Exempel på sannolikhetsfördelningar

Sannolikhetsfördelningar

Uppdaterad: 171205 Har jag använt någon bild som jag inte får använda? Låt mig veta så tar jag bort den.

christian.karlsson@ckfysik.se

[1] Olika slags slumpförsök [2] Sannolikhetsfördelningar

[3] Exempel på sannolikhetsfördelningar [4] Normalfördelningsberäkningar med Casio

4(4)

17-02-03 © Skolverket

Kordasatsen Randvinkelsatsen

cd

ab u 2v

Pythagoras sats Trigonometri

2 2

2 b c

a

c v a sin

c v b cos

b v a tan

Avståndsformeln Mittpunktsformeln

1 2 2 2

1

2 ) ( )

(x x y y

d och 2

2

2 1 2

1 y y

x y

x_m x _m

Statistik och sannolikhet

Standardavvikelse för ett stickprov

1

) (

...

) (

)

( ₁ ² ₂ ^{2 2}

n

x x x

x x

s x ⁿ

Lådagram

Normalfördelning

[0]

Olika slags slumpförsök

1

Slumpförsök

Exempel på ...

... händelse ... sannolikhet ... utfall

Kasta en tärning “fyra” “minst tre” P(minst tre)

Kasta två mynt “krona, krona” “minst en krona” P(minst en krona)

Mät längden x ^{cm av}

en slumpmässigt

vald handbollsspelare

Hur beräkna?

170 ≤ x ≤ 180 P(170 ≤ x ≤ 180)

x = 174

Mät tiden x timmar till sönderfall av en slumpmässigt vald atomkärna av något slag

x ≥ 20 P(x ≥ 20)

x = 4, 67

[1]

[2]

Sannolikhetsfördelningar

f (x)dx = P(a ≤ x ≤ b)

a b

∫

2

Betrakta slumpförsök där utfallen är av typen

“x har värdet ...”

och där ... kan vara vilket reellt tal som helst (ev. på ett intervall).

För att beräkna sannolikheter (av typen ) behövs en täthetsfunktion f (x) som

beskriver sannolikhetsfördelningen för x. Allmänt gäller

P(a ≤ x ≤ b)

(x kan t.ex. vara

“längden av en slumpmässigt vald handbollsspelare”)

grafen till täthetsfunktionen

Exempel på sannolikhetsfördelningar

3

(cArx

t,c()_

fr

a

k *.-{t

I

3l

ill

E]hrl

/^oIr (lau\--l

€\,Xlsl

Iv qb*7^.i4-/*.}-5q/"r.,?ttgH

F\)d-Fxs.,,iJv,J\)d

\l5Nwl

3*

Io) t/if\,sV7,Tir fiS Jt.

-68\) ts))-=v)=-bIc

t;

b,,b_..\ ,\

It* Ir*

t-[- q.J_\)t,:F

\s,Ea.Jt 6l\./7Z^lfj

o6lsr.3[-v2wrLt

5CJrx)Z4.{*

\./)*lrrj6.*t'1,.,r+Jvrj<c/r)o{.Z adIu<sC -9 -9Jrx.[r\)Eld

-lj

fr*\-J SD3tJIq, Irel6]s+

sl

:[j

Normalfördelningsberäkningar med Casio

4

Normalfördelningsberäkningar

Om x är normalfördelad med medelvärdetµ och standar- davvikelsens kan sannolikheten P(C  x  D) beräknas.

1. Slå på räknaren eller gå till huvudmenyn genom att trycka MENU. Tryck 2 (för att välja STAT).

2. Tryck F5 (DIST) och sedan F1 (NORM) samt F2 (Ncd).

3. Om det inte redan står Variable efter Data, tryck F2 (VAR).

4. Skriv in värdet på C efter Lower, värdet på D efter Upper, standardavvikelsen efters och medelvärdet efterµ. Tryck EXE.

Räknaren kan också göra det omvända, det vill säga givet en sannolikhet P1kan X1bestämmas så att

P(x  X1) =P1.

1. Slå på räknaren eller gå till huvudmenyn genom att trycka MENU. Tryck 2 (för att välja STAT).

2. Tryck F5 (DIST) och sedan F1 (NORM) samt F3 (InvN).

3. Om det inte redan står Variable efter Data, tryck F2 (VAR).

4. Gå till raden där det står Tail. Tryck F1 (LEFT) så att det står Left efter Tail. Skriv in värdet på P1 efter Area, standardavvikelsen efter s och medelvärdet efterµ. Tryck EXE .

Om du vill bestämma X2så att P(x X2) =P2,

där P2är en given sannolikhet gör du som ovan men välj istället Right efter Tail.

Det går också att bestämma X1och X2så att P(X1 x  X2) =P12,

där P12är en given sannolikhet och där X1och X2är sym- metriska kring medelvärdetµ. Gör då som ovan men välj istället Central efter Tail.

Rita derivata-graf

Givet en funktion f kan räknaren rita derivatagrafen y = f⁰(x).

1. Följ steg 1–3 underRita grafen till en funktionovan.

2. När du är i vanliga funktionsinskrivningsläget, tryck OPTN och sedan F2 (CALC) samt F1 (d/dx).

Skriv in funktionen vars derivatas graf du vill rita.

Du behöver inte sluta parentesen, och du ska inte inte skriva in något x-värde som vid vanlig numerisk derivering. Lagra med EXE. Tryck F6 (Draw) eller EXE för att rita grafen.

Rita primitiv funktion-graf

Givet en funktion g kan räknaren rita den primitiva funk- tion G som uppfyller G(0) = 0. Vi bildar först funktionen

f (x) =^{Z x}

0 g(x)dx.

Notera att vi här använder symbolen x både som övre integrationsgräns och som integrationsvariabel. Resone- manget blir kanske tydligare om vi byter integrationsvari- abel:

f (x) =^{Z x}

0 g(t)dt.

Eftersom Z _x

0 g(t)dt =⇥

G(t) G(0)⇤x

0=G(x) G(0), får vi att

f (x) = G(x) G(0) , G(x) = f (x) + G(0).

Om G(0) = 0 får vi

G(x) = f (x).

Nedan visas hur räknaren kan rita grafen y = f (x), som enligt resoenemanget ovan också är grafen till den primi- tiva funktion, G, till g som uppfyller G(0) = 0.

1. Följ steg 1–3 underRita grafen till en funktionovan.

2. När du är i vanliga funktionsinskrivningsläget, tryck OPTN och sedan F2 (CALC) samt F3 (^Rdx).

3. Skriv in funktionen vars primitiv funktion-graf du vill rita, tryck ,, skriv in 0 som undre gräns, tryck , , tryck x,q,T för att få in x som övre gräns. Lagra med EXE . Tryck F6 (Draw) eller EXE för att rita grafen.

Normalfördelningsberäkningar

Om x är normalfördelad med medelvärdetµ och standar- davvikelsens kan sannolikheten P(C  x  D) beräknas.

1. Slå på räknaren eller gå till huvudmenyn genom att trycka MENU. Tryck 2 (för att välja STAT).

2. Tryck F5 (DIST) och sedan F1 (NORM) samt F2 (Ncd).

3. Om det inte redan står Variable efter Data, tryck F2 (VAR).

4. Skriv in värdet på C efter Lower, värdet på D efter Upper, standardavvikelsen efters och medelvärdet efterµ. Tryck EXE.

Räknaren kan också göra det omvända, det vill säga givet en sannolikhet P1kan X1bestämmas så att

P(x  X¹) =P1.

1. Slå på räknaren eller gå till huvudmenyn genom att trycka MENU. Tryck 2 (för att välja STAT).

2. Tryck F5 (DIST) och sedan F1 (NORM) samt F3 (InvN).

3. Om det inte redan står Variable efter Data, tryck F2 (VAR).

4. Gå till raden där det står Tail. Tryck F1 (LEFT) så att det står Left efter Tail. Skriv in värdet på P1 efter Area, standardavvikelsen efter s och medelvärdet efterµ. Tryck EXE.

Om du vill bestämma X2så att P(x X2) =P2,

där P2är en given sannolikhet gör du som ovan men välj istället Right efter Tail.

Det går också att bestämma X1och X2så att P(X1 x  X2) =P12,

där P12är en given sannolikhet och där X1och X2är sym- metriska kring medelvärdetµ. Gör då som ovan men välj istället Central efter Tail.

Rita derivata-graf

Givet en funktion f kan räknaren rita derivatagrafen y = f⁰(x).

1. Följ steg 1–3 underRita grafen till en funktionovan.

2. När du är i vanliga funktionsinskrivningsläget, tryck OPTN och sedan F2 (CALC) samt F1 (d/dx).

Skriv in funktionen vars derivatas graf du vill rita.

Du behöver inte sluta parentesen, och du ska inte inte skriva in något x-värde som vid vanlig numerisk derivering. Lagra med EXE . Tryck F6 (Draw) eller EXE för att rita grafen.

Rita primitiv funktion-graf

Givet en funktion g kan räknaren rita den primitiva funk- tion G som uppfyller G(0) = 0. Vi bildar först funktionen

f (x) =^{Z x}

0 g(x)dx.

Notera att vi här använder symbolen x både som övre integrationsgräns och som integrationsvariabel. Resone- manget blir kanske tydligare om vi byter integrationsvari- abel:

f (x) =^{Z x}

0 g(t)dt.

Eftersom Z _x

0 g(t)dt =⇥

G(t) G(0)⇤x

0=G(x) G(0), får vi att

f (x) = G(x) G(0) , G(x) = f (x) + G(0).

Om G(0) = 0 får vi

G(x) = f (x).

Nedan visas hur räknaren kan rita grafen y = f (x), som enligt resoenemanget ovan också är grafen till den primi- tiva funktion, G, till g som uppfyller G(0) = 0.

1. Följ steg 1–3 underRita grafen till en funktionovan.

2. När du är i vanliga funktionsinskrivningsläget, tryck OPTN och sedan F2 (CALC) samt F3 (^Rdx).

3. Skriv in funktionen vars primitiv funktion-graf du vill rita, tryck ,, skriv in 0 som undre gräns, tryck ,, tryck x,q,T för att få in x som övre gräns. Lagra med EXE . Tryck F6 (Draw) eller EXE för att rita grafen.

[3]

X₁ (sökt)

X₂

X₂ X₁ P₁ (given)

Källor

[0] http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/formelblad/

[1] https://sv.wikipedia.org/wiki/Tärning [2] https://sv.wikipedia.org/wiki/Enkronan

[3] https://www.casio-europe.com/se/produkter/skol-och-grafraeknare/grafraeknare/fx-9750g2/