objektivn´ı funkce D (V|WH) je se zm´ınˇenými iteraˇcn´ımi algoritmy nerostouc´ı. To znamená, ˇze neˇz D (V|WH) zkonverguje k mi- nimu, s kaˇzdým krokem se výsledek o nˇeco zlepˇs´ı. Iteraˇcn´ı algortimy ale nezaruˇcuj´ı konvergenci do globáln´ıho minima, pouze do lokáln´ıho.

IS a β-divergenci popsali F´evotte a kol. [2]. Multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus pro NMF s IS divergenc´ı vyjadˇruj´ı vztahy (2.13) a (2.14).

H_aµ ← H_aµ(W^T((WH)^[−2]· V))aµ

(W^T(WH)^[−1])aµ

(2.13)

W_ia← W_ia(((WH)^[−2]· V)H^T)_ia ((WH)^[−1]H^T)ia

(2.14)

Multiplikativn´ı iteraˇcn´ı algoritmus pro β-divergenci je pops´an vztahy (2.15) a (2.16).

Haµ ← Haµ

(W^T((WH)^[β−2]· V))_aµ

(W^T(WH)^[β−1])_aµ (2.15)

W_ia← W_ia(((WH)^[β−2]· V)H^T)_ia

((WH)^[β−1]H^T)_ia (2.16)

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, pro β = 2 (Euklidovská vzdálenost) a pro β = 1 (KL divergence) je dokázáno, ˇze objektivn´ı funkce D (V|WH) je nerostouc´ı (Lee a Seung [5]). Kompass [9] tento d˚ukaz zobecnil a ukázal, ˇze D (V|WH) je nerostouc´ı pro 1 ≤ β ≤ 2. V praxi se ukazuje, ˇze D (V|WH) je nerostouc´ı i pro β < 1 a pro β > 2, tud´ıˇz i pro β = 0 (IS divergence), d˚ukaz ale nebyl zat´ım nalezen (Févotte a kol. [2]).

(21)

2.8 Aditivn´ı iteraˇ cn´ı algoritmus

Vedle multiplikativn´ıch iteraˇcn´ıch algoritm˚u pro výpoˇcet NMF existuj´ı i aditivn´ı iteraˇcn´ı algoritmy. Lee a Seung [5] navrhli také aditivn´ı iteraˇcn´ı algoritmus s Eukli- dovskou vzdálenost´ı (2.5) a KL divergenc´ı (2.6).

Aditivn´ı iteraˇcn´ı algoritmus s Euklidovskou vzd´alenost´ı popisuje vztah (2.17).

H_aµ ← H_aµ+ η_aµ(W^TV)_aµ− (W^TWH)_aµ

(2.17)

Aditivn´ı iteraˇcn´ı algoritmus s KL divergenc´ı popisuje vztah (2.18).

Haµ ← H_aµ+ ηaµ

"

X

i

Wia

V_iµ

(WH)_iµ −X

i

Wia

#

(2.18)

Pokud je v pˇr´ıpadˇe Euklidovsk´e vzd´alenosti η_aµ nastaveno na

η_aµ = H_aµ

(W^TWH)_aµ (2.19)

dostaneme stejný algoritmus, jaký udává vztah (2.9). Podobnˇe i pro KL divergenci, pokud je η_aµ nastaveno na

η_aµ = H_aµ P

iW_ia (2.20)

dostaneme stejn´y algoritmus jako ve vztahu (2.11).

(22)

Kapitola 3

Popis digit´ aln´ıho sign´ alu

3.1 Casov´ ˇ a oblast

Digitáln´ı signál je v ˇcasové oblasti ˇrada ˇc´ısel, která m˚uˇze vzniknout z namˇeˇrených nebo vypoˇctených hodnot, vygenerován´ım s urˇcitými parametry nebo i pˇrevodem analogového signálu na digitáln´ı pomoc´ı analogovˇe-digitáln´ıho pˇrevodn´ıku (ADC).

Pˇri analogovˇe-digitáln´ım pˇrevodu docház´ı ke vzorkován´ı (sn´ımán´ı hodnot analogového signálu) a kvantován´ı (pˇriˇrazen´ı úrovnˇe). Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ım parametrem vzorkován´ı je vzorkovac´ı frekvence f_s a pro kvantován´ı poˇcet moˇzných úrovn´ı 2^{N BIT S}. S digitáln´ım signálem se ˇcasto pracuje v normalizované formˇe. Pak je rozsah

´

urovn´ı v intervalu h-1;1i. Zobrazen´ı digitáln´ıho signálu v základn´ı a normalizované formˇe je na obrázku (3.1).

Obrázek 3.1: Digitáln´ı signál v základn´ı formˇe a v normalizované formˇe

(23)

3.2 Frekvenˇ cn´ı oblast

Digitáln´ı signál lze popsat i ve frekvenˇcn´ı oblasti. ˇCasto se pouˇz´ıvá amplitudové spektrum spolu s fázovým spektrem a spektrogram. Amplitudové a fázové spektrum vyjadˇruje závislosti amplitud a fáz´ı na frekvenci a spektrogram znázorˇnuje zastoupen´ı jednotlivých frekvenc´ı v závislosti na ˇcase.

K výpoˇctu spektra digitáln´ıch signál˚u se vyuˇz´ıvá diskrétn´ı Fourierova transformace (DFT).

3.2.1 Diskr´ etn´ı Fourierova transformace

Fourierova transformace umoˇzˇnuje rozklad periodického signálu na jednotlivé har- monické sloˇzky. Pˇri práci se vzorkovaným signálem se pouˇz´ıvá diskrétn´ı Fourierova transformace (DFT) popsaná vztahem (3.1).

X[k] = 1 N

N −1

X

n=0

x[n] · e^−j2πnk/N (3.1)

N . . . poˇcet vybran´ych vzork˚u (pˇredpoklad - jde o jednu periodu) X[k] . . . k -t´y koeficient z N vzork˚u

x[n] . . . n-t´y vzorek sign´alu

Výstupem je N komplexn´ıch koeficient˚u diskrétn´ıho spektra s hodnotami na frekvenc´ıch k ·f_s/N. Pro reálné signály staˇc´ı ale vypoˇc´ıtat jen N /2 hodnot, protoˇze ostatn´ı hodnoty jsou k nim komplexnˇe sdruˇzené. Výsledky pro k > N jsou stejné jako pro základn´ı interval -N /2 < k < N /2, protoˇze spektrum je periodické. Pokud vybraných N vzork˚u nepˇredstavuje jednu periodu, výsledné spektrum je zat´ıˇzené r˚uznými chybami a jedná se pouze o aproximaci spektra. M˚uˇze doj´ıt napˇr´ıklad k roz- mazán´ı spektra (objev´ı se neexistuj´ıc´ı sloˇzky).

V praxi se obvykle pouˇz´ıvá optimalizovaný výpoˇcet DFT nazývaný FFT (Fast Fourier Transform), který poskytuje stejné výsledky s výraznˇe niˇzˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost´ı.

(24)

K diskrétn´ı Fourierovˇe transformaci existuje také inverzn´ı operace. Inverzn´ı diskrétn´ı Fourierova transformace (IDFT) je popsaná vztahem (3.2).

x[n] = 1 N

N −1

X

n=0

X[k] · e^j2πnk/N (3.2)

Rozd´ıl mezi vztahem pro DFT a IDFT je jen ve znam´enku v exponenci´aln´ı funkci.

Vstupem IDFT mus´ı být vˇzdy N komplexn´ıch koeficient˚u dvoustranného spektra, nestaˇc´ı jen N /2 hodnot jednostranného spektra. U reálných signál˚u se ˇcastˇeji pracuje s jednostranným spektrem. Pro aplikaci IDFT je tˇreba z jednostranného spektra nejprve urˇcit spektrum dvoustranné (Nouza [10]).

3.2.2 Ok´ enkovac´ı funkce

Zpracovávané signály nemus´ı být periodické nebo jejich perioda nen´ı známa, a proto docház´ı k rozmazán´ı spektra témˇeˇr vˇzdy. Vynásoben´ım výˇrezu signálu okénkovac´ı funkc´ı lze alespoˇn ˇcásteˇcnˇe zamezit rozmazán´ı spektra. Nˇekteré okénkovac´ı funkce jsou na obrázku (3.2).

Obr´azek 3.2: Ok´enkovac´ı funkce

(25)

Signál vynásobený Hammingovou okénkovac´ı funkc´ı zobrazuje obrázek (3.3).

Obrázek 3.3: Aplikace okénkovac´ı funkce na signál

3.2.3 Amplitudov´ e spektrum

Amplitudové spektrum zobrazuje v signálu obsaˇzené frekvence a jejich amplitudy.

M˚uˇze být jednostranné nebo dvoustranné. Výsledkem vˇetˇsiny výpoˇcetn´ıch postup˚u je dvoustranné spektrum, ale v praxi se u reálných signál˚u ˇcastˇeji pouˇz´ıvá jedno- stranné. Pro urˇcen´ı jednostranného spektra z dvoustranného se vezme jeho polovina a amplitudy se vynásob´ı dvˇema. Obrázek (3.4) zobrazuje dvoustranné a jednostranné amplitudové spektrum signálu, který je sloˇzen z dvou kos´ınusových pr˚ubˇeh˚u. Prvn´ı má frekvenci 2 Hz s amplitudou 1 a druhý frekvenci 3 Hz s amplitudou 0.5.

Obrázek 3.4: Dvoustranné a jednostranné amplitudové spektrum

Pˇri výpoˇctu amplitudového spektra m˚uˇze doj´ıt v d˚usledku r˚uzných chyb k jeho rozmazán´ı, tzn. objev´ı se v nˇem neexistuj´ıc´ı sloˇzky. Jedná se pak pouze o aproximaci spektra. Obrázek (3.5) porovnává skuteˇcné a rozmazané spektrum (Nouza [10]).

(26)

Obrázek 3.5: Skuteˇcné a rozmazané amplitudové spektrum

3.2.4 Spektrogram

Spektrogram digitáln´ıho signálu vyjadˇruje zastoupen´ı jednotlivých frekvenc´ı v závislosti na ˇcase. Nejˇcastˇeji se zobrazuje jako barevný obrázek, kde na svislé ose je frekvence a na vodorovné ose ˇcas. ˇC´ım sytˇejˇs´ı barva, t´ım je odpov´ıdaj´ıc´ı frekvence v daný ˇcas v´ıce zastoupená.

K v´ypoˇctu spektrogramu se vyuˇz´ıv´a short-time Fourierovy transformace (STFT).

Tento proces je zn´azornˇen na obr´azku (3.6).

Obrázek 3.6: Grafické znázornˇen´ı výpoˇctu spektrogramu

(27)

Bˇehem výpoˇctu spektrogramu je signál nejprve rozdˇelen do stejnˇe dlouhých blok˚u, pˇriˇcemˇz tyto bloky se mohou pˇrekrývat. Kaˇzdý blok se vynásob´ı okénkovac´ı funkc´ı (obrázek 3.3) a potom se zvláˇst’ na kaˇzdý blok aplikuje DFT. Výsledky DFT vˇsech blok˚u jsou pak poskládány vedle sebe. U reálných signál˚u se pracuje jen s polovinou výsledk˚u DFT, protoˇze druhá polovina je k prvn´ı komplexnˇe sdruˇzená a pro spektrogram tak nenese ˇzádnou d˚uleˇzitou informaci. Spektrogram se zobrazuje jako desetinásobek logaritmu absolutn´ıch hodnot. Spektrogram záznamu hry na bic´ı je na obrázku (3.7).

Obr´azek 3.7: Spektrogram z´aznamu hry na bic´ı

V´ıce spektrogram˚u pro jeden signál se m˚uˇze od sebe liˇsit. Záleˇz´ı na zvolené délce blok˚u, na okénkovac´ı funkci i na velikosti pˇrekrýván´ı blok˚u. R˚uzné nastaven´ı tˇechto parametr˚u pˇrináˇs´ı urˇcité výhody i nevýhody.

Délka blok˚u ovlivn´ı pˇresnost rozliˇsen´ı v ˇcase a ve frekvenci. S delˇs´ım blokem bude lepˇs´ı rozliˇsen´ı ve frekvenci, ale horˇs´ı v ˇcase. S kratˇs´ım blokem naopak − lepˇs´ı rozliˇsen´ı v ˇcase, ale horˇs´ı ve frekvenci. Vˇetˇs´ı délka blok˚u také sn´ıˇz´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost. Dále záleˇz´ı na velikosti pˇrekrýván´ı blok˚u. S vˇetˇs´ım pˇrekrýván´ım blok˚u se dosáhne lepˇs´ıho popisu signálu, ale výpoˇcetn´ı nároˇcnost se výraznˇe zvýˇs´ı. Pˇri výpoˇctu spektrogramu se kv˚uli vyhlazen´ı pouˇz´ıvaj´ı okénkovac´ı funkce, tud´ıˇz je výsledek ovlivnˇen i t´ım.

R˚uzn´ymi ok´enkovac´ımi funkcemi se provede vyhlazen´ı jinak [11].

(28)

Obrázek (3.8) znázorˇnuje odliˇsné výsledky v závislosti na délce blok˚u. Velikost pˇrekryt´ı blok˚u je 128 vzork˚u a pouˇzita byla Hammingova okénkovac´ı funkce.

Obr´azek 3.8: Vliv velikosti bloku na spektrogram

Obrázek (3.9) porovnává výsledky v závislosti na velikosti pˇrekrýván´ı blok˚u.

D´elka blok˚u je 1024 vzork˚u a pouˇzita byla opˇet Hammingova ok´enkovac´ı funkce.

Obr´azek 3.9: Vliv velikosti pˇrekryt´ı blok˚u na spektrogram

(29)

Kapitola 4

Pˇ revod monofonn´ıho sign´ alu na stereofonn´ı

Pˇrevod monofonn´ıho signálu na stereofonn´ı navrhujeme z nˇekolika ˇcást´ı. Nejprve vypoˇc´ıtáme amplitudový spektrogram zpracovávaného signálu a na nˇej pak aplikujeme NMF. Výsledky NMF pouˇzijeme k vytvoˇren´ı masek, kterými pak provedeme samotnou separaci jednotlivých sloˇzek. Maska je matice se stejnými rozmˇery jako spektrogram zpracovávaného signálu a separace sloˇzky probˇehne vynásoben´ım prvek po prvku spektrogramu s maskou. Kaˇzdá hodnota masky urˇcuje, zda daná frekvence bude v daný ˇcas souˇcást´ı sloˇzky.

Pokud se podaˇr´ı nˇekteré sloˇzky odseparovat, staˇc´ı je pak uˇz jen rozdˇelit do r˚uzných kanál˚u. Grafické znázornˇen´ı postupu pˇrevodu monofonn´ıho signálu na stereofonn´ı je na obrázku (4.1).

Obrázek 4.1: Grafické znázornˇen´ı pˇrevodu monofonn´ıho signálu na stereofonn´ı

(30)

4.1 Vytvoˇ ren´ı masky

Správné vytvoˇren´ı masky je velmi d˚uleˇzité pro celý proces separace jednotlivých sloˇzek. K vytvoˇren´ı masky pouˇzijeme výsledky NMF, které znázorˇnuje obrázek (4.2).

Obrázek 4.2: Grafické znázornˇen´ı výsledk˚u NMF

Aproximace WH lze rozepsat na souˇcet maticových násoben´ı sloupc˚u matice W a pˇr´ısluˇsných ˇrádk˚u H, kde i-tý sloupec matice W znaˇc´ıme w_i a i-tý ˇrádek matice H znaˇc´ıme h_i. Masku pro i-tou sloˇzku znaˇc´ıme M_i.

WH = w₁· h₁

| {z } M₁

+ w₂· h₂

| {z } M₂

+ . . . + w_r· h_r

| {z } M_r

Maska nemus´ı být jen pro jednu sloˇzku. Lze vytvoˇrit v´ıce masek pro jednotlivé sloˇzky a ty pak seˇc´ıst. Pˇred samotnou aplikac´ı masky na spektrogram ji lze jeˇstˇe r˚uznými zp˚usoby transformovat. Jedn´ım z nich je pˇrevod na binárn´ı masku.

4.1.1 Bin´ arn´ı maska

Binárn´ı maska obsahuje pouze hodnoty 0 nebo 1. Pro transformaci masky M na binárn´ı masku M_BIN stanov´ıme urˇcitou mezn´ı hodnotu lim. Pak binárn´ı maska

M_BIN =







0 pro M ≤ lim 1 pro M > lim

(4.1)

Aplikován´ım binárn´ı masky na spektrogram se pak zachovaj´ı ty hodnoty spektrogramu, které jsou na stejných pozic´ıch jako jedniˇcky v binárn´ı masce. Ostatn´ı hodnoty se vynuluj´ı. Úpravy spektrogramu provedené binárn´ı maskou ukazuje

(31)

Obr´azek 4.3: Aplikace bin´arn´ı masky na spektrogram

4.2 Inverzn´ı spektrogram

Separaci jednotlivých sloˇzek provedeme aplikac´ı masek na spektrogram zpra- covávaného signálu. Samotnou separaci tedy provád´ıme ve frekvenˇcn´ı oblasti. Spek- trogram upravený maskou, který pˇredstavuje jednu nebo v´ıce sloˇzek signálu, je pak tˇreba pˇrevést zpˇet do ˇcasové oblasti.

K pˇrevodu spektrogramu do ˇcasové oblasti je nutné znát parametry, jak byl spektrogram vypoˇc´ıtán. Pˇrevod spektrogramu do ˇcasové oblasti graficky znázorˇnuje obrázek (4.4).

Obrázek 4.4: Grafické znázornˇen´ı pˇrevodu spektrogramu do ˇcasové oblasti

(32)

Hodnoty spektrogramu jsou polovina výsledk˚u DFT (kapitola 3.2.4). Nejprve je tedy nutné kaˇzdý blok spektrogramu zdvojit tak, aby mˇel strukturu jako p˚uvodn´ı výsledek DFT. Na takto upravené bloky je následnˇe aplikována IDFT. Výsledky IDFT jsou pak poskládány za sebe, pˇriˇcemˇz ˇcásti blok˚u, které se pˇrekrývaj´ı, se seˇctou. Velikost pˇrekrýván´ı je stejná jako pˇri výpoˇctu spektrogramu. Na konci se výsledný signál jeˇstˇe vydˇel´ı pomocným vektorem, který je sloˇzen z okénkovac´ıch funkc´ı. Tento pomocný vektor se z´ıská podobnˇe jako signál, ale jednotlivé bloky zde pˇredstavuj´ı okénkovac´ı funkci. Obrázek (4.5) znázorˇnuje urˇcen´ı pomocného vektoru okénkovac´ıch funkc´ı [12].

Obrázek 4.5: Urˇcen´ı pomocného vektoru okénkovac´ıch funkc´ı

Pokud se na spektrogramu provedou nˇejaké úpravy, m˚uˇze se stát, ˇze v ˇcasové oblasti budou nˇekteré amplitudy mimo normalizovaný rozsah h-1;1i. Pak je vhodné jeˇstˇe upravit signál tak, aby byl v normalizovaném rozsahu.

(33)

4.3 Vytvoˇ ren´ı stereo sign´ alu

Vytvoˇren´ı stereo signálu je v celém tomto procesu posledn´ım krokem. Kdyˇz uˇz máme k dispozici jednotlivé oddˇelené sloˇzky, staˇc´ı je jen rozdˇelit do r˚uzných kanál˚u.

Rozklad pomoc´ı NMF je ale pouze pˇribliˇzný, proto nen´ı pˇr´ıliˇs vhodné vytvoˇrit stereofonn´ı signál jen z oddˇelených sloˇzek. Mohlo by tak doj´ıt k celkovému poklesu kvality. Vhodnˇejˇs´ı je rozm´ıstit jednotlivé sloˇzky do kanál˚u a k nim jeˇstˇe pˇriˇc´ıst zbytkový signál. Amplitudový spektrogram zbytkového signálu z´ıskáme odeˇcten´ım aproximace WH od matice V pˇredstavuj´ıc´ı spektrogram zpracovávaného signálu.

Dostaneme tak v podstatˇe to, co se nepodaˇrilo oddˇelit. Je vhodné tento zbytkový signál nechat jako monofonn´ı, proto ho pˇriˇcteme do vˇsech kanál˚u.

Poˇrad´ı rozm´ıstˇen´ı jednotlivých sloˇzek do kanál˚u je obecnˇe nejednoznaˇcné. Záleˇz´ı na zpracovávaném signálu a na inicializaci algoritmu. Rozm´ıstˇen´ı sloˇzek je pak tˇreba pˇrizp˚usobit dosaˇzeným výsledk˚um rozkladu.

Nen´ı ovˇsem nutné prom´ıtnout do výsledného stereofonn´ıho signálu vˇsechny oddˇelené sloˇzky. Pokud je ve zpracovávaném signálu obsaˇzený ˇsum, m˚uˇze se povést pomoc´ı NMF tento ˇsum oddˇelit a nˇekteré sloˇzky pak mohou obsahovat právˇe jen ˇsum. Vynechán´ım tˇechto sloˇzek m˚uˇzeme dosáhnout vyˇsˇs´ı kvality výsledného signálu.

(34)

Kapitola 5

Mˇ eˇ ren´ı kvality rozkladu − SIR a SDR

Pro urˇcen´ı kvality rozkladu do jednotlivých sloˇzek pomoc´ı NMF pouˇz´ıváme hodnoty signal to interference ratio (SIR) a signal to distortion ratio (SDR). Pro pˇresný výpoˇcet hodnot SIR a SDR je ale nutné m´ıt p˚uvodn´ı sloˇzky obsaˇzené v signálu zvláˇst’.

V praxi ale nen´ı moˇzné ke vˇsem rozloˇzeným audio signál˚um vypoˇc´ıtat pˇresné SIR a SDR, protoˇze p˚uvodn´ı sloˇzky zvláˇst’ k dispozici nejsou. Existuj´ı ale algoritmy, kterými lze tyto hodnoty odhadnout.

Pˇresný výpoˇcet SIR a SDR lze provést jen v experimentáln´ı úloze, kde nejprve jednotlivé sloˇzky umˇele sm´ıcháme a následnˇe pomoc´ı NMF rozloˇz´ıme. V následuj´ıc´ı kapitole popisujeme postup pˇresného výpoˇctu SIR a SDR pro experimentáln´ı úlohu.

(35)

5.1 Postup v´ ypoˇ ctu

Nejprve sm´ıch´ame jednotliv´e sloˇzky

X = S₁+ S₂+ · · · + S_r,

kde S_i jsou jednotlivé sloˇzky a X pˇredstavuje souˇcet vˇsech sloˇzek. Pro signál X vypoˇc´ıtáme spektrogram a na nˇej aplikujeme NMF. Výsledky NMF pouˇzijeme k vytvoˇren´ı binárn´ıch masek M₁. . . M_r, pˇriˇcemˇz

M₁ → maska pro S₁ M2 → maska pro S2

...

Mr → maska pro Sr

Dále provedeme separaci postupným aplikován´ım masek na spektrogram signálu X a takto upravené spektrogramy pak pˇrevedeme zpˇet do ˇcasové oblasti. Vzniknou tak oddˇelené sloˇzky

V₁ = ispecgram(M₁· X) V2 = ispecgram(M2· X)

...

Vr = ispecgram(Mr· X)

kde ispecgram() je funkce, která pˇrevád´ı spektrogram zpˇet do ˇcasové oblasti. Nelze ale oˇcekávat, ˇze se separace podaˇr´ı úplnˇe dokonale. Pravdˇepodobnˇe tedy bude platit, ˇze

S_i 6= V_i.

Funkce ispecgram() je okénkovac´ı IDFT a pro definován´ı SIR a SDR je d˚uleˇzité, ˇze se jedná o lineárn´ı operaci. Pro souˇcet vyseparovaných sloˇzek Y tedy plat´ı

Y = ispecgram(M · X)

= ispecgram(M · S₁) + ispecgram(M · S₂) + . . . + ispecgram(M · S_r)

(36)

Obsah oddˇelen´e sloˇzky V_i lze rozepsat jako

V_i = ispecgram(M_i· X) = ispecgram(M_i· (S₁ + S₂ + . . . + S_r))

= ispecgram(M_i· S₁ + M_i· S₂ + . . . + M_i · S_r)

= ispecgram(M_i· S₁)

| {z }

signal

+ ispecgram(M_i· S₂) + . . . + ispecgram(M_i· S_r)

| {z }

interference

Jak vyjadˇruje vztah (5.1), SIR je pomˇer energie sign´alu a energie interference.

SIR = mean([signal]²)

mean([interf erence]²) (5.1)

Podle vztahu (5.2) se SDR urˇc´ı jako pomˇer energie sign´alu a energie distortion.

Distortion je definov´ano jako S_i− M_i· S_i.

SDR = mean([signal]²)

mean([distortion]²) (5.2)

Hodnoty SIR a SDR se mohou poˇc´ıtat v decibelech. V´ypoˇcet SIR a SDR v decibelech uv´ad´ı vztahy (5.3) a (5.4).

SIR_dB = 10 · log₁₀

mean([signal]²) mean([interf erence]²)

(5.3)

SDRdB = 10 · log₁₀

mean([signal]²) mean([distortion]²)

(5.4)

(37)

Kapitola 6

Praktick´ a aplikace

V této kapitole popisujeme aplikaci NMF na konkrétn´ı monofonn´ı zvukové signály a porovnáváme výsledky dosaˇzené s r˚uzným nastaven´ım. Z výsledk˚u rozkladu monofonn´ıho signálu pak vytváˇr´ıme signál stereofonn´ı.

Kaˇzdý analyzovaný signál rozloˇz´ıme pomoc´ı NMF se tˇremi objektivn´ımi funkcemi (Euklidovská vzdálenost (2.5), KL divergence (2.6) a IS divergence (2.7)).

R˚uznˇe nastavujeme redukovanou dimenzi r matic W a H (poˇcet sloˇzek, do kterých se provád´ı rozklad). Rozklady provád´ıme pro r = 3, 4, 5 a 6. Pro kaˇzdý výpoˇcet jsme provedli 1000 iterac´ı NMF algoritmu.

Aplikujeme postup, který jsme popsali v kapitole 4. Pro samotné výpoˇcty pouˇz´ıváme nˇekteré funkce MATLABu a vlastn´ı implementaci popsanou v pˇr´ıloze B.

V prvn´ı ˇcásti rozkládáme signál, který je umˇele vytvoˇren jako souˇcet tˇr´ı sloˇzek.

Jelikoˇz máme k dispozici jednotlivé sloˇzky zvláˇst’, m˚uˇzeme urˇcovat kvalitu rozkladu pomoc´ı hodnot SIR (5.3) a SDR (5.4). Ve druhé ˇcásti zkoumáme výsledky rozkladu zaˇsumˇeného zvukového signálu a testujeme, zda se podaˇr´ı sloˇzky oddˇelit od ˇsumu.

Dále pak zpracováváme skuteˇcnou nahrávku. Aplikujeme NMF rozklad na p´ıseˇn Hledaný muˇz od kapely Taxmeni.

Aby se daly výsledky lépe srovnávat, inicializaci matic W a H pro stejnou redukovanou dimenzi r jsme provedli vˇzdy stejnými hodnotami. Mezn´ı hodnotu pro vytvoˇren´ı binárn´ıch masek jsme zvolili 0,5.

V´ypoˇcty jsme prov´adˇeli na poˇc´ıtaˇci s procesorem AMD Athlon 64 X2 3600+

a s operaˇcn´ı pamˇet´ı 2 GB RAM.

(38)

6.1 Rozklad sign´ alu sloˇ zen´ eho ze tˇ r´ı sloˇ zek

Nejprve vytvoˇr´ıme smˇes tˇr´ı sloˇzek X = S₁ + S₂ + S₃. Sloˇzka S₁ obsahuje hru na ˇcinely, sloˇzka S2 hru na bic´ı a ve sloˇzce S3 jsou basy. Vzorkovac´ı frekvence signálu je 16000 Hz, délka signálu je 10 sekund.

Obr´azek (6.1) zobrazuje jednotliv´e sloˇzky S1, S2, S3 a jejich souˇcet X.

Obrázek 6.1: Sloˇzky signálu S₁, S₂, S₃ a souˇcet X v ˇcasové oblasti a jejich spektrogramy

(39)

Spektrogramy byly vypoˇc´ıtány s délkou blok˚u 1024 vzork˚u, pouˇzita byla Hammingova okénkovac´ı funkce a velikost pˇrekrýván´ı blok˚u byla nastavena na 1000 vzork˚u. K výpoˇctu spektrogramu jsme pouˇzili funkci MATLABu spectrogram.m.

V následuj´ıc´ıch tabulkách jsme popsali obsahy vyseparovaných sloˇzek podle subjektivn´ıho hodnocen´ı poslechem. P˚uvodn´ı sloˇzku znaˇc´ıme S_i a vyseparovanou sloˇzku V_i. Objektivn´ı funkci znaˇc´ıme EUC pro Euklidovskou vzdálenost, KL pro Kullback-Leibler divergenci a IS pro Itakura-Saito divergenci. Výsledky rozklad˚u a výsledný stereofonn´ı signál jsou k dispozici ve formátu wav na pˇriloˇzeném CD.

Tabulka 6.1: V´ysledky rozkladu do tˇr´ı sloˇzek

NMF − EUC NMF − KL NMF − IS

V₁ ˇcást vˇsech sloˇzek bic´ı (S₂) a ˇcinely (S₁) ˇcinely (S₁) V₂ ˇcást vˇsech sloˇzek ˇcást bas˚u (S₃) bic´ı (S₂) V₃ ˇcást vˇsech sloˇzek bic´ı (S₂) basy (S₃)

a ˇc´ast bas˚u (S₃)

Tabulka 6.2: V´ysledky rozkladu do ˇctyˇr sloˇzek

V₁ ˇcinely (S₁) ˇc´ast bas˚u (S₃) ˇcinely (S₁) a ˇc´ast bic´ıch (S₂)

V₂ ˇcinely (S₁) ˇcást bic´ıch (S₂) bic´ı (S₂) a ˇcást bic´ıch (S2) a ˇcást bas˚u (S3)

V₃ ˇcást ˇcinel˚u (S₁) ˇcást bic´ıch (S₂) basy (S₃) a ˇcást bas˚u (S₃) a ˇcást bas˚u (S₃)

V₄ ˇc´ast vˇsech sloˇzek ˇcinely (S₁) a bic´ı (S₂) ˇcinely (S₁)

(40)

Tabulka 6.3: V´ysledky rozkladu do pˇeti sloˇzek

V₁ ˇcást bas˚u (S₃) ˇcást bas˚u (S₃) ˇcinely (S₁) V₂ ˇcást ˇcinel˚u (S₁) ˇcást bas˚u (S₃) ˇcást bas˚u (S₃)

V3 ˇcinely (S1) a bic´ı (S2) ˇcinely (S1) ˇcinely (S1) V4 ˇc´ast bas˚u (S3) ˇc´ast bic´ıch (S2) bic´ı (S2)

V₅ ˇc´ast ˇcinel˚u (S₁) bic´ı (S₂) bic´ı (S₂) a basy (S₃) a ˇc´ast bas˚u (S₃)

Tabulka 6.4: V´ysledky rozkladu do ˇsesti sloˇzek

V₁ ˇcást bas˚u (S₃) ˇcást bic´ıch (S₂) ˇcást bic´ıch (S₂) a ˇcást bas˚u (S₃) a ˇcást bas˚u (S₃) V₂ ˇcást bas˚u (S₃) ˇcást bic´ıch (S₂) ˇcást bic´ıch (S₂)

V3 ˇcinely (S1) a bic´ı (S2) ˇcinely (S1) ˇcinely (S1) V₄ ˇc´ast ˇcinel˚u (S₁) bic´ı (S₂) ˇc´ast bic´ıch (S₂)

a ˇcást bas˚u (S₃) a ˇcást bas˚u (S₃) V₅ ˇcást ˇcinel˚u (S₁) ˇcást bic´ıch (S₂) ˇcinely (S₁)

a ˇc´ast bas˚u (S₃) a ˇc´ast bas˚u (S₃)

V₆ ˇcást ˇcinel˚u (S₁) ˇcinely (S₁) ˇcást bic´ıch (S₂) a ˇcást bas˚u (S₃) a ˇcást bas˚u (S₃))

(41)

6.1.1 Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u

NMF rozklad s pouˇzit´ım Euklidovsk´e vzd´alenosti dopadl pˇri tomto testu nejh˚uˇre.

Témˇeˇr vˇzdy se stalo, ˇze do výsledných sloˇzek se dostaly pouze ˇcásti p˚uvodn´ıch sloˇzek, a to nav´ıc r˚uznˇe pom´ıchané. Výsledky se r˚uznˇe mˇenily s nastaven´ım redukované dimenze r matic W a H. Pouze pˇri rozkladu do ˇsesti sloˇzek se podaˇrilo oddˇelit basy (S₃). ˇCinely (S₁) a bic´ı (S₂) se nepovedlo zcela oddˇelit ani jednou. Nˇekolikrát se ve výsledných sloˇzkách objevila jejich smˇes.

Lépe dopadly výsledky s KL divergenc´ı. Nˇekdy ale byly velmi podobné jako výsledky s Euklidovskou vzdálenost´ı. Opˇet se stávalo, ˇze ve výsledných sloˇzkách byly jen ˇcásti p˚uvodn´ıch sloˇzek sm´ıchané s ostatn´ımi. Výsledky byly také ovlivnˇeny nastaven´ım redukované dimenze r matic W a H. Pˇri rozkladu do pˇeti sloˇzek se podaˇrilo dobˇre oddˇelit vˇsechny tˇri sloˇzky. Rozkladem do ˇsesti sloˇzek se povedlo oddˇelit ˇcinely (S₁) a bic´ı (S₂). Stejnˇe jako u rozkladu s Euklidovskou vzdálenost´ı se stávalo, ˇze nˇekteré výsledné sloˇzky obsahovaly smˇes ˇcinel˚u (S₁) a bic´ıch (S₂).

Nejlepˇs´ı výsledky v tomto testu poskytla NMF s IS divergenc´ı. Jiˇz pˇri rozkladu do tˇr´ı sloˇzek byly výsledky velmi dobré a podaˇrilo se oddˇelit vˇsechny tˇri sloˇzky. S vyˇsˇs´ı redukovanou dimenz´ı r matic W a H se výsledky také mˇenily a nˇekdy se pouze ˇcásti p˚uvodn´ıch sloˇzek prom´ıtly do výsledných sloˇzek. Rozkladem do ˇctyˇr sloˇzek se jeˇstˇe povedlo oddˇelit vˇsechny tˇri sloˇzky, ale po rozkladu do pˇeti sloˇzek byly oddˇelené jen ˇcinely (S₁) a bic´ı (S₂). Basy (S₃) se r˚uznˇe pom´ıchaly s ostatn´ımi sloˇzkami. Pˇri rozkladu do ˇsesti sloˇzek se povedlo oddˇelit uˇz jen ˇcinely (S₁).

Tabulka (6.5) obsahuje hodnoty SIR a SDR úspˇeˇsných výsledk˚u. K výsledk˚um je uvedená objektivn´ı funkce a hodnota redukované dimenze r matic W a H. Uvedené jsou jen ty výsledky, ve kterých se povedlo oddˇelit alespoˇn jednu celou sloˇzku. Pokud se nˇekterá sloˇzka nepodaˇrila oddˇelit, je buˇnka tabulky proˇskrtnutá.

Jak je ale patrné z tabulky (6.6), NMF rozklad s Euklidovskou vzdálenost´ı mˇel nejmenˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost. Rozklad s KL divergenc´ı trval oproti Euklidovské vzdálenosti pr˚umˇernˇe 2,6× déle a s IS divergenc´ı pr˚umˇernˇe 4,2× déle.

(42)

Tabulka 6.5: Hodnoty SIR a SDR rozkladu sign´alu sloˇzen´eho ze tˇr´ı sloˇzek

SIR SDR

N M F V₁ V₂ V₃ V₁ V₂ V₃

IS_r=3 -1,0041 6,9438 7,8376 -1,6483 -0,7236 28,0652 IS_r=4 0,0979 8,1159 7,8291 -1,5970 -0,8839 27,7106 KL_r=5 -1,658 6,0699 6,0965 0,3632 -2,4642 13,1801

ISr=5 -1,0565 5,7655 − -2,0704 -4,525 −

EU Cr=6 − − 8,0968 − − 8,5331

KL_r=6 -2,8668 -2,2347 − -0,1586 -3,5886 −

IS_r=6 0,0368 − − -2,3757 − −

Tabulka 6.6: ˇCasy výpoˇct˚u rozkladu signálu sloˇzeného ze tˇr´ı sloˇzek

NMF − EUC NMF − KL NMF − IS r=3 1 min 28 s 4 min 46 s 8 min 13 s r=4 2 min 6 s 5 min 46 s 9 min 16 s r=5 2 min 31 s 6 min 21 s 9 min 45 s r=6 2 min 39 s 6 min 25 s 9 min 52 s

(43)

Obrázek (6.2) zobrazuje p˚uvodn´ı monofonn´ı a výsledný stereofonn´ı signál.

Obrázek 6.2: P˚uvodn´ı monofonn´ı a výsledný stereofonn´ı signál v ˇcasové oblasti

6.2 Rozklad zaˇ sumˇ en´ eho sign´ alu

Zpracovávaný signál je podobný signálu z kapitoly 6.1. Je také sloˇzen ze tˇr´ı sloˇzek, kde sloˇzka S₁ obsahuje hru na ˇcinely, sloˇzka S₂ hru na bic´ı, ale ve sloˇzce S₃ je ˇsum.

Spektrogramy byly vypoˇc´ıtány se stejným nastaven´ım, tj. délka blok˚u 1024 vzork˚u, pouˇzita byla Hammingova okénkovac´ı funkce a pˇrekryt´ı blok˚u bylo nastaveno na 1000 vzork˚u.

(44)

6.2.1 Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u

Oddˇelen´ı sloˇzek ze zaˇsumˇeného signálu dopadlo v tomto testu úspˇeˇsnˇe. Zhodnocu- jeme pouze ty výsledky, ve kterých nebyl pˇri poslechu ˇzádný ˇsum znatelný.

Bic´ı (S₂) se podaˇrilo oddˇelit témˇeˇr vˇzdy. Pouze pˇri rozkladu do tˇr´ı sloˇzek s Euklidovskou vzdálenost´ı byly zaˇsumˇené vˇsechny výsledné sloˇzky. Ve vˇsech dalˇs´ıch rozkladech byly ale bic´ı (S₂) velmi dobˇre oddˇeleny.

Cinely (Sˇ ₁) se povedlo oddˇelit s IS divergenc´ı pˇri rozkladu do tˇr´ı sloˇzek a pˇri rozkladu do ˇctyˇr sloˇzek s KL a IS divergenc´ı. Ostatn´ı v´ysledky znatelnˇe obsahovaly ˇsum.

V tabulce (6.7) jsou uveden´e hodnoty SIR a SDR jen pro ˇcinely (S₁) a bic´ı (S₂), protoˇze c´ılem tohoto testu nebylo oddˇelit ˇsum (S₃) do samostatn´e sloˇzky.

Casy v´ˇ ypoˇct˚u byly pˇribliˇznˇe stejnˇe dlouhé jako v kapitole 6.1. Výsledky rozklad˚u a výsledný stereofonn´ı signál jsou k dispozici ve formátu wav na pˇriloˇzeném CD.

Tabulka 6.7: Hodnoty SIR a SDR rozkladu zaˇsumˇen´eho sign´alu

SIR SDR

N M F V₁ V₂ V₁ V₂

KL_r=3 − 7,9655 − -0,0831

IS_r=3 -1,206 10,2236 -0,1964 8,9893

EU C_r=4 − 8,8578 − -1,4034

KLr=4 -1,8135 7,7137 5,1370 0,32 ISr=4 -2,4902 10,3826 -1,1261 8,4869

EU C_r=5 − 8,2673 − -1,7040

KL_r=5 − 8,6633 − -0,7255

IS_r=5 − 7,5542 − -1,4404

EU C_r=6 − 8,6477 − -1,6592

KL_r=6 − 8,3452 − -2,3899

IS_r=6 − 10,6405 − 9,5873

(45)

Na obrázku (6.3) je zobrazen p˚uvodn´ı monofonn´ı a výsledný stereofonn´ı signál.

6.3 Rozklad re´ aln´ e nahr´ avky

Z p´ısnˇe Hledan´y muˇz od kapely Taxmeni jsme zpracov´avali prvn´ıch 10 sekund.

Jelikoˇz tato nahrávka byla stereofonn´ı, pro testován´ı NMF rozkladu jsme ji nejprve pˇrevedli na monofonn´ı. Vzorkovac´ı frekvence signálu byla 44100 Hz.

Spektrogram jsme vypoˇc´ıtali se stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch testech (d´elka blok˚u 1024 vzork˚u, Hammingova ok´enkovac´ı funkce a pˇrekryt´ı blok˚u 1000 vzork˚u).

(46)

6.3.1 Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u

Výsledky zhodnocujeme opˇet subjektivnˇe poslechem. Vˇsechny NMF rozklady s pouˇzitými objektivn´ımi funkcemi mˇely podobný charakter. Sloˇzky, které byly dobˇre oddˇeleny s niˇzˇs´ı redukovanou dimenz´ı r matic W a H, se obvykle objevily ve výsledných sloˇzkách témˇeˇr stejné i s vyˇsˇs´ı redukovanou dimenz´ı r. V dalˇs´ıch sloˇzkách se pak objevoval r˚uznˇe rozdˇelený zbytek signálu.

Rozkladem pomoc´ı NMF s Euklidovskou vzdálenost´ı se s kaˇzdým nastaven´ım redukované dimenze r objevil ve výsledné sloˇzce doprovod na bic´ı. Zbytek signálu se pak vˇzdy rozdˇelil do sloˇzek, ve kterých pˇrevaˇzovaly bud’ niˇzˇs´ı nebo vyˇsˇs´ı frekvence.

Zaj´ımavˇejˇs´ı výsledky poskytla NMF s KL divergenc´ı. Ve výsledných sloˇzkách se objevoval opˇet doprovod na bic´ı, ale nav´ıc i kytara. Podobnˇe jako u výsledk˚u s Euklidovskou vzdálenost´ı se pak zbytek signálu rozdˇeloval do sloˇzek, ve kterých byly výraznˇejˇs´ı niˇzˇs´ı nebo vyˇsˇs´ı frekvence.

Jiných výsledk˚u jsme dosáhli pouˇzit´ım NMF s IS divergenc´ı. S kaˇzdým nastaven´ım redukované dimenze r byla ve výsledc´ıch sloˇzka, ve které byla obsaˇzena vˇetˇsina signálu. Dále pak sloˇzka s hloubkami a jako u KL divergence sloˇzka s kytarou. Pˇri zvyˇsován´ı redukované dimenze r se pak kytara rozdˇelovala mezi v´ıce sloˇzek. Sloˇzka s vˇetˇsinou signálu a sloˇzka s hloubkami z˚ustávaly nezmˇenˇené.

Tabulka (6.8) uvád´ı ˇcasy výpoˇct˚u rozklad˚u. NMF s Euklidovskou vzdálenost´ı mˇela opˇet nejmenˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost, NMF s KL divergenc´ı trvala oproti Eukli- dovské vzdálenosti pr˚umˇernˇe 2,6× déle a IS divergenc´ı pr˚umˇerné 4,3× déle. Výsledky rozklad˚u a výsledný stereofonn´ı signál jsou k dispozici ve formátu wav na pˇriloˇzeném CD.

Tabulka 6.8: ˇCasy výpoˇct˚u rozkladu ˇcásti p´ısnˇe Hledaný muˇz od kapely Taxmeni

NMF − EUC NMF − KL NMF − IS r=3 4 min 8 s 13 min 23 s 22 min 39 s r=4 5 min 49 s 16 min 6 s 25 min 35 s r=5 6 min 52 s 17 min 35 s 28 min 13 s r=6 7 min 25 s 18 min 12 s 29 min 15 s

(47)

Obrázek (6.4) zobrazuje p˚uvodn´ı monofonn´ı a výsledný stereofonn´ı signál.

(48)

Kapitola 7 Z´ avˇ er

Bˇehem testován´ı NMF algoritmu se ukázalo, ˇze celkovou kvalitu rozkladu lze ovlivnit nˇekolika zp˚usoby. Jedná se pˇredevˇs´ım o nastaven´ı redukované dimenze r matic W a H, dále záleˇz´ı na zvolené objektivn´ı funkci, na parametrech, se kterými byl vypoˇc´ıtán spektrogram, a i na mezn´ı hodnotˇe binárn´ı masky. Výsledky byly ovlivnˇené i inicializac´ı matic W a H.

Vhodné nastaven´ı redukované dimenze r matic W a H je pro NMF rozklad velmi d˚uleˇzité a výraznˇe ovlivn´ı kvalitu celého procesu rozkladu. Nelze vˇsak pˇredem jednoznaˇcnˇe urˇcit, s jakou hodnotou redukované dimenze r se dosáhne nejlepˇs´ıho výsledku. Bˇehem naˇsich test˚u se ukázalo, ˇze v urˇcitých pˇr´ıpadech je vhodnˇejˇs´ı nastavit redukovanou dimenzi r sp´ıˇse na niˇzˇs´ı hodnotu a provést tak rozklad do ménˇe sloˇzek. Rozkladem do v´ıce sloˇzek se pak nˇekdy stávalo, ˇze výsledné sloˇzky byly r˚uznˇe pom´ıchané a objevovaly se v nich pouze ˇcásti p˚uvodn´ıch sloˇzek sm´ıchané s ostatn´ımi.

Mnohdy vyˇsˇs´ı redukovaná dimenze r nepˇrinesla ˇzádné lepˇs´ı výsledky. Zvyˇsován´ı redukované dimenze r také zp˚usob´ı vyˇsˇs´ı výpoˇcetn´ı nároˇcnost. Samozˇrejmˇe ale pro nˇekteré signály m˚uˇze být vhodnˇejˇs´ı provést rozklad do v´ıce sloˇzek. Hledán´ı nej- vhodnˇejˇs´ı hodnoty redukované dimenze r jsme provádˇeli experimentálnˇe.

Výsledky byly výraznˇe ovlivnˇeny i zvolenou objektivn´ı funkc´ı. Rozklad signálu sloˇzeného ze tˇr´ı sloˇzek z kapitoly 6.1 a zaˇsumˇeného signálu z kapitoly 6.2 dopadl nejlépe pomoc´ı NMF s IS divergenc´ı. Rozklad p´ısnˇe Hledaný muˇz od kapely Taxmeni z kapitoly 6.3 dopadl nejlépe pomoc´ı NMF s KL divergenc´ı. Zaj´ımavé výsledky zde poskytla i NMF s IS divergenc´ı. Rozklady s Euklidovskou vzdálenost´ı mˇely ale vˇzdy

(49)

Kvalita celého NMF rozkladu velmi závis´ı na parametrech, podle kterých byl vypoˇc´ıtán spektrogram zpracovávaného signálu. Záleˇz´ı pˇredevˇs´ım na délce blok˚u, na okénkovac´ı funkci a na velikosti pˇrekrýván´ı blok˚u. V naˇsich testech jsme pouˇz´ıvali délku blok˚u 1024 vzork˚u a pˇrekryt´ı blok˚u 1000 vzork˚u. Spektrogram 10 sekundového signálu s vzorkovac´ı frekvenc´ı 44100 Hz byl pak matice o rozmˇerech 513 × 18333, coˇz pˇri NMF rozkladu pˇredstavuje relativnˇe vysokou výpoˇcetn´ı nároˇcnost. NMF rozklad jsme testovali i pro spektrogramy s menˇs´ım pˇrekrýván´ım blok˚u (napˇr´ıklad 128, 256, 512, 640, 768 a 896 vzork˚u, pˇri délce blok˚u 1024 vzork˚u). Ve výsledných sloˇzkách pak ale bylo i výraznˇe obsaˇzeno praskán´ı. Celková kvalita tak byla velmi n´ızká, proto jsme pouˇz´ıvali spektrogramy s vˇetˇs´ım pˇrekrýván´ım blok˚u. S velkým pˇrekrýván´ım blok˚u pak nebylo ve výsledc´ıch ˇzádné praskán´ı znatelné. Výsledky byly srovnatelné i s délkou blok˚u 512 vzork˚u, opˇet ale muselo být nastaveno velké pˇrekrýván´ı blok˚u. Záleˇzelo i na volbˇe okénkovac´ı funkce. Jelikoˇz jsme pak spektrogramy pˇrevádˇeli zpˇet do ˇcasové oblasti, bylo vhodné pouˇz´ıt okénkovac´ı funkci, která nikde nenabývá nulové hodnoty. Násoben´ım nulou by totiˇz docházelo ke ztrátám informac´ı. S r˚uznými okénkovac´ımi funkcemi jsme dosahovali i r˚uzných výsledk˚u.

Výraznˇejˇs´ı rozd´ıly byly ve výsledc´ıch, jen kdyˇz se i výraznˇe liˇsily okénkovac´ı funkce. Rozklady spektogram˚u, ve kterých byly pouˇzity podobné okénkovac´ı funkce, mˇely i podobné výsledky. Výrazné rozd´ıly byly napˇr´ıklad pˇri porovnán´ı rozklad˚u spektrogram˚u, ve kterých byla pouˇzita obdéln´ıková okénkovac´ı funkce nebo Ham- mingova okénkovac´ı funkce. V naˇsich rozkladech jsme nejˇcastˇeji pouˇz´ıvali Hammin- govu okénkovac´ı funkci.

Dalˇs´ım ovlivˇnuj´ıc´ım faktorem výsledku je mezn´ı hodnota pˇri transformaci masky na binárn´ı. S vyˇsˇs´ı mezn´ı hodnotou bude maska obsahovat v´ıce nul a tak se do výsledku dostane menˇs´ı ˇcást sloˇzky. Vhodným nastaven´ım mezn´ı hodnoty lze také dosáhnout lepˇs´ıch výsledk˚u. Podobnˇe jako hodnotu redukované dimenze r jsme i optimáln´ı mezn´ı hodnotu binárn´ı masky hledali experimentálnˇe.

Jelikoˇz inicializaci výsledných matic W a H jsme provádˇeli náhodnými nezápornými ˇc´ısly, pro r˚uznou inicializaci vycházely i r˚uzné výsledky. S r˚uznou inicializac´ı si výsledky byly ale velmi podobné. Stávalo se jen, ˇze výsledné sloˇzky byly v jiném poˇrad´ı, coˇz je v souladu s vlastnostmi NMF rozkladu.

(50)

Záleˇz´ı ale samozˇrejmˇe i na samotném zpracovávaném signálu. M˚uˇze se stát, ˇze se zpracovávaný signál nepodaˇr´ı rozdˇelit do jednotlivých sloˇzek v poˇzadované kvalitˇe.

Vˇsechny výˇse uvedené skuteˇcnosti maj´ı ale vliv na koneˇcnou kvalitu rozkladu a je tak celá ˇrada parametr˚u a nastaven´ı, kterými lze výsledky zlepˇsit. Vˇetˇsinu parametr˚u a nastaven´ı ale nelze urˇcit optimálnˇe pˇredem, a tak experimentáln´ı hledán´ı nejlepˇs´ıch výsledk˚u m˚uˇze být velmi ˇcasovˇe nároˇcné.

Pro vytvoˇren´ı stereofonn´ıho signálu z oddˇelených sloˇzek jsme jiˇz jen rozdˇelili jednotlivé sloˇzky do kanál˚u. K nim jsme ale jeˇstˇe pˇriˇc´ıtali zbytkový signál (kapitola 4.3). Poˇrad´ı sloˇzek jsme vˇzdy museli pˇrizp˚usobit výsledk˚um rozkladu. Aby dobˇre oddˇelené sloˇzky vynikly, obvykle jsme je nesm´ıchávali s ostatn´ımi sloˇzkami a radˇeji jsme je nechávali v kanálu jen se zbytkovým signálem. Ostatn´ı sloˇzky, nebo ty, které si byly pˇri poslechu podobné, bylo výhodnˇejˇs´ı seˇc´ıst. Rozdˇelit do kanál˚u podobné sloˇzky by mohlo pak zp˚usobit, ˇze by se výsledný signál jevil v´ıce jako monofonn´ı neˇz stereofonn´ı.

Metoda NMF poskytuje zaj´ımavé moˇznosti nejen v oblasti zpracován´ı zvukových signál˚u, ale také ve zpracován´ı textu, obrazu, v zobrazovac´ıch a diagnostických metodách v lékaˇrstv´ı a v dalˇs´ıch, jak jsme uvedli v kapitole 2.4. Lze pˇredpokládat, ˇze pro NMF bude nalezeno uplatnˇen´ı i v mnoha dalˇs´ıch odvˇetv´ıch vˇedy a jej´ı výsledky by v budoucnu mohly být vyuˇz´ıvány i v bˇeˇzném ˇzivotˇe.

(51)

Pˇ r´ıloha A

Obsah pˇ riloˇ zen´ eho CD

\Puvodni signaly\ − p˚uvodn´ı zpracovávané signály

\Skripty\ − implementace skript˚u popsan´ych v pˇr´ıloze B

\Stereo\ − vytvoˇren´e stereofonn´ı sign´aly

\Vysledky rozkladu\

\nahravka\ − Výsledky rozklad˚u reálné nahrávky z kapitoly 6.3

\s12noise\ − Výsledky rozklad˚u zaˇsumˇeného signálu z kapitoly 6.2

\s123\ − Výsledky rozklad˚u signálu sloˇzeného ze tˇr´ı sloˇzek z kapitoly 6.1

bakalarska prace.pdf – tato pr´ace v elektronick´e podobˇe

(52)

Pˇ r´ıloha B

Manu´ al k implementaci

Implementace vˇsech k´od˚u jsme provedli a otestovali v MATLABu R2008a.

B.1 NMF

Funkce nmf.m vykonává NMF algoritmus podle zadaných parametr˚u.

vol´an´ı: [W H] = nmf(V, eps, sekv, iterMax, r, dvr, varargin)

Vstupy:

V − vstupn´ı matice nez´aporn´ych dat (absolutn´ı hodnota spektrogramu) eps, sekv − hodnoty pro test konvergence

iterMax − maxim´aln´ı poˇcet krok˚u r − redukovan´a dimenze matic W a H dvr − objektivn´ı funkce

varargin − inicializované matice W a H (nepovinné parametry) Výstupy:

W, H − v´ysledn´e matice

Pokud se v parametru varargin nepˇredaj´ı inicializované matice W a H, provede se inicializace matic W a H náhodnými nezápornými ˇc´ısly. Funkce konˇc´ı a vrac´ı výsledky, pokud je splnˇena alespoˇn jedna ze dvou podm´ınek. Jednou je dosaˇzen´ı maximáln´ıho poˇctu krok˚u (parametr iterMax ) a druhou podm´ınka konvergence