Något om Vektorer och Mathematica

Något om Vektorer och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till vektorer i planet och rummet med flitig användning av Mathemat- ica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Vektorbegreppet

Inom naturvetenskap finns många storheter som är bestämda av ett enda tal, storhetens mätetal, t.ex. massa, temperatur, längd, vinkel eller fart. Sådana storheter kallas för en skalär. Det finns emellertid också storheter som utöver mätetal även har en riktning.

En sådan storhet kallas vektor och har både riktning och längd (ibland också kallad storlek eller belopp). Dess längd är en skalär.

Det typiska exemplet är hastighet som är en vektor och dess längd som kallas fart. Eftersom vi inte kan avgöra åt vilket håll vi kör när vi tittar på bilens “hastighetsmätare” har vi alltså strängt taget inte en hastighetsmätare i bilen utan en fartmätare! Ett annat exempel är kraft som har både längd (storlek) och en speciell riktning.

En vektor betraktas ibland som enriktad sträckamellan två punkter och åskådliggörs vanligtvis med en pil som då både visar dess längd och riktning. Man talar om vektornsstartpunktfotpunktA och slutpunktspetsB. Vanligtvis betecknas en vektor med små feta bokstäver, exempelvis v eller , vilket utläses “vektorn v”.

Typiska undantag är i mekanik där man av tradition använder beteckningar som , och för en kraftvektor och för ett kraftmo- ment. Ibland ser man också de lite äldre beteckningarna v och v. Längden skrivs med motsvarande enkla font v eller med belopp- stecken . Längden är alltså en skalär, ett tal, och sambandet mellan skrivsätten är v .

I Mathematica skrivs feta bokstäver, t.ex. v eller , med “fet italiensk” font respektive dsv , där ds står för double-struck.

Författaren brukar vara konsekvent och använda det senare både i Mathematica och för hand. För att öka läsbarheten brukar man ofta pynta ett namn med en för vektorn typisk egenskap, exempelvis om pekar åt samma håll som . Läsaren uppmuntras att följa denna vana. Inte sällan används grekiska bokstäver. Dessa hämtas ur palette eller direkt på tangentbordet som bokstav , t.ex. Α a , Β b , Μ m , j och Θ q osv. Det går naturligtvis lika bra att använda vanliga tecken!

ť Enhetsvektor och nollvektor

Om en vektor har längden ett, det vill säga 1, kallas den för enhetsvektor och är en mycket viktig byggsten när man mod- ellerar och löser problem. För denna brukar man ofta reservera namn som , , , (enhetsvektor) eller (unit vector). En vektor som har längden noll kallar vi för nollvektor och reserverar namnet för denna. Skilj noga på vektorn och talet 0, sambandet dem emellan är 0.

ť Likhet för vektorer

Två vektorer och säges vara lika, vilket skrivs , om antingen och har samma längd och samma riktning eller båda är nollvektorer. Om de inte är lika skriver vi .

Alla vektorer som är lika långa och riktade åt samma håll är lika.

Exempel: Tre vektorer som är lika.

ť Addition, subtraktion och multiplikation med skalär

Addition och subtraktion mellan vektorer liksom multiplikation av en vektor med en skalär ger nya vektorer. Dessa definieras så att man geometriskt får en analogi med kraftbegreppet i mekanik.

Vi ser att addition är kommutativ . Vid multiplikation av en vektor med en skalär, s , får vi som resultat en ny vektor med längden s s som förblir längs samma syftlinje som . Om s 0 säger vi att vektorn får motsatt riktning. Se figur ovan hur olika s påverkar en given vektor . Med vektorn menas vektorn 1 . Vi har också utnyttjat likhet för vektorer när vi ritat upp “additionsparallellogrammen”. Man talar ibland om olika representanter för samma vektor.

Räknelagar: Om , och är godtyckliga vektorer och s och t reella tal gäller

1 kommutativa lagen 6 s t s t distributiva lagen

2 associativa lagen 7 s t st

3 8 1

4 9 1

5 s s s distributiva lagen

ť Parallella vektorer

Två vektorer och säges vara parallella om de har samma riktning eller är motsatt riktade mot varandra eller om minst en av vektorerna är en nollvektor. Nollvektorn är alltså parallell med alla andra vektorer! Att och är parallella skrivs ͒  ͓ och betyder praktiskt att de ligger på samma syftlinje och kan därmed bringas att övertäcka varandra genom att den ena multipliceras med en skalär. I figuren ovan till höger som exemplifierar multiplikation av vektor med skalär är alltså alla fem vektorerna parvis parallella med varandra. Parallellitet är en mycket viktig byggsten vid problemlösning och återkommer i tid och otid!

Parallellitet: s

ť Koordinatsystem, komposanter, komponenter och index

I rummet, det vill säga i tre dimensioner som vanligtvis betecknas ³, representeras vektorer med fördel i ett så kallat ortonormerat koordinatsystem, ON-system. Om inget speciellt sägs antar man alltid att man befinner sig i ett sådant! Detta består av en given punkt origo och spänns upp av parvis vinkelräta(=Ortogonala) basvektorer som är enhetsvektorer(=Normerade); , och i de tre koordinatriktningarna x, y respektive z. Man talar om koordinatsystemets koordinataxlar x-axeln, y-axeln och z-axeln.

Vanligtvis använder man ett så kallat högerorienterat system för att bestämma det inbördes förhållandet mellan koordinatrikt- ningarna. Motsvarigheten i planet, två dimensioner ², kommer sedan ut som ett specialfall genom att enbart betrakta och med tillhörande x och y.

Inte sällan brukar man pynta namnet på en vektor för att understryka en väsentlig egenskap, t.ex. x för en vektor som pekar i positiv x-riktning. Exempelvis ser man ibland att de tre basvektorerna , och betecknas med x, y respektive z eftersom de är enhetsvek- torer och pekar i var sin koordinatriktning. Ofta nämner man synonymt de olika koordinatriktningarna med deras ordningstal, det vill säga x 1, y 2 och z 3. Det ska alltså inte vålla någon förvirring om vi i text eller figur skriver 2 i stället för y.

En godtycklig vektor kan nu skrivas som summan av vektorer som är parallella med koordinatriktningarna. Dessa kallas vektorns komposanter. Dessa kan i sin tur skrivas som en lämplig skalär gånger basvektorn. Dessa skalärer kallas vektorns komponenter.

Skilj noga på dessa två begrepp; komposant en vektor och komponent en skalär!! Nyckeln till problemlösning ligger faktiskt i denna till synes harmlösa lek med ord!

1 2 3 v1

1

v2



2

v3



3

v1, v2, v3 vx, vy, vz

Efter första likhetstecknet står summan av :s tre komposanter som är vektorer och efter det andra likhetstecknet motsvarande nedbrytning i komponent gånger basvektor och slutligen efter det tredje och sista likhetstecknen det nedbantade skrivsättet med :s tre komponenter som alltså är de skalärer man ska multiplicera basvektorerna med. Inte sällan skriver man i ingenjörssammanhang en vektors komponenter på kolonnform (högkant)

vx

vy

vz

, detta för att göra en distinktion med det närbesläktade begreppet punkt, som skrivs Px, Py, Pz. I fortsättningen ansluter vi oss till denna nomenklatur. För att spara plats i löpande text ser man ofta kolonnfor- men skriven vx, vy, vz . Man bör vänja sig vid båda skrivsätten! Addition och subtraktion definieras komponentvis. Vi ser nu tydligt att addition är kommutativ .

vx

vy

vz

wx

wy

wz

vx wx

vy wy

vz wz

wx vx

wy vy

wz vz

vx

vy

vz

wx

wy

wz

vx wx

vy wy

vz wz

wx vx

wy vy

wz vz

Definition av multiplikation med en skalär s sker lika naturligt såsom likhet mellan vektorer givna på komponentform

s s

vx

vy

vz

svx

svy

svz

vxs vys vzs

s

vx wx

vy wy

vz wz

I Mathematica representeras vektorer av en lista, det vill säga inom {}. Sedan är det bara att räkna på!

2, 3, 5 ; 1, 1, 3 ;

Addition 2, 3, 5 1, 1, 3 2 1 , 3 1, 5 3 1, 4, 2 .

1, 4, 2

Multiplikation med skalär 2 2 2, 3, 5 2 2, 2 3, 2 5 4, 6, 10 . 2

4, 6, 10

Kombination 4 3 4 1, 1, 3 3 2, 3, 5 4 1 3 2, 4 1 3 3, 4 3 3 5 10, 5, 27 .

4 3

10, 5, 27

Likhet skrivs som vanligt med två “=”-tecken i Mathematica precis som vid ekvation.

True

Synsättet att ange de olika koordinatriktningarna med deras ordningstal, det vill säga x 1, y 2 och z 3, är direkt översättbart till begreppet index i en vektor eller lista. Om man i Mathematica är speciellt intresserad av någon av vektorns komponenter kan denna enkelt hämtas/modifieras med indicering, t.ex. y-komponenten [[2]]. Detta kan också skrivas lite mer kompakt på tangentbordet som [[ 2 ]] , med resultatet 2 , eller varför inte använda palette 2. Vi provar

2 , 2 , 2

3, 3, 3

3, 1 5, 2

1 10;

10, 3, 5

Exempel: I Mathematica finns stöd för att rita både två- och tredimensionella vektorer. Se vidare Arrow.

Lösningsförslag: Rita en liten pil i 2D!

Graphics Red, Arrowheads Medium , Arrow 0, 0 , 1, 1 , Axes True, AxesLabel "x", "y"

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 y

ť Punkt och ortsvektor

Läget av en punkt i ett koordinatsystem anges med dess koordinater. Släktskapet med vektor är nära. För att inte förväxlas skrivs oftast en punkt med stor enkel bokstav. Koordinaterna skrivs i motsats till vektorer på radform

P Px, Py, Pz x, y, z

Inte sällan brukar man liksom för vektorer pynta namnen med ett subindex P1, QL. Den direkta kopplingen mellan en punkt P och en vektor är begreppet “ortsvektor för punkten P”. Denna går från koordinatsystemets origo O, en punkt, till punkten P och definieras helt enkelt av att koordinaterna för P blir ortsvektorns komponenter på kolonnform. Att ange en vektor från en punkt till en annan med punkternas namn och en “pil på taket” är tydligt självdokumenterande. Så OP Px, Py, Pz är ortsvektorn för punkten P. En vektor från punkt P1 till punkt P2 definieras sedan som

P1P2 OP2 OP1

x2

y2

z2

x1

y1

z1

Lägg märke till ordningen! Man kan inte “räkna” med punkter. Om någon påstår det så är det förmodligen ortsvektorerna som avses!

Uttryck av typen P1 P2 eller P1 saknar alltså mening.

ť Längd, storlek eller belopp

Ständigt behöver man räkna ut längden av en vektor. Denna definieras naturligt som “Pytagoras sats i tre dimensioner”

v v_x² v²_y v²_z

Lite beroende på vilken fysikalisk storhet vektorn representerar används ofta storlek eller belopp som synonymer till längd. Ibland ser man också att längden, precis som i figuren ovan, anges med dubbla beloppstecken för att understryka dess nära släktskap med det mer generella begreppet norm. Ur definitionen inser vi att 0 och att nollvektorn måste ha alla sina komponenter lika med noll, eftersom 0.

Exempel: Bestäm längden av vektorn 1, 2, 3 .

Lösningsförslag: Direkt tillämpning på formeln ovan ger 1, 2, 3 1² 2² 3² 14 . Se till att negativtecken kommer med i kvadreringen, det vill säga plustecknen i formeln är alltid plustecken! I Mathematica finns funktionen Norm[ ].

Norm 1, 2, 3 14

ť Linjärt beroende

Låt 1, 2, , n vara givna vektorer och Λ₁,Λ₂, ,Λ_n godtyckliga tal. En vektor på formen Λ1 1 Λ2 2 Λn n

kallas för en linjärkombination av vektorerna 1, 2, , n. Man säger att vektorerna 1, 2, , n är linjärt beroende om minst en av vektorerna kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga. I motsatt fall kallas vektorerna för linjärt oberoende. Två vanliga formuleringar i sammanhanget är

Vektorerna 1, 2, , n är linjärt beroende om och endast om det finns tal Λ₁,Λ₂, ,Λ_n, som inte alla är 0, så att Λ1 1 Λ2 2 Λn n .

Om vektorerna 1, 2, , n är linjärt oberoende och uppfyller likheten Λ1 1 Λ2 2 Λn n , så måste Λ1 Λ2 Λn 0.

Linjärt oberoende vektorer kan vi använda som basvektorer för att bygga koordinatsystem som, i motsats till de ON-system vi känner sedan tidigare, varken är ortogonala eller normerade. Sådana baser eller koordinatsystem kallar vi snedvinkliga.

ť Skalärprodukt

Skalärproduktmellan två vektorer skrivs och definieras cosΘ,

därΘär vinkeln mellan vektorerna.

Även beteckningen , används ibland och inte sällan ser man bara . Den sistnämnda varianten är odramatisk eftersom man lätt kan avgöra vilken multiplikation som skall åkallas vid ”st”, “s ” respektive “ ” genom att helt enkelt rådfråga vilka typer som är inblandade. Som namnet antyder och bekräftas av högerledet så är skalärprodukten en skalär, ett tal. Vi ser också av högerledet att den är kommutativ, det vill säga .

Räknelagar: Om , och är godtyckliga vektorer och s reellt tal gäller

1 kommutativa lagen 3 distributiva lagen

2 s s s 4 0

Eftersom både och är positiva kommer skalärproduktens tecken att bestämmas av cosΘ. I figuren nedan åskådliggörs detta faktum att skalärprodukten är positiv om vektorerna bildar spetsig vinkel, negativ om de bildar trubbig vinkel och noll då vektorerna bildar rät vinkel.

Att skalärprodukten är noll då vektorerna bildar rät vinkel är en viktig och ständigt återkommande byggsten vid modellering. Man säger att vektorerna är ortogonala.

Vinkelräthet: 0

Definitionen av skalärprodukt används endast då Θ söks. Med kända komponenter i ett ON-system räknas den i stället ut som uxvx uyvy uzvz

ty med de parvis ortogonala enhetsvektorerna , och har vi ux uy uz vx vy vz

uxvx

1

uxvy

0

uxvz

0

uyvx

0

uyvy

1

uyvz

0

uzvx

0

uzvy

0

uzvz

1

uxvx uyvy uzvz vxux vyuy vzuz

Skalärprodukt skrivs i Mathematica med en “vanlig” punkt. Utan den blir det listoperation som saknar mening i vektorernas värld!

Exempel: Bestäm skalärprodukten mellan vektorerna 1, 2, 3 och 3, 4, 5 . Lösningsförslag: Eftersom vi känner vektorernas komponenter får vi direkt

1, 2, 3 3, 4, 5 1 3 2 4 3 5 20

1, 2, 3 . 3, 4, 5 20

Skalärprodukt utgör bland annat ett smidigt sätt att räkna ut längden av en vektor

v v_x² v²_y v²_z vxvx vyvy vzvz

Eftersom den behövs i tid och otid är det på sin plats att definiera en liten händig funktion för ändamålet. Tyvärr kan vi inte använda vanliga | när vi definierar funktionen, eftersom den är upptagen till annat i Mathematica, utan väljer några snarlika som skrivs l|

till vänster (left) och r| till höger (right) om argumentet. Om man inte uppskattar “svåra” ackord på tangentbordet går det naturligtvis lika bra att använda den i Mathematica inbyggda funktionen Norm[ ].

: .

1, 2, 3 , Norm 1, 2, 3

 14 , 14

Exempel: Sök vinkeln mellan vektorerna 3, 2, 4 och 1, 1, 2 . Lösningsförslag: Enda tillfället då definitionen används!

3, 2, 4 ; 1, 1, 2 ;

Vi får 3 1 2 1 4 2 7, 3² 2² 4² 29 och 1² 1² 2² 6 , varav slutligen Θ arccos ⁷

29 6 . I Mathematica levereras, som vi vet, vinklar i radianer. Vi kollar av hela resan, samt med VectorAngle.

 . , , , ArcCos

.

, VectorAngle , 

 7, 29 , 6 , cos ¹ 7

174 , cos ¹ 7 174 ^

Om vi vill ligga nära modelleringen, utan att lösa ut Θ för hand, som ju är en potentiell felkälla, kan vi välja att använda någon av

Solve . Cos Θ , 0 Θ Π , Θ , FindRoot . Cos Θ , Θ, Π

2

 Flatten

Θ cos ¹ 7

174 ,Θ 2.13019

ť Cauchy-Schwarz olikhet

För godtyckliga vektorer och gäller Cauchy-Schwarz olikhet

ty om Θ är vinkeln mellan dem så är cosΘ cosΘ , eftersom cosΘ 1. Observera att vänsterledet i Cauchy-Schwarz är absolutbeloppet av skalärprodukten (talet) , medan högerledet är produkten av vektorernas längder. Olikheten kommer till användning i diverse teoretiska överläggningar och kan också skrivas . Namnet refererar till upphovsmännen Augustin Louis Cauchy (1789-1857) och Herman Amandus Schwarz (1843-1921).

ť Triangelolikheten

För godtyckliga vektorer och gäller triangelolikheten

eftersom ^{2 2} 2 ^{2 2} 2 ^{2 2} med

hjälp av Cauchy-Schwarz olikhet . Första och sista led är kvadrater på icke-negativa tal, så rotutdragning ger sedan det önskade resultatet. En geometrisk tolkning är att längden av en sida i en triangel är mindre än eller lika med summan av de båda andra sidornas längder. Detta motiverar namnet.

ť Enhetsvektor att räkna med

En mycket vanlig beräkningsatom i linjär algebra och mekanik är enhetsvektor pekande från en punkt mot en annan punkt, det vill säga i samma riktning som en given vektor. Rustade med vår nyvunna kunskap kan vi nu genomföra erforderlig kalkyl. Sök enhetsvektor i samma riktning som given vektor .

s 1^def s s ^{s 0}s s ^{1 1}

Notera att uttrycket med division, , ska ses som ett kompakt skrivsätt för multiplikation med en skalär ¹ . I Mathematica finns Normalize[ ] som bestämmer en enhetsvektor i riktning , men vi definierar en egen liten funktion som ligger nära det vi skriver för hand. Denna kommer till flitig användning vid problemlösning!

:

Om A är ortsvektor för punkten A och analogt för punkten B har vi vektorn från A till B som AB B A. Så enhetsvektorn

AB ^AB

AB. Även detta är så vanligt förekommande så man kan inte låta bli att definiera

A ,B : B A

Notera att Mathematica har inga problem med att skilja de två funktionerna åt, trots samma namn, eftersom de har ett respektive två argument. Vi provkör på enhetsvektorn från punkten 3, 2, 5 till punkten 2, 6, 1 . Handräkning i nästa exempel.

3, 2,5 , 2,6,1

 5

21 , 8

105 , 4

105 ^

Enhetsvektorn längs ortsvektorn för den första punkten

3, 2,5

 3

38 , 2

19 , 5 38 ^

Vi sammanfattar det som kommer till ständig användning vid modellering och problemlösning.

En vektor kan alltid brytas ner i sina två atomer, längd gånger enhetsvektor i rätt riktning, .

Exempel:Bestäm vektorn från punkten A till punkten B, dess längd samt en enhetsvektor i samma riktning. Bestäm slutligen en vektor som har längden 5 och samma riktning som .

Lösningsförslag: Vi får direkt den sökta vektorn AB OB OA 2, 5, 0 0, 0, 4 2, 5, 4 . 2, 5, 0 0, 0, 4

2, 5, 4

med längden a_x² a²_y a_z² 2² 5² 4² 45 3² 5 3 5

3 5

Enhetsvektorn i :s riktning _{3 5}¹ 2, 5, 4 .

 2

3 5 , 5

3 , 4

3 5 ^

Slutligen formas den önskade vektorn av sina två atomer 5 5 5 ¹

3 5 2, 5, 4 ¹₃ 2, 5, 4 . 5

2 3,5

3, 4 3^

Exempel:Bestäm kraften i linan om en vantskruv i punkten B är åtdragen till 100 N.

Lösningsförslag: Typiskt fall då vi har kraften angiven i sina beståndsdelar storlek och riktning. Riktningen blir ju densamma antingen man pekar med hela armen eller bara “finger”! Det vi söker är en enhetsvektor från punkten A 5, 0, 2 till punkten B 3, 1, 0 för då kan kraften skrivas som produkten av sin storlek och enhetsvektor i rätt riktning, F A,B.

Nu är det bara att räkna på A,B AB AB

3,1,0 5,0,2 3,1,0 5,0,2

2,1, 2 2,1, 2

2,1, 2 2² 1² 2²

1

3 2, 1, 2 .

5,0,2 , 3,1,0

 2 3,1

3, 2 3^

100 5,0,2 , 3,1,0

 200 3 ,100

3 , 200 3 ^

Skalärprodukt används mycket flitigt vid modellering i diverse tillämpningar så som att räkna ut ett arbete eller att bestämma en projektion. Det sistnämnda behandlas under ett senare avsnitt.

Exempel:Sök det arbete som kraften om 100 N uträttar under skådespelet som återges i figuren. Enheten på x–axeln är meter.

Lösningsförslag: Arbete är ju lika med kraftens storlek i vägens riktning gånger sträckan, det vill säga A FcosΘs vilket inte är något annat än skalärprodukt om vi betraktar både kraft och väg som vektorer A . Mathematica arbetar alltid med vinklar i radianer. Omräkning av grader till radianer görs som vanligt med hjälp av ₁₈₀^Π eller vackrare med deg som då resulterar i ett . Ta för vana att alltid räkna i 3D. Först kraften och vägen på vektorform. Här har vi användning för den “trigonometriska” enhetsvek- torn _Θ cosΘ, sinΘ, 0 , där Θ som vanligt räknas positiv moturs från positiva x-axeln, vilket är positiv vridning kring z-axeln.

100 Cos 60 , Sin 60 , 0

50, 50 3 , 0

50, 0, 0 0, 0, 0 50, 0, 0

sedan arbetet i Nm med skalärprodukt .

2500

Exempel: Sök arbetet då en kraft på 5 N i riktning 1, 3, 2 flyttar en låda 8 m i riktning 2, 3, 1 .

Lösningsförslag: Arbetet ges av skalärprodukt A , där och måste vara givna på vektorform. Så ännu en övning på att sätta ihop en vektor utgående från dess längd och riktning.

5 _{1,3, 2}

 5 14 , 15

14 , 5 2 7 ^

8 _{2,3, 1}

8 2 7 , 12 2

7 , 4 2 7 ^

Varav arbetet . Nm 260 Nm

7

Exempel:Genom att använda integral kan vi även ta hand om fallet då både väg och kraft varierar under resan. Sök det arbete som kraften ^x, 1 uträttar då den släpar en grön boll uppför cosinusbacken y x 1 cos x , x 0,Π.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y

x ^x,1

Lösningsförslag: Här varierar både kraft och väg med parametern x. Genom att ta på oss integralglasögen inser vi att en studie av en liten del av resan med efterföljande sammanslagning leder till målet. Så under den lilla förflyttningsvektorn vid x uträttas det lilla arbetet A x, y 1, _x^y x, med exempelvis enheten Nm. Nu är det bara att lägga samman alla små bidrag som vanligt A _A A _a^b 1, _x^y x, dvs

A ₀^ΠFxx , Fyx 1, ^y_x x ₀^{Π x}, 1 1, sin x x ₀^{Π x} sin x x ^x cos x ₀^Π 3 ^Π. Eller med Mathematica



0 A

A 

0 Π

x, 1 . 1, D 1 Cos x , x x TrigToExp

A 3 ^Π

Naturligtvis går det bra att generalisera till 3D och allmänna kurvor på parameterform s x s , y s , z s . Vi får då A x, y, z Fxs , Fys , Fzs  _s^x, ^y_s, ^z_s s A _A A _s

a

s_b

Fxs , Fys , Fzs  ^x_s, ^y_s, ^z_s s.

ť Projektion

Ett mycket vanligt behov vid modellering är ortogonal projektionav en vektor på en annan vektor . Man talar om :s skugga på . Resultatet är en ny vektor

s som uppenbarligen ligger på den syftlinje som pekas ut av . Projektionsvektorn brukar emellanåt skrivas på pyntad form proj för att verkligen dokumentera sin historia.

Att härleda detta resultat är förmodligen den enskilt viktigaste övningen man kan underkasta sig. Nyckeln till förståelse och modeller- ing med vektorer baseras nämligen på två mycket grundläggande samband som återkommer jämt och ständigt.

1. parallellitet: s

2. vinkelräthet: 0 s 0 s

Projektion ͍ av ͓ på ̿:

Notera att det är olika multiplikationer inblandade! Först måste två skalärprodukter genomföras. Kvoten mellan dessa tal (skalärer) är sedan det tal (skalär) som slutligen ska multipliceras med. Självklart är proj proj . Rita gärna en förtydligande bild!

Försäkra dig ännu en gång att du har förstått härledningen i detalj! Slutligen besparar vi oss kommande skrivarbete genom att definiera en smidig funktion, alternativt använda den i Mathematica inbyggda funktionen Projection , .

proj : .

.

Exempel: Bestäm projektionen av 3, 2, 4 på 1, 1, 2 .

Lösningsförslag: Härledningen ovan med hjälp av parallellitet och vinkelräthet är mycket viktig att kunna! Räkna sedan på i rätt ordning: 3 1 2 1 4 2 7 och 1 1 1 1 2 2 ² 6. Så projektionen av på blir alltså

7 6

7

6 1, 1, 2 . Vi kontrollräknar med vår lilla funktion. Samt det självklara att proj proj i allmänhet, utom då vektorerna är ortogonala, då har vi .

proj_{1, 1,2} 3, 2, 4

 7 6,7

6, 7 3^

proj_{3,2, 4} 1, 1, 2

 21 29, 14

29,28 29^

Exempel: Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som projektionen av 1, 1, 2 på 3, 2, 4 . Lösningsförslag: Operationerna måste göras i rätt ordning. Först projektion, sedan normering. Inte tvärtom!

proj3,2, 4 1, 1,2

 3

29 , 2 29 , 4

29 ^

Projektion är ett mycket viktigt begrepp i mekanik eftersom både krafter och moment är vektorer som “ständigt” ska projiceras på andra vektorer! Studera figuren ovan noga! Behovet att dela upp en vektor i två vinkelräta komposanter är mycket vanligt och återkommer i tid och otid. Dessa blir och eftersom .

Exempel:Dela upp kraften 1i två vinkelräta komposanter, parallell respektive vinkelrät mot 2.

Lösningsförslag: Börja med krafterna.

1 200 Cos 30 , Sin 30 , 0

100 3 , 100, 0

2 300 Cos 30 40 , Sin 30 40 , 0 300 sin 20 , 300 cos 20 , 0

Därefter den parallella komposanten med projektion.

1 2 proj

2 1 Simplify

100 sin 20  3 sin 20 cos 20 , 100 cos 20  3 sin 20 cos 20 , 0

Sedan den vinkelräta komposanten.

1 2 1 1 2 Simplify

100 cos 20  3 cos 20 sin 20 , 100 sin 20  3 cos 20 sin 20 , 0

Avslutningsvis några ängsliga kontroller Ser ut att vara i sin ordning!

2. 1 2, 1 2. 1 2, 1 2 1 2 1 Simplify 0, 0, True

ť Vektorprodukt (kryssprodukt)

Vektorprodukt mellan två vektorer resulterar i en ny vektor som entydigt definieras av tre egenskaper

1. sinΘ .

2. och .VIKTIGT
Vektorn vinkelrät mot både och 3. , , ska bilda ett högersystem. Se figur.

För att skilja vektorprodukt från tidigare produkter vi kommit i kontakt med måste -tecknet alltid skrivas ut, .

Räknelagar: Om , och är godtyckliga vektorer och s reellt tal gäller

1 kommutativa lagen gäller ej 4 distributiva lagen

2 s s s 5

3 distributiva lagen 6

Med kända komponenter i ett ON-system räknas den ut som

ux uy uz

vx vy vz

uyvz uzvy

uxvz uzvx

uxvy uyvx

ty med de parvis ortogonala enhetsvektorerna , och har vi ux uy uz vx vy vz

uxvx uxvy uxvz uyvx uyvy uyvz uzvx uzvy uzvz

uyvz uzvy uzvx uxvz uxvy uyvx uyvz uzvy, uxvz uzvx, uxvy uyvx

Notera att vektorprodukt endast är definierad i tre dimensioner. Om man vill räkna med någon slags tvådimensionell variant, inte helt ovanligt i mekanik, får man lov att “hänga” på en nolla som z-komponent i vektorerna.

I Mathematica används funktionen Cross[ , ], eller lite snyggare cross som resulterar i . Om man väljer ur paletten så gäller det att välja rätt kryss! Det lilla ( ) är vektorprodukt medan det stora ( ) betyder vanlig (list)multiplikation!

Exempel: Sök vektorprodukten då 3, 2, 4 och 1, 1, 2 . Lösningsförslag: Räkna på enligt receptet ovan

3 2 4

1 1 2

2 2 4 1

3 2 4 1

3 1 2 1

0 10

5

0, 10, 5

3, 2, 4 ; 1, 1, 2 ; 0, 10, 5

Observera att vektorprodukt inte är kommutativ som skalärprodukt. Däremot är .

True

Förutom diverse geometriska tillämpningar är den typiska användningen i mekanik att räkna ut kraftmoment.

Exempel: Sök en vektor som är vinkelrät mot både 3, 2, 4 och 1, 1, 2 .

Lösningsförslag: Typisk användning av vektorprodukt. Kontrollräkna gärna för hand likt föregående exempel!

3, 2, 4 ; 1, 1, 2 ;

0, 10, 5

Kontroll av vinkelräthet.

. , . 0, 0

Exempel:Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna 2, 1, 3 och 1, 3, 2 .

Lösningsförslag: Ur figuren ovan ser vi att arean A basen höjden sinΘ. Men detta är ju inget annat än beloppet av vektorprodukten, så arean av parallellogrammen A ͒ ˾ ͓ . Notera att om så är och arean noll som sig bör. Men här arean av en “sund” parallellogram. Kontrollräkna för hand ännu en gång!

2, 1, 3 1, 3, 2 3 19

Exempel:Sök arean av triangeln i figuren.

Lösningsförslag: Detta är en direkt tillämpning på exemplet ovan. Triangelns area är precis hälften av arean för motsvarande parallellogram. Först vektorerna som spänner upp triangeln P1P2 och P1P3

1, 0, 2 2, 2, 0 3, 2, 2

0, 4, 3 2, 2, 0 2, 2, 3

Slutligen den efterlängtade triangelarean 1

2 15

2

Exempel:Sök volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna , och .

Lösningsförslag: Ur figuren ovan ser vi att volymen V basytan höjden h cosΘ, där Θ är vinkeln mellan vektorerna och . Vi känner igen definition på skalärprodukt, så volymen av parallellepipeden V ͒ ' ͓ ˾ ͔. Detta kallas för skalär trippelprodukt och som namnet antyder levererar den en skalär som resultat. Eftersom man kan permutera (välja ordningen på) vektorerna på 3 2 1 6 sätt får vi på grund av vektorprodukten tre positiva volymer och tre negativa, som till beloppet är lika.

Exempel:Sök det kraftmoment kring origo som kraften 2, 1, 2 orsakar.

Lösningsförslag: Även detta är typexempel på användning av vektorprodukt. Om är hävarmen och kraften, båda vektorer, så ges kraftmomentet av vektorn . Obs ordningen! Vidare är ortsvektor för punkten A som har koordinaterna A 5, 0, 2 , det vill säga OA.

5, 0, 2 ; 2, 1, 2 ; Varav momentet kring origo.

2, 6, 5

Notera att är vinkelrät mot både och som sig bör!

. , . 0, 0

Exempel:Bestäm kraften i linan om en vantskruv i punkten B är åtdragen till 100 N samt det moment som denna orsakar kring origo.

Lösningsförslag: Väsentligen repris av två tidigare exempel. Kan inte skada! Återigen kraften på vektorform F A,B. Nu är det bara att räkna på. Kontrollräkna för hand!

5,0,2 , 3,1,0

 2 3,1

3, 2 3^

100 5,0,2 , 3,1,0

 200 3 ,100

3 , 200 3 ^

Slutligen ges momentet kring origo av vektorn A B . 5, 0, 2

 200

3 , 200, 500 3 ^

Exempel: När man räknat ut momentet med avseende på en punkt vill man ofta projicera det på en ny axel genom punkten. Pro- jicera momentet i föregående exempel på en axel genom origo med riktningsvektorn 2, 3, 1 .

Lösningsförslag: Här handlar det återigen om projektion. Verkar vara vårt ständigt återkommande bekymmer.

2, 3, 1 ;

Skådespelet ger upphov till två vinkelräta komposanter. Projektionen, det vill säga den som är parallell med , kallas för vridmo- ment kring axeln.

proj

300 7 ,450

7 , 150 7 ^

och den mot vinkelräta komposanten kallas för böjmoment på axeln.

 2300 21 ,950

7 ,3950 21 ^

Båda komposanterna ligger i planet som spänns upp av och .

ť Linjen

En linje L i planet eller rummet bestäms av en givenpunktP0med ortsvektor 0

samt enriktningssvektor . Då kan ortsvektorn för en godtycklig punkt P på linjen skrivas

0 t x, y, z x0, y0, z0 t vx, vy, vz .

Detta kallas linjens ekvation påvektorformellerparameterform. Linjen har oändlig utsträckning och alla punkter på linjen får vi om vi låter parametern t genomlöpa alla reella tal, det vill säga t .

Om vi eliminerar parametern får vi linjens ekvation på normalform t ^{x x}_v⁰

x

y y₀ vy

z z₀ vz . När man modellerar och löser problem är det alltid vektorformen som används!

Exempel: En linje är given på normalform ^{x 1}₂ ^{y 2}₃ ^{z 3}₁. Sök dess vektorform.

Lösningsförslag: Vi får

t ^{x 1}₂ x 1 2t

t ^{y 2}₃ y 2 3t

t ^{z 3}₁ z 3 t

x y z

1 2 3

t 2

3 1

0 t .

Exempel: Sök ekvationen för den linje som går genom punkterna 2, 4, 1 och 5, 0, 7 .

Lösningsförslag: Vi kan exempelvis välja 0 2, 4, 1 och riktningsvektorn 5, 0, 7 2, 4, 1 3, 4, 8 . Exempel: Sök koordinaterna för den punkt som ligger på avståndet tre längdenheter i positiv riktning från P0 på linjen

0 t 1, 3, 2 t 1, 2, 1 .

Lösningsförslag: Vi söker “punkten” 0 3 , där enhetsvektorn och riktad åt samma håll. Observera att vi inte kan gå 3 eftersom inte är en enhetsvektor, 3 3 3 6 3. Sedan tidigare vet vi att , så slutligen den sökta punkten

1, 3, 2 3 _1,2,1

1 3

2 , 3 6 , 2 3 2 ^

Exempel:Sök avståndet från punkten A 5, 4, 3 till linjen L : 0 t 1, 3, 2 t 1, 2, 1 .

Lösningsförslag: När man säger avstånd menar man alltid det kortaste avståndet. Detta innebär att vi ska söka det vinkelräta avståndet från linjen till punkten. Om vi låter vara vektorn från P0 till A och vektorn representera det sökta avståndet har vi situationen i figuren ovan. För lämpligt val av t gäller då

t

0 t 0 t

Det vill säga vektorn t är :s projektion på . Samma visa hela tiden, projektion visar sig vara en “oumbärlig” hjälpreda att ha med sig vid modellering. Nu är det bara att räkna på häng med för hand!

0 1, 3, 2 ; 1, 2, 1 ; 5, 4, 3 0

4, 1, 5 proj

17 6,10

3 , 23 6^

Varav slutligen det sökta avståndet. Fattigare än avståndsvektorn själv!

203 6

Exempel:: Sök spegelpunkten S till punkten A i linjen L i föregående exempel.

Lösningsförslag: Som namnet antyder ligger spegelpunkten lika långt från spegeln fast “på andra sidan”, så A är också spegelpunkt till S. Vi kan fortsätta direkt där vi slutade, men eftersom vi räknade “lokalt” behöver vi placera in bilden globalt och hålla i minnet att definierades att gå från linjen till punkten A. Nu är det bara att spegla fram ortsvektorn för S;

OS 0 2 eller utan “omvägen” om A; OS 0 tA

0 2

 2 3, 8

3,14 3^

Exempel:Sök avståndet mellan linjerna L1: 1 1, 3, 2 s 1, 2, 1 och L2: 2 1, 1, 3 t 1, 3, 2 .

Lösningsförslag: Frågeställningen är av stort intresse för mätingenjörer och lantmätare som arbetar med geografiska informationssys- tem (GIS) eller för en mobiltelefon som räknar ut GPS-koordinater. Då avståndet mellan linjerna är minimalt är avståndsvektorn vinkelrät mot båda linjerna. Detta ger ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer som bestämmer de två parametrarna s och t.

Notera att det måste vara olika parametrar i de två linjerna. Typisk råräkning. Häng mé

2 1

1 1 0

2 2 0

1 1, 2, 1 ;

2 1, 3, 2 ;

1 1, 3, 2 s 1;

2 1, 1, 3 t 2;

2 1

s t 2, 2 s 3 t 2, s 2 t 5

ekv . 1, . 2 0 Simplify 6 s 5 t 7, 5 s 14 t 6 0

sÅt Solve ekv First

s 128

59, t 71 59^

Slutligen avståndet mellan linjerna och var detta inträffar samt den för GIS och GPS intresseranta mätpunkten och mätfelet. Vid GPS genereras siktlinjerna av satelliter, kanske 7-10 stycken. Vi får då ett överbestämt ekvationssystem som måste lösas med minsta kvadratmetoden (MKM), som vi återkommer till.

 ₁, ₂, 1

2 ^{1 2}

, , 1

2

 . sÅt

187 59, 79

59, 10 59^,12

59, 154 59, 35

59^,199 118, 233

118, 45 118^, 25

59 , 25 2 59 ^

ť Planet

Ett plan i rummet bestäms av en givenpunktP0med ortsvektor 0samt ennormalvektor . Då måste ortsvektorn för en godtycklig punkt P i planet uppfylla planets ekvation påvektorform

0 0.

Ibland brukar planets ekvation anges pånormalformeller affin form.

Denna fås genom att expandera vektorformen

0 0 x, y, z x0, y0, z0 nx, ny, nz 0 nxx nyy nzz x0nx y0ny z0nz konstant

0.

När man modellerar och löser problem är det alltid vektorformen som används!

De första och vanligaste planen man stiftar bekantskap med är de som naturligt genereras av koordinatsystemet själv, nämligen koordinatplanen xy-planet, xz-planet och yz-planet. Alla dessa innehåller origo och har basvektorerna , respektive som normalvektorer.

Exempel: Ett plan är givet på normalform 2y 3z 6 0. Sök dess vektorform.

Lösningsförslag: Vi söker 0 x0, y0, z0 och nx, ny, nz . Normalvektorns komponenter kan direkt avläsas som koefficien- terna framför x, y och z i normalformen, så 0, 2, 3 . När det gäller 0 finns det oändligt med punkter i planet att välja på, men som tur är räcker det att hitta en. Efter en stunds funderande inser man att alla plan måste skära minst en koordinataxel, så ett 0

finner man genom att i den givna normalformen succesivt prova de tre fallen

1 : x x0, y 0, z 0 ^? x0 0 x0, 0, 0 2 : x 0, y y0, z 0 ^? y0 0 0, y0, 0 3 : x 0, y 0, z z0

? z0 0 0, 0, z0

Vi provar

1 : 2 0 3 0 6 0 6 0

2 : 2y0 3 0 6 0 y0 3 0 0, 3, 0 .

Exempel:Bestäm det plan som går genom punkterna 2, 4, 1 , 4, 3, 2 och 5, 0, 7 .

Lösningsförslag: Planet är entydigt bestämt av tre punkter om dessa inte ligger på samma linje. Vi kan exempelvis välja den första punkten P1 som P0 2, 4, 1 . Sedan bildar vi de två vektorerna P1P2 OP2 OP1 och P1P3 OP3 OP1, varav slutligen en normalvektor till planet eller . Sätt igång!

4, 3, 2 2, 4, 1 2, 1, 3

5, 0, 7 2, 4, 1 3, 4, 8

4, 7, 5

Man brukar säga att och spänner upp planet.

Exempel:Sök avståndet från punkten A 3, 2, 1 till planet x, y, z 2, 1, 3 1, 1, 2 0.

Lösningsförslag: Resan blir ungefär som vid avståndsberäkning punkt till linje. Om vi låter vara vektorn från P0 till A och vektorn representera det sökta avståndet d har vi situationen i figuren ovan. Vi ser att är :s projektion på , det vill säga

Samma visa hela tiden

3, 2, 1 2, 1, 3 1, 3, 4

1, 1, 2 1, 1, 2

proj

 5 3,5

3, 10 3^

Varav slutligen det sökta avståndet

5 2

3

Exempel:Sök skärningspunkten mellan linjen 1, 3, 2 t 1, 2, 1 och planet x, y, z 2, 1, 3 1, 1, 2 0.

Lösningsförslag: Eftersom skärningspunkten Q ligger både på linjen och i planet är det bara att sätta in linjen i planets ekvation.

Detta bestämmer parametern t, det vill säga hur många steg vi ska ta från den givna punkten på linjen för att nå planet. Nu är det bara att låta Mathematica tugga i sig receptet, men det skadar ju inte att kontrollräkna för hand på ett litet papper vid sidan om

linjen 1, 3, 2 t 1, 2, 1 1 t, 2 t 3, t 2

t_Q Solve linjen 2, 1, 3 . 1, 1, 2 0 First

t 7

Varav slutligen skärningspunkten Q linjen . tQ

8, 11, 5

ť Riktningscosiner och resultanter i mekanik

Ett gammalmodigt och förbryllande begrepp som märkligt nog också dyker upp i moderna läroböcker i mekanik är så kalladeriktningscosiner. Detta är helt enkelt cosinus för de tre rymdvinklarna mellan en given vektor och de tre basvektorerna. Om dessa efterfrågas kan man enkelt visa med skalärprodukt

gör det gärna att de är komponenterna av enhetsvektorn i :s riktning cosΑ

cos Β cosΓ

.

Exempel:I mekanik är man ofta intresserad av summan av två eller flera krafter, en så kalladresultant, dess storlek och vinkel i förhållande till en given riktning, exempelvis x–axeln. Sök resultanten samt lite vinklar till situationen i den vänstra figuren. Facit kan beskådas i den högra.

Lösningsförslag: Mathematica arbetar alltid med vinklar i radianer, men kan anges i grader med hjälp av ₁₈₀^Π eller vackrare med deg som då resulterar i ett . Nu är det bara att räkna

1 200 Cos 30 , Sin 30 , 0

100 3 , 100, 0

2 300 Cos 30 40 , Sin 30 40 , 0 300 sin 20 , 300 cos 20 , 0

1 2

300 sin 20 100 3 , 300 cos 20 100, 0

N 471.09

Enda tillfället då man använder definition av skalärprodukt är när man söker vinkeln mellan två vektorer. För övrigt varnar för- fattaren för “vinkelträsket”. I stället rekommenderas med skärpa användning av de mycket säkrare teknikerna skalärprodukt och projektion om man söker komposanter längs en önskad riktning.

180.0 Π

ArcCos . 1, 0, 0

 54.1634

180.0

Π ArcCos ¹ .

1

 24.1634

Exempel:Vi tar ett exempel till där resultanten hamnar i andra kvadranten.

Lösningsförslag: Vi får direkt resultanten

200 Cos 60 , Sin 60 , 0 150 Cos 60 75 , Sin 60 75 , 0 100 0, 1, 0 N 6.06602, 179.271, 0.

Har man bestämt argument till komplexa tal z a b har man kanske lärt sig “formeln” arg z arctan^b_a Π

om a 0

. Funktionen ArcTan i Mathematica kommer i två smaker, ArcTan^b

a samt ArcTan a, b där man inte dividerat bort eventuell “negativ”

information, ty ^b_a ^b_a och _a^{b b}_a. Denna senare version levererar alltså alltid rätt vinkel i förhållande till x-axeln oberoende av i vilken kvadrant vi befinner oss. Men säkrast i 3D är

180.0 Π

VectorAngle , 1, 0, 0 91.938

ť Vektorvärd funktion av en variabel

I tidigare kurs har vi stiftat bekantskap med en funktion av en reell variabel. Detta begrepp kan enkelt spilla över till en vektorvärd funktion av en reell variabel. Vi låter helt enkelt varje komponent i vektorn vara en funktion av samma variabel. Komponenterna kallas då ofta för koordinatfunktioner. En avsikt med konstruktionen är kanske att följa en punkts läge i rummet eller planet som funktion av tiden t. Om vi låter punktens läge beskrivas med ortsvektorn t x t , y t , z t får vi också naturliga definitioner av begreppen definitionsmängd D och värdemängd V . Vi säger att t är en parameterkurva med parametern t. Definition av derivation och integration gör knappast någon förvånad.

t

t  ^{x t}_t , ^{y t}_t , ^{z t}_t , kallastangentvektortill kurvan t t  x t t, y t t, z t t

Exempel: En karusell har banprofilen r t 5 cos 3t , 5 cos t 3 sin 2t , 5 sin t m, t 0, 2Π s. Låt vagnarna vara små i förhållande till övriga mått.

a. Bestäm banans längd.

b. Bestäm hastighet som funktion av tiden samt största och minsta fart.

c. Bestäm acceleration som funktion av tiden samt beloppet av denna.

Lösningsförslag: Banprofilen, det vill säga läget av en vagn som funktion av tiden.

r 5 Cos 3 t , 3 Cos t Sin 2 t , Sin t ;

Plot r, t, 0, 2 Π , PlotStyle Red, Blue, Green , AxesLabel "t s ", "x t ,y t ,z t m "

1 2 3 4 5 6 ts

20 10 10 20 xt,yt,ztm