Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, M˚ANDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00–19.00.

Examinator: Thomas ¨Onskog, 08 – 790 84 55.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), minir¨aknare.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 6 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang.

Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 24 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 22–23 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.

Po¨ang fr˚an kontrollskrivning och laborationer under innevarande kursomg˚ang (period 2, HT2017) f˚ar tillgodor¨aknas under f¨oruts¨attning att tentanden erh˚allit minst 20 po¨ang p˚a denna tentamen.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Uppgift 1

P˚a en viss arbetsplats anv¨ands drogtester f¨or arbetss¨okande. Antag att det anv¨anda drogtestet vi- sar positivt med 98 procents sannolikhet f¨or en droganv¨andare, men att drogtestet med 1 procents sannolikhet visar positivt ¨aven f¨or en person som inte anv¨ander droger. Att testet visar positivt betyder att testet indikerar att personen anv¨ander droger. Om 10% av alla som s¨oker arbete p˚a arbetsplatsen anv¨ander droger, vad ¨ar d˚a sannolikheten att en arbetss¨okande som testat positivt

inte anv¨ander droger? (10 p)

Uppgift 2

Golftermen hole-in-one inneb¨ar att bollen g˚ar i h˚alet p˚a f¨orsta slaget fr˚an utslagsplatsen. Hole- in-one ¨ar mycket s¨allsynt och intr¨affar i regel endast p˚a s.k. par 3-h˚al, f¨or vilka avst˚andet mellan utslagsplatsen och h˚alet ¨ar kort. Enligt Deutsche Golf Verband ¨ar sannolikheten att sl˚a en hole-in- one p˚a ett par 3-h˚al 1/10150. Med en fyrboll menas en grupp p˚a fyra spelare som g˚ar en golfrunda tillsammans. Under ett tr¨aningsl¨ager f¨or svenska seniorlandslaget i golf intr¨affade nyligen den mycket s¨allsynta h¨andelsen att tv˚a spelare, som spelade i samma fyrboll, lyckades med att sl˚a hole-in-one p˚a samma par 3-h˚al! L˚at X beteckna antalet par 3-h˚al en given fyrboll beh¨over spela innan minst tv˚a spelare i gruppen lyckas med att sl˚a hole-in-one p˚a samma par 3-h˚al. Best¨am E(X). Spelare antas sl˚a hole-in-one oberoende av varandra. (10 p)

Var god v¨and!

Uppgift 3

Antalet uppdrag X₁, X₂ respektive X₃, som tre kunder ger ett dataf¨oretag under en m˚anad ¨ar oberoende stokastiska variabler, d¨ar X1 ∈ Po(µ1), X2 ∈ Po(µ2) och X3 ∈ Po(µ3).

a) Antag nu att µ₁ = 24, µ₂ = 9 och µ₃ = 12. Best¨am en approximation av sannolikheten att den f¨orsta kunden ger fler uppdrag ¨an de tv˚a sista kunderna tillsammans. Alla approxima-

tioner som utnyttjas skall naturligtvis motiveras. (5 p)

b) Antag nu att µ1, µ2 och µ3 ¨ar ok¨anda. Best¨am, baserat p˚a observationerna x1 = 25, x2 = 10 och x₃ = 12, ett konfidensintervall f¨or µ₁ − (µ₂ + µ₃) med approximativ konfidensgrad

95%. (5 p)

Uppgift 4

I samband med en trafikoml¨aggning ville man unders¨oka f¨or¨andringen i restid till arbetet. Man bad d¨arf¨or 12 personer registrera sina restider, m¨atta i minuter, dels en viss dag f¨ore oml¨aggningen, dels en viss dag efter oml¨aggningen. Resultatet blev:

Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F¨ore 20 25 26 22 24 48 52 27 18 12 28 31 Efter 18 23 26 18 26 44 51 26 22 11 29 31

Antag att observationerna ¨ar oberoende och antag att tidsskillnaderna beskrivs av samma nor- malf¨ordelning f¨or alla personer.

a) Best¨am ett 95% konfidensintervall f¨or den genomsnittliga tidsvinsten ∆. (7 p) b) V¨agverket hade som prognos att oml¨aggningen skulle minska den genomsnittliga restiden

med 3 minuter. Utf¨or d¨arf¨or ett statistiskt test p˚a niv˚an 5% av hypotesen H₀ : ∆ = 3 min,

mot

H₁ : ∆ 6= 3 min.

Det skall klart framg˚a om hypotesen H0 f¨orkastas eller ej. (3 p)

Uppgift 5

En aktiem¨aklare har tillg˚ang till historisk data i form av 623 (logaritmiska) veckoavkastningar f¨or en viss aktie och vill unders¨oka f¨ordelningen hos dessa. Mer specifikt ¨ar aktiem¨aklaren intresserad av att veta om avkastningarna ¨ar N (0, σ)-f¨ordelade, d¨ar σ ¨ar ok¨and, och klassificerar d¨arf¨or de historiska avkastningarna med avseende p˚a vilket intervall de faller inom. F¨oljande f¨oljande tabell erh˚alls:

Intervall (−∞, −2] (−2, 0] (0, 2] (2, ∞)

Antal 56 260 269 38

forts tentamen i SF1901 2018-01-08 3

Med andra ord s˚a ¨ar 56 avkastningar mindre ¨an −2, 260 avkastningar faller inom intervallet (−2, 0], osv. Dessutom skattas standardavvikelsen f¨or avkastningarna till s = 1.50. Testa, p˚a niv˚an 5%, hypotesen att avkastningarna, vilka kan antas vara oberoende, ¨ar normalf¨ordelade. (10 p)

Uppgift 6

Antag att arean av en cirkel ges av en Exp(1/θ)-f¨ordelad stokastisk variabel X. T¨athetsfunktionen f¨or X ¨ar s˚aledes

f_X(t) = 1

θe^−t/θ, t ≥ 0

d¨ar θ > 0 ¨ar v¨antev¨ardet, θ = E(X). F¨or att skatta arean θ g¨ors upprepade best¨amningar av cirkelns radie y₁, . . . , y_n. Dessa modelleras som utfall av oberoende och likaf¨ordelade stokastiska variabler. F¨orh˚allandet mellan area och radie ¨ar X = πY².

a) Visa att t¨athetsfunktionen f¨or Y ¨ar

f_Y(t) = 2πt

θ e^−πt2/θ, t ≥ 0.

(4 p) b) Tag, baserat p˚a observationerna y₁, . . . , y_n, fram ett uttryck f¨or ML-skattningen av θ. Ber¨akna

¨

aven denna numeriskt d˚a y₁ = 0.20, y₂ = 0.25 och y₃ = 0.18 cm. (4 p)

c) ¨Ar ML-skattningen av θ v¨antev¨ardesriktig? (2 p)

Lycka till!

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK.

M˚ANDAGEN DEN 8 JANUARI 2018 KL 14.00–19.00 Uppgift 1

L˚at D beteckna h¨andelsen att en arbetss¨okande anv¨ander droger och T h¨andelsen att testet visar positivt (dvs. indikerar att personen anv¨ander droger). Det ¨ar givet att P (D) = 0.1, att P (T |D) = 0.98 samt att P (T |D^∗) = 0.01. Vi s¨oker sannolikheten att en arbetss¨okande inte anv¨ander droger givet att hen har testat positivt, dvs. P (D^∗|T ). Med Bayes’ sats f˚as

P (D^∗|T ) = P (T |D^∗)P (D^∗) P (T )

= P (T |D^∗)P (D^∗)

P (T |D)P (D) + P (T |D^∗)P (D^∗)

= 0.01 · 0.9 0.98 · 0.1 + 0.01 · 0.9

= 0.0841

Svar: Sannolikheten att en arbetss¨okande som testar positivt inte anv¨ander droger ¨ar 8.41%.

Uppgift 2

L˚at p = 1/10150 beteckna sannolikheten att en spelare lyckas sl˚a hole-in-one. D˚a spelare antas sl˚a hole-in-one oberoende av varandra ¨ar antalet spelare Y i en given fyrboll (som best˚ar av fyra personer) som sl˚ar hole-in-one vid ett givet h˚al binomialf¨ordelat; mer specifikt g¨aller att

Y ∈ Bin(4, p).

S˚alunda ges, med hj¨alp av binomialf¨ordelningens sannolikhetsfunktion, sannolikheten ˜p att minst tv˚a spelare i gruppen lyckas att sl˚a hole-in-one av

˜

p = P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y ≤ 1) = 1 − P (Y = 0) − P (Y = 1)

= 1 −4 0



p⁰(1 − p)⁴−4 1



p¹(1 − p)³ = 1 − (1 − p)⁴− 4p(1 − p)³

= [s¨att in p = 1/10150] ≈ 5.82 · 10⁻⁸.

L˚at nu X beteckna antalet par 3-h˚al en given fyrboll beh¨over spela innan minst tv˚a spelare i gruppen lyckas med att sl˚a hole-in-one p˚a samma par 3-h˚al. D˚a g¨aller att

X ∈ ffg(˜p), och s˚alunda, enligt avsnitt 3 i formelsamlingen, att

E(X) = 1

˜

p = 1

5.82 · 10⁻⁸ ≈ 1.72 · 10⁷.

forts tentamen i SF1901 2018-01-08 2

Svar: Det f¨orv¨antade antalet spelade h˚al ¨ar 1.72 · 10⁷. Uppgift 3 a) Vi vill best¨amma sannolikheten

P (X₁ > X₂+ X₃) = P (X₁− (X₂+ X₃) > 0).

Eftersom summan av tv˚a oberoende Poissonf¨ordelade s.v. ¨ar Poissonf¨ordelad, s˚a g¨aller det att X₂+ X₃ ∈ Po(9 + 12) = Po(21). Eftersom koefficienten 21 ¨ar st¨orre ¨an 15, s˚a g¨aller det approximativt att X₂ + X₃ ∈ N(21,√

21). P˚a samma s¨att ¨ar X₁ ∈ Po(24) ≈ N(24,√ 24).

Eftersom linj¨arkombinationer av normalf¨ordelade s.v. ¨ar normalf¨ordelade, s˚a g¨aller approx- imativt att

X₁− (X₂ + X₃) ∈ N(24 − 21,√

24 + 21) = N(3,√ 45).

Den s¨okta sannolikheten blir d¨armed approximativt P (X₁ > X₂+ X₃) = PX₁− (X₂+ X₃) − 3

√45 > 0 − 3

√45

≈ 1 − Φ



− 3

√45



= Φ

 1

√5



= 0.673.

Svar: Sannolikheten att den f¨orsta kunden ger fler uppdrag ¨an de tv˚a sista kunderna tillsammans ¨ar approximativt 67.3%.

b) En punktskattning f¨or θ = µ1− (µ2+ µ3) ges av

θ^∗_obs = x₁− (x₂+ x₃) = 25 − (10 + 12) = 3.

Den motsvarande stickprovsvariabeln, θ^∗ = X₁−(X₂+X₃), ¨ar approximativt normalf¨ordelad eftersom µ2 + µ3 skattas med x2+ x3 = 22 > 15 och µ1 skattas med x1 = 25 > 15. Allts˚a

¨ar θ^∗ approximativt N(θ,√

µ₁+ µ₂+ µ₃)-f¨ordelad. Standardavvikelsen f¨or stickprovsvaria- beln beror av de ok¨anda parametrarna µ₁, µ₂ och µ₃ och kan skattas av medelfelet d =

√x1+ x2+ x3. Ett konfidensintervall f¨or θ med approximativ konfidensgrad 95% ges av I_θ = (x₁− (x₂+ x₃) − λ_0.025√

x₁+ x₂+ x₃, x₁− (x₂+ x₃) + λ_0.025√

x₁+ x₂+ x₃)

= (3 − 1.96 ·√

47, 3 + 1.96 ·√

47) = (3 − 13.4, 3 + 13.4).

Svar: Ett konfidensintervall f¨or µ₁− (µ₂+ µ₃) med approximativ konfidensgrad 95% ges av I_µ1−(µ₂+µ3)= (−10.4, 16.4).

Uppgift 4

a) Uppgiften handlar om j¨amf¨orelse av v¨antev¨arden med stickprov i par.

Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F¨ore 20 25 26 22 24 48 52 27 18 12 28 31

Efter 18 23 26 18 26 44 51 26 22 11 29 31

z_i = F¨ore − Efter 2 2 0 4 -2 4 1 1 -4 1 -1 0

Vi betraktar z_i, i = 1, . . . , 12, som utfall av oberoende N(∆, σ)-f¨ordelade stokastiska variab- ler. ∆ skattas med z = 8/12 = 0.67 som ¨ar ett utfall av en N(∆, σ/√

n)-f¨ordelad stokastisk variabel Z, d¨ar σ ¨ar ok¨ant. Om vi skattar σ med medelfelet s_z =q

1 n−1

Pn

i=1(z_i− z)² = 2.31, s˚a f˚as konfidensintervallet

I_∆ = 

z − t_0.025(n − 1) s_z

√n, z − t_0.025(n − 1) s_z

√n



=

0.67 − 2.202.31

√12, 0.67 + 2.202.31

√12



= (0.67 − 1.47, 0.67 + 1.47) = (−0.80, 2.13).

Svar: Ett konfidensintervall f¨or ∆ med konfidensgrad 95% ges av I_∆= (−0.80, 2.13).

b) Eftersom ∆ = 3 inte ligger i det framtagna konfidensintervallet f¨or ∆, s˚a f¨orkastas nollhy- potesen p˚a signifikansniv˚an 5%.

Svar: Nollhypotesen f¨orkastas p˚a signifikansniv˚an 5%.

Uppgift 5

Vi anv¨ander oss av χ²-metoden f¨or test av given f¨ordelning (se formelsamlingen, avsnitt 14.3). En- ligt lydelsen klassificeras var och en av de n = 623 avkastningarna, vilka vi betecknar y₁, . . . , y₆₂₃, med avseende p˚a indelningen

A1 : y ∈ (−∞, −2], A₂ : y ∈ (−2, 0], A₃ : y ∈ (0, 2], A₄ : y ∈ (2, ∞).

Vi har allts˚a att g¨ora med r = 4 olika utfall i detta fall. D˚a vi vill testa huruvida avkastningar- na ¨ar N (0, σ)-normalf¨ordelade r¨aknar vi f¨orst ut sannolikheterna p1, . . . , p4 f¨or de olika utfallen A₁, . . . , A₄ under antagandet att varje avkastning Y ¨ar N (0, σ)-f¨ordelad. Under detta antagande

¨ar Y /σ standardiserat normalf¨ordelad, vilket ger p₁ = P (A₁) = P (Y ≤ −2) = P Y

σ ≤ −2 σ



= Φ



−2 σ

 ,

d¨ar Φ ¨ar standardnormalf¨ordelningens f¨ordelningsfunktion. D˚a dessutom N (0, σ)-f¨ordelningen ¨ar symmetrisk och kontinuerlig g¨aller det att

p₄ = P (A₄) = P (Y > 2) = P (Y < −2) = P (Y ≤ −2) = p₁ = Φ



−2 σ

 . Vidare g¨aller

p₂ = P (A₂) = P (−2 < Y ≤ 0) = P (Y ≤ 0) − P (Y ≤ −2) = 1

2− p₁ = 1 2 − Φ



−2 σ



och p3 = p2. Nollhypotesen att avkastningarna ¨ar N (0, σ)-f¨ordelade kan s˚alunda uttryckas som H₀ : p₁ = p₄ = Φ



−2 σ



, p₂ = p₃ = 1 2− Φ



−2 σ

 .

forts tentamen i SF1901 2018-01-08 4

Standardavvikelsen σ ¨ar ok¨and men enligt lydelsen skattad till σ_obs^∗ = s = 1.50, vilket ger oss approximationen

p₁ ≈ p₁(s) = Φ



−2 s



= Φ



− 2 1.50



= 1 − Φ

 2 1.50



≈ 1 − 0.9082 = 0.0912,

d¨ar v¨ardet 0.9082 erh¨olls ur tabell (Matlab ger p1(s) = 0.0918). Vidare erh˚alls skattningarna p₂(s) = 0.5 − p₁(s) = 0.5 − 0.0912 = 0.4088,

p3(s) = p2(s) = 0.4088, p₄(s) = p₁(s) = 0.0912

av p₂, p₃ respektive p₄. L˚at nu x_j beteckna antalet avkastningar (av de n = 623) som klassificeras som A_j, j = 1, . . . , 4. D˚a np_j(s) ≥ 5 f¨or alla j kan, under H₀, teststorheten

Q_obs =

4

X

j=1

(x_j− np_j(s))² npj(s)

= (56 − 623 · 0.0912)²

623 · 0.0912 + (260 − 623 · 0.4088)² 623 · 0.4088 +(269 − 623 · 0.4088)²

623 · 0.4088 +(38 − 623 · 0.0912)²

623 · 0.0912 ≈ 7.16

s¨agas vara en observation av en approximativt χ²-f¨ordelad stokastisk variabel med r − k − 1 = 4 − 1 − 1 = 2 frihetsgrader, d¨ar k = 1 ¨ar antalet skattade parametrar (i v˚art fall σ). D˚a

Q_obs > χ²_0.05(2) = 5.99,

d¨ar v¨ardet av kvantilen χ²_0.05(2) erh¨olls ur tabell, kan H₀ f¨orkastas p˚a (den approximativa) niv˚an 5%.

Svar: Hypotesen att avkastningarna ¨ar N (0, σ)-f¨ordelade kan f¨orkastas p˚a niv˚an 5%.

Uppgift 6

a) F¨ordelningsfunktionen f¨or Y =pX/π kan uttryckas F_Y(t) = P (Y ≤ t) = P (p

X/π ≤ t) = P (X ≤ πt²) = F_X(πt²), s˚a t¨athetsfunktionen f¨or Y ges av

fY(t) = d

dtFY(t) = d

dtFX(πt²) = fX(πt²)2πt = 2πt

θ e^−πt2/θ, f¨or t ≥ 0, vilket skulle bevisas.

b) ML-skattningen av θ ¨ar det v¨arde som maximerar likelihoodfunktionen L(θ) = f_Y1(y₁) · · · f_Yn(y_n) = 2πy₁

θ e^−πy12/θ· · ·2πy_n

θ e^−πy2n/θ = (2π)ⁿ(y₁· · · y_n)

θⁿ e^{−πθPni=1y2i}.

Det v¨arde p˚a θ som maximerar L(θ) maximerar ¨aven

ln(L(θ)) = ln

(2π)ⁿ(y₁· · · y_n)

θⁿ e^{−πθPni=1yi2}



= n ln(2π) + ln(y1· · · yn) − n ln(θ) − π θ

n

X

i=1

y²_i.

Derivering med avseende p˚a θ ger

0 = d

dθ ln(L(θ)) = −n θ + π

θ²

n

X

i=1

y²_i = −n θ²

"

θ − π n

n

X

i=1

y²_i

# ,

s˚a likelihoodfunktionen maximeras av θ = ^π_nPn

i=1y_i². F¨or de tre observationerna y₁ = 0.20, y₂ = 0.25 och y₃ = 0.18 f˚as skattningen

θ^∗_obs = π

3(0.20²+ 0.25²+ 0.18²) = 0.14 cm². Svar: ML-skattningen ges av θ^∗_obs = π

n

n

P

i=1

y_i² = 0.14 cm². c) Stickprovsvariabeln f¨or ML-skattningen uppfyller

θ^∗ = π n

n

X

i=1

Y_i² = 1 n

n

X

i=1

X_i = X

d¨ar X₁, . . . , X_n ¨ar exponentialf¨ordelade s.v. med v¨antev¨arde θ. Allts˚a ¨ar E (θ^∗) = E(X) = E(X_i) = θ och skattningen θ_obs^∗ ¨ar v¨antev¨ardesriktig.

Svar: ML-skattningen av θ ¨ar v¨antev¨ardesriktig.