LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER.
LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje)
Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION)
Låt V vara ett vektorrum. En vektor w är linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 om det finns skalärer (tal) 𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆𝑛𝑛 så att
𝒘𝒘 = 𝜆𝜆1𝒗𝒗1+ 𝜆𝜆2𝒗𝒗𝟐𝟐+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝒗𝒗𝒏𝒏 Exempel 1.
Bestäm om w är linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐 då a) 𝒘𝒘 = (8, 7, 6), 𝒗𝒗𝟏𝟏= (1, 2, 3) och 𝒗𝒗𝟐𝟐= (2, 1, 0) b) 𝒘𝒘 = (3, 3, 6), 𝒗𝒗𝟏𝟏= (1, 2, 3) och 𝒗𝒗𝟐𝟐= (2, 1, 0) Lösning:
a) Vi söker om det finns en lösning till
𝒘𝒘 = 𝒙𝒙𝒗𝒗1+ 𝑦𝑦𝒗𝒗𝟐𝟐
dvs (8, 7, 6) = 𝑥𝑥(1, 2, 3) + y(2, 1, 0) Vi identifierar koordinater och får tre skalära ekvationer:
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 8 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7
3𝑥𝑥 = 6 Systemet har (precis) en lösning x=2, y= 3
Därmed kan 𝒘𝒘 skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐 : 𝒘𝒘 = 2𝒗𝒗1+ 3𝒗𝒗𝟐𝟐
b) I detta fall
𝒘𝒘 = 𝒙𝒙𝒗𝒗1+ 𝑦𝑦𝒗𝒗𝟐𝟐
ger (3,3,6) = 𝑥𝑥(1, 2, 3) + y(2, 1, 0) Vi identifierar koordinater och får tre skalära ekvationer:
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3
3𝑥𝑥 = 6 Systemet SAKNAR lösning ( kontrollera) .
Därmed kan 𝒘𝒘 INTE skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏 och 𝒗𝒗𝟐𝟐. Svar a) ja b) nej
UNDERRUM
Definition 2a. Låt W vara en icke tom delmängd till vektorrummet V=Rn. Mängden W är ett underrum till V om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:
Vilkor 1: W vara en icke tom delmängd till Rn Vilkor 2: u, 𝒗𝒗 ∊ W ⇒ 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∊ W
( om u, v tillhör W då summan u+v tillhör också W , vi säger att W är sluten under addition )
Vilkor3: (𝒖𝒖 ∊ W , λ ∊ R) ⇒ λ𝒖𝒖 ∊ W
( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ , vi säger att W är sluten under multiplikation med skalär)
Sida 1 av 10
Anmärkning. Från villkor 3 , för λ =0, får vi att 𝟎𝟎 ∊ W , dvs ett under rum måste innehålla nollvektorn. Därmed kan underrummet definieras på följande ekvivalenta sätt:
Definition 2b. Låt W vara en delmängd till vektorrummet V. Mängden W är ett underrum till V om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:
Vilkor1: 𝟎𝟎 ∊ W ( nollvektorn tillhör W) Vilkor2: u, 𝒗𝒗 ∊ W ⇒ 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 ∊ W
( om u, v tillhör W då summan u+v tillhör också W , vi säger att W är sluten under addition )
Vilkor3: (𝒖𝒖 ∊ W , λ ∊ R) ⇒ λ𝒖𝒖 ∊ W
( om u tillhör W då λ u tillhör också W för varje skalär λ , vi säger att W är sluten under multiplikation med skalär)
Exempel 2. Visa att mängden W av alla vektorer
z y x
vars koordinater satisfierar ekvationen 3x+2y−3z=0 (*) är ett underrum till R3 .
Med andra ord, visa att } 0 3 2 3 :
{ + − =
= x y z
z y x W
är ett underrum till R3. Lösning:
Vi ska visa att alla tre villkor i ovanstående definition är uppfyllda . Vilkor 1 Nollvektorn ∈W
= 0 0 0 0
eftersom dess koordinater x=0, y=0, z=0 uppenbart satisfierar ekvationen 3x+2y−3z=0. Därmed är Vilkor1 uppfyllt.
Vilkor 2. Låt
=
3 2 1
u u u u
och
=
3 2 1
v v v v
vara två vektorer i W. Då deras koordinater satisfierar ekvationen dvs då gäller
0 3 2
3u1 + u2 − u3 = och 3v1 +2v2 −3v3 =0. För att visa att u+v∈W
, måste vi visa att koordinater till
+ + +
= +
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u v u
också satisfierar ekvationen (*) .
Vi substituerar koordinater i vänsterledet och får
Sida 2 av 10
0 0 0 ) 3 2 3 ( ) 3 2 3 ( ) (
3 ) (
2 ) (
3u1+v1 + u2 +v2 − u3 +v3 = u1+ u2 − u3 + v1+ v2 − v3 = + = Därför u+v∈W
och därmed är Vilkor2 uppfyllt.
Vilkor 3. Låt
=
3 2 1
u u u u
vara en vektor W och λ ett reellt tal (skalär). Då är
=
3 2 1
u u u u
λ λ λ
λ vars koordinater satisfierar ekvationen (*) eftersom
0 ) 3 2 3 ( 3
2
3λu1 + λu2 − λu3 =λ u1+ u2 − u3 = . Därför λu∈W och därmed är Vilkor3 uppfyllt.
---
Generalisering: På samma sätt som i ovanstående exempel kan man visa att mängden av
alla vektorer
xn
x x
2 1
vars koordinater satisfierar ett linjärt homogent ekvationssystem är ett
underrum till Rn.
Exempelvis , mängden W av alla vektorer
4 3 2 1
x x x x
vars koordinater satisfierar följande
homogena ekvationssystem 0 7 5
3
0 4 3 2 2
4 3 2 1
4 3 2 1
= +
−
−
= +
− +
x x x x
x x x x
är ett underrum till R4.
Kravet att systemet är homogent är viktigt. Om systemet inte är homogent så nollvektorn tillhör inte W. ( Se nedanstående exempel)
Exempel 3.
Visa att mängden W av alla vektorer
z y x
vars koordinater satisfierar ekvationen 5
8 2
2x+ y+ z= INTE är ett underrum till R3 .
Lösning:
Nollvektorn
= 0 0 0 0
ligger inte i W eftersom 2⋅0+2⋅0+8⋅0≠5. Villkor 1 är INTE uppfyllt och därmed är W INTE ett underrum.
Sida 3 av 10
Exempel 4.
Bestäm om följande mängder är underrum i R4
a) W1 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =0, dvs
W1 = {(0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅} (∗)
b) W2 är mängden av alla vektorer i R4 som har första och tredje koordinaten =1, dvs
W2 = {(1, 𝑥𝑥, 1, 𝑦𝑦), 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅}
Lösning:
a) Om vi väljer x=0 och y= 0 i (*) får vi att ser vi att nollvektorn (0,0,0,0) ligger i W1 och därmed är Villkor1 ( i definitionen för underrum) uppfyllt.
Vi testar Villkor2
Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W1 dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥1, 0, 𝑦𝑦1) och 𝒗𝒗 = (0, 𝑥𝑥2, 0, 𝑦𝑦2)
Då gäller u+v = (0, 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2, 0, 𝑦𝑦1+ 𝑦𝑦2) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0) och Villkor 2 är uppfyllt ( Vi säger att W1 är sluten under addition).
Nu kontrollerar vi Villkor3
Vi antar 𝒖𝒖 ∊ W dvs 𝒖𝒖 = (0, 𝑥𝑥, 0, 𝑦𝑦). Då, för ett tal λ ∊ R , vi har λ𝒖𝒖 = (0, λ𝑥𝑥, 0, λ𝑦𝑦) ∈ W1 ( för första och tredje koord. är 0)
och Villkor3 är uppfyllt ( Vi säger att W är sluten under multiplikation med tal).
Eftersom Villkor1, Villkor2 och Villkor3 är uppfyllda är mängden W1 ett underrum till V.
Svar a) W1 är ett underrum till V.
b)
Vi antar att 𝒖𝒖, 𝒗𝒗 ∊ W2 dvs 𝒖𝒖 = (1, 𝑥𝑥1, 1, 𝑦𝑦1) och 𝒗𝒗 = (1, 𝑥𝑥2, 1, 𝑦𝑦2)
Då gäller 𝒖𝒖 + 𝒗𝒗 = (2, 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2, 2, 𝑦𝑦1+ 𝑦𝑦2) ∉ W2 eftersom koordinater på första och tredje plats är 2 och inte 1 som i mängden W2. Med andra ord summan av två element i W2 hamnar utanför W2. Villkor2 är inte uppfyllt och därför W2 är INTE ett underrum till V. ( Lägg märke till att varken Villkor1 eller Villkor3 är uppfyllt)
Svar b) W2 är INTE ett underrum till V.
BASER
Definition 3 (BAS)
Låt V vara ett vektorrum ( eller underrum) . Vektorerna 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 utgör en bas i rummet V om följande två villkor är uppfyllda:
1. Vektorerna 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är linjärt oberoende
2. Varje vektor i V kan skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 .
Sats ( Antalet element i en bas) . Om 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 är en bas för V då varje bas för rummet V har samma antal vektorer, n.
Sats ( Koordinater för en vektor i en given bas ) .
Sida 4 av 10
Om B=(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är en bas för V då gäller följande: Varje vektor w i rummet V kan skrivas som på exakt ett sätt en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1𝒗𝒗𝟏𝟏+ 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐+ ⋯ +𝑥𝑥𝑛𝑛𝒗𝒗𝒏𝒏 Tal 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 kallas 𝒘𝒘:s koordinater i basen B,
och
xn
x x
2 1
kallas koordinatvektor i basen B.
Sats. Om 𝒖𝒖𝟏𝟏, 𝒖𝒖𝟐𝟐, … , 𝒖𝒖𝒏𝒏 är n oberoende vektorer i ett n- dimensionellt vektorrum V då utgör vektorerna en bas för V.
Definition 4 (DIMENSION)
Om vektorrummet V har en bas med n vektorer säger vi att V har dimension n.
Exempel 4a. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏= 𝒊𝒊 = (1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐= 𝒋𝒋 = (0,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R2 eftersom de är linjärt oberoende och varje (x,y) vektor i R2 kan skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐:
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥(1,0) + 𝑦𝑦(0,1) och R2 har dimension 2.
Exempel 5b. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏= (1,2), 𝒗𝒗𝟐𝟐= (0,2)
utgör också en bas i rummet R2 eftersom de är linjärt oberoende och varje w vektor i R2 kan skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐 ( eftersom ekvationen 𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1𝒗𝒗𝟏𝟏+ 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐 är alltid lösbar)
Exempel 5c. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏= (1,2), 𝒗𝒗𝟐𝟐= (2,4)
är INTE en bas i rummet R2 eftersom de är linjärt beroende.
Exempel 5d. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏= 𝒊𝒊 = (1,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐= 𝒋𝒋 = (0,1,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑= 𝒌𝒌 = (0,0,1) utgör en bas ( standardbasen) i rummet R3
Exempel 5e. Vektorerna
Sida 5 av 10
𝒗𝒗𝟏𝟏= (1,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (2,1,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑= (2,1,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R3 , eftersom de är 3 linjärt oberoende vektorer i R3
Exempel 5f. Vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏= (1,0,0,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,1,0,0), 𝒗𝒗𝟑𝟑= (0,0,1,0), 𝒗𝒗𝟒𝟒= (0,0,0,1)
utgör en bas ( standardbasen) i rummet R4 eftersom de är linjärt oberoende och varje (x,y,z,w) vektor i R4 kan skrivas som en lin. komb. av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑, 𝒗𝒗𝟒𝟒 :
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑤𝑤) = 𝑥𝑥(1,0,0,0) + 𝑦𝑦(0,1,0,0) + 𝑧𝑧(0,0,1,0) + 𝑤𝑤(0,0,0,1) och R4 har dimension 4.
Exempel 6. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐= (0,1,1), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (1,2,2), utgör en bas i tredimensionell vektorrummet R3 .
Lösning:
Vi skriver vektorerna som kolonner i en matris och kollar om de är oberoende:
�1 0 1 1 1 2
0 1 2� ~ �1 0 1 0 1 1
0 1 2� ~ �1 0 1 0 1 1 0 0 1�
Tre ledande variabler implicerar att tre kolonner är oberoende dvs vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 är oberoende. Vi har 3 oberoende vektorer i ett 3 dimensionellt rum och därför utgör vektorerna en bas i rummet.
Svar: Ja
Exempel 7. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐= (0,1,1), 𝒗𝒗𝟑𝟑 = (1,2,1), utgör en bas i trodimensionell vektorrummet R3 .
Lösning:
Vi skriver vektorerna som kolonner i en matris och kollar om de är oberoende:
�1 0 1 1 1 2
0 1 1� ~ �1 0 1 0 1 1
0 1 1� ~ �1 0 1 0 1 1 0 0 0�
Två ledande variabler implicerar att max två kolonner är oberoende dvs vektorerna
𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 är beroende ( Vi ser att 𝒗𝒗𝟑𝟑 =𝒗𝒗𝟏𝟏+ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ) och därför är INTE en bas för rummet R3. Svar: Nej
Exempel 8. Avgör om 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (1,1,0), 𝒗𝒗𝟐𝟐= (0,1,1) utgör en bas i tredimensionellt vektorrummet R3 .
Lösning:
Nej, eftersom varje bas i R3 måste ha 3 vektorer.
Svar: Nej
Exempel 9. Bestäm koordinatvektorn för vektorn w=( 2,4) i basen B=( 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐) där 𝒗𝒗𝟏𝟏= (1,1), 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,2) .
Sida 6 av 10
Lösning:
Vi löser ekvationen
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1𝒗𝒗𝟏𝟏+ 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐
(𝟐𝟐, 𝟒𝟒) = 𝑥𝑥1(𝟏𝟏, 𝟏𝟏) + 𝑥𝑥2 (0,2) och får 𝑥𝑥1 = 𝟐𝟐, 𝑥𝑥2 = 1
och därmed koordinatvektorn i basen B är
= 1 ] 2 [w B
Svar:
= 1 ] 2 [w B
Exempel 10.
Låt S vara underrummet som består av alla vektorer
4 3 2 1
x x x x
vars koordinater satisfierar
följande homogena ekvationssystem
= + + +
= + + +
. 0 6 5 2 2
0 2 2
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
Bestäm en bas till S.
Lösning:
Underrummet S är faktiskt lösningsmängden till det givna ekvationssystemet. Vi löser systemet med t ex Gauss metoden
= +
= + +
⇔ +
+
⇔ −
= + + +
= + + +
0 2
0 2 2 2
1 2 0
6 5 2 2
0 2 2
4 3
4 3 2 1 4
3 2 1
4 3 2 1
x x
x x x x ekv
ekv x
x x x
x x x x
Vi betecknar x2 =s och x4 =t, löser ut ledande variabler och får t
x3 =−2 och x1 =−x2 −2x3 −2x4 =−s−2(−2t)−2t=−s+2t
Alltså } (separerarsoch t-delen)
2 2 {
} {
4 3 2 1
=
− +
−
=
=
t t s
t s
x x x x S
} 1
2 0 2
0 0 1 1 { 2 } 0 2
0 { 0
+ −
−
=
+ −
−
= s t
t t t s
s
.
Med andra ord kan varje vektor i S anges som en linjer kombination av vektorerna
−
= 0 0 1 1 v1
och
= − 1
2 0 2 v2
som är uppenbart oberoende ( kolla själv) vektorer.
Därmed är (v1 ,v2
) en bas till S
Sida 7 av 10
Svar: Vektorerna
−
0 0 1 1
,
− 1
2 0 2
är en bas till S
Exempel 11.
Låt S vara underrummet som består av alla vektorer
z y x
vars koordinater satisfierar följande homogena ekvationen x+2y−3z=0.
Kortare { , +2 −3 =0}
= x y z
z y x S
Bestäm en bas till S.
Lösning:
Vi löser ekvationen dvs vi löser ut den ledande variabeln x z
y x z
y
x+2 −3 =0⇒ =−2 +3
Vi beteckna y= och s z= och får t x=−2s+3t Alltså
+
−
=
− +
=
=
1 0 3
0 1 2 3
2
t s
t s
t s
z y x
S .
Därmed är varje vektor i S en linjer kombination av vektorerna
−
= 0 1 2 v1
och
= 1 0 3 v2
som är uppenbart oberoende ( kolla själv) vektorer.
Därför är är (v1 ,v2
) en bas till S.
Svar: Vektorerna
−
0 1 2
,
1 0 3
bildar en bas till S
LINJÄRT SPANN (eller LINJÄRT HÖLJE)
Definition 5. Linjärt spann (eller linjärt hölje)
Låt S={𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 } vara n vektorer ( beroende eller oberoende) i en vektorrum V.
Mängden av alla linjära kombinationer av vektorerna i S kallas det linjära spannet ( linjära höljet) av S och betecknas Span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ).
Sida 8 av 10
Span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är ett underrum till V.
Dimensionen av Span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är lika med ( maximala) antalet oberoende vektorer bland 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 .
Enligt definitionen en vektor w tillhör underrummet Span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) om och endast om w kan skrivas som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏.
Exempel 12.
Låt 𝒗𝒗𝟏𝟏= (0,2,3,0,0) , 𝒗𝒗𝟐𝟐 = (0,4,6,0,0) och 𝒗𝒗𝟑𝟑= (0, −6, −9,0,0) a) Bestäm dimensionen av span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 )
b) Bestäm en bas för span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 ) bland 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 Lösning:
Vi skriver vektorer som kolonner i en matris och överför matrisen till trappstegsform:
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎡ 0 0 0
2 4 −6
3 6 −9
0 0 0
0 0 0
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎤
~
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎡ 2 4 −6
3 6 −9
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎤
~
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎡ 2 4 −6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎤
~
⎣⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎡ 1 2 −3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎦⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎤
En ledande etta. Max antal oberoende kolonner är 1 och därmed Max antal oberoende vektorer är 1. span(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, 𝒗𝒗𝟑𝟑 ) har dimension 1.
En bas är 𝒗𝒗𝟏𝟏 = (0,2,3,0,0) (svarar mot ledande ettan i trappstegsform).
Exempel 13.
Låt
=
1 0 2 , 0 1 1 ( Span
S ) Bestäm om vektor v
tillhör S om
a)
= 1 2 4 v
b)
= 3 2 4 v
. Lösning:
Enligt definitionen en vektor v
tillhör underrummet
=
1 0 2 , 0 1 1 ( Span
S om och endast om v
kan skrivas som en linjär kombination av vektorerna
=
=
1 0 2 och
0 1 1
2
1 v
v
.
a) Ekvationen v = xv1+ yv2 dvs
+
=
1 0 2
0 1 1
1 2 4
y
x skriver vi som ett ekvationssystem med 3 skalära ekvationer:
Sida 9 av 10
=
=
= +
1 2
4 2
y x
y x
som har lösningen x=2,y=1. Alltså är vektorn v
en linjär kombination av v1 och v2
och därför ligger i S.
b) Ekvationen
+
=
1 0 2
0 1 1
3 2 4
y
x dvs systemet
=
=
= +
3 2
4 2
y x
y x
saknar lösning (x=2 och y=3 satisfierar inte första ekvationen).
Vektorn
3 2 4
är inte en linjär kombination av vektorerna v1 v,2
och därför inte tillhör S.
Svar a) Ja b) Nej
Sida 10 av 10
