Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, M˚ANDAGEN DEN 9:E JANUARI 2017 KL 14.00–19.00.

Examinator: Thomas ¨Onskog, 08 – 790 84 55.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), hj¨alpreda f¨or minir¨aknare, minir¨aknare.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 6 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang.

Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 24 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 22–23 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.

Po¨ang fr˚an kontrollskrivning och laborationer under innevarande kursomg˚ang (period 2, HT2016) f˚ar tillgodor¨aknas under f¨oruts¨attning att tentanden erh˚allit minst 20 po¨ang p˚a denna tentamen.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Uppgift 1

I en t¨avling i skidskytte ˚aker de t¨avlande skidor runt en bana som passerar fyra stationer d¨ar de t¨avlande stannar och skjuter prick mot fem m˚altavlor. Vid varje skjutning har deltagarna ˚atta f¨ors¨ok att tr¨affa de fem m˚altavlorna, men de tre sista skotten m˚aste laddas om ett och ett. Om man trots extraskotten inte tr¨affat alla de fem m˚altavlorna p˚a de ˚atta skotten, f˚ar man ˚aka lika m˚anga straffrundor som antalet missade m˚altavlor. Givet att en viss t¨avlande tr¨affar en tavla med sannolikheten 0.7, best¨am sannolikheten f¨or att h¨ogst tv˚a av dennes fyra skjutomg˚angar slutar med att vederb¨orande f˚ar ˚aka straffrundor. Tr¨affar antas ske oberoende av varandra. (10 p)

Uppgift 2

Kvinnor har tv˚a X-kromosomer medan m¨an har en X-kromosom och en Y-kromosom. Ett barn

¨arver en slumpm¨assigt vald X-kromosom av sin mor och en slumpm¨assigt vald X- eller Y-kromosom av sin far. Barnets k¨on avg¨ors av vilken kromosom som barnet ¨arver av sin far. Denna uppgift behandlar f¨argblindhet, vilket ¨arvs recessivt via X-kromosomen. En kvinna ¨ar f¨argblind om b˚ada X-kromosomerna inneh˚aller ett anlag f¨or f¨argblindhet. En man ¨ar f¨argblind om den enda X- kromosomen inneh˚aller ett anlag f¨or f¨argblindhet. L˚at K beteckna en icke f¨argblind kvinna. Antag att sannolikheten att en av K:s X-kromosomer inneh˚aller ett anlag f¨or f¨argblindhet ¨ar 1/3 och att sannolikheten att ingen av K:s X-kromosomer inneh˚aller n˚agot anlag f¨or f¨argblindhet ¨ar 2/3.

a) Ber¨akna sannolikheten att K:s barn inte ¨arver n˚agot anlag f¨or f¨argblindhet av sin mor. (4 p)

Var god v¨and!

b) Antag att K f˚ar en son med en man som inte ¨ar f¨argblind. Ber¨akna sannolikheten att K har ett anlag f¨or f¨argblindhet givet att sonen inte ¨ar f¨argblind. (6 p)

Uppgift 3

Anrikningarna (i %) av de tolv br¨anslestavarna i en k¨arnkraftreaktor har blivit uppm¨atta med f¨oljande resultat:

2.94 2.75 2.95 2.81 2.95 2.90 2.82 2.95 3.00 2.95 3.00 3.05

Utifr˚an dessa data, betecknade med x₁, . . . , x₁₂, h¨avdas det att v¨antev¨ardet f¨or anrikningen ¨ar lika med 2.95%.

a) Best¨am ett konfidensintervall med konfidensgrad 90% f¨or v¨antev¨ardet f¨or anrikningen. Som statistisk modell antas oberoende normalf¨ordelade X_i ∈ N (µ, σ), i = 1, . . . , 12.

R¨aknehj¨alp: P12

i=1(xi− x)² = 0.085025, x = ₁₂¹ P12

i=1xi = 2.9225. (7 p)

b) Testa nollhypotesen

H₀ : µ = 2.95 mot alternativhypotesen

H₁ : µ 6= 2.95

p˚a riskniv˚an 10%. Slutsatsen om H₀ skall f¨orkastas eller inte skall anges och motiveras

tydligt. (3 p)

Uppgift 4

SCB:s partisympatiunders¨okning g¨ors tv˚a g˚anger om ˚aret och ¨ar Sveriges st¨orsta. Lite f¨orenklat f˚ar ett riksomfattande slumpm¨assigt urval av i riksdagsval r¨ostber¨attigade personer besvara fr˚agan

“Vilket parti skulle du r¨osta p˚a om det vore riksdagsval n˚agon av de n¨armaste dagarna?”. Nedan finner du resultaten fr˚an SCB:s m¨atningar i maj och november 2016 f¨or de tv˚a st¨orsta riksdags- partierna.

Parti Maj November F¨or¨andring

Socialdemokraterna 29.5% 29.2% −0.3%

Moderaterna 24.7% 22.8% −1.9%

Det totala antalet svarande var 5021 personer i november och 4838 personer i maj.

a) Best¨am konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 95% f¨or f¨or¨andringarna av an- delarna sympatis¨orer f¨or Socialdemokraterna respektive Moderaterna. (7 p) b) G¨or en hypotespr¨ovning p˚a approximativa niv˚an 5% f¨or att se om f¨or¨andringen f¨or Social- demokraterna ¨ar signifikant. G¨or en hypotespr¨ovning p˚a approximativa niv˚an 5% f¨or att se om f¨or¨andringen f¨or Moderaterna ¨ar signifikant. Var noga med att ange dina hypoteser och

slutsatser. (3 p)

forts tentamen i SF1901 2017-01-09 3

Uppgift 5

Den danske mission¨aren Hans Egede Saabye som var stationerad p˚a Gr¨onland ˚aren 1770-1778 nedtecknade i sin dagbok f¨oljande (i fri ¨overs¨attning): ”P˚a Gr¨onland ¨ar alla vintrar str¨anga, men de ¨ar ¨and˚a inte likadana. Danskarna har noterat att n¨ar vintern i Danmark ¨ar str¨ang, med v˚art m˚att m¨att, s˚a ¨ar vintern p˚a Gr¨onland mild, i gr¨onl¨andska m˚att m¨att”. F¨or att testa p˚ast˚aendet att det finns ett beroende mellan gr¨onl¨andska och danska vintertemperaturer kan vi unders¨oka nedanst˚aende tabell. Tabellen ¨ar baserad p˚a m¨atningar av medeltemperaturen i Januari i Nuuk p˚a Gr¨onland och i den danska huvudstaden K¨openhamn under ˚aren 1866-2013. P˚a vardera plat- sen ¨ar januarim˚anaderna indelade i tre kategorier: str¨ang (om medeltemperaturen ¨ar minst 0.8 standardavvikelser l¨agre ¨an normalv¨ardet), mild (om medeltemperaturen ¨ar minst 0.8 standar- davvikelser h¨ogre ¨an normalv¨ardet) och normal (om medeltemperaturen avviker mindre ¨an 0.8 standardavvikelser fr˚an normalv¨ardet).

Str¨ang vinter Nuuk Normal vinter Nuuk Mild vinter Nuuk

Str¨ang vinter K¨openhamn 2 19 9

Normal vinter K¨openhamn 13 51 22

Mild vinter K¨openhamn 12 18 2

Formulera ett hypotestest p˚a signifikansniv˚an 1% och unders¨ok om det finns ett beroende mellan

gr¨onl¨andska och danska vintertemperaturer. (10 p)

Uppgift 6

I en elektronisk komponent transformeras likformigt f¨ordelat brus X ∈ U (0, 1) monomiellt enligt Y = X^γ,

d¨ar graden γ > 0 ¨ar en konstant.

a) Best¨am t¨athetsfunktionen f¨or det transformerade bruset Y . (4 p) b) L˚at y₁, ..., y_n vara n oberoende observationer av det transformerade bruset. Best¨am ML- skattningen av γ och avg¨or om den ¨ar v¨antev¨ardesriktig. (6 p)

Lycka till!

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1901 MATEMATISK STATISTIK.

M˚ANDAGEN DEN 9 JANUARI 2017 KL 14.00–19.00 Uppgift 1

Eftersom tr¨affar sker oberoende av varandra ¨ar sannolikheten p att den t¨avlande f˚ar ˚aka straffrun- dor efter en skjutning lika med sannolikheten att vid en serie omfattande 8 oberoende f¨ors¨ok, d¨ar sannolikheten att lyckas vid varje f¨ors¨ok ¨ar 0.7, lyckas h¨ogst 4 g˚anger. Antalet lyckade f¨ors¨ok X ¨ar i detta sammanhang Bin(8, 0.7)-f¨ordelat. Eftersom tabellen ¨over binomialf¨ordelningens f¨ordelningsfunktion endast omfattar binomialsannolikheter upp till 0.5 betraktar vi ist¨allet antalet misslyckade f¨ors¨ok Y = 8 − X, som f¨oljaktligen har Bin(8, 0.3)-f¨ordelning, och r¨aknar enligt

p = P (X ≤ 4) = P (Y ≥ 4) = 1 − P (Y ≤ 3) ≈ 0.1941, d¨ar det numeriska v¨ardet erh¨olls med hj¨alp av tabell.

L˚at nu Z vara det antal skjutomg˚angar efter vilka den t¨avlande f˚ar ˚aka straffrundor. D˚a den t¨avlande genomf¨or totalt 4 skjutomg˚angar, vilka utfaller oberoende av varandra (d˚a alla tr¨affar sker oberoende), g¨aller att Z har Bin(4, p)-f¨ordelning med sannolikheten p ovan. S˚alunda erh˚alls, med hj¨alp av binomialf¨ordelningens sannolikhetsfuntion,

P (h¨ogst 2 skjutomg˚angar slutar med straffrundor)

= P (Z ≤ 2) = P (Z = 0) + P (Z = 1) + P (Z = 2)

=4 0



p⁰(1 − p)⁴+4 1



p¹(1 − p)³+4 2



p²(1 − p)² ≈ 0.975 (h¨ar v¨aljer vi att r¨akna direkt med binomialf¨ordelningens sannolikhetsfunktion snarare ¨an att anv¨anda tabell, d˚a v¨ardet p ovan inte finns tabellerat och sannolikheten ges av endast tre termer).

Svar: Sannolikheten att h¨ogst tv˚a av de fyra skjutomg˚angarna slutar med att skidskytten f˚ar

˚aka straffrundor ¨ar 0.975.

Uppgift 2

a) L˚at BA beteckna h¨andelsen att K ¨ar b¨arare av anlaget och F A h¨andelsen att K f¨or anlaget vidare till sitt barn. Vi har d˚a f¨oljande sannolikheter givna i uppgiften:

P (BA) = 1/3

och d¨armed har vi ¨aven att P (BA^∗) = 1 − P (BA) = 1 − 1/3 = 2/3, samt att P (F A|BA) = 1/2, och P (F A|BA^∗) = 0.

Lagen om total sannolikhet ger nu att

P (F A) = P (F A|BA)P (BA) + P (F A|BA^∗)P (BA^∗) = 1 2· 1

3 + 0 · 2 3 = 1

6 och d¨arf¨or ¨ar s¨okt sannolikhet P (F A^∗) = 1 − P (F A) = 1 − 1/6 = 5/6.

Svar: Sannolikheten att K:s barn inte ¨arver n˚agot anlag f¨or f¨argblindhet av sin mor ¨ar 5/6.

forts tentamen i SF1901 2017-01-09 2

b) S¨okt sannolikhet ¨ar nu P (BA|F A^∗) f¨or om K f˚att en icke f¨argblind son har hon inte f¨ort vidare anlaget. Bayes sats ger att

P (BA|F A^∗) = P (F A^∗|BA)P (BA)

P (F A^∗) = [1 − P (F A|BA)]P (BA) P (F A^∗)

= (1 − 1/2)1/3

5/6 = 1

5.

Svar: Sannolikheten att K ¨ar b¨arare av anlaget givet att hon f˚att en son som inte ¨ar f¨argblind ¨ar 1/5.

Uppgift 3

a) Vi s¨oker ett konfidensintervall f¨or v¨antev¨ardet m i en normalf¨ordelning N (m, σ) med ok¨and standardavvikelse σ. Ett tv˚asidigt konfidensintervall med konfidensgrad 90% ges av

I_m =



x − t_0.05(11) · s

√12, x + t_0.05(11) · s

√12

 .

H¨ar ¨ar s =

q_P12

i=1(xi−x)²

12−1 =

q0.085025

11 = 0.08792. Eftersom x = ₁₂¹ P12

i=1x_i = 2.9224 och t_0.05(11) = 1.80 erh˚aller vi

I_m =



2.922 − 1.80 · 0.08792

√12 , 2.922 + 1.80 ·0.08792

√12



= (2.922 − 0.0456, 2.922 − 0.0456).

Intervallskattningen av m ¨ar s˚aledes

Svar: Ett konfidensintervall f¨or m med konfidensgrad 90% ges av I_m = (2.88, 2.97) .

b) Vi pr¨ovar nollhypotesen med hj¨alp av det ovan framtagna konfidensintervallet, som enligt konstruktion har riskniv˚an 10%. Eftersom m = 2.95% ligger i konfidensintervallet I_m drar vi f¨oljande slutsats:

Svar: P˚ast˚aendet m = 2.95 kan ej f¨orkastas p˚a riskniv˚an 10%.

Uppgift 4

a) L˚at p_maj vara andelen S-sympatis¨orer i maj och p_nov vara motsvarande andel i november.

F¨or¨andringen i antalet S-sympatis¨orer ges d˚a av p_nov − p_maj. En punktskattning av denna f¨or¨andring ¨ar

(p_nov− p_maj)^∗_obs = (p_nov)^∗_obs− (p_maj)^∗_obs = 0.292 − 0.295 = −0.003.

F¨or att f˚a fram ett konfidensintervall f¨or f¨or¨andringen beh¨over vi f¨ordelningen f¨or motsva- rande stickprovsvariabel. Punktskattningen p^∗_maj ges av

p^∗_maj = Xmaj

n_maj

d¨ar den stokastiska variabeln X_maj ¨ar s˚adan att X_maj ∈ Bin(n_maj, p_maj). Eftersom en skatt- ning av n_maj(p_maj)(1 − (p_maj)) ges av

nmaj(pmaj)^∗_obs(1 − (pmaj)^∗_obs) = 4838 · 0.295(1 − 0.295) ≈ 1006  10

g¨aller att X_maj ¨ar approximativt normalf¨ordelad. Ett analogt resonemang ger att ocks˚a X_nov, som ¨ar motsvarande stokastiska variabel f¨or november, ¨ar approximativt normalf¨ordelad (nu ges skattningen av n_nov(p_nov)^∗_obs(1 − (p_nov)^∗_obs) = 5021 · 0.292(1 − 0.292) ≈ 1038  10) och eftersom ¨ar en linj¨arkombination av oberoende (detta m˚aste antas, men det ¨ar rimligt att m¨atningarna i maj och november ¨ar oberoende) approximativt normalf¨ordelade stokastiska variabler ¨ar normalf¨ordelad f˚as att

(p_nov− p_maj)^∗ = X_nov

n_nov −X_maj n_maj

¨ar approximativt normalf¨ordelad med v¨antev¨arde E[(p_nov− p_maj)^∗] = E X_nov

n_nov − X_maj n_maj



= E X_nov n_nov



− E X_nov n_nov



= 1

n_novn_novp_nov − 1

n_majn_majp_maj = p_nov− p_maj och varians

V ((p_nov− p_maj)^∗) = V  X_nov

n_nov +Xmaj

n_maj



= V  X_nov n_nov



+ V  X_nov n_nov



= 1

n²_novn_novp_nov(1 − p_nov) + 1

n²_majn_majp_maj(1 − p_maj)

= p_nov(1 − p_nov)

n_nov + p_maj(1 − p_maj) n_maj

d¨ar vi anv¨ant oberoende f¨or att f˚a andra likheten. En skattning av standardavvikelsen, dvs medelfelet, ges av

d((p_nov− p_maj)^∗) = s

(pnov)^∗_obs(1 − (pnov)^∗_obs)

n_nov +(pmaj)^∗_obs(1 − (pmaj)^∗_obs) n_maj

=

r0.292(1 − 0.292)

5021 +0.295(1 − 0.295)

4838 = 0.0091739889.

Enligt den approximativa metoden ges d¨arf¨or ett konfindensintervall med approximativ kon- fidensgrad 95% av

I_pnov−p_maj = (p_nov)^∗_obs− (p_maj)^∗_obs± λ_0.025d((p_nov− p_maj)^∗)

= −0.003 ± 1.96 · 0.0091739889 = (−0.02098; 0.01498)

L˚at q_maj vara andelen M-sympatis¨orer i maj och q_nov vara motsvarande andel i november.

P˚a samma s¨att som f¨or f¨or¨andringen i andelen S-sympatis¨orer f˚ar man ett approximativt

forts tentamen i SF1901 2017-01-09 4

95% konfidensintervall f¨or f¨or¨andringen i andelen M-sympatis¨orer som I_qnov−qmaj = (q_nov)^∗_obs− (q_maj)^∗_obs± λ_0.025d((q_nov− q_maj)^∗)

= 0.228 − 0.247 ± 1.96

r0.228(1 − 0.228)

5021 + 0.247(1 − 0.247) 4838

= −0.019 ± 1.96 · 0.0085731991 = (−0.03580; −0.002197) Svar: Konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 95% f¨or f¨or¨andringarna av andelarna sympatis¨orer f¨or Socialdemokraterna och Moderaterna ges av (-0.02098,0.01498) respektive (-0.03580,-0.002197).

b) F¨or Socialdemokraterna testar vi

H₀ : p_nov− p_maj = 0 mot

H₁ : p_nov− p_maj 6= 0

p˚a approximativ signifikansniv˚a 5% genom att f¨orkasta H₀ om 0 inte tillh¨or konfidensinter- vallet f¨or p_nov− p_maj fr˚an a). D˚a 0 ligger i intervallet (-0.02098;0.01498) kan vi inte f¨orkasta H₀ att ingen f¨or¨andring skett.

Svar: F¨or¨andringen f¨or Socialdemokraterna ¨ar inte signifikant p˚a niv˚an 5%.

F¨or Moderaterna testar vi

H₀ : q_nov− q_maj = 0 mot

H₁ : q_nov− q_maj 6= 0

p˚a approximativ signifikansniv˚a 5% genom att f¨orkasta H₀ om 0 inte tillh¨or konfidensinter- vallet f¨or q_nov − q_maj fr˚an a). D˚a 0 inte tillh¨or intervallet (-0.0358;-0.0021) kan vi f¨orkasta H₀ att ingen f¨or¨andring skett.

Svar: F¨or¨andringen f¨or Moderaterna ¨ar signifikant p˚a niv˚an 5%.

Uppgift 5

Vi g¨or h¨ar ett test av oberoende. Som nollhypotes H0 v¨aljer vi att medeltemperaturerna i januari i K¨openhamn och Nuuk ¨ar oberoende, medan mothypotesen H₁ ¨ar att de ¨ar beroende. Vi g¨or h¨ar en tabell med observerade antal enligt

Str¨ang Nuuk Normal Nuuk Mild Nuuk Totalt

Str¨ang K¨openhamn 2 19 9 30

Normal K¨openhamn 13 51 22 86

Mild K¨openhamn 12 18 2 32

Totalt 27 88 33 148

L˚at x_ij beteckna antalet vintrar som faller inom kategori i i K¨openhamn och inom kategori j i Nuuk. L˚at vidare n_i beteckna det totala antalet vintrar som faller inom kategori i i K¨openhamn

och l˚at m_j beteckna det totala antalet vintrar som faller inom kategori j i Nuuk. Om vi l˚ater N beteckna det totala antalet unders¨okta vintrar, s˚a blir teststorheten

Q =

3

X

i=1 3

X

j=1

(xij − ⁿⁱ_N^mj)²

nimj

N

= (2 −^30·27₁₄₈ )²

30·27 148

+(19 − ^30·88₁₄₈ )²

30·88 148

+(9 −^30·33₁₄₈ )²

30·33 148

+ (13 − ^86·27₁₄₈ )²

86·27 148

+ (51 − ^86·88₁₄₈ )²

86·88 148

+ (22 − ^86·33₁₄₈ )²

86·33 148

+ (12 − ^32·27₁₄₈ )²

32·27 148

+ (18 − ^32·88₁₄₈ )²

32·88 148

+ (2 −^32·33₁₄₈ )²

32·33 148

= 14.21.

Om H₀¨ar sann s˚a ¨ar 14.21 ett utfall av en stokastisk variabel som ¨ar approximativt χ²-f¨ordelad med (3 − 1)(3 − 1) = 4 frihetsgrader. Approximationen ¨ar applicerbar eftersom n_im_j/N ≥ 30 · 27/148 = 5.47 > 5. Eftersom χ²_0.01(2) = 13.28 < 14.21, s˚a kan H0 f¨orkastas p˚a signifikansniv˚an 1%. Vi drar f¨oljande slutsats.

Svar: P˚a signifikansniv˚an 1% finns ett beroende mellan gr¨onl¨andska och danska vinter- temperaturer.

Uppgift 6

a) D˚a X antar v¨arden mellan 0 och 1 g¨or ¨aven Y detta. F¨or att best¨amma t¨athetsfunktionen f_Y(y) f¨or Y best¨ammer vi f¨orst f¨ordelningsfunktionen enligt

F_Y(y) = P (X^γ ≤ y) = P X ≤ y^1/γ
= y^1/γ, 0 < y < 1, d¨ar vi i den sista likheten anv¨ande att X ∈ U (0, 1). Genom derivering erh˚alls

f_Y(y) = dF_Y

dy (y) = 1

γy^1/γ−1, 0 < y < 1, vilket besvarar a).

b) Vi betecknar nu t¨athetsfunktionen ovan med f_Y(y; γ) f¨or att betona att denna beror p˚a parametern γ, och skriver upp likelihood-funktionen f¨or γ enligt

L(γ) =

n

Y

i=1

f_Y(y_i; γ) =

n

Y

i=1

1

γy^1/γ−1_i = 1 γ

n n

Y

i=1

y_i

!1/γ−1

.

F¨or att maximera L(γ) med avseende p˚a γ betraktar vi ist¨allet log-likelihood-funktionen

ln L(γ) = −n ln γ + 1 γ − 1

 n

X

i=1

ln y_i,

och f¨or att finna ett nollst¨alle till densamma l¨oser vi d ln L(γ)

dγ (γ) = −n γ − 1

γ²

n

X

i=1

ln y_i = 0 ⇔ γ = −1 n

n

X

i=1

ln y_i.

forts tentamen i SF1901 2017-01-09 6

Man kontrollerar enkelt att denna l¨osning utg¨or ett globalt maximum, vilket ger ML- skattningen

γ_obs^∗ = −1 n

n

X

i=1

ln y_i.

Detta besvarar den f¨orsta delen av (b). F¨or att dessutom avg¨ora huruvida skattningen ovan

¨ar v¨antev¨ardesriktig betraktar vi

E(γ^∗) = E −1 n

n

X

i=1

ln Y_i

!

= −1 n

n

X

i=1

E(ln Y_i) = −E(ln Y ).

d¨ar vi anv¨ande, i den andra likheten, att v¨antev¨arden ¨ar linj¨ara och, i den sista likheten, att observationerna ¨ar likaf¨ordelade. V¨antev¨ardet i h¨ogerledet ber¨aknas t.ex. med hj¨alp av t¨athetsfunktionen f¨or det ursprungliga, U (0, 1)-f¨ordelade bruset och partialintegration enligt

E(ln Y ) = γE(ln X)

= γ

Z 1 0

ln x · 1 dx



= γ



[x ln x]¹_x=0

| {z }

=0

− Z 1

0

x · 1 xdx

| {z }

=1



= −γ, vilket medf¨or att

E(γ^∗) = −E(ln Y ) = γ.

Vi drar slutsatsen att ML-skattningen ¨ar v¨antev¨ardesriktig.