Labinfo; Sammanfattning kvantmekanik;(Bohr, Schrödingerskatt, EPR-paradoxen, Bells olikhet;)Röntgen;

(1)

SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Föreläsning 11

Labinfo; Sammanfattning kvantmekanik;

(Bohr, Schrödingers katt, EPR-paradoxen, Bells olikhet;)

Röntgen;

Labbar:

•3 st vanliga labbar (5h), schemalagda. Labbrapport. Labbpek kommer att uppdateras under mars!!!

-AM36: Kärnfysik. I labben mäter man spektrum från några radioaktiva preparat, dels  - dels β-strålning. Man studerar därefter hur denna strålning absorberas (stoppas) i olika material. I labben ingår även att aktivera silver med en stark neutronkälla och mäta halveringstiden hos de skapade silver- isotoperna. Felanalys speciellt för mätning av silvers halveringstid.

-ALS: ”Atomic and Laser Spectroscopy”. Atom- och molekyl-spektra mätes och förklaras.

-Röntgenstrålning (O-14): Spektra från ett röntgenrör mätes genom reflektion i kristall. Det

kalibrerade spektrat används därefter för att bestämma atomavstånd i okänd kristall samt absorbtion i olika material.

•Projektlabb. Inte schemalagd. Lista på projekt kommer att publiceras på kursens web-sida. Motsvarar en veckas arbete (1,5 hp). Projekten kan variera mycket. Meningen är att de skall vara forskningsnära.

Kvantmekanik, sammanfattning.

U = 0 U = ∞

0 L_x x

U = ∞ Lådpotential:

) ( ψ ) ( ψ ) ) U(

( ψ

2 ²

2 2

x E x dx x

x d

m  

 

Stationära tillstånd. Tidsoberoende SE:

² ⁱ ^/

2 2

2

π e 2sin ) , ( Ψ 2 ,

π Et

n

n L

x n t L

m x L

E n  ^

1 )

, (

Ψ ² 





 x t dx

Normering:

n m dx

x x _n

m  







Ψ( ) 0 då

) ( Ψ

Ortogonala:

(2)

Bundna och obundna tillstånd.

Ett förenklat fall är följande potentialbrunn: U = 0

U = -U₀ U = ∞

0 L



















L , 0

L 0 , U

0 , )

( ₀

x x x x

U där U₀> 0

) ( ψ ) ( ψ ) ) (

( ψ ) 2

( ψ

Hˆ ² ² ₂ U x x E x

dxx d

x ^^ ^m ^ ^

Lösningar skall uppfylla Schrödingerekvationen (SE):

Rand- och kontinuitetsvillkor: kontinuerliga

d L) ( ψ och d )

L ( ψ ,

0 ) 0 (

ψ x   x  xx^

Bundna tillstånd har E< U (x =∞) och kan inte nå x =∞  ψ(x =∞) = 0 Obundna tillstånd har E> U (x =∞) och kan nå x =∞  ψ(x =∞) ≠ 0

x

(Från detta förenklade fall kan vi dra slutsatser som senare kan appliceras på mer komplicerade potentialbrunnar i t.ex. atomer och molekyler)

Spridning mot potentialbarriär.

Potentialmodell (idealiserad):

U = 0 U = U_B

0 L x

infallande transmitterade

reflekterade



  

 0 , för övrigt L 0

, ) U

( ^B x

x U

x< 0: Infallande fritt partikeltillstånd med energi E

m E k B

A

x ^ikx ^ikx

, 2 e e ) (

ψ   ^ ² ²

infallande reflekterad

intensitet: |A|²|B|² Inuti barriären 0 < x< L: (2 fall)

1)

2)

x i x

i D

C

E m E

α α

B 2 2 B

e e ψ

2 U , α αψ '' ψ U

 













 

x

x D

C

E m E

α α

B 2 2 B

e e ψ

2 U , α

αψ '' ψ U



















x> L: Transmitterad partikel F ikx

x) e (

ψ 

Notera: U (x) =0 både för x < 0 och x> L ger samma k Vi kan då definiera

Transmissionskoefficienten Reflektionskoefficienten T+ R= 1

2 2

A T ^ F

2 2

A R  B

(3)

 



² ²



²

2 2 2

2 2

α 4 α ) α ( sinh

α 4 α

 

 



k L k

k k A

T F



² ²



²

2 2 2

2 2

2

α 4 α ) α ( sinh

) α ( 1 sinh

 







k L k T L

A R B

Bred barriär: L>> 1/α e^²^α^L1 D C   _L

B

UB

E U

T 16E ₂ e²^α

Tunnling

Kvantoscillatorn

2 ω : 1

Egenvärden 



 

 

 n E_n

Där H_när Hermitepolynom: H₀=1, H₁=2x, H₂=4x²-2, H₃=8x³-12x ...

Egenfunktionerna är ortonormala

2 2 /

/

1 2 2

) π (

! ) 2 (

ψ_n _n H_n bx e ^x ^b nb

x  ^



 





Kvantmekanik i 3D.

Schrödinger ekv i 3D: Ψ( , ) ( )Ψ( , ) Ψ( , ) 2

2 2

t t r i t r r U t m r

 







 





 Betrakta lådpotential i 3 dim.

U = 0 U = ∞

0 L_x x

U = ∞

pss i y- och z-led.

Tidsoberoende Schrödinger ekv.

) ( ) ( ) ( ) , , (

ψx y z ^X x Y y Z z Lösningar:

z z y

y x

n x n

n nLz

L y n Lx A n

z y

z x

y x

sin π sin π

sin π ) , , (

ψ _, _, 

Ger energinivåer:

m L n L n L E n

z z y y x n x n

n_x _y _z 2

π² ²

2 2 2 2 2 2 ,

, 











  



Degenererade tillstånd (dvs samma energi för olika kombinationer av kvanttalen n_x, n_y, n_z) möjliga t.ex. om L_x=L_y=L_z=L

(4)

Schrödingerekvationen:

 ψ 0

2 φ

ψ θ sin

1 θ

θ ψ θ sin θ sin

1 ψ

1

2 2 2 2 2 2 2

2   



 



 







 



 







 m E U

r r

r r r

r _

Variabelseparation:

) φ ( Φ ) θ ( Θ ) ( ) φ , θ , (

ψ r R r 0

πε 4 θ sin 2 Φ

Φ Φ 1 θ θ Θ θ sin Θ

θ sin θ

sin

0 2 2

2 2 2

2 2

2 

 



 

 

 



 







 



 







  E

r q mr

r r R r

R _ ^e

Vi har nu tre ordinära differentialekvationer:

 

 1 ₀

πε 4 2 1

0 θ Θ 1 sin θ

θ Θ θ sin θ sin

1

0 φ Φ

Φ

0 2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

 











  

 



 





 







 



 



  





 









 



r R r E

q m r

r R r r

m m

e 





 ^



Väteatomen Coulomb-potential

r r q

U ^e

2

πε0

4 ) 1 ( 

Kan visas att energinivåerna ges av 6 eV , 13 1

πε 8 1 ε π

32 ₀ ₀ ² ²

2 2

2 02 2

4

n a n

q n

E_n  mq^e  ^e 



nkalla huvudkvanttalet ℓkallas bankvanttalet 1

..., , 2 ,1 , 0

...

, 3 , 2 ,1





n n



) φ , θ ( ) ( ) φ , θ , (

ψ r R_n_,_ rY_^m^ Egenfunktioner:

 0,  ,1 2, ..., 

m magnetiska kvanttalet

Rörelsemängdsmoment: L (  1) z-komponenten: L_z m_

Spektrallinjer och elektronövergångar

När en elektron i ett exciterat tillstånd (n2) övergår till ett tillstånd med lägre energi utsänds en foton med energin hf =E_i–E_f där E_ioch E_fär energinivån i ursprungs- respektive sluttillstånd.

T.ex. gäller för för övergången från n=3 till n =2 (Balmer-) att fotonens energi är

eV 89 , 1 4 eV 1 9 6 1 .

2 13

3  



 

 







E E hf

Våglängden för ljus i denna övergång:

nm eV 656

89 , 1

nm eV 1240  



foton

E hc f

 c

656nm är rött ljus. De lägre övergångarna i Balmer-serien ger spektrallinjer i det synliga våglängdsomtrådet (ca 400-700 nm) Ljus av rätt våglängd kan även orsaka excitation, dvs om fotonenergin överenstämmer med en övergång från ett lägre

energitillstånd till ett högre. Detta ger absorbtionslinjer i spektrum.

(5)

Väteliknande kärnor.

r r q

U ^e²

4 0

) 1

(   

För väte har vi potentiella energin:

Låt oss betrakta atomer vars kärnor har högre laddning, t.ex. He med Z =2 eller C med Z =6.

Om vi betraktar en elektron i en ej joniserad atom kommer övriga elektronerna att skärma kärnladdningen.

Vi betraktar istället en jon med bara en elektron kvar. Då gäller motsvarande uttryck som för väte men med kärnladdningen Zq_e

Zqr r

U ^e²

4 0

) 1

(   

På samma sätt som för väte kan nu energinivåerna beräknas:



4



¹ ¹³^.⁶ ^eV ^,1²^,³^...

2 ²

2 2 2

2 0

2

2   



 





 mZ q n Z n n

E_n ^e ^e



Radien: 1 ,12,3...

2 0 

 n a n

r_n Z ^{Ex: He}^Z^{=2 ger}^E¹^=-54.4,^r¹⁼^a⁰^/2

Utvikning: (orienterande, kommer inte specifikt att examineras på tentan)

Bohr-modellen; EPR-paradoxen; Schrödingers katt; Bells olikhet.

Att notera: Bohr-modellen var en första modell på rätt väg mot att förklara kvantiserade energinivåer i atomer. Den kunde förklara spektrallinjerna.

Men: Det är inte den modell vi har idag. I dagens modell ges energinivåer av lösningar till Schrödingerekvationen. Elektronerna rör sig inte i banor med viss radie utan som ett moln med sannolikhetsfördelningar att hitta elektronerna och huvudenerginivåerna, för vilka Bohr fick rätt uttryck, beror inte på rörelsemängdsmomentets kvantisering!!!

(6)

Bohrs atommodell:

• Elektronen rör sig, påverkad av Coulombväxelverkan, i cirkulära banor kring kärnan

• Endast vissa banor är stabila. I dessa strålar elektronen inte ut energi.

• Strålning utsänds när elektroner byter från en bana i ett högre energitillstånd till en bana i ett lägre tillstånd. Den utsända fotonens frekvens ges av energiskillnaden i tillstånden enligt E_i–E_f= hf

• Elektronens bana bestäms av att rörelsemängdmomentet är kvantiserat så att m_evr= nh där n =1,2...

Beräkna de tillåtna energitillstånden enligt Bohr:

Coulombpotentialen kring kärnan:

Kinetisk energi:

r qV q

U ^e

2

4 0

1

 



 2

v2

E_kin  m^e

I stabil bana måste

Coulombkraften = ”centripetalkraften” r v m r

q_e _e ²

2 2

4 0

1 



Med Bohrs kvantisering kan nu tillåtna radier beräknas

 

4 1,2,3...

4 1

2 2 2 3 0

2

2 2

0





 n

q m r n

r m

n r q

e e n

e

e   



Bohr-radien: 4 ₂ 0,0529nm

2 0

0 

e eq a  m

...

3 , 2 , 1 1

8 8

1 4

2 1 4

1

2 ₀ ₀ ²

2 2

0 2

0

2  



 





 







 









 n

n a E q

r q r

q r

q v

U m E

E _kin ê ê ê ê ê _n ê



Energinivåerna kan nu beräknas:

Lägsta energinivå, grundtillståndet, i väte:

 

   

13,6eV

) 3 , 197 ( 2

eV 10 0596 , nm 1 eV 3 , 197 2c c

nm eV 440 , 1 keV 511

nm eV 440 , 4 1

4 8 2

1

2 6 2

2

0 2

2 2 0

4

1 2

0 1



 









 



 









  











 

 

 ê ê ê ê

q q

m r

E q

Exciterade tillstånd: 1 eV 1,2,3...

6 .

13 ₂  



 



 

 n

E_n n

dvs samma energinivåer som erhölls med Schrödingerekv., men med fel storhet som kvantiserades.

(7)

EPR-paradoxen

Einstein, Padolsky & Rosen: (Phys Rev 47 (1935) 770-780)

“One is thus led to conclude that the description of reality as given by a wave function is not complete.”

Deras invändning är att i fall där ett två partiklar (kvantsystem) beskrivs av en gemensam vågfunktion. Givet tillräcklig tid så att de två partiklarna inte längre kan anses växelverka med varandra, kan man mäta egenskap hos en av partiklarna t.ex. position. I princip skulle man då kunna mäta rörelsemängden med hög precision hos den andra partikeln och med hjälp av detta få både potion och rörelsemängd med hög precision, i strid med Heisenbergs obestämbarhetsprincip.

Kvantmekaniken kräver ”spöklik” växelverkan på långa avstånd så att en mätning av position hos 1:a partikeln gör att positionen hos partikel 2 blir bestämd men inte dess rörelsemängd.

En möjlighet vore ”gömda” variabler, dvs partiklarna visste sina tillstånd från början men vi fick inte veta förrän vi mätte på någon av partiklarna.

Schrödingers katt

Köpenhamnstolkningen av kvantmekanik vsäger att alla tillstånd som en vågfunktion beskriver existerar samtidigt och att inte förrän vi stör systemet (mäter) fås ett av tillstånden. Man säger att vågfunktionen kollapsar. Schrödinger ville illusterar hur denna tolkning i ett vardagsfenomen leder till absurditeter.

(Från Wikipedia: Dhatfield) Schrödinger föreslog ett

tankeexperiment med en katt i en stängd låda med en anordning av ett radioaktivt preparat med låg sönderfallsfrekvens som fyrar av en anordning som krossar en flaska med giftgas.

Katten kan vara i två tillstånd, levande eller död. I den kvantmekaniska tolkningen är katten både levande och död (för oss utanför lådan). Inte förrän vi öppnar, dvs stör systemet, är den antingen eller.

Vågfunktionen kollapsar!

(8)

Bells olikhet.

Vi har nu två möjligheter för ett kopplat system av två tillstånd: gömda variabler eller kvantmekanisk tolkning. Vilken är rätt?

Tänk ett kopplat system av två partiklar (t.ex. fotoner) som skapades kopplat ur ett singlett- tillstånd där de färdas iväg från varanda. De beskrivs av en gemensam vågfunktion. Denna typ av koppling kallas “entanglement”.

John Bell (teoretiker, verksam bl.a. på CERN) föreslog ett test där spinnriktningen mättes för de två partiklarna.

Bell visade att teorier med “gömda” variabler gav ett visst resultat (räta linjen i figur) medan den kvantmekaniska olkningen gav ett annat (prickad kurva).

Mätningar, bl.a. av Clauser och Freedman (1972) och Alain Aspect (1981) stöder den kvantmekaniska tolkningen.

Kvantmekaniken gör det möjligt att skicka information över stora avstånd med oändlig hastighet. Man måste bara skicka ut partiklar i kopplat system först. Dessa kan inte färdas snabbare än ljus i vakuum!

Andra möjliga framtida tillämpningar av kvantmekanik:

• Kvantdatorer

• Kvantkrytering (Slut på utvikning)

Röntgenstrålning

Röntgenstrålning kan genereras genom att

accelererade elektroner får träffa ett strålmål av metall. Elektronen kommer att växelverka

elektromagnetisk med atomer i metallen och förlora energi som sänds ut i form av

röntgenstrålning.

Processen sker i princip i form av s.k.

bromsstrålning. (E och p skall ju bevaras  foton).

Maximal fotonenergi vid ”frontalkollision” där hela elektronens kinetiska energi övergår till en foton.

Detta ger minsta våglängd λ_min=(hc)/E_e

Fru Röntgens hand, december 1895

(9)

K L

M

Linjerna i röntgenspektrat ges av övergångar i atomen.

Specifikt gällar att K_αär en övergång från L- till K-”skalet”

Jämför två röntgenrör. Ett med koppar och ett med guld som anodmetall.

Cu har atomnummer 29, Au har 79 Vilket alternativ är rätt?

1) Våglängden för K_αfotoner i Cu-fallet har längre våglängd än för Au 2) Våglängden för K_αfotoner är lika för både Cu och Au

3) Våglängden för K_αfotoner i Cu-fallet har kortare våglängd än för Au

(10)

K L

M

Linjerna i röntgenspektrat ges av övergångar i atomen.

Specifikt gällar att K_αär en övergång från L- till K-”skalet”

Resonemangsmässigt kan man anse att om K-skalet ”saknar”

en elektron skärmar den kvarvarande elektronen kärnans laddning för en elektron i L-skalet så att den senare ”ser”

laddningen (Z-1).

Energin för K_α-strålningen kommer på att vara  (Z-1)² Detta stämmer hyfsat bra med experimentella data.