Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer och krafter
1 av 5
VEKTORER OCH KRAFTER
Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden 1. ( En enhetsvektor kallas ibland för normerad vektor) Vi behöver ofta bestämma den enhetsvektor som har samma riktning med en given vektor vr ≠0r.
En sådan enhetsvektor er får vi genom att dela vr med dess längd | vr|, v v
e r
r r
|
|
= 1
--- Den vektor wrsom har längden | rw|=L
och samma riktning som en given vektor vr ≠0r bestämmer vi genom
v v L e L
w r
r r r
|
|
⋅ 1
=
=
ÖVNINGAR
Uppgift 1. Bestäm den enhetsvektor som har samma riktning som vektorn vr=(2,3,−3).
Lösning: (2,3, 3)
22 ) 1 3 , 3 , 2 9( 9 4
1
|
|
1 − = −
+
= +
= v
e v r
r r .
Svar: (2,3, 3) 22
1 −
Uppgift 2. Bestäm den vektor wr som har längden 5 och samma riktning som vektorn )
2 , 3 , 1 (− −
=
vr .
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer och krafter
2 av 5
Lösning: Först bestämmer vi den enhetsvektor som har samma riktning som vektorn )
2 , 3 , 1 (− −
=
vr :
) 2 , 3 , 1 14( ) 1 2 , 3 , 1 4( 9 1
1
|
|
1 − − = − −
+
= +
= v
e v r
r r .
Nu är den sökta vektorn
) 2 , 3 , 1 14( 5
|
| 5 1
5 = = − −
= v
e v
w r
r r
r .
Svar: ( 1,3, 2) 14
5 − −
Uppgift 3. Bestäm kraften Fr
vars storlek är 10 (newton) som har samma riktning som vektorn vr=(−4,3,−2).
Lösning: ( 4,3, 2)
29 10
|
|
10 1 = − −
= v
F v r
r r
. Svar: ( 4,3, 2)
29
10 − −
Uppgift 4. Bestäm kraften Fr
som verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten B (1,3,5) om kraftens storlek är 8 (newton).
Lösning: Fr
har samma riktning som vektorn vr=AB→ =(0,2,4) )
2 , 1 , 0 5( ) 8 4 , 2 , 0 20( 8
|
|
8 1 = =
= v
F v r
r r
Svar: (0,1,2) 5 8
Uppgift 5. En kraft 1
→
F av 18 newton verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten B (3,3,2). Kraften 2
→
F av 9 newton verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten C(2,-1,3).
Bestäm
a) resultanten 1 2
→
→
→ =F +F
G och b) storleken |G→|.
Lösning: 1
→
F har samma riktning som vektorn vr=AB→ =(2,2,1) Därför (2,2,1) 6 (2,2,1) (12,12,6)
3 18
|
| 18 1
1= v= = ⋅ =
F v r
r r
2
→
F har samma riktning som vektorn w→ =AC→ =(1,−2,2)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer och krafter
3 av 5 Därför (1, 2,2) 3 (1, 2,2) (3, 6,6)
3 9
|
| 9 1
2 = → →= − = ⋅ − = −
→
w w F
Härav G→ =F→1+F→2 =(12,12,6)+(3,−6,6)=(15,6,12) och därför |→G|=3(5,2,4)=3 45=9 5
Svar: a) G→=(15,6,12) b) |→G|=9 5
Uppgift 6. Krafterna 1
→
F , 2
→
F och 3
→
F i nedanstående figur befinner sig i jämviktsläge dvs
→
→
→
→1+F2+F3 =0
F . Kraften F→3 som är parallell med y-axeln har storleken |F→3|=10 newton (alltså F→3=(0,−10)).
F2
F3 F1
A(1,1)
C(7,13) B(-5,9)
Bestäm krafterna F→1och F→2. Bestäm också krafternas storlekar | 1|
→
F och | 2|
→
F ,.
Lösning: F→1 har samma riktning som vektorn vr=AB→ =(−6,8) Därför Fr1=x⋅AB→ =x⋅(−6,8)
för något tal x .
2
→
F har samma riktning som vektorn w→= AC→ =(6,12) och därför )
12 , 6 (
2 = ⋅ → = ⋅
→
y AC y
F för något tal y.
Kvarstår att bestämma x och y.
För att bestämma x och y använder vi relationen (jämviktsläget)
→
→
→
→1+F2+F3 =0
F dvs
) 0 , 0 ( ) 10 , 0 ( ) 12 , 6 ( ) 8 , 6
(− + ⋅ + − =
⋅ y
x .
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer och krafter
4 av 5 Detta ger två skalära ekvationer
0 0 6
6 + + =
− x y (ekv1) 0
10 12
8x+ y− = (ekv2)
Från (ekv1) får vi y=x som vi substituerar i (ekv2) och får 8x+ x12 −10=0. Härav x=1/2och därefter y=1/2.
Nu har vi ( 6,8) ( 3,4)
2 ) 1 8 , 6
1=x⋅AB→ =x⋅(− = − = − Fr
och därmed |Fr1|=5 . På samma sätt (6,12) (3,6)
2 1
2 = ⋅ → = ⋅ =
→
AC y
F och därmed |Fr2|=3 5
. Svar: Fr1=(−3,4)
, |Fr1|=5
, F→2 =(3,6) och |Fr2|=3 5 .
Uppgift7. Krafterna →F1, F→2 , →F3 och F→4 i nedanstående figur befinner sig i jämviktsläge dvs F→1+F→2+F→3+F→4 =→0. Kraften F→4 som är parallell med z-axeln har storleken |F→4|=10 newton (alltså F→4 =(0,0,−10)).
Bestäm krafterna F→1, F→2och F→3. Bestäm också krafternas storlekar.
Tips: Fr1=x⋅AB→
, F→2 = y⋅AC→ , F→3 = ADz⋅ → Lösning:
) 9 , 6 , 3
1 =x⋅AB→ =x( − Fr
, ) 3 , 3 , 6 (
2 = ⋅ → = −
→
y AC y
F ,
) 12 , 6 , 6 (
3 = ⋅ → = −
→
z AD z F
substitueras i F→1+F→2+F→3+F→4 =→0. Detta ger tre skalära ekvationer
0 6 6
3x+ y− z= (ekv1)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer och krafter
5 av 5 0
6 3
6 − + =
− x y z (ekv2) 0
10 12 3
9x+ y+ z− = (ekv3) .
Härav x=1/3, y=1/3 , z=1/2 och därmed )
3 , 2 , 1 ( ) 9 , 6 , 3
1 = x( − = − Fr
, ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 3 , 6 (
2 = − = −
→
y
F ,
) 6 , 3 , 3 ( ) 12 , 6 , 6 (
3= − = −
→
z
F .
Detta gör storlekar |Fr1|= 14
, |Fr2|= 6
, |Fr3|=3 6 . Svar: Fr1= x(3,−6,9)=(1,−2,3)
, F→2 = y(6,−3,3)=(2,−1,1), F→3 =z(−6,6,12)=(−3,3,6), 14
|
|Fr1 =
, |Fr2|= 6
, |Fr3|=3 6 .
