LOGARITMER
Definition av begreppet logaritm
Betrakta ekvationen đđđ„đ„ = đđ. Om a Ă€r ett positivt tal skilt frĂ„n 1 och b >0 dĂ„ finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okĂ€nda exponent x i ekvationen đđđ„đ„ = đđ kallas logaritm av b i basen a och betecknas
x = log
đđđđ
( i nÄgra böcker alog b eller a-log b )
[ AnmĂ€rkning: Basen a i en logaritm kan inte vara 1 eftersom ekvationen 1đ„đ„= đđ har antingen ingen lösning eller oĂ€ndligt mĂ„nga lösningar]
Exmpel 1. a) log
28 = 3 eftersom 2
3= 8
b) log
2ïżœ
18ïżœ = â3 eftersom 2
â3= 1/8 c) log
22 = 1 eftersom 2
1= 2
d) log
21 = 0 eftersom 2
0= 1 .
Logaritmen log
đđđđ Ă€r definierad om a , b Ă€r positiva och đđ â 1 men notera att resultat kan vara negativt, 0 eller positivt; t ex
log
5ïżœ 1
25ïżœ = â2, log
5(1) = 0 och log
5(25) = 2 HÀr följer en formell definition av logaritmen med basen a.
Definition.
LĂ„t đđ och đđ vara positiva tal och đđ â 1.
log
đđđđ = n â đđ
đđ= đđ
Talet đđ kallas logaritm av b i basen a ( eller a-logaritm av b ).
1 av 8
Med hjÀlp av definitionen kan man hÀrleda nedanstÄende logaritmlagar.
RĂKNELAGAR: ( Vi antar att đđ, đđ, đđ > 0 och đđ â đđ)
log
đđ(đ„đ„đ„đ„) = log
đđđ„đ„ + log
đđđ„đ„
log
đđ(đ„đ„/đ„đ„) = log
đđđ„đ„ â log
đđđ„đ„ log
đđ(đ„đ„
đđ) = đđ â log
đđđ„đ„
log
đđ(đđ
đđ) = đđ , đđ
logđđđ„đ„= đ„đ„ log
đđđđ = 1, log
đđ1 = 0
BASBYTE:
log
đđđđ =
loglogđđđđđđđđ
( dÀr a,b,c > 0 och dessutom baserna a,c skilda frÄn 1)
Uppgift 1. BerÀkna följande logaritmer (utan hjÀlp av minirÀknare)
a) log
216 b) log
327 c) log
3ïżœ
19ïżœ d) log
5ïżœ
15ïżœ e) log
5ïżœ
1251ïżœ f) log
7ïżœ
491ïżœ g) log
31 h) log
41
i) log
1010 , j) log
1313 k) log
19.519.5 l) log
ee ( e â 2.7) m) log
3(3
2) , n) log
2(2
5) o) log
10(10
7) p) log
e(e
11) r) log
101000 s) log
100.001 t) ïżœlog
525 + log
5ïżœ
251ïżœ ïżœ
234u) [log
100.001 + log
24 ]
449v) ïżœlog
24 + log
2ïżœ
18ïżœ ïżœ
448Lösning för uppgift a) och uppgift u).
a) log
216 = 4 eftersom 2
4= 16
u) [log
100.001 + log
24 ]
449= [â3 + 2 ]
449= [â1 ]
449= â1
2 av 8
Svar:
a) 4 b) 3 c) -2 d) -1 e) â3 f) â2 g) 0 h) 0 i) 1 j) 1 k) 1 l) 1
m) 2 {eftersom
3
2= 3
2 } n) 5 o) 7 p) 11 r) 3 s) -3 t) 0u) -1 v) 1
===========================================================
Vi anvÀnder oftast tvÄ typer av logaritmer:
1. logaritm med basen 10, som vi betecknar lg och 2. logaritm med basen đđ â 2.716 , som vi betecknar ln ( den naturliga logaritmen )
AlltsÄ
lgđ„đ„ = log10x och lnđ„đ„ = logex.
T ex
lg1000 = log101000 = 3 ln ïżœ1
đđïżœ = logeïżœ1
đđïżœ = â1
Uppgift 2. BerÀkna följande logaritmer (utan hjÀlp av minirÀknare) a) lg 10000 b) lg 1000000 c) lg 10 d) lg 108
e) lg(1) f) lg( 1/100) g) lg (1/10) h) lg(0.001) i) lg(0.1)
Svar: a) 4 ( eftersom 104 = 10000) b) 6 c) 1 d) 8 (eftersom 108 = 108) e) 0 f) â2 g) â1 h) â3 i) â1
3 av 8
Uppgift 3. BerÀkna (utan hjÀlp av minirÀknare)
a) ln đđ
8b) ln đđ
â6c) ln đđ d) ln(1/đđ) e) ln
đđ12Svar: a) 8 ( eftersom đđ8 = đđ8) b) â6 c) 1 d) â1 e) â2
==============================================================
Logaritmlagar gÀller oavsett vilken bas vÀljer vi. Vi kan t ex ange rÀknelagar lagar för basen 10 .
RĂKNELAGAR för 10-logaritmer: ( Vi antar att đđ, đđ > 0)
lg(đ„đ„đ„đ„) = lg đ„đ„ + lg đ„đ„
lg(đ„đ„/đ„đ„) = lg đ„đ„ â lg đ„đ„ lg(đ„đ„
đđ) = đđ lg đ„đ„
lg(10
đđ) = đđ 10
lgđ„đ„= đ„đ„ lg10 = 1, lg1 = 0
BASBYTE (frÄn basen a till 10):
log
đđđđ =
lgđđlgđđ( dĂ€r a,b > 0 och dessutom basen a skild frĂ„n 1)
Uppgift 3. AnvĂ€nd logaritmlagar och utveckla följande uttryck i en linjĂ€r combination av lg(a), lg(b),âŠ
a) lg (đđđđđđ) b) lg (đđ
3đđ
4đđ
8âđđ
4) c) lg (
đđđđđđđ„đ„đ„đ„) d) lg (
đ„đ„đđ1533 đ„đ„đđ175) e) lg (
đđ3đđ4 đđ8đ„đ„5 đ„đ„7ïżœ đ§đ§5
)
Lösning för uppgift e)
lg ïżœ đđ
3đđ
4đđ
8đ„đ„
5đ„đ„
7â đ§đ§
5ïżœ = lg(đđ
3đđ
4đđ
8) â lg ïżœđ„đ„
5đ„đ„
7ïżœ đ§đ§
5ïżœ =
[lg(đđ
3) + lg(đđ
4) + lg(đđ
8)] â ïżœlg(đ„đ„
5) + lg(đ„đ„
7) + lg ïżœđ§đ§
52ïżœïżœ
= 3lg đđ + 4lg đđ + 8lg đđ â 5 lg đ„đ„ â 7lg đ„đ„ â 5 2 lg đ§đ§
4 av 8
Svar: a) lg đđ + lg đđ + lg đđ b) 3lg đđ + 4lg đđ + 8lg đđ +14lg đđ
c) lg đđ + lg đđ + lg đđ â lg đ„đ„ â lg đ„đ„ d) 33 lg đđ + 5 lg đđ â 15 lg đ„đ„ â 17 lg đ„đ„ e) 3lg đđ + 4lg đđ + 8lg đđ â 5 lg đ„đ„ â 7lg đ„đ„ â52lg đ§đ§
RĂKNELAGAR för den naturliga logaritmen: ( Vi antar att đđ, đđ > 0)
ln(đ„đ„đ„đ„) = ln đ„đ„ + ln đ„đ„
ln(đ„đ„/đ„đ„) = ln đ„đ„ â ln đ„đ„ ln(đ„đ„
đđ) = đđ ln đ„đ„
ln(đđ
đđ) = đđ đđ
lnđ„đ„= đ„đ„ lnđđ = 1, ln1 = 0
BASBYTE (frÄn basen a till e):
log
đđđđ =
lnđđlnđđ( dĂ€r a,b > 0 och dessutom basen a skild frĂ„n 1)
Uppgift 5.
AnvĂ€nd logaritmlagar och utveckla följande uttryck i en linjĂ€r combination av ln(a), ln(b),âŠ
a) ln (đđ
13đđ
4đđ
8âđđ
4 5) b) ln (
đđđđđđđ„đ„đ„đ„đ§đ§) c) ln (
đ„đ„đđ53 đ„đ„đđ179) d) ln (
đđđ„đ„35đđ ïżœ đ„đ„14 đđ158)
Svar: a) 13 ln đđ + 4 ln đđ + 8 ln đđ +54ln đđ b) ln đđ + ln đđ + ln đđ â ln đ„đ„ â ln đ„đ„ â ln đ§đ§
c) 3 ln đđ + 9 ln đđ â 5 ln đ„đ„ â 17 ln đ„đ„ d) 3 ln đđ + 14 ln đđ + 8 ln đđ â 5 ln đ„đ„ â152 ln đ„đ„
I nÄgra matematiska tillÀmpningar av logaritmer ( t ex logaritmekvationer) mÄste vi göra omvÀnt d v s omvandla en linjÀr kombination av logaritmer till en logaritm .
Uppgift 5. Skriv följande uttryck som en logaritm a) ln đđ + ln đđ + ln đđ â ln đ„đ„ â ln đ„đ„ â ln đ§đ§
b) 2ln đđ + 3 ln đđ + 4 ln đđ â 5 ln đ„đ„ â 6 ln đ„đ„ â 7 ln đ§đ§
5 av 8
c) lg đđ + 5 lg đđ â 11 lg đ„đ„ â 7 lg đ„đ„ d) 33 lg đđ + 5 lg đđ â 15 lg đ„đ„ â 17 lg đ„đ„ Lösning d)
33 lg đđ + 5 lg đđ â 15 lg đ„đ„ â 17 lg đ„đ„
= lg đđ
33+ lg đđ
5â lg đ„đ„
15â lg đ„đ„
17= lg đđ
33đđ
5đ„đ„
15đ„đ„
17Svar:
a) ln (
đđđđđđđ„đ„đ„đ„đ§đ§) b) ln (
đ„đ„đđ52 đ„đ„đđ36đđđ§đ§47) c) lg
đ„đ„đđđđ11đ„đ„57d) lg
đ„đ„đđ1533đ„đ„đđ175Uppgift 7. AnvĂ€nd formeln för basbyte för att berĂ€kna (approximativt) nedanstĂ„ende logaritmer (a,b med minirĂ€knare) .
a) log38 , med hjÀlp av minirÀknare b) log5423 , med hjÀlp av minirÀknare c)
log
3â2(â8
4)
( exakt , utan minirÀknare) d)log
3â25(â5
3)
( exakt)Lösning a) : PÄ en avancerad minirÀknare kan vi berÀkna 10-logaritmen och den naturliga logaritmen ( med basen e) . Vi anvÀnder formeln för basbyte
log
đđđđ =
loglogđđđđđđđđ
och byter t ex till naturliga logaritmer ( c= e i ovanstÄende formel) . DÀrför
log38 = (basbyte) =loglogđđ8
đđ3= ln8ln3= ( minirĂ€knare) = 2.079441542
1.098612289= 2.07944 b) log5423 = ln423ln5 = 3.75744
c) log3â2ïżœâ84 ïżœ = (basbyte) =lnïżœ â8ln â243 ïżœ =lnïżœ2lnïżœ23/41/3ïżœïżœ= 341ln2
3ln2= 9/4 d) 1/2
===============================================================
6 av 8
VIKTIGT: Enligt logaritmens definition Ă€r uttrycket logđđđđ definierat (som ett reellt tal) endast om a>0 , b>0 och dessutom basen đđ â 1.
Exempel: Följande uttryck, t ex, Àr INTE definierade
lg(â10) , ln(â8) , log2(â5) , log3(0) , ln(0) , log(â2)4 , log14 Uppgift 8. Avgör om följande utryck Ă€r korrekt definierade:
a)
log
25
b)log
2(
14)
c)log
2(â8)
d)log
â39 e) log
15 f) ln(23) g) ln(-24) h) lg(23.4) i) lg(-3) j) lg(0) k) ln(0)
Svar: a) ja b) ja c) nej d) nej e) nej f) ja g) nej h) ja i) nej j ) nej k) nej
Uppgift 9. För vilka x Ă€r nedanstĂ„ende uttryck definierade a) log2(x â 5) b) ln(3 â đ„đ„) c ) 3lg( 2đ„đ„ â 3)
d) 5lg( đ„đ„ â 3) + 8lg(5 â đ„đ„) e) 2 + 5ln( đ„đ„ â 2) â 2ln (7 â đ„đ„) Lösning för uppgift e)
Följande tvĂ„ villkor mĂ„ste vara (samtidigt) uppfyllda Villkor 1 xâ2>0âx>2
Villkor 2: 7 â đ„đ„ > 0 â 7 > đ„đ„ â đ„đ„ < 7 BĂ„da villkor Ă€r uppfyllda om 2 < đ„đ„ < 7 Svar:
a) x > 5 b) x < 3 c ) đ„đ„ > 32 d) 3 < đ„đ„ < 5 e) 2 < đ„đ„ < 7 Uppgift 10 . BerĂ€kna y- vĂ€rden i tabellen
x 1/100 1/10 1 10 100
y=lg(x) * * * * *
och skissa grafen till funktionen đ„đ„ = lg(đ„đ„) .
7 av 8
Svar:
x 1/100 1/10 1 10 100
y=lg(x) â2 â1 0 1 2
y=lg(x)
Uppgift 11 . BerÀkna y- vÀrden i tabellen
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
đ„đ„ = log2(đ„đ„) * * * * * * *
och skissa grafen till funktionen đ„đ„ = log2(đ„đ„) . Svar:
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
đ„đ„ = log2(đ„đ„) â3 â2 â1 0 1 2 3
đ„đ„ = log2(đ„đ„)
8 av 8
