Kvaternioner och rotationer

(1)

Kvaternioner och rotationer

Fredrik Olin

12 mars 2017

(2)

(3)

Sammanfattning

Kvaternionerna är en fyrdimensionell algebra som introducerades av Sir William Hamilton p˚a 1800-talet. Det var sedan tidigare känt att de komplexa talen, som är en tv˚adimensionell algebra, kan rotera vektorer i tv˚a dimensioner och Hamilton ville hitta tal som kunde rotera vektorer i tre dimensioner. Detta gjorde han i kvaternionera.

(4)

(5)

Inneh˚ all

1 Inledning 2

1.1 Bakgrund och arbetets inneh˚all . . . 2

1.2 R¨aknelagar . . . 3

1.3 Vad ¨ar en algebra? . . . 4

1.4 Algebror med nya element . . . 5

2 Utvidgning av de reella talen 6 2.1 Tv˚a dimensioner . . . 6

2.2 De komplexa talen . . . 7

2.3 Vilka r¨aknelagar uppfyller de komplexa talen? . . . 8

2.4 Komplexa tal och rotationer . . . 9

3 Utvidgning av de komplexa talen 11 3.1 Tre dimensioner . . . 11

3.2 Fyra dimensioner . . . 13

4 Kvaternioner 14 4.1 Addition f¨or kvaternioner . . . 15

4.2 Multiplikation f¨or kvaternioner . . . 15

4.3 R¨aknelagar och egenskaper . . . 17

4.4 Kvaternioner som divisionsalgebra . . . 20

4.5 Skal¨ardel och vektordel . . . 22

5 Rotation med kvaternioner 23 5.1 Rodrigues rotationsformel . . . 23

5.2 Kvaternionrotation . . . 27

5.3 Flera rotationer i en ber¨akning . . . 30

6 Användningsomr˚aden och fördjupning 32 6.1 Varför är kvaternioner bra och vad används de till? . . . 32

6.2 Finns det mer om kvaternioner? . . . 33

(6)

1 Inledning

1.1 Bakgrund och arbetets inneh˚ all

Inom matematik p˚a grundläggande niv˚a, som i grundskolan och vid gymna- sieutbildningar, räknar man i stort sett alltid bara med de reella talen. Men inom matematiken kan man stöta p˚a problem som är olösliga. Eller ˚atminstone olösliga s˚a vida man inte använder sig av andra tal än de reella. Därför har sedan n˚agra hundra ˚ar de komplexa talen varit en del av matematiken. De komplexa talen introduceras i svenska gymnasieskolans senare kurser och ˚aterkommer fre- kvent inom högskolematematik, vilket vittnar om hur pass användbart verktyg de utgör. De komplexa talen best˚ar av tv˚a komponenter. De skrivs vanligen p˚a formen a + bi där a och b är vanliga reella tal. Talet i kallas den imaginära enheten och uppfyller villkoret i² = −1 och det är det som ger de komplexa talen deras unika egenskaper. Det g˚ar att utveckla det här än mer. Man kan dels ge talet i andra villkor, t.ex. att villkoret i² = 1 gäller istället. Man kan

även lägga till fler nya komponenter. En känd utvidgning av de komplexa talen

är kvaternionerna som best˚ar av fyra komponenter och skrivs vanligen p˚a formen a + bi + cj + dk. Kvaternionerna har sin historia ända fr˚an 1800-talet och sp˚addes d˚a bli ett mycket användbart verktyg. Det är dock först p˚a senare ˚ar, i samband med datortekniken, som de användas till n˚agonting praktiskt.

Arbetet är baserat p˚a de referenser som nämns i slutet. Jag har läst in mig p˚a det omr˚adet som arbetet behandlar och hämtat direkt information fr˚an dessa referenser. Inneh˚all fr˚an referens [3], [5] och [6] har använts för att beskriva algebraiska system i allmänhet men även komplexa tal och kvaternioner i synnerhet.

Ovriga referenser har givit detaljkunskap om kvaternioner.¨

Arbetet kommer inledningsvis att g˚a igenom de grundläggande räknelagarna som gäller för de reella talen. Dessa är för de flesta s˚a självklara att man inte alltid tänker p˚a dem. Det kommer visa sig att alla de räknelagarna inte alltid gäller när man räknar med annat än de reella talen. Vi definierar även vad som menas med en algebra. Andra kapitlet kommer sedan att behandla de komplexa talen och tredje kapitlet om hur de komplexa talen kan utvidgas. Det fjärde kapitlet handlar om kvaternionerna och hur de matematiskt är uppbyggda. I det femte kapitlet visas hur kvaternioner kan användas rent matematiskt med rotationer. I det avslutande kapitlet redogörs det för hur kvaternioner i praktiken appliceras och förslag p˚a vidareläsning om ämnet. Arbetet förutsätter att läsaren i viss m˚an är bekant med de komplexa talen samt känner till hur vektorrum är uppbyggda och fungerar.

(7)

1.2 R¨ aknelagar

När man räknar med reella tal brukar man ibland ta vissa räknelagar för givet.

Det finns n˚agra grundläggande räknelagar som alla gäller för de reella talen R.

Dessa ¨ar som f¨oljer:

1. Distributivitet:

x(y + z) = xy + xz.

och

(x + y)z = xz + yz f¨or alla x, y, z.

Detta ¨ar en lag f¨or sambandet mellan addition och multiplikation.

2. Associativitet:

(x + y) + z = x + (y + z).

(xy)z = x(yz) f¨or alla x, y, z.

Detta ¨ar en lag som inneb¨ar att det inte spelar n˚agon roll hur man grup- perar tal vid addition respektive multiplikation.

3. Kommutativitet:

x + y = y + x xy = yx f¨or alla x, y.

Detta ¨ar en lag som inneb¨ar att det inte spelar n˚agon roll vilken ordning tv˚a tal st˚ar om varandra.

4. Identitetselement:

L˚at x utgöra alla möjliga tal. Om det d˚a finns element a och b s˚adana att x + a = x och xb = bx = x, s˚a är a det additiva identitetselementet och b det multiplikativa identitetselementet. Detta innebär allts˚a att det finns ett tal a som kan adderas till samt ett annat tal b som multipliceras med ett annat tal utan att x förändras. För R är gäller att a = 0 och b = 1 och vi l˚ater i nästa punkt dessa identitetselement benämnas som just 0 och 1.

5. Invers:

För att överhuvudtaget kunna tala om invers krävs att det finns ovan nämnda identitetselement. Om det för alla tal x finns ett tal −x som uppfyller x + (−x) = 0 s˚a är −x den additiva inversen, allts˚a tal som med adderat med varandra ger det additiva identitetselementet. Om det finns ett tal x⁻¹ om x 6= 0 som uppfyller xx⁻¹ = x⁻¹x = 1 s˚a är x⁻¹ den multiplikativa inversen, allts˚a tal som multiplicerat med varandra ger det multiplikativa identitetselementet. För de reella talen är x⁻¹= ¹_x.

(8)

Vi kommer ˚aterkomma till dessa lagar i nästa avsnitt samt senare när vi behandlar andra algebraiska system än R.

1.3 Vad ¨ ar en algebra?

Allmänt används ordet algebra för att beskriva matematik när man l˚ater sym- boler och bokstäver representera reella tal med reella tals egenskaper. När ordet används i s˚adana syften talar man om elementär algebra. Men vad är en algebra? De reella talen utgör en algebra men faktum är att R bara är en av oändligt m˚anga varianter av hur en algebra kan se ut. Beroende p˚a vilka strukturer man ger en algebra f˚ar den vissa egenskaper. Oavsett hur en algebra konstrueras m˚aste den uppfylla vissa krav.

Definition 1. En reell algebra A utg¨ors av ett n-dimensionellt reellt vektorrum.

Allts˚a

Rⁿ= {(a1, a2, ..., an)|ai ∈ R},

f¨orsett med en multiplikation. F¨or att kalla det en algebra m˚aste multiplikationen

˚atminstone m˚aste uppfylla f¨oljande:

1. Distributivitet:

x(y + z) = xy + xz och

(y + z)x = yx + zx f¨or alla x, y, z ∈ A.

2. Att reella tal ¨ar skal¨arer:

a · kb = k · ab = ka · b a(kb) = k(ab) = (ka)b f¨or alla k ∈ R och alla a, b ∈ A.

Vad innebär d˚a detta? Distributiviteten kräver vi för att det ska finnas ett vettigt samband mellan multiplikation och addition. Sedan vill vi att de reella talen kan förflyttas utan restriktioner vid multiplikation. De beter sig precis som reella tal gör i vanliga fall även om de ing˚ar i en annan algebra. R är som vi nämnt ett exempel p˚a en algebra. Ett annat exempel är R^2×2, som är kvadratiska matriser.

Exempel 1. F¨or tv˚a godtyckliga matriser i R^2×2 g¨aller vid multiplikation att

a b c d

e f g h

=

ae + bg af + bh ce + dg cf + dh

och

e f g h

a b c d

=

ae + cf be + df ag + ch bg + dh

.

(9)

Vi kan se p˚a svaren att matriserna skiljer sig ˚at. Det betyder att detta är en icke-kommutativ algebra. Associativitet är inte heller nödvändigt för en algebra men varje räknelag en algebra inte uppfyller gör den mer vag och sv˚arhanterlig.

Man talar ibland om algebra med etta som ¨ar en algebra som innefattar ett identitetselement vid multiplikation. Finns detta identitetselement samt att algebran har multiplikativa inverser till alla tal 6= 0 s˚a kallas det f¨or en divisionsalgebra.

Det innebär helt enkelt att det är möjligt att räkna med division.

Att det endast finns en additiv invers till varje tal i en algebra kan ses som självklart med tanke p˚a att man helt enkelt bara placerar ett minustecken framför talet för att f˚a dess additiva invers. Om x är ett unikt tal är även −x unikt. Men kanske kan det finnas flera multiplikativa inverser till varje tal?

Sats 1. I en associativ algebra finns det som mest en multiplikativ invers till varje element.

Bevis. L˚at x⁻¹ vara en multiplikativ invers till x. Antag att z ¨ar en annan multiplikativ invers. D˚a g¨aller att

xx⁻¹= x⁻¹x = 1 och

xz = zx = 1.

Eftersom associativitet r˚ader g¨aller att

(x⁻¹x)z = x⁻¹(xz).

Sedan ¨ar det givet att

x⁻¹x = xz = 1 och vi kan därför sätta att

(x⁻¹x)z = x⁻¹(xz) ⇐⇒ 1 · z = x⁻¹· 1 ⇐⇒ z = x⁻¹ och d¨armed ¨ar inte z n˚agon annan invers.

Ar algebran associativ finns s˚¨ aledes som mest en multiplikativ invers f¨or varje tal. Om associativitet inte r˚ader kan man d¨aremot inte utesluta att det finns flera multiplikativa inverser.

1.4 Algebror med nya element

Bland alla algebror finns s˚adana som utöver de reella talen inneh˚aller ett eller flera element ξ. Dessa element är d˚a allts˚a skilda fr˚an R. Elementen adderas komponentvis men kan ges olika egenskaper under multiplikation. En algebra som inneh˚aller komponenter ξ kräver samma lagar som alla algebror och skrivs vid n dimensioner som

a1ξ1+ a2ξ2+ a3ξ3+ ... + anξn, ai∈ R.

(10)

F¨or samtliga algebror i detta arbete kommer ξ1= 1. Det g¨or att n-dimensionella algebrorna i praktiken skrivs som

a1+ a2ξ1+ a3ξ2+ ... + anξn−1 ai∈ R.

Det är nödvändigt att multiplikation mellan alla komponenter ξi är definierad vid en s˚adan algebra.

Talet 1 tillsammans med de nya komponenterna utgör en bas för det n- dimensionella rummet enligt följande vis

1 = (1, 0, 0, ..., 0) ξ1= (0, 1, 0, ..., 0) ξn−1= (0, 0, 0, ..., 1).

2 Utvidgning av de reella talen

2.1 Tv˚ a dimensioner

När man utvidgar R till tv˚a dimensioner R²best˚ar algebran av talpar med tv˚a komponenter (a, b). De tv˚a komponenterna motsvarar varsin dimension i den nya algebran. Om man utvidgar algebran till tv˚a dimensioner med ett nytt element ξ blir det p˚a formen a + bξ där a, b ∈ R. Addition för dessa sker komponentvis enligt

(a + bξ) + (c + dξ) = (a + c) + (b + d)ξ.

Multiplikation däremot kan bete sig olika beroende p˚a vilka egenskaper vi vill att algebran ska ha. Oavsett hur s˚a är det n˚agra egenskaper vi vill att multiplikationen ska uppfylla för att det ska uppfylla f˚ar definition av vad som är en algebra. Den första punkten är för att f˚a ett konsekvent beteende för de reella talen och de tv˚a resterande punkterna ing˚ar i definitionen för det som vi kallar en algebra.

1. Multiplikation av reella tal ska ge samma resultat som multiplikation av tal i R, d.v.s. att

(a + 0ξ)(b + 0ξ) = ab + 0ξ.

2. Algebran m˚aste uppfylla de distributiva lagarna, allts˚a i detta fall (a + bξ)((c + dξ) + (e + f ξ)) = (a + bξ)(c + dξ) + (a + bξ)(e + f ξ) och

((a + bξ) + (c + dξ))(e + f ξ) = (a + bξ)(e + f ξ) + (c + dξ)(e + f ξ).

3. Vi kr¨aver ¨aven att likheten

x(a + bξ) · y(c + dξ) = xy · (a + bξ)(c + dξ)

g¨aller f¨or alla x, y ∈ R, allts˚a att de reella talen kan kastas om utan att det p˚averkar produkten vid multiplikation.

(11)

Ska vi efterf¨olja detta kommer multiplikationen av tal i tv˚a dimensioner se ut enligt

(a + bξ)(c + dξ) = a(c + dξ) + (bξ)(c + dξ) = ac + adξ + bcξ + bdξ². Det som nu kan variera är värdet av ξ². Det enda som är givet är att talet ξ²

är av formen a + bξ. Om man g˚ar in mer p˚a djupet med detta visar det sig att en algebra p˚a formen {a + bξ | a, b ∈ R} är isomorf med n˚agon utav följande:

1. Komplexa talen

a + bi d¨ar i²= −1.

2. Dubbla talen

a + bD d¨ar D²= 1.

3. Duala talen

a + b d¨ar ²= 0.

Att en algebra är isomorf med en annan innebär inte nödvändigtvis att de

är identiskt lika men att de har samma struktur. För bevis till detta hänvisar jag läsaren till referens [5] s. 11. Alla de tre ovan är associativa, kommutativa och algebror med etta (multiplikativt identitetselement). Det är dock bara de komplexa talen som är en divisionsalgebra.

2.2 De komplexa talen

Den mest använda av ovanst˚aende algebror är de komplexa talen, som betecknas C. Dessa är allts˚a p˚a formen a + bi med villkoret i² = −1. Man brukar d˚a kalla a för det komplexa talets reella del och b för den imaginära delen. Talet i framkom först under 1500-talet med Girolamo Cardano och Rafael Bombelli som förgrundsfigurer. Primärt hade de komplexa talen syftet att lösa ekvationer som ger kvadratrötter av negativa tal. De komplexa talen har dock givits andra användningsomr˚aden med tiden. Ett s˚adant är att de fungerar för att rotera en punkt eller vektor i planet. Jean-Robert Argand kom i början p˚a 1800-talet till insikten att eftersom i =√

−1 s˚a genererar ju i² =√

−1 ·√

−1 = −1 och motsvarar allts˚a en rotation ett halvt varv eller 180 grader om man s˚a vill. Det var grunden till att se p˚a talet i som en möjlighet att rotera i planet. Kända matematiska namn som Leonhard Euler och Carl Friedrich Gauss har ocks˚a p˚averkat och utvecklat användningen för de komplexa talen, inte minst hur man kan använda dem p˚a polär form.

Den reella tallinjen och den imaginära tallinjen är vinkelräta axlar och spänner upp det komplexa talplanet. Detta kan ses som det tv˚adimensionella planet R² i och med att att 1 = (1, 0) och i = (0, 1) utgör basvektorer. Talen i det komplexa talsystemet utgörs allts˚a av talpar som anger koordinater, en koordinat längs med respektive axel. Exempelvis ligger det komplexa talet eller vektorn 2 + 3i tv˚a enheter längs med den reella axeln och tre enheter längs med den imaginära axeln, i punkten (2, 3). Om en vektor multipliceras med ett tal

(12)

x ∈ R innbär det att dess längd förändras. Multiplikation med 2 fördubblar vektorns längd och multiplikation med −1 gör att den riktas ˚at motsatt h˚all.

Multiplikation med den imaginära enheten i gör istället att vektorn roteras runt origo. Exempelvis gör multiplikation med i att vektorn roteras 90 grader moturs och multiplikation med i²ger rotation med 180 grader, vilket är logiskt eftersom i²= −1 och rotation med 180 grader motsvarar samma operation som att rikta en vektor ˚at motsatt h˚all.

2.3 Vilka r¨ aknelagar uppfyller de komplexa talen?

Additionen sker komponentvis och multiplikationen f¨or tv˚a godtyckliga tal a+bi och c + di sker enligt

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac − bd) + (ad + bc)i.

D˚a detta arbete inte har de komplexa talen som främsta fokus kommer det inte göras bevis för alla räknelagar som C uppfyller. Men faktum är att den uppfyller samtliga av de lagar som nämndes i första kapitlet.

1. C uppfyller distributivitet.

2. C uppfyller associativitet.

3. C uppfyller kommutativitet.

4. C har det additiva enhetselementet 0 och det multiplikativa enhetselementet 1.

5. Tal a + bi ∈ C har den additiva inversen −a − bi och den multiplikativa inversen _aâ−bi2+b² om a + bi 6= 0. Inversen är unik d˚a C är associativ (se sats 1).

Vi kan även konstatera att C är en divisionsalgebra. När man räknar med division för komplexa tal brukar man lösa det genom att förlänga med nämnarens konjugat. Konjugatet till c + di är c − di. Tag en godtycklig division

a + bi c + di. Förlängning med nämnarens konjugat ger

(a + bi)(c − di)

(c + di)(c − di)= ac − adi + bci − bdi²

c²− d²i² =(ac + bd) + (−ad + bc)i c²+ d² . Nämnaren är nu helt reell och divisionen g˚ar att räkna ut.

(13)

2.4 Komplexa tal och rotationer

Det nämndes tidigare exempel p˚a hur man kan rotera en vektor i det komplexa talplanet. Men för att rotera mer kalibrerat behövs s˚aklart en h˚allbar metod.

Sats 2. Om vektorn v = (a, b) i R² ska roteras moturs runt origo med vinkeln θ ges den roterade vektorn v⁰= (a, b)⁰ av

v⁰ = (cos θ + i sin θ)v.

Bevis. För de komplexa talen C utgör de reella talen x-axeln och de imaginära talen y-axeln. Vektorn v = (a, b) motsvarar a + bi i C. Man kan dela upp v till

v = vx+ vy

d¨ar

v_x= (a, 0) och v_y= (0, b) samt v⁰ till

v⁰= v⁰_x+ v⁰_y

Det innebär med andra ord att vx ligger längs med x-axeln vy ligger längs med y-axeln. Vektorerna v_x⁰ och v_y⁰ Har roterats med vinkeln θ fr˚an vxrespektive vy. Se nedan bild.

Eftersom de nu uppdelade vektorerna vxoch vy ligger l¨angs med varsin axel har vi att

v_x⁰ = (a, 0)⁰ och

v_y⁰ = (0, b)⁰.

(14)

Betrakta nu n¨asta figur nedan. Den visar bara rotationen fr˚an vxtill v⁰_x.

De streckade linjerna bildar r¨ata vinklar med koordinataxlarna och vi kan d˚a konstatera att

v⁰_x= (a, 0)⁰= (a cos θ, a sin θ).

P˚a ett liknande s¨att (ingen bild bifogas) kan man sedan konstatera att v_y⁰ = (0, b)⁰= (−b sin θ, b cos θ).

Vi har nu att

v⁰ = (a, 0)⁰+ (0, b)⁰= (a cos θ, a sin θ) + (−b sin θ, b cos θ)

= (a cos θ − b sin θ, a sin θ + b cos θ).

S¨att sedan att cos θ = c och sin θ = d. Vi f˚ar d˚a ist¨allet v⁰ = (ac − bd, ad + bc).

Skriver vi nu om denna tv˚adimensionella vektor som ett komplext tal f˚ar vi (ac − bd) + (ad + bc)i

vilket ¨ar precis definitionen f¨or multiplikation av tv˚a komplexa tal (a+bi)(c+di).

Om vi r¨or oss i det komplexa talplanet ges allts˚a rotation av v = a + bi av v⁰= (a + bi)(cos θ + i sin θ)

eller, eftersom de komplexa talen kommuterar, v⁰= (cos θ + i sin θ)(a + bi).

Sedan ¨ar ju a + bi helt enkelt vektorn v = (a, b) och vi har d˚a slutligen att v⁰= (cos θ + i sin θ)v

och beviset st˚ar klart.

(15)

Det är värt att nämna att denna formel ibland skrivs v⁰ = eîθv.

Detta är för att Eulers formel säger att

e^iθ= cos θ + sin θi.

Denna formel visar allts˚a p˚a hur man kan rotera en vektor i R² med hj¨alp av det imagin¨ara talet i. Nedan visas ett exempel.

Exempel 2. Uppgiften ¨ar att rotera vektorn v = (1, 1) med vinkeln θ = ^3π₄. I C skrivs v som 1 + i och rotationen av v ges d˚a av

v⁰=

cos(3π

4 ) + i sin(3π 4 )

(1 + i)

=

− 1

√ 2+ 1

√ 2i

(1 + i)

= − 1

√2− 1

√2i + 1

√2i²

= − 1

√2− 1

√2

= − 2

√2

= −√ 2.

Sedan g¨aller att v⁰= −√

2 i C motsvarar vektorn (−√

2, 0) i R².

3 Utvidgning av de komplexa talen

3.1 Tre dimensioner

Vi har nu visat hur de komplexa talen är uppbygda och hur de kan användas. En sak som nämndes är hur de kan ses som vektorer i planet R². Skulle i s˚adana fall en algebra med ytterligare en komponent ξ kunna generera vektorer i rummet R³?

Sats 3. Det är omöjligt att utvidga de komplexa talen till en tredimensionell algebra med tal är p˚a formen {a + bi + cξ | a, b, c ∈ R} där i² = −1 om vi förutsätter att algebran är associativ.

Bevis. All multiplikation m˚aste generera tal i som ocks˚a tillhör algebran. Därför antar vi att multiplikationen iξ ger ett godtyckligt tal p˚a formen a + bi + cξ där a, b, c ∈ R, allts˚a att

iξ = a + bi + cξ.

(16)

Multiplikation med i fr˚an v¨anster ger

iiξ = ai + bi²+ ciξ.

Eftersom ii = i² har vi d¨armed

i²ξ = ai − b + ciξ.

Den imagin¨ara enheten i har egenskapen att i²= −1 och d˚a f˚ar vi i st¨allet

−ξ = ai − b + ciξ.

Multiplikation med b˚ade v¨ansterled och h¨ogerled med (−1) ger ξ = b − ai − ciξ.

Om vi ers¨atter iξ med det ursprungliga antagandet att iξ = a + bi + cξ f˚ar vi ξ = b − ai − c(a + bi + cξ)

vilket utskrivet blir

ξ = b − ai − ca − cbi − c²ξ som kan skrivas om till

ξ = (b − ac) + (−a − bc)i − c²ξ.

Sedan samlar vi alla termer med ξ p˚a ena sidan ξ + c²ξ = (b − ac) + (−a − bc)i och f¨orenklar till

(1 + c²)ξ = (b − ac) + (−a − bc)i,

där 1, a, b, c ∈ R. Allts˚a är talet ξ av formen ξ = α + βi, där α, β ∈ R och därmed är det fortfarande bara en algebra i tv˚a dimensioner. Algebran är inte utvidgad.

Eftersom det inte är genomförbart att utvidga de komplexa talen till tre dimensioner p˚a ett användbart sätt g˚ar vi i stället in p˚a hur det kan se ut med ytterligare en dimension. Det kommer att visa sig att de komplexa talen fak- tiskt g˚ar att utvidga till en algebra med fyra dimensioner. I en sats fr˚an ˚ar 1877 visar matematikern Ferdinand Georg Frobenius att varje ändligt dimensionell, associativ divisionsalgebra är isomorf med nämnda R eller C eller den fyrdimensionella algebran H som vi ˚aterkommer till i nästa kapitel. För bevis till denna sats av Frobenius hänvisar jag läsaren till referens [3] s. 229.

(17)

3.2 Fyra dimensioner

Precis som när man konstruerar en algebra i tv˚a dimensioner vill vi att en algebra i fyra dimensioner, med nya element ξ, ska uppfylla vissa räknelagar. Den kommer att best˚a av fyra komponenter (a, b, c, d) och addition fungerar precis som för tal i tv˚a dimensioner där man adderar de respektive komponenterna med varandra.

Addition sker allts˚a enligt

(a+bξ1+cξ2+dξ3)+(e+f ξ1+gξ2+hξ3) = (a+e)+(b+f )ξ1+(c+g)ξ2+(d+h)ξ3. Multiplikationen önskar vi sedan att den ska bete sig p˚a vissa sätt. Den första punkten är ˚ater för att f˚a ett konsekvent beteende för reella tal och de tv˚a resterande punkterna ing˚ar i definitionen av vad vi kallar en algebra.

1. Multiplikation av reella tal ska ge samma resultat som multiplikation av tal i R, d.v.s. att

(a + 0ξ₁+ 0ξ₂+ 0ξ₃)(e + 0ξ₁+ 0ξ₂+ 0ξ₃) = ae + 0ξ₁+ 0ξ₂+ 0ξ₃. 2. Multiplikationen ska naturligtvis uppfylla de distributiva lagarna. Om alla

δ st˚ar f¨or godtyckliga tal i den fyrdimensionella algebran ska det g¨alla att δ1(δ2+ δ3) = δ1δ2+ δ1δ3

och

(δ1+ δ2)δ3= δ1δ3+ δ2δ3. 3. Vi kräver även här att likheten

xδ1· yδ2= xy · δ1δ2

g¨aller f¨or alla x, y ∈ R.

Som en konsekvens av dessa lagar som man vill att de fyrdimensionella algebrorna ska uppfylla kommer en multiplikation se ut som nedan. Vi har tv˚a godtyckliga tal fr˚an en s˚adan algebra

δ1= a + bξ1+ cξ2+ dξ3 och δ2= e + 0ξ1+ 0ξ2+ 0ξ3.

Om dessa tv˚a multipliceras med varandra kommer vi att f˚a ut en produkt best˚aende av 16 termer. Produkten blir

δ₁δ₂= (a + bξ₁+ cξ₂+ dξ₃)(e + f ξ₁+ gξ₂+ hξ₃)

= ae + af ξ₁+ agξ₂+ ahξ₃+ beξ₁+ bf ξ²+ bgξ₁ξ₂+ bhξ₁ξ₃+ ceξ₂ + cf ξ2ξ1+ cgξ₂²+ chξ2ξ3+ deξ3+ df ξ3ξ1+ dgξ3ξ2+ dhξ²₃.

(18)

4 Kvaternioner

Sir William Rowan Hamilton var en irländsk matematiker och astronom. Han föddes 1805 i Dublin och ans˚ags var n˚agot utav ett underbarn d˚a han redan vid ung ˚alder behärskade m˚anga olika spr˚ak och även var framst˚aende inom matematik. ˚Ar 1835 visade han att räkning med komplexa tal var likvärdigt med att räkna med ordnade talpar av reella tal. Därifr˚an fick han ett intresse för hur addition och framför allt multiplikation av komplexa tal betedde sig i planet R². Med detta i ˚atanke försökte han i m˚anga ˚ar ta fram ett utvidgat system av de komplexa talen för att kunna göra liknande operationer i rummet R³. Det l˚ag närmast att utvidga till en algebra med tal p˚a formen a + bi + cj där i²= j²= −1. Han försökte med detta i m˚anga ˚ar och i ett brev berättade Hamilton om hur en av hans söner undrat om han kunde multiplicera tripplar

¨

annu varp˚a han d˚a svarat ”Nej, jag kan bara addera och subtrahera dem.” Han hittade aldrig n˚agot bra sätt att multiplicera tal i detta system. Vi har visat tidigare i sats 3 att det mycket riktigt inte är genomförbart.

Det gick allts˚a flera ˚ar utan att Hamilton hittade n˚agon l¨osning p˚a problemet.

Sedan en dag, närmare bestämt den 16 oktober ˚ar 1843, ska han ha promenerat med sin fru p˚a gatorna i Dublin. D˚a slog det honom att det han behövde göra var att utvidga till en algebra med fyra dimensioner. Han fortsatte p˚a sin tan- keg˚ang med tre dimensioner och lade till den imaginära enheten k. Talen i hans algebra fick d˚a formen a + bi + cj + dk med villkoret i²= j²= k²= ijk = −1.

Historien säger att Hamiltion i sin iver ska vid tillfället ha ristat in detta villkor p˚a p˚a en stenbro i Dublin. Själva ristningen syns inte nu (om den nu n˚agonsin funnits) men det finns än idag en skylt vid denna bro som uppmärksammar detta tillfälle. Framställningen av historien om Hamilton baseras främst p˚a text fr˚an referens [3] s. 189.

Skylten som sitter p˚a Broom Bridge i Dublin. Bild: Wikipedia.

(19)

Det han hade gjort var att han hade skapat tal med fyra dimensioner i syftet att räkna med tal av tre dimensioner. Dessa tal med fyra dimensioner kallas kvaternioner, eller Hamiltons kvaternioner, och själva algebran benämns oftast som H efter upphovsmakarens efternamn. Hamilton avled ˚ar 1865 och ˚aret därp˚a publicerades hans tjocka bok Elements of Quaternions. Den behandlar det han kom fram till om kvaternioner.

Definition 2. Kvaternionerna är en fyrdimensionell algebra där elementen 1, i, j och k utgör en bas. En kvaternion skrivs q = a + bi + cj + dk där talen a, b, c, d ∈ R. Mängden av alla kvaternioner betecknas H.

Algebran H kan ses som R⁴genom att s¨atta

1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1) som basvektorer.

4.1 Addition f¨ or kvaternioner

Addition f¨or H sker precis som alla andra algebror komponentvis, allts˚a (a + bi + cj + dk) + (e + f i + gj + hk) = (a + e) + (b + f )i + (c + g)j + (d + h)k.

Exempel 3. De tv˚a kvaternionerna q1= 1 + 2i + 2k och q2= 3 + j + k adderas p˚a f¨oljande vis

q₁+ q₂= (1 + 2i + 2k) + (3 + j + k) = 4 + 2i + j + 3k.

4.2 Multiplikation f¨ or kvaternioner

Hamilton gav kvaternionerna villkoret i² = j² = k² = ijk = −1. Det här är allts˚a givet samt att multiplikation av reella tal beter sig som alltid. Men hur blir det vid multiplikation av i, j och k med varandra? Eftersom det inte är n˚agra parenteser utsatta för villkoret ijk = −1 kräver det associativitet. Som nämnt är det givet att

ijk = −1.

Multiplikation med i fr˚an v¨anster ger iijk = −i.

Eftersom ii = i² f˚ar vi

i²jk = −i och eftersom i²= −1 f˚ar vi

−jk = −i.

Multiplikation av b˚ade v¨ansterled och h¨ogerled med (−1) ger jk=i.

(20)

Genom att anv¨anda oss av detta kan vi visa en till multiplikation, om vi multi- plicerar med j fr˚an v¨anster f˚ar vi

j²k = ji.

Villkoret j²= −1 samt att byta p˚a plats p˚a v¨ansterled och h¨ogerled ger ji=-k.

Om vi nu ˚aterv¨ander till

ijk = −1.

Multiplikation med k fr˚an h¨oger ger

ijk²= −k.

Villkoret k²= −1 ger,

−ij = −k och multiplikation med (−1) p˚a b˚ada sidor ger

ij=k.

Med liknande uträkningar kan man även räkna ut att ki=j

kj=-i ik=-j.

Multiplikation f¨or kvaternioner kan allts˚a sammanfattas enligt nedanst˚aende tabell.

· 1 i j k

1 1 i j k

i i −1 k −j

j j −k −1 i

k k j −i −1

Med hj¨alp av tabellen och hur vi vill att en algebra i fyra dimensioner ska bete sig vid multiplikation kan vi uttrycka multiplikation av kvaternioner enligt

q1q2= (a + bi + cj + dk)(e + f i + gj + hk)

= ae + af i + agj + ahk + bei + bf i²+ bgij + bhik + cej + cf ji + cgj²+ chjk + dek + df ki + dgkj + dhk².

= (ae−bf −cg−dh)+(af +be+ch−dg)i+(ag−bh+ce+df )j+(ah+bg−cf +de)k.

(21)

Definition 3. Multiplikation f¨or kvaternioner definieras enligt q1q2= (a + bi + cj + dk)(e + f i + gj + hk)

= (ae − bf − cg − dh) + (af + be + ch − dg)i + (ag − bh + ce + df )j + (ah + bg − cf + de)k.

Exempel 4. L˚at q1= 1+2i+2k och q2= 3+j +k. Multiplikation q1q2ber¨aknas d˚a p˚a f¨oljande vis

q1q2= (1 + 2i + 2k)(3 + j + k)

= 3 + j + k + 6i + 2ij + 2ik + 6k + 2kj + 2k²

= 3 + j + k + 6i + 2k − 2j + 6k − 2i − 2

= 1 + 4i − j + 9k.

4.3 R¨ aknelagar och egenskaper

Vi ska nu titta närmare p˚a vilka av de räknelagar som nämns i arbetets början som kvaternioner uppfyller.

Den distributiva lagen är som nämnt innan vital, ett m˚aste, för att klassa n˚agot som en algebra. Kvaternioner uppfyller denna.

Sats 4. Kvaternioner uppfyller distributivitet.

Bevis. L˚at a, b, c ∈ H. Vi skriver d˚a dessa som a = (a₁+ a₂i + a₃j + a₄k),

b = (b1+ b2i + b3j + b4k), c = (c1+ c2i + c3j + c4k) d¨ar a₁, a₂...c₃, c₄∈ R.

Det vi vill visa är att (a + b)c = ac + bc samt att a(b + c) = ab + ac. Beviset kommer emellertid bara att göras för det första fallet d˚a bevisen är snarlika. Vi beräknar först

(a + b)c

= ((a1+ a2i + a3j + a4k) + (b1+ b2i + b3j + b4k))(c1+ c2i + c3j + c4k)

= ((a₁+ b₁) + (a₂+ b₂)i + (a₃+ a₄)j + (a₄+ b₄)k)(c₁+ c₂i + c₃j + c₄k)

= ((a1c1+ b1c1) + (a1c2+ b1c2)i + (a1c3+ b1c3)j + (a1c4+ b1c4)k + (a₂c₁+ b₂c₁)i + (a₂c₂+ b₂c₂)i²+ (a₂c₃+ b₂c₃)ij + (a₂c₄+ b₂c₄)ik + (a₃c₁+ b₃c₁)j + (a₃c₂+ b₃c₂)ji + (a₃c₃+ b₃c₃)j²+ (a₃c₄+ b₃c₄)jk + (a4c1+ b4c1)k + (a4c2+ b4c2)ki + (a4c3+ b4c3)kj + (a4c4+ b4c4)k²

= (a1c1+ b1c1− a2c2− b2c2− a3c3− b3c3− a4c4+ b4c4) + (a2c2+ b2c2+ a2c1+ b2c1+ a3c4+ b3c4− a4c4− b4c4)i + (a1c3+ b1c3+ a3c1+ b3c1+ a4c2+ b4c2− a2c4− b2c4)j

+ (a₁c₄+ b₁c₄+ a₂c₃+ b₂c₃+ a₄c₁+ b₄c₁− a3c₂− b3c₂)k.

(22)

Nu ber¨aknar vi i st¨allet ac + bc

= (a₁+ a₂i + a₃j + a₄k)(c₁+ c₂i + c₃j + c₄k) + (b1+ b2i + b3j + b4k)(c1+ c2i + c3j + c4k)

= a1c1+ a1c2i + a1c3j + a1c4k + a2c1i + a2c2i²+ a2c3ij + a2c4ik + a₃c₁j + a₃c₂ji + a₃c₃j²+ a₃c₄jk + a₄c₁k + a₄c₂ki + a₄c₃kj + a₄c₄k²

+ b₁c₁+ b₁c₂i + b₁c₃j + b₁c₄k + b₂c₁i + b₂c₂i²+ b₂c₃ij + b₂c₄ik + b3c1j + b3c2ji + b3c3j²+ b3c4jk + b4c1k + b4c2ki + b4c3kj + b4c4k²

= (a₁c₁+ b₁c₁− a₂c₂− b₂c₂− a₃c₃− b₃c₃− a₄c₄+ b₄c₄) + (a2c2+ b2c2+ a2c1+ b2c1+ a3c4+ b3c4− a4c4− b4c4)i + (a1c3+ b1c3+ a3c1+ b3c1+ a4c2+ b4c2− a2c4− b2c4)j

+ (a₁c₄+ b₁c₄+ a₂c₃+ b₂c₃+ a₄c₁+ b₄c₁− a3c₂− b3c₂)k.

De tv˚a uttrycken med 32 termer vardera ¨ar identiska och man kan konstatera att den distributiva lagen h˚aller f¨or kvaterioner.

Lagen om associativitet kräver att (xy)z = x(yz), allts˚a att det inte gör n˚agon skillnad i vilken turordning faktorerna multipliceras (s˚a länge de st˚ar p˚a samma sida om varandra). Detta uppfyller kvaternionerna.

Sats 5. Kvaternioner uppfyller associativitet.

Bevis. Antag att q1, q2, q3 ∈ H. Multiplikationerna (q1q2)q3 samt q1(q2q3) ger b˚ada nya kvaternioner p˚a formen a + bi + cj + dk. De multiplicerade termerna kommer att f˚a utseendet (u1u2)u3respektive u1(u2u3) där u1är en komponent a, bi, cj eller dk fr˚an q₁, u₂ en komponent fr˚an q₂ och u₃en komponent fr˚an q₃. Det vi vill kontrollera är att likheten (u₁u₂)u₃= u₁(u₂u₃) alltid gäller. Om det g˚ar att visa st˚ar beviset klart.

Det räcker allts˚a att kontrollera det för det speciella fall när q₁, q₂, q₃är n˚agra utav kvaternionerna a, bi, cj, dk. D˚a a, b, c, d bara är godtyckliga reella tal som vi vet kommuterar med allt och kan justeras räcker det att visa för de ”rena”

kvaternionerna 1, i, j, k.

Om n˚agon av kvaternionerna ¨ar 1 g¨aller associativitet eftersom

(1 · q1)q2= 1(q1q2) = (q1· 1)q2= q1(1 · q2) = q1(q2· 1) = (q1q2)1 = q1q2. Det som ˚aterst˚ar är att kontrollera är när kvaternionerna q1, q2, q3är n˚agon utav kvaternionerna i, j, k. Det finns d˚a allts˚a 3³= 27 möjligheter. Det visar sig att associativitet gäller för samtliga. Exempelvis

(ii)i = i(ii) = −i, (ij)k = i(jk) = −1, (kj)j = k(jj) = −k.

(23)

Kvaternioner uppfyller dock inte kommutativtet. Det finns flera motexempel f¨or att kvaternioner inte uppfyller det. Vi ser i tabellen tidigare att t.ex. ij 6= ji.

En egenskap som kvaternioner delar med R ¨ar att de har precis samma identitetselement.

Sats 6. Kvaternioner har 0 som identitetselement under addition och 1 som identitetselement under multiplikation.

Bevis. Tag den godtyckliga kvaternionen q = a + bi + cj + dk. Vi kan d˚a enkelt se att

a + bi + cj + dk + 0 = a + bi + cj + dk och att

(a + bi + cj + dk)1 = 1(a + bi + cj + dk) = a + bi + cj + dk.

Kvaternionenerna ¨ar desamma som innan operationerna och beviset st˚ar klart.

Vi behöver nu definiera tv˚a begrepp för att visa ytterligare räknelagar.

Definition 4. L¨angden av en kvaternion q betecknas |q|. En godtycklig kvaternion q = a + bi + cj + dk har l¨angden |q| =√

a²+ b²+ c²+ d².

Definition 5. F¨or varje kvaternion q finns ett konjugat (som ocks˚a ¨ar en kvaternion). Konjugatet betecknas ¯q. En godtycklig kvaternion q = a + bi + cj + dk har konjugatet ¯q = a − bi − cj − dk.

Sats 7. F¨or alla kvaternioner q1= a + bi + cj + dk och q2= e + f i + gj + hk g¨aller att

q1q2= ¯q2q¯1. Bevis. Enligt definition 3 g¨aller att

q1q2= (a + bi + cj + dk)(e + f i + gj + hk)

= (ae−bf −cg−dh)+(af +be+ch−dg)i+(ag+ce+df −bh)j+(ah+de+bg−cf )k.

Enligt definition 5 f˚ar vi att konjugatet ¨ar

q₁q₂= (ae−bf −cg−dh)+(dg−af −be−ch)i+(bh−ag−ce−df )j+(cf −ah−de−bg)k.

Sedan ber¨aknar vi

¯

q2q¯1= (a − bi − cj − dk)(e − f i − gj − hk)

= ae − af i − agj − ahk − bei + bf i²+ bgij + bhik − cej +cf ji + cgj²+ chjk − dek + df ki + dgkj + dhk²

= (ae−bf −cg−dh)+(dg−af −be−ch)i+(bh−ag−ce−df )j+(cf −ah−de−bg)k.

Vi kan se att uttrycken ¨ar identiska och satsen ¨ar bevisad.

(24)

Sats 8. Varje kvaternion har en additiv invers och en om den är nollskild även en multiplikativ invers. För varje kvaternion q är den additiva inversen −q och för den godtyckliga kvaternionen q = a + bi + cj + dk ges den multiplikativa inversen q⁻¹ av

q⁻¹= q¯

|q|² = a − bi − cj − dk a²+ b²+ c²+ d².

Bevis. Att den additiva inversen st¨ammer ¨ar uppenbart d˚a q + (−q) = 0. Vi kontrollerar sedan att qq⁻¹= q⁻¹q = 1.

qq⁻¹ =(a + bi + cj + dk)(a − bi − cj − dk) a²+ b²+ c²+ d²

Om vi först genomför multiplikationen i täljaren blir den

a²− abi − acj − adk + abi − b²i²− bcij − bdik + acj

−bcji − c²j²− cdjk + adk − bdki − cdkj − d²k²

och sedan genomför den typiska kvaternionmultiplikationen för elementen i, j, k a²−abi−acj −adk +abi+b²−bck +bdj +acj +bck +c²−cdi+adk −bdj +cdi+d². Adderar vi sedan termerna i täljaren med varandra har vi kvar

a²+ b²+ c²+ d²

och vi kan d˚a enkelt se när vi sätter ihop täljare och nämnare igen att a²+ b²+ c²+ d²

a²+ b²+ c²+ d² = 1.

Satsen är bevisad för multiplikation fr˚an höger och ett snarlikt bevis, som ej kommer redogöras här, kommer att visa att den h˚aller även vid multiplikation fr˚an vänster, d.v.s. att q⁻¹q = 1.

4.4 Kvaternioner som divisionsalgebra

I och med att det finns en multiplikativ invers för alla q ∈ H kan kvaternionerna kallas för en divisionsalgebra. Men innebär det att man kan lösa kvaternioner som skrivs med br˚akstreck? För komplexa tal löser man ju br˚ak genom att förlänga med nämnarens konjugat. I nedan exempel prövar vi att använda samma metod om vi ska utför division mellan tv˚a kvaternioner för att f˚a fram kvoten.

Exempel 5. Vi vill ber¨akna

q = 1 + 2i + 2j 1 + k .

(25)

Förlängning med konjugatet till nämnaren ger q = (1 + 2i + 2j)(1 − k)

(1 + k)(1 − k)

=1 − k + 2i − 2ik + 2j − 2jk 1 − k + k − k²

=1 − k + 2i + 2j + 2j − 2i 1 + 1

=1 + 4j − k 2

=1 2 +4j

2 −k 2.

Detta verkar ju vara en lösning. Men eftersom kvaternioner inte är kommutativa m˚aste vi även se vad förlängning med konjugatet fr˚an vänster ger.

q = (1 − k)(1 + 2i + 2j) (1 − k)(1 + k)

=1 + 2i + 2j − k − 2ki − 2kj 1 + k − k − k²

=1 + 2i + 2j − k − 2j + 2i 1 + 1

=1 + 4i − k 2

=1 2 +4i

2 −k 2.

Som man kan se skiljer sig svaren ˚at. Med det i ˚atanke är det inte helt lämpligt att räkna division för kvaternioner med br˚akstreck. Men kvaternioner

är likväl en divsionsalgebra. Vad som kan vara mer lämpligt är att tala om höger- och vänsterkvot. Om q₁ ska ”divideras” med q₂ har vi

q = q1

q2

Förlängning med inversen till q₂ fr˚an höger ger q = q₁q₂⁻¹

q2q₂⁻¹ =q₁q₂⁻¹

1 = q₁q⁻¹₂ . Förlängning med inversen till q₂ fr˚an vänster ger i stället

q = q⁻¹₂ q₁ q⁻¹₂ q2

=q₂⁻¹q₁

1 = q₂⁻¹q₁. Därför är det mer lämpligt att ställa upp det som

q = q1q⁻¹₂

(26)

samt

q = q₂⁻¹q1

som d˚a är höger- respektive vänsterkvot. Det r˚ader d˚a inget tvivel om vad man vill beräkna.

4.5 Skal¨ ardel och vektordel

En kvaternion kan med fördel delas upp i tv˚a delar. P˚a samma sätt som de komplexa talen har kvaternioner en reell del och en imaginär del. För en kvaternion a + bi + cj + dk utgör a realdelen och bi + cj + dk den imaginära delen.

Följaktligen är en kvaternion enbart reell om den har utseendet a + 0i + 0j + 0k och enbart imaginär om den har utseendet 0 + bi + cj + dk. Mängden av alla skalärer för de imaginära elementen i, j och k kan tänkas motsvara de tre axlarna i ett kartesiskt koordinatsystem. I och med det kan man se det som att kvaternionerna bi + cj + dk utgör rummet R³. Därifr˚an kommer kopplingen mellan kvaternioner och att räkna med vektorer i tre dimensioner. Det är därför praktiskt när man använder kvaternioner för att räkna i tre dimensioner att dela upp kvaternionerna i tv˚a delar, en skalär och en vektor.

Definition 6. En kvaternion q = a + bi + cj + dk kan delas upp i (a, −→v ), där den reella delen a är en skalär och den imaginära delen en vektor, bi + cj + dk = (b, c, d) = −→v .

Exempel 6. L˚at q = 1 + 2i + 3k + 4k. Skriven med skal¨ardel och vektordel f˚ar den d˚a utseeendet

(1,−−−−→

(2, 3, 4)).

Sats 9. Vid uppdelning av en kvaternion i skalär- och vektordel är reglerna för beräkning vid addition och multiplikation

(a, −→v₁) + (e, −→v₂) = (a + e, −→v₁+ −→v₂) respektive

(a, −→v1)(e, −→v2) = (ae − −→v1· −→v2, a−→v2+ e−→v1+ −→v1× −→v2).

Bevis. Uppdelning av q1 och q2i varsin skalärdel och vektordel ger q1= (a, −→v1) där −→v1 = (b, c, d) och q2 = (e, −→v2) där −→v2 = (f, g, h). Eftersom addition av skalärer och vektorer följer samma räknelagar som addition av kvaternioner, d.v.s. komponentvis, är det uppenbart att additionsregeln h˚aller.

Den givna multiplikationen ger skal¨ardelen

ae − −→v1· −→v2= ae − (bf + cg + dh)

= ae − bf − cg − dh, och vektordelen

a−→v₂+ e−→v₁+ −→v₁× −→v₂= (af, ag, ah) + (be, ce, de) + (ch − dg, df − bh, bg − cf )

= (af + be + ch − dg, ag + ce + df − bh, ah + de + bg − cf ).

(27)

Sätter man nu samman skalärdelen och vektordelen kan man konstatera att det blir samma godtyckliga kvaternion som om vi multiplicerat enligt den ursprungliga definitionen för multiplikation av kvaternioner (definition 3) och beviset st˚ar klart.

Exempel 7. L˚at q₁= 1 + 2i + 2k och q₂= 3 + j + k bli uppdelade i skal¨ar- och vektordel (samma kvaternioner som i exempel 4). De skrivs d˚a som

q₁= (1, (2, 0, 2)) och q₂= (3, (0, 1, 1)).

Multiplikationen q₁q₂ blir d˚a

q1q2= (1 · 3 − ((2, 0, 2) · (0, 1, 1)), 1(0, 1, 1) + 3(2, 0, 2) + (2, 0, 2) × (0, 1, 1))

= (3 − 2, (0, 1, 1) + (6, 0, 6) + (−2, −2, 2))

= (1, (4, −1, 9)).

Om man g¨or om q1q2 till ursprunglig form f¨or kvaternioner blir q1q2= 1 + 4i − j + 9k

vilket ¨ar precis samma resultat som i exempel 4.

Innan vi g˚ar vidare till nästa kapitel är värt att poängtera att en kvaternion skriven i skalärdel och vektordel, q = (a, −→v ), f˚ar konjugatet

¯

q = (a, −−→v ) samt l¨angden

|q| = q

a²+ |−→v |².

5 Rotation med kvaternioner

Vi har tidigare visat att de komplexa talen kan ses som att de spänner upp planet R² och att kvaternionernas imaginära del kan ses som att de spänner upp rummet R³. Vi har i kapitel 2 även visat hur de komplexa talen bl.a.

kan användas för att rotera en vektor moturs i just planet R². Med hjälp av kvaternioner kan man i stället rotera en vektor i rummet R³.

5.1 Rodrigues rotationsformel

Inom linjär vektoralgebra används vanligen rotationsmatriser för att rotera vektorer i rummet R³. Men det det finns även en algoritm känd som Rodrigues rotationsformel, se referens [1] s. 12, som ocks˚a roterar vektorer i R³. Vi kommer att göra en sats för Rodrigues formel men först gör vi ett lemma som hör till den satsen.

(28)

Lemma 1. L˚at vektorn −→n ha längden 1 och utg˚a fr˚an origo. L˚at vektorn −→x ligga i planet som är vinkelrätt mot −→n i origo och roteras moturs runt −→n med vinkeln θ. Om−→

x⁰ ¨ar den roterade versionen av −→x ges den av formeln

−

→x⁰ = (cos θ)−→x + sin θ(−→n × −→x ).

Bevis. Vi konstaterar f¨orst att

−

→n × −→x

är en vektor som ocks˚a ligger i detta plan och är vinkelrät mot b˚ade −→n och −→x . I och med att −→n × −→x och −→x b˚ada ligger i planet och är vinkelräta mot varandra s˚a utgör de en bas för planet. Vi kan därför skriva −→x⁰som en linjärkombination av dessa eftersom den ocks˚a ligger i samma plan. Det vi nu m˚aste göra är att ta reda p˚a vilken skalär vi ska multiplicera med dem b˚ada för att f˚a fram −→x⁰. Betrakta nu bilden nedan. Det vi ser är planet som är vinkelrätt mot −→n och den vektorn kan allts˚a ses som att den pekar rakt ut ur bilden i punkten där −→n × −→x och −→

x möts. De streckade linjerna är komposantuppdelade vektorer och det vi vill göra är att räkna ut dem d˚a dessa kombinerade utgör −→x . Vi kallar vektorn som är parallell med −→

x f¨or x⁰−→x och vektorn parallell med −→n × −→

x f¨or x⁰−→n ×−→x.

Vi kan se att x⁰−→x, x⁰−→n ×−→x och −→x⁰ utgör tv˚a rätvinkliga trianglar tillsammans med basvektorerna. Vi kan därför nu sätta att

cos θ = |x⁰_x|

|−→x⁰| och

sin θ = |x⁰−→n ×−→x|

|−→x⁰| .

(29)

Eftersom det är ett längdförh˚allande vi är ute efter och −→x⁰ har precis samma längd som −→

x kan vi i st¨allet skriva

cos θ = |x⁰−→x|

|−→x | och

sin θ = |x⁰−→n ×−→x|

|−→x | .

Genom att multiplicera med |−→x | i b˚ade vänsterled och högerled och byta plats p˚a dessa f˚ar vi i stället

|x⁰−→x| = cos θ|−→x | och

|x⁰−→n ×−→x| = sin θ|−→x |.

Eftersom vektorerna motsvarar uppdelningen av −→x⁰ vet vi nu att skalären som ska multipliceras med −→x är cos θ och skalären som ska multipliceras med −→n × −→x

¨ar sin θ. F¨oljaktligen har vi att

−

→x⁰ = cos θ−→x + sin θ(−→n × −→x ) och beviset st˚ar klart.

Sats 10. Vektorn −→x roteras moturs med vinkeln θ runt en normerad vektor

−

→n . Om −→x⁰ ¨ar den roterade vektorn ges den av nedanst˚aende formel (Rodrigues rotationsformel).

−

→x⁰= (1 − cos θ)(−→n · −→x )−→n + (cos θ)−→x + sin θ(−→n × −→x ).

Bevis. Vi vet att −→

x ¨ar den ursprungliga vektorn och −→x⁰¨ar den roterade vektorn.

Det är givet att en vektor kan skrivas som en kombination av sin parallella del och sin vinkelräta del mot en annan vektor. Allts˚a i detta fall när −→n är vektorn vi vill rotera runt kan vi skriva att

−

→x = −→x_k+ −x→_⊥

där −→x_k är en projektion av −→x p˚a −→n och −x→⊥är en projekion av −→x p˚a planet som

är vinkelrätt mot −→n . P˚a samma vis, av samma anledning som ovan, kan vi även skriva att

−

→x⁰ = −→x_k⁰+ −x→_⊥⁰.

Eftersom en vektor som roteras runt en vektor parallell med sig själv inte förändras noterar vi att

−

→x_k⁰ = −x→_k.

Man kan allts˚a se det som att när man roterar en vektor s˚a förändras den inte p˚a n˚agot sätt i riktningen för den axel vi roterar vektorn runt. Det som förändras

är den vinkelräta delen mot rotationsaxeln. Vi skriver därför

−

→x⁰= −→x_k+ −x→_⊥⁰.

(30)

Vi betraktar sedan −x→_⊥⁰. Eftersom den ¨ar vinkelr¨at mot −→n kan man projicera

−→

x⊥0 p˚a det plan som ¨ar vinkelr¨att mot −→

n i origo. Nu anv¨ander vi oss av lemmat ovan och konstaterar att

−→

x_⊥⁰= (cos θ)−x→_⊥+ sin θ(−→n × −x→_⊥).

Om vi nu g˚ar tillbaka till det ursprungliga uttrycket kan vi nu i st¨allet skriva

−

→x⁰= −→x_k+ −x→_⊥⁰= −x→_k+ (cos θ)−x→_⊥+ sin θ(−→n × −x→_⊥).

Man kan omstrukturera −→x = −→x_k+ −x→_⊥ ⇐⇒ −x→_⊥ = −→x − −→x_k. Vi ers¨atter sedan

−→

x_⊥ med detta och f˚ar

−

→x⁰= −→x_k+ cos θ(−→x − −→x_k) + sin θ(−→n × −x→⊥).

Vidare kan man konstatera att

−

→n × −→x = −→n × (−x→_k+ −x→⊥)

= −→n × −x→_k+ −→n × −x→_⊥ samt att

−

→n × −→x_k= 0 eftersom de ¨ar parallella. Nu har vi kvar att

−

→n × −x→_⊥= −→n × −→x . Genom att g¨ora det bytet i v˚art uttryck har vi nu att

−

→x⁰= −→x_k+ cos θ(−→x − −x→_k) + sin θ(−→n × −→x ).

Om vi delar upp parentesen som multipliceras med cos θ kan vi skriva det som

−

→x⁰= −x→_k− (cos θ)−x→_k+ (cos θ)−→x + sin θ(−→n × −→x ) eller

−

→x⁰= (1 − cos θ)−x→_k+ (cos θ)−→x + sin θ(−→n × −→x ).

Slutligen vill försöka ersätta −x→_k. Eftersom −→x_k är parallell med −→n kan vi skriva det som −→n multiplicerat med n˚agon skalär. Den skalären kan man f˚a genom att använda sig av projektionsformeln

proj−→n−→x =

−

→x · −→n

|−→n |²

−

→n =

−

→x · −→n 1²

−

→n = (−→x · −→n )−→n . Det vi f˚att fram ¨ar allts˚a att

−→

x_k= (−→x · −→n )−→n .

Genom att anv¨anda oss av detta i v˚art uttryck f˚ar vi nu

−

→x⁰= (1 − cos θ)(−→x · −→n )−→n + (cos θ)−→x + sin θ(−→n × −→x ) vilket ¨ar formeln vi skulle bevisa.

Vi har allts˚a sett hur Rodrigues rotationsformel kommer att rotera en vektor i rummet R³. Vi kommer nu att koppla den till hur kvaternioner kan utf¨ora samma operation.

(31)

5.2 Kvaternionrotation

F¨orst p˚aminner vi om att konjugatet till en kvaternion q = (a, −→v ) ¨ar ¯q = (a, −−→v ) samt att en vektor −→x i R³ skriven som en kvaternion f˚ar utseendet (0, −→x ).

Lemma 2. L˚at q vara en godtycklig kvaternion uppdelad i skalärdel och vektordel, q = (a, −→v ), med längden 1, d.v.s. |q| = 1. Tag sedan en godtycklig vektor −→x och betrakta den som kvaternionen x. Oavsett hur vi väljer q eller x kommer vi f˚a att

qx¯q =

0, 2(−→v · −→x )−→v + a²−→x + 2a(−→v × −→x ) − (−→v · −→v )−→x

Bevis. Vi vill i slutändan räkna ut vad qx¯q är. Eftersom multiplikation av kvaternioner är associativ p˚averkar inte turordningen av hur faktorerna multipliceras (s˚a länge de st˚ar i samma ordning). Med hjälp av sats 9 kan vi nu först beräkna

qx = (a, −→v )(0, −→x )

= (0a − −→v · −→x , a−→x + 0−→v + −→v × −→x )

= (−−→v · −→x , a−→x + −→v × −→x ).

Med hj¨alp av samma sats ber¨aknar vi nu qx¯q = (a, −→v )(0, −→x )(a, −−→v )

= (−−→v · −→x , a−→x + −→v × −→x )(a, −−→v )

=

− a(−→v · −→x ) − (a−→x + −→v × −→x ) · (−−→v ),

(−−→v · −→x )(−−→v ) + a(a−→x + −→v × −→x ) + (a−→x + −→v × −→x ) × (−−→v ) Skal¨ardelen (den ¨ovre delen av svaret) kan skrivas om som

−a(−→v · −→x ) + a(−→x · −→v ) + (−→v × −→x ) · −→v = (−→v × −→x ) · −→v ,

eftersom −→v · −→x = −→x · −→v . Sedan, eftersom vektorprodukten −→v × −→x ¨ar vinkelr¨at mot −→v , blir

(−→v × −→x ) · −→v = 0.

Skalärdelen för qx¯q blir med andra ord 0. Allts˚a kommer qx¯q, precis som x, fortfarande bara vara en vektor, en kvaternion p˚a formen (0, −→x⁰). Den vektordelen (den undre delen av qx¯q) är

(−−→v · −→x )(−−→v ) + a(a−→x + −→v × −→x ) + (a−→x + −→v × −→x ) × (−−→v ).

Genom att faktorisera in och ut ur parenteser kan det ¨aven skrivas om som (−→v · −→x )−→v + a²−→x + a(−→v × −→x ) − a(−→x × −→v ) − (−→v × −→x ) × −→v .

(32)

Räkneregeln −(−→x × −→v ) = −→v × −→x gör att det kan skrivas som (−→v · −→x )−→v + a²−→x + 2a(−→v × −→x ) − (−→v × −→x ) × −→v . Räkneregeln (−→v × −→x ) × −→v = (−→v · −→v )−→x − (−→x · −→v )−→

v g¨or att det kan skrivas som

(−→v · −→x )−→v + a²−→x + 2a(−→v × −→x ) − (−→v · −→v )−→x + (−→x · −→v )−→v . Eftersom −→v · −→x = −→x · −→v kan vi slutligen skriva om det som

2(−→v · −→x )−→v + a²−→x + 2a(−→v × −→x ) − (−→v · −→v )−→x . Sammanfattningsvis har vi nu att

qx¯q =

0, 2(−→v · −→x )−→v + a²−→x + 2a(−→v × −→x ) − (−→v · −→v )−→x . och beviset st˚ar klart.

Ovanst˚aende är allts˚a det godtyckliga svaret man f˚ar ut oavsett vilken kvaternion q (s˚a länge den har längden 1) och vilken vektor −→

x man anv¨ander sig av. Vi vill nu f˚a fram ett s¨att att rotera vektorn −→

x genom att strategiskt v¨alja q.

Sats 11. Betrakta kvaternionen q = (a, −→v ) =

cosθ

2, sinθ 2

−

→n

d¨ar

|−→n | = 1.

Om x = (0, −→x ) s˚a är qx¯q = (0, −→x⁰) där −→x⁰ är vektorn −→x roterad med vinkeln θ moturs runt vektorn −→n .

Bevis. Först vill vi visa att |q| = 1. Längden |q| beräknas enligt

|q| = r

cos²θ

2 + sin²θ 2 · 1².

1² kan f¨orsummas och via formeln f¨or den trigonometriska ettan f˚ar vi d˚a

|q| = r

cos²θ

2 + sin²θ 2 =√

1 = 1.

Vi vet nu att denna kvaternion q har längden 1 och vi kan därför använda oss av det nyligen visade lemma 2. Om vi har multiplikationen x⁰ = qx¯q s˚a ger insättning av q = (cos^θ₂, sin^θ₂−→n ) att x⁰ blir

x⁰=

0, 2(sinθ 2

−

→n · −→x ) sinθ 2

−

→n + cos²θ 2

−

→x

+ 2 cosθ 2(sinθ

2

−

→n × −→x ) − (sinθ 2

−

→n · sinθ 2

−

→n )−→x .