Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00–19.00.

Examinator: Thomas ¨Onskog, 08 – 790 84 55.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), minir¨aknare.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 6 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang.

Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 24 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 22–23 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.

Po¨ang fr˚an kontrollskrivning och laborationer under period 3, VT2018 f˚ar tillgodor¨aknas under f¨oruts¨attning att tentanden erh˚allit minst 20 po¨ang p˚a denna tentamen.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Uppgift 1

a) L˚at A och B vara tv˚a h¨andelser. F¨oljande sannolikheter ¨ar k¨anda:

P (A ∪ B) = 0.92 P (A ∪ B^∗) = 0.88 P (A^∗∪ B) = 0.68

Avg¨or om h¨andelserna A och B oberoende? Noggrann motivering kr¨avs. (5 p) b) I en k¨and t¨avling m¨ots 18 t¨avlande i en f¨orsta semifinal och 19 andra t¨avlande i en andra semifinal. Fr˚an varje semifinal g˚ar 10 t¨avlande vidare till final. I finalen deltar f¨orutom de 20 som kvalificerat sig fr˚an semifinalerna ¨aven 6 direktkvalificerade t¨avlande. Antag att alla dessa 26 som deltar i finalen ¨ar lika bra i den meningen att deras placering i finalen sker helt slumpvis. Best¨am sannolikheten att minst 2 av de 5 t¨avlande som placerar sig b¨ast i finalen

var direktkvalificerade? (5 p)

Uppgift 2

Arrang¨orerna av en stor skidt¨avling planerar att k¨opa in 35 500 liter bl˚ab¨arssoppa f¨or att kunna servera ˚akarna under loppet. De antar att den volym bl˚ab¨arssoppa som en ˚akare dricker ¨ar obero- ende av hur mycket bl˚ab¨arssoppa de andra ˚akarna dricker och att den m¨angd bl˚ab¨arssoppa som en enskild ˚akare dricker kan beskrivas av en stokastisk variabel X som uppfyller E(X) = 0.7 och D(X) = 0.6.

Ber¨akna med l¨amplig och v¨almotiverad approximation sannolikheten att bl˚ab¨arsoppan r¨acker till de 50 000 ˚akare som f¨orv¨antas genomf¨ora loppet. (10 p)

Var god v¨and!

Uppgift 3

a) I en butiksunders¨okning k¨opte 23 av 200 utvalda kunder minst en vara. L˚at detta vara ett slumpm¨assigt urval ur en mycket stor konsumentpopulation. Best¨am ett 95% konfidensin- tervall f¨or andelen kunder, p, som k¨oper minst en vara i en aff¨ar. (7 p) b) Testa hypotesen p = 0.15 mot hypotesen p 6= 0.15 p˚a signifikansniv˚an 5%. Slutsatsen ska

tydligt framg˚a. (3 p)

Uppgift 4

En glasskiosk p˚a en badstrand h˚aller ¨oppet n¨ar det inte regnar. Antalet kunder som handlar i glasskiosken en godtyckligt vald dag antas vara Po(λt)-f¨ordelat d¨ar λ ¨ar en ok¨and konstant och t

¨ar antalet timmar som det inte regnar den dagen. Nedanst˚aende tabell inneh˚aller antalet regnfria timmar t_i och antalet kunder x_i samtliga dagar under en godtyckligt vald vecka.

ti 2 8 12 11 7 5 1

x_i 10 65 150 135 62 66 0

a) Tag, baserat p˚a observationerna t1, . . . , tnoch x1, . . . , xnfram ett uttryck f¨or ML-skattningen av λ. Ber¨akna ¨aven denna skattning numeriskt med hj¨alp av informationen i tabellen. (4 p) b) Visa att ML-skattningen av λ ¨ar v¨antev¨ardesriktig. (2 p)

c) En annan v¨antev¨ardesriktig skattning av λ ges av λ^∗_obs = 1

n

n

X

i=1

x_i t_i.

Visa att f¨or n = 2 s˚a ¨ar variansen av denna skattning alltid st¨orre ¨an eller lika med variansen

av ML-skattningen. (4 p)

Uppgift 5

V¨adret i Skandinavien p˚averkas av vilken bana som l˚agtrycken tar d˚a de r¨or sig ¨osterut ¨over Atlanten. Om l˚agtrycken r¨or sig l¨angs en nordligare bana, s˚a kommer de in ¨over Skandinavien och ger i allm¨anhet upphov till milt och fuktigt v¨ader. Om l˚agtrycken ist¨allet r¨or sig l¨angs en sydligare bana, s˚a kommer de in ¨over den europeiska kontinenten och detta g¨or i allm¨anhet att arktiska luftmassor r¨or sig ned ¨over Skandinavien med kallt och torrt v¨ader h¨ar som f¨ojd. Detta m¨onster ¨ar s¨arskilt tydligt vintertid. L˚agtryckens bana ¨over Atlanten p˚averkas i sin tur av skillnaden i lufttryck mellan Island och Azorerna, n˚agot som kallas f¨or den Nordatlantiska oscillationen (NAO). NAO s¨ags vara i sin positiva fas n¨ar skillnaden i lufttryck ¨ar mindre ¨an normalt och i sin negativa fas n¨ar skillnaden i lufttryck ¨ar st¨orre ¨an normalt.

Medeltemperaturen i Stockholm under mars 2018 var omkring tv˚a grader l¨agre ¨an normalv¨ardet p˚a 0.1^◦C. Nedanst˚aende tabell inneh˚aller information om medeltemperaturen T (m¨att i ^◦C) i Stockholm under mars m˚anad ˚aren 1900 − 2016 och information om vilken NAO-fas som varit f¨orh¨arskande motsvarande m˚anad.

forts tentamen i SF1901 2018-04-05 3 T < −2 −2 ≤ T < 0 0 ≤ T < 2 T ≥ 2

Positiv NAO-fas 2 14 26 25

Negativ NAO-fas 22 18 8 2

Testa p˚a signifikansniv˚an 0.1% hypotesen att T ¨ar oberoende av NAO-fasen. (10 p) Uppgift 6

Medeltemperaturen (m¨att i ^◦C) i Stockholm under en marsm˚anad kan antas ges av en N (θ, 2.5)- f¨ordelad stokastisk variabel. Vi vill best¨amma θ och m¨ater d¨arf¨or medeltemperaturen t₁, ..., t_n i Stockholm under n p˚a varandra f¨oljande marsm˚anader.

a) Utforma ett statistiskt test p˚a signifikansniv˚an 5% f¨or att testa om θ ¨ar signifikant st¨orre

¨an v¨ardet θ = 0.1^◦C (som angavs i uppgift 5). Ange noga noll- och mothypoteserna samt kriterier f¨or n¨ar nollhypotesen ska f¨orkastas. (5 p) b) Under hur m˚anga marsm˚anader beh¨over vi m¨ata medeltemperaturen f¨or att testets styrka ska vara 90% om det sanna v¨ardet ¨ar θ = 2^◦C. (5 p)

Lycka till!

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK.

TORSDAGEN DEN 5 APRIL 2018 KL 14.00–19.00 Uppgift 1

a) H¨andelserna A och B ¨ar oberoende om P (A ∩ B) = P (A)P (B). Vi har att P (A ∪ B^∗) = 1 − P (A^∗∩ B) och P (A^∗∪ B) = 1 − P (A ∩ B^∗).

och f˚ar

P (A ∩ B) = P (A ∪ B) − P (A ∩ B^∗) − P (A^∗∩ B) = 0.92 − (1 − 0.68) − (1 − 0.88) = 0.48.

Vidare g¨aller det att

P (A) = P (A ∪ B) − P (A^∗∩ B) = 0.92 − (1 − 0.88) = 0.8, samt

P (B) = P (A ∪ B) − P (A ∩ B^∗) = 0.92 − (1 − 0.68) = 0.6.

Detta ger P (A)P (B) = 0.8 · 0.6 = 0.48 = P (A ∩ B).

Svar: A och B ¨ar oberoende h¨andelser.

b) L˚at X vara antalet direktkvalificerade t¨avlande som hamnar bland de 5 b¨asta. D˚a har vi att X ∈ Hyp(N, n, p), d¨ar N = 26, n = 5 och p = 6/26. Den s¨okta sannolikheten blir d¨armed

P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 −

6 0

₂₀

5
+ ⁶_1
20

4

26 5

= 0.3224

Svar: Sannolikheten att minst 2 av de 5 b¨asta var direktkvalificerade ¨ar 0.3224.

Uppgift 2

L˚at X_ivara m¨angden bl˚ab¨arssoppa som ˚akare nr i dricker. D˚a ¨ar Y =P50000

i=1 X_i den m¨angd soppa som beh¨ovs. Vi har

E(Y ) =

50000

X

i=1

E(X_i) = 50000 · 0.7 = 35000 och

V (Y ) =

50000

X

i=1

V (X_i) = 50000 · 0.6² = 18000 vilket ger D(Y ) =√ 18000.

forts tentamen i SF1901 2018-04-05 2

D˚a 50000 ¨ar ett mycket stort antal och de stokastiska variablerna X_i¨ar oberoende och likaf¨ordelade, s˚a kan vi till¨ampa CGS p˚a Y och det f¨oljer att Y ¨ar approximativt N (35000,√

18000)-f¨ordelat.

Detta ger

P (soppan r¨acker) = P (Y ≤ 35500) = P Y − 35000

√18000 ≤ 35500 − 35000

√18000



= P Y − 35000

√18000 ≤ 3.727



≈ Φ(3.727) = 0.99990.

Svar: Sannolikheten att bl˚ab¨arssoppan r¨acker ¨ar 99.990%.

Uppgift 3

a) Vi antar att varje kund har samma sannolikhet p att handla minst en vara. D˚a g¨aller att anta- let unders¨okta kunder X som handlar minst en vara uppfyller X ∈ Bin(n, p) = Bin(200, p) i v˚art fall. En punktskattning av sannolikheten p ges nu av

p^∗_obs = x n = 23

200 = 0.115.

Vi vill nu ta fram ett approximativt konfidensintervall f¨or p och f¨or att vi ska kunna anv¨anda normalapproximation kr¨avs att n · p^∗_obs · (1 − p^∗_obs) ≥ 10. Eftersom p^∗_obs = 0.115 och n = 200 s˚a g¨aller det att

np^∗_obs(1 − p^∗_obs) = 200 · 23 200 ·177

200 = 20.355 > 10, varf¨or normalapproximationen till binomialf¨ordelningen ¨ar till˚aten.

Vi bildar nu ett konfidensintervall f¨or p.

Ip = p^∗_obs±

rp^∗_obs(1 − p^∗_obs) n · λ^α

2 = 0.115 ±

r0.115 · 0.885

200 · λ0.025

= 0.115 ±

r0.115 · 0.885

200 · 1.96 = 0.115 ± 0.044 = (0.071, 0.159) Svar: Ett approximativt konfidensintervall f¨or p med konfidensgrad 95% ges av

I_p = (0.071, 0.159).

b) Vi ska nu testa nollhypotesen H0 : p = 0.15 mot mothypotesen H1 : p 6= 0.15 p˚a (approxi- mativa) riskniv˚an 5%. Vi ser att

0.15 ∈ I_p = (0.071, 0.159) ,

och eftersom intervallet inneh˚aller p = 0.15, s˚a f¨orkastar vi ej H₀ p˚a den approximativa niv˚an 5%.

Svar: Vi kan p˚a niv˚an 5% ej f¨orkasta hypotesen att sannolikheten att en kund handlar minst en vara ¨ar p = 0.15.

Uppgift 4

a) ML-skattningen av λ ¨ar det v¨arde som maximerar likelihoodfunktionen L(λ) = f_X1(x₁) · · · f_Xn(x_n) = (λt₁)^x1

x1! e^−λt1· · ·(λt_n)^xn xn! e^−λtn. Det v¨arde p˚a λ som maximerar L(λ) maximerar ¨aven

ln(L(λ)) = ln(λt₁)^x1

x₁! e^−λt1· · ·(λt_n)^xn

x_n! e^−λtn

=

n

X

i=1

(x_iln(λ) + x_iln(t_i) − ln(x_i!) − λt_i).

Derivering med avseende p˚a θ ger 0 = d

dθ ln(L(θ)) = 1 λ

n

X

i=1

x_i−

n

X

i=1

t_i,

s˚a likelihoodfunktionen maximeras av λ = Pn

i=1x_i/Pn

i=1t_i. F¨or de sju observationerna (x₁, ..., x_n) = (10, 65, 150, 135, 62, 66, 0) och (t₁, ...t_n) = (2, 8, 12, 11, 7, 5, 1) f˚as skattningen

λ^∗_obs = (10 + 65 + 150 + 135 + 62 + 66 + 0)/(2 + 8 + 12 + 11 + 7 + 5 + 1) = 10.61.

Svar: ML-skattningen ges av λ^∗_obs =Pn

i=1xi/Pn

i=1ti = 10.61.

b) Stickprovsvariabeln f¨or ML-skattningen ges av λ^∗ =

Pn i=1X_i Pn

i=1t_i

d¨ar X_i ¨ar Poissonf¨ordelade s.v. med v¨antev¨arde λt_i. Allts˚a ¨ar E (λ^∗) = E

 Pn i=1X_i Pn

i=1t_i



= 1

Pn i=1t_i

n

X

i=1

E (X_i) = 1 Pn

i=1t_i

n

X

i=1

λt_i = λ,

och skattningen λ^∗_obs ¨ar v¨antev¨ardesriktig.

Svar: ML-skattningen av θ ¨ar v¨antev¨ardesriktig.

c) Variansen f¨or ML-skattningen ges av V

 Pn i=1X_i Pn

i=1t_i



= V (Pn i=1X_i) (Pn

i=1t_i)² = Pn

i=1V (X_i) (Pn

i=1t_i)² = Pn

i=1λt_i (Pn

i=1t_i)² = λ Pn

i=1t_i, och variansen f¨or den andra skattningen ges av

V 1

n

n

X

i=1

X_i ti

!

= 1

n²V

n

X

i=1

X_i ti

!

= 1 n²

n

X

i=1

V  X_i ti



= 1 n²

n

X

i=1

1

t²_iV (X_i) = 1 n²

n

X

i=1

1 t²_iλt_i

= λ

n²

n

X

i=1

1 ti

,

forts tentamen i SF1901 2018-04-05 4

Antag nu att n = 2 och s¨att t₁ = αt samt t₂ = (1 − α)t, f¨or ett godtyckligt tal α ∈ [0, 1], s˚a att t₁ + t₂ = t. D˚a blir variansen f¨or ML-skattningen λ/t och variansen f¨or den andra skattningen

λ 2²

 1

αt+ 1 (1 − α)t



= λ

4α(1 − α)t.

Funktionen f (α) = 4α(1 − α) maximeras p˚a intervallet α ∈ [0, 1] av α = 0.5 och antar d¨ar v¨ardet f (0.5) = 1. D¨armed uppfyller variansen f¨or den andra skattningen

λ 4α(1 − α)

| {z }

≤1

t ≥ λ

t = variansen f¨or ML-skattningen,

vilket skulle bevisas.

Uppgift 5

Vi g¨or h¨ar ett test av oberoende. Som nollhypotes H₀ v¨aljer vi att medeltemperaturen i Stockholm i mars ¨ar oberoende av NAO-fasen, medan mothypotesen H₁ ¨ar att medeltemperaturen och NAO- fasen ¨ar beroende. Vi g¨or h¨ar en tabell med observerade antal enligt

T < −2 −2 ≤ T < 0 0 ≤ T < 2 T ≥ 2

Positiv NAO-fas 2 14 26 25

Negativ NAO-fas 22 18 8 2

L˚at x_ij beteckna antalet marsm˚anader som faller inom kategori i g¨allande NAO-fas och inom kategori j g¨allande medeltemperaturen. L˚at vidare n_i beteckna det totala antalet marsm˚anader som faller inom kategori i g¨allande NAO-fas och l˚at mj beteckna det totala antalet marsm˚anader som faller inom kategori j g¨allande medeltemperatur. Om vi l˚ater N beteckna det totala antalet unders¨okta ˚ar, s˚a blir teststorheten

Q =

2

X

i=1 4

X

j=1

(xij − ⁿⁱ_N^mj)²

nimj

N

= (2 − ^67·24₁₁₇ )²

67·24 117

+(14 − ^67·32₁₁₇ )²

67·32 117

+(26 − ^67·34₁₁₇ )²

67·34 117

+(25 − ^67·27₁₁₇ )²

67·27 117

+ (22 − ^50·24₁₁₇ )²

50·24 117

+(18 − ^50·32₁₁₇ )²

50·32 117

+(8 − ^50·34₁₁₇ )²

50·34 117

+(2 − ^50·27₁₁₇ )²

50·27 117

= 44.76.

Om H₀¨ar sann s˚a ¨ar 44.76 ett utfall av en stokastisk variabel som ¨ar approximativt χ²-f¨ordelad med (2 − 1)(4 − 1) = 3 frihetsgrader. Approximationen ¨ar applicerbar eftersom n_im_j/N ≥ 50 · 24/117 = 10.26 > 5. Eftersom χ²_0.001(3) = 16.3 < 44.76, s˚a kan H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚an 0.1%. Vi drar f¨oljande slutsats.

Svar: P˚a signifikansniv˚an 0.1% finns ett beroende mellan medeltemperaturen i Stockholm i mars och NAO-fasen.

Uppgift 6

a) Antag att vi m¨ater medeltemperaturen under n stycken marsm˚anader. De uppm¨atta tem- peraturerna t₁, . . . , t_n ¨ar enligt problemformuleringen observationer av N (θ, 2.5)-f¨ordelade stokastiska variabler T₁, . . . , T_n. D˚a vi vill unders¨oka om medeltemperaturen ¨ar signifikant st¨orre ¨an θ = 0.1^◦C, s˚a v¨aljer vi att testa

H₀ : θ = 0.1 mot H₁ : θ > 0.1.

Under H0 ¨ar stickprovsmedelv¨ardet T f¨ordelat enligt N (0.1, 2.5/√

n), och vi f¨orkastar d¨arf¨or H₀ till f¨orm˚an f¨or H₁ p˚a signifikansniv˚an 5% om

t − 0.1 2.5/√

n > λ_0.05 ⇔ t > 0.1 + λ_0.052.5

√n.

Detta kritiska omr˚ade bildar, tillsammans med de b˚ada hypoteserna ovan, svar p˚a a).

b) Testets styrka f¨or θ = 2^◦C ber¨aknas enligt h(2) = P (H₀f¨orkastas

θ = 2 ¨ar det r¨atta parameterv¨ardet)

= P



T > 0.1 + λ_0.052.5

√n   θ = 2



= P



T − 2 > −1.9 + λ_0.052.5

√n   θ = 2



= P

 T − 2 2.5/√

n > −1.9

√n

2.5 + λ_0.05   θ = 2



= 1 − Φ



−1.9

√n

2.5 + λ_0.05

 , eftersom (T − 2)/(2.5/√

n) ¨ar standardiserat normalf¨ordelat om θ = 2 ¨ar r¨att parame- terv¨arde. Enligt problemformuleringen ska det g¨alla att h(2) = 0.9, d.v.s. Φ(−1.9√

n/2.5 + λ_0.05) = 0.1, vilket, p˚a grund av symmetrin hos den standardiserade normalf¨ordelningen, betyder att

−1.9√

n/2.5 + λ_0.05 = −λ_0.1 ⇔ n = 2.5 1.9

2

(λ_0.05+ λ_0.1)²

≈  2.5 1.9

2

(1.6446 + 1.2816)² ≈ 14.82,

d¨ar vi erh˚all de tv˚a kvantilerna ur tabell. Vi avrundar upp˚at och konstaterar att vi b¨or m¨ata medeltemperaturer under femton ˚ars tid.

Svar: Vi b¨or m¨ata medeltemperaturen under 15 marsm˚anader.