Analys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, Volym - 1

(1)

Analys -Volym

Teori – Så beräknas volymen av en rotationskropp med snittarean A(x)…….2

Teori – Skalmetoden för volymberäkningar………..11

Modell – Skalmetoden för volymberäkningar……….…..12

Modell – Beräkning av volym om inte A(x) är cirkulär……….13

Facit………..….16

© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011

(2)

Teori ▪ Så beräknas volymen av en rotationskropp med snittarean A(x)

Låt oss först se hur volymen av en s k rotationskropp kan definieras.

Vi använder en argumentering som kallas skivmetoden. Vi låter kurvan y = x – x², som skär x-axeln i punkterna x = 0 och x = 1, rotera kring x-axeln.

Vi kan tänka oss att ett första ungefärligt värde på kroppens volym är summan av de fyra cylindrarna med höjderna 1/4 . Radien på dessa

Teori ▪ Så beräknas volymen av en rotationskropp med snittarean A(x)

(3)

cylindrarnas radier: 0,11; 0,23; 0,23; 0,11. Volymen av de fyra cylindrarna = 0,10507768. De fyra cylindrarnas syns nedan.

Ett ännu bättre värde på rotationskroppens volym (=0,10474213) får vi om vi använder 8 cylindrar.

Den tredje figuren nedan visar 16 cylindrar med volymen =

=0,10472115.

(4)

Med 32 cylindrar blir volymen = 0,10471984 Med 64 cylindrar blir volymen = 0,10471976 Med 128 cylindrar blir volymen = 0,10471976

Vi kan nu låta antalet cylindrar gå mot oändligheten, vilket sker om deras höjder går mot noll. Om följden av detta innebär att vi får ett gränsvärde för summan av volymen för dessa cylindrar så är detta gränsvärde rotationskroppens volym. Enligt definitionen på integral i är integralen det tal I som ligger mellan alla över- och undersummor.

Eftersom gränsvärdet för allt fler cylindrar ovan också ligger mellan över- och undersummor så är detta gränsvärde lika med I.

 Vi låter f(x) vara en kontinuerlig funktion i intervallet a_{ }x b som delas in i lika stora delintervall x . Dessa delintervall är_i höjder i ett antal skivor. Dessa små skivor har idet speciella fallet (den röda rotationskroppen på sidan 2) volymen:

[ ( )]2



  V f x_i x_i

 meni det allmänna fallet (den gröna tredimensionella kroppen nedan) behöver inte tvärsnittsareorna (A x( )_i ) vara cirkulära utan kan ha vilken form som helst, i figuren rätvinkliga trianglar. I detta fall är den lilla volymen (V_i) som börjar i koordinaten x_i med bredden x_i^:  V_i A x( )_i x_i^.

(5)

I figuren har vi ritat alla de inskrivna skivorna som täcker området

 

a x b. Deras totala volym är i det speciella fallet

2 1

[ ( )]

n i i

V x  f x





  och i det allmänna fallet

1 n ( )

i i

V x A x





  . Vi har tidigar visat att sådana summor går mot ett gränsvärde om x_i går mot noll och f(x) är kontinuerlig.

Dessa summor är volymen av våra kroppar i de två fallen.

Vi har vidare visat (Insättningsformeln Modulen Analys – Area, s.

12) att dessa summor kan beräknas med hjälp av den primitiva funktionen V(x):



^b

 

^b^a

a

V = A(x)dx = V(x) = V(b) -V(a)

Fundera på!

Volymen av en godtycklig tredimensionell kropp som roterar kring x-axeln beräknas med formeln:

[ ( )]2 b

a

V 



 f x dx

En kurva som roterar runt x-axeln har alltid samma

volym som om samma kurva roterar kring y-axeln.

(6)

G1 I figuren här nedan har kurvan y = x³– x + 1 roterats kring x-axeln. Vi kan tänka oss att ett värde på rotationskroppens volym är summan av volymerna av de fem inskrivna cylindrarna med höjderna 0,4. Ett ännu bättre värde på rotationskroppens volym får vi om antalet cylindrar

fördubblas. Om vi låter antalet cylindrar gå mot oändligheten, får vi det korrekta värdet på volymen. Beräkna

approximationen med fem skivor!

G2 Låt den stegvis konstanta funktionen: y = n + 1 där 1

10 10

n  x n rotera kring x-axeln. Beräkna dess volym med tre värdesiffror om n antar värdena 0 till och med 9.

G3 Arean som begränsas av kurvan 1 ₂ y 1

 x

 samt linjerna x = -1 och x = 1 roterar kring x-axeln. Beräkna den alstrade rotations- kroppens volym med en värdesiffra. Hur många intervall behövs för detta närmevärde? Använd t ex GeoGebra som även på kommandot Undersumma[f(x), -1, 1, n] räknar ut bestämda integraler av kontinuerliga funktioner.

G4 Beräkna volymen av de kroppar som bildas då det beskrivna området, O, roterar kring x-axeln. Ge exakta svar.

a) O begränsas av x + y = 4 och koordinataxlarna.

b) O begränsas av y = 2 3x samt linjerna x = 0 och x = 4 samt.

c) O begränsas av y = 9 – x²samt linjerna x = –3 och x = 3.

d) O begränsas av y = 7x³ samt linjerna x = 0 och x = 2.

e) O begränsas av y = 5^xsamt linjerna x = 0 och x = 4.

(7)

G5 Beräkna exakta värden på volymerna när följande kurvor roteras kring y-axeln mellan de givna gränserna. Skissa gärna den uppkomna kroppen

a) y 10 x från y = 0 till y = 10, b) y x3 från y = 0 till y = 2, c)

2

y x 3 från y = 2 till y = 4, d) _y_ln_x från y = 0 till y = 1.

G6 Arean som begränsas av kurvan y = e^-x, axlarna och linjen x = 3 roterar kring x-axeln. Beräkna den genererade volymen exakt och med tre värdesiffror.

G7 Arean under en båge av sinuskurvan roterar kring x-axeln.

Vilken är den alstrade volymen? Ange svaret exakt och med tre värdesiffror.

G8 Arean som begränsas av kurvan y = 1/x samt linjerna x = a och x = 2a roterar kring x-axeln. Beräkna den alstrade rotations-kroppens volym.

G9 Arean som begränsas av kurvan y = x samt linjerna x = a och x = 2a roterar kring x-axeln. Beräkna den alstrade rotations-kroppens volym?

G10 Låt området som begränsas av kurvan y R x² ² ^{, y-axeln} och x-axeln rotera kring både x-axel och y-axel. Beräkna volymer-na av de rotationskroppar som uppkommer. Den rotationskropp som uppkommer vid rotation kring x-axeln(y- axeln) är ett halvt klot med radien R. Vilken formel gäller alltså för klotets volym?

G11 Skissa kurvan y sinx i intervallet ₀ x ₁. Det om- råde som begränsas av den ovan angivna kurvbågen och x- axeln får rotera ett varv kring x-axeln. Beräkna den volym som då alstras.

(8)

V12 Formeln för konens volym är ² r h3

V  , där r är konens radie och h dess höjd. Bevisa formeln på följande sätt: Låt det område som begränsas av en linje genom origo och punkten (h, r), linjen _{x h}_ och x-axeln få rotera kring x-axeln. (Tips:

Beräkna först ekvationen för den räta linjen genom origo och punkten (h, r).)

V13 Från punkten (1, 0) dras linjer som går genom punkterna (0, 1) och (1, e) på kurvan y = e^x. Exponentialkurvan och de båda linjerna begränsar ett område. Beräkna, med tre gällande siffror, volymen av den kropp som alstras då detta område roterar kring x-axeln.

V14 En skål tillverkas på så sätt att skålens inre buktiga yta genereras av att den del av kurvanylnx, som ligger mellan y = 0 och y = h, får rotera kring y-axeln. Hur stor skall höjden h vara för att skålen ska rymma 2,0 dm³? V15 Kurvan y = x³, x > 0

och linjen y = a, a > 0, och y-axeln bildar tillsam-mans ett

begränsat om-råde. När detta roterar ett varv kring y-axeln alstras en kropp med volymen

625 81 v.e. Bestäm konstanten a.

V16 En rotationskropp har alstrats genom att kurvan y = 16 – x⁴ (0 < x < 2) har roterat ett varv kring y-axeln. Idennarotations- kropp inskrivs en kon med spetsen i origo.

Vilken radie har konen när den inskrivna konen har maximal volym?

(9)

V17 I figuren här bredvid är linjen y = 4 – 2x ritad.

Den utritade rektangeln i figuren får rotera kring x-axeln. Bestäm den maximala

rotations-volymen då 0 x 4.

V18 Vilken vattenbehållare, i form av en rak cirkulär cylinder, där den totala begränsningsytans area är lika med 54 m²har maximal volym?

V19 Vilken volym blir störst av följande två alternativ: (a) y = x^5/4 som roterar kring x-axeln eller (b) samma kurva om den roterar kring y-axel. I bägge fallen beräknas volymen i området ₀ _x ₁och ₀ _y ₁. Du kanske kan förstå vilken utan beräkningar?

V20 Beräkna volymen av det till detta avsnitt inledande exempel, om vi antar att denna kurva y = x – x²roterar kring y-axeln.

V21 Låt Agnesis häxa: y(x²+ a²) = a³, rotera kring y-axeln. Sätt upp integralen för volymen mellan y = 1/e och y = 1. Sätt a = 1. (Maria Agnesi var en matematiker från Milano på 1700- talet.)

(10)

V22 En vacker höstkväll tänker surströmmingsälskaren Anders avnjuta innehållet i en burk som han köpt förra sommaren.

Under vintern har burkens botten och lock börjat bukta ut eftersom innehållet jäser. Det som från början kunde beskrivas som en rak cirkulär cylinder, med diametern 12,0 cm och höjden 5,0 cm är nu en kropp som från sidan ser ut som på bilden nedan.

Anders observerar att lockets, och även bottnens, ”profil”

ganska exakt kan beskrivas med grafen till en

andragradsfunktion av typen _{y ax} ² _{bx c}. Beräkna volymsökningen i procent, när burken svällt så att den buktar ut 1,0 cm på varje sida samtidigt som diameter och kanthöjd är oförändrade. (Np E ht 97)

V23 Beräkna den volym som alstras då Neiles kubiska parabel, y³ x²^, roteras kring x- axeln. Låt rotationskroppen avgränsas av linjerna x = 0 och x

= 2.

12,0 cm

1,0 cm 5,0 cm

1,0 cm

(11)

Teori ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

Låt oss anta att kurvan y = f(x) för vilken det gäller att

  0

f x  för värdena a x b roterar kring y-axeln. Vi undersöker nu den smala rektangeln med basen x och höjden f(x).

När denna rektangel roterar kring y-axeln uppstår ett

cylindriskt skal (se figuren) med radierna x och x x och höjden f(x) och volymen V .

 

^{ }

 

^{ }

    

    

 

2 2

2

2 2

( )

2 ( )

2 2

Vi bortser från som är försumbar i jämförelse med .

2

V x x x f x

V x x x f x

V x x x f x

V x f x x f x x x

x

V x f x x



 



    

    

      



    

Alltså är:

 

  

^lim_x ₀



^b ²  



²

x a

b a

xyd

x x

V xy

Fundera på!

Skivmetoden och skalmetoden ger samma värden om föremålet för undersökningen är samma kurva och har

samma gränser. Är detta sant?

Teori ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

  0

cylindriskt skal (se figuren) med radierna x och x x och höjden f(x) och volymen V.

 

^{ }

 

^{ }

    

    

 

2 2

2

2 2

( )

2 ( )

2 2

2

V x x x f x

V x x x f x

V x x x f x

x

V x f x x



 



    

    

      



    

Alltså är:

 

  

^lim_x ₀



^b ²  



²

x a

b a

xyd

x x

V xy

Fundera på!

Skivmetoden och skalmetoden ger samma värden om föremålet för undersökningen är samma kurva och har

samma gränser. Är detta sant?

Teori ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

  0

cylindriskt skal (se figuren) med radierna x och x x och höjden f(x) och volymen V.

 

^{ }

 

^{ }

    

    

 

2 2

2

2 2

( )

2 ( )

2 2

2

V x x x f x

V x x x f x

V x x x f x

x

V x f x x



 



    

    

      



    

Alltså är:

 

  

^lim_x ₀



^b ²  



²

x a

b a

xyd

x x

V xy

Fundera på!

Skivmetoden och skalmetoden ger samma värden om föremålet för undersökningen är samma kurva och har

samma gränser. Är detta sant?

(12)

Modell ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

Exempel Beräkna volymen av en rotationskropp som vi fått genom att rotera yx³ kring y-axeln för intervallet 1 x .

Lösning

2 2 5 2

2 3 4

0 0 0 0 0

2 64

lim 2 2 2

5 5

x x

V xy x x x dx x dx x 

  

 





 



 



   V24 Beräkna volymen av

en parabolisk sockerkaka med skalmetoden. Vi vill beräkna den volym som uppkommer om den gråa arean, y = 2x – x²– 0,75 får rotera kring y-axeln.

V25

Kurvorna y = x²och y = x³innesluter tillsammans en area. Låt denna rotera kring y-axeln och beräkna dess volym med skalmetoden

V26

En rak, cirkulär kon har sidan 12 cm. För vilken höjd blir volymen maximal och hur stor är denna volym?

V27

En cylindrisk behållare med radien 12 cm är fylld med vatten.

Behållaren roteras och så länge rotationshastigheten ökar rinner vatten över behållarens kant. Vid en viss

rotationshastighet blir vattennivån i behållarens mitt lika med noll, se figur. I detta läge gäller sambandet y' 0 20, x, där y' är vattenytans lutning på avståndet x cm från rotationsaxeln.

Modell ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

Lösning

2 2 5 2

2 3 4

0 0 0 0 0

2 64

lim 2 2 2

5 5

x x

V xy x x x dx x dx x 

  

 





 



 



V25

V26

V27

Modell ▪ Skalmetoden för volymberäkningar

Lösning

2 2 5 2

2 3 4

0 0 0 0 0

2 64

lim 2 2 2

5 5

x x

V xy x x x dx x dx x 

  

 





 



 



V25

V26

V27

2

(13)

a) Bestäm y som funktion av x

b) Hur mycket vatten har runnit ut sedan rotationen startade?

c) Rotationshastigheten ökas så att ett cirkelområde med radien 3,0 cm blir torrlagt i mitten av cylindern. I sambandet y'kx,

x 3 får k då ett nytt värde. Det vatten som finns kvar i cylindern kommer fortfarande att nå upp till kanten. Teckna ett uttryck för volymen av det vatten som nu finns kvar. (Np E vt 98)

Modell ▪ Beräkning av volym om inte A(x) är cirkulär

Vi vet attV =



^b

^{( )} 



^{( )}

^b^a  ^{( )} ^{( )}

a

V b V a

A x dx V x

Exempel Beräkna volymen av en godtycklig kon och speciellt en godtycklig pyramid med basarean B och höjden h.

Lösning Vi lägger en x-axel genom pyramidens spets, origo, och låter denna axel vara vinkelrät mot basen. Vi lägger dessutom ett rörligt plan som är parallellt med basen och som ligger på avståndet x från origo.

Detta plan har arean A(x).

Eftersom den mindre pyramiden är likformig med den större så är areaskalan lika med kvadraten på längdskalan vilket ger

2 2

( ) 

A x x

B h

eller

2

( ) Bx2

A x h . Detta innebär

2  3





 

h h

Bx Bx Bh

Modell ▪ Beräkning av volym om inte A(x) är cirkulär

Vi vet attV =



^b

^{( )} 



^{( )}

^b^a  ^{( )} ^{( )}

a

V b V a

A x dx V x

2 2

( ) 

A x x

B h

eller

2

( ) Bx2

2  3





 

h h

Bx Bx Bh

Modell ▪ Beräkning av volym om inte A(x) är cirkulär

Vi vet attV =



^b

^{( )} 



^{( )}

^b^a  ^{( )} ^{( )}

a

V b V a

A x dx V x

2 2

( ) 

A x x

B h

eller

2

( ) Bx2

2  3





 

h h

Bx Bx Bh

(14)

V28

En högst märklig geometrisk kropp har areafunktionen A(x) =3e^2x. Vilken blir dess volym om den inneslutes av planen genom x = 0 och x = 1?

V29

Byggnaden Turning Torso i Malmö är 190 m hög med femhörniga våningsplan på 400 m². Byggnaden vrider sig 90 från bottenvåningen till taket. Motivera dina beräk-ningar vid uträknandet av dess ungefärliga volym.

V30

Fatima har tillverkat ett föremål vars bottenyta har formen av en cirkel

2 2

 1

x y . Dessutom är varje genomskärning av föremålet vinkelrät mot xy-planet en kvadrat, t ex det gula planet i figuren. Vilken är föremålets volym.

(Tips: Tänk dig att volymen är summan av alla skivor med bredden

x som fyller cirkeln mellan x = –1 och x

= 1, dess-utom parallella med det gula planet.

V28

V29

V30

2 2

 1

V28

V29

V30

2 2

 1

(15)

V31

Fatimas matematiska skulpturer har nu blivit så efterfrågade att hon tillverkar tre stycken vars volymer med en del eftertanke kan lösas med



^b ( )

a

A x dx när man väl upptäckt uttrycket för area-funktionen, A(x). Beräkna de tre volymerna i figurerna nedan.

a)

Denna kropp har basarean:

1dm × 2 dm samt högsta höjd 2dm. Tvärsektionerna, som är vinkelräta mot basen, är likbenta trianglar vars höjder är lika med deras avstånd från kroppens kortaste sida (=1).

b)

Denna kropp ligger på en cirkel med radien 6cm.

Tvärsektion-erna, som är vinkelräta mot basen, är liksidiga trianglar.

c)

I detta fall är basen en cirkel.

Den färdiga skulpturen är 12 cm i diameter och lika hög.

Tvärsektionerna, som är

V31



^b ( )

a

a)

b)

c)

V31



^b ( )

a

a)

b)

c)

(16)

Facit

G1 Radien på cylindrarna får vi genom att använda y-värdena 1;

1,19; 0,81; 0,62 och 0,62. Alltså blir volymen = (1²+ 1,19²+ 0,81²+ 0,62²+ 0,62²)  0,4 = =3,6 v.e.

G2

9

2 0

1 ( 1)

 10



  



n

n = 60,0 v.e.

G3 . G4 a)

2 2 4

4

0 0

(4 x dx) 16x 4x x3/ 3 64 / 3

   ^   ^  



b) ⁴ ⁴

0 0

12xdx 6 x2 96

  ^  ^  



c)

3 2 2 2 4 3

3 3

2 4 2 4

(9 ) 81 18

3 ) ( 3) )] 0

[(81 18 3 (81 18 ( 3)

x dx x x

 



      

    



     



d)

6 7 2 7

2

0 0

49 49 896 ( . .)

7^x 2

x dx  v e

 ^ ^   



⁼⁷

e)

4 8

4

0 0

2 52

5 ( . .)

2ln5 5 -1

2ln5

xdx x v e

  

  

 

 



⁼

G5 a)

10 3 10

2 2

0 0

(10 ) (100 10 1000 ( . .)

3 3

y dy y y y  a e

  

     

 



b)

2 3 2

2 0 0

(3 ) (3 ) 24 ( . .)

3 3

y dy y y  a e

  

    

 



c)

4 4

3 2

60 ( . .) 4

y dy y a e

   

 

 



från y = 2 till y = 4,

d)

1 2 2 1 2

0 0

( . .)

y y

e dy e e a e

    



G6 ³ ³

0 0

2 2

e ^xdx 0,5 e ^x

 ^  ^  ^ ^  



^{= -0,5 (e}^-⁶ - 1) 1,57v.e.

G7 ⁰ ⁰ 0

2 1 cos2 sin 2

sin 0,5

2 4

x x

xdx dx x ^

 

       

 

(17)

G8

2 2

2 ( . .)

2 2

a a

dx v e

x a a

x

   

     



⁼ _a

G9

2 2 2 2

2 / 2 2 3 ( . .)

(2 / 2) 2

a a

xdx x a a ^a v e

      



⁼

G10 ² ² ₀ ³ ³ ³

0

2 2 3

( ) [ ( / 3] ( / 3) 2

R R x dx  R x x R  R R  R π/3 Eftersom det är en cirkel som roterar blir volymen lika stor i bägge fallen. Klotets volym är

3

 4 R

G11

V12 Linjen genom origo och punkten (h, r) har ekvationen y = rx/h.

Konens volym ₀

0

2 2 3 2 2

( / ) / 3

[ ]

3

h rx h dx r x h h r h

V 



   ^

V13 Linjen genom punkterna (1, 0) och (0, 1) har ekvationen y = –x + 1. Alltså är

2 2 2 2 2 2 3

2 0

1 1 1

0 0 0

e ) ) e ) e

2 / 2 e / 2) 2,19 . .

( (1 ( 1 2 [ ]

(e 1 1 1

x x x

V x x x

v e

dx x dx x x

  



     

 

     

 

   

V14 ylnx medför att x = e^y. Skålens volym är

0 0 0

2 2

) / 2 / 2 / 2

(e e e ^h e

h y dyh ydy^ y ^ ^ h 

  ^{. Skålen}

ska rymma 2,0 dm³ medför e²^h/ 2/ 2 2 vilket ger

2 4 / 1

e ^h   ^.

Alltså är h = 0,5ln(4/π +1)0,411 ^(dm)

1 1

0 0

( sin x)2dx [ cos x] ( cos cos 0) 2

        



(18)

V15 Eftersom y = x³får vi y^1/3= x

0 0

0

5/3 5/3

1/3 2) 2/3 3 625

( 5/ 3 5 81

a y dy ay dy y a^ a 

   

 

 

 

vilket medför 5/3 5

55

a 3 . Alltså är

3 3

5 125

a = =

3 27

V16 Radien för maximal inskriven volym är 2∙3^(-1/4).

V17 Antag att rektangelns hörn på linjen y = 4 – 2x är (h, 4 – 2h).

Alltså är rektangeln rotationsvolym V = 2 (16 16 2 4 3) (4 2 )h h  h h h

     . V =

(16 32h 12h2)

   . V´= 0 för h₁= 2 eller h₂= 2/3.

Teckenstudium ger maximal rotationsvolym 128π/27 för h = 2/3

V18 Antag att cylinderns höjd respektive radie är h och r m. Alltså 2πr²+ 2πrh = 54 vilket ger h =

54 2 2 2

r r



 . V = πr²(54 – 2πr²) / 2πr = r(27 – πr²) = 27r – πr³. V´ = 27 – 3πr²vars nollställe inom definitionsmängden är r = 3/  . Eftersom V´´ = –6πr <

0 får vi maximal volym för r = 3/  och h =

54 2 9 36 6

3 6

2

 

 

  

V19 I första fallet är volymen:

1 1 14/ 4 1

5/ 4 2 10/ 4

0 0 0

( ) ( ) 4

14/ 4 14

x dx x dx x

     

 

. I det andra

fallet är volymen:

1 1 13/5 1

4/5 2 8/5

0 0 0

( ) ( ) 5

13/ 5 13

y dy x dy x

     

 

. Alltså är volymen störst i det senare fallet.

(19)

V20 y = x – x²ger lösningarna x_1,20,5 0,25y. Detta innebär att x x₁ ₂2 0,25y.

0,25 0,25 2 0,25

1 2 2

0

0 0

2 2

2

( ) 4 (0,25 ) 4 (0,25

2 0,25 4 0,25

4 (0,25 ) 0,125

2 2

x x dy y dy y y

  

 

      

 

   

 

V21

3

2 a 2

x a

 y  Vi sätter a=1 och beräknar rotationskroppens volym.

 

¹

1 1

1/ e 1/ e

( 1) (ln ) (ln1 1) (ln(1/ e) 1/ e)

( 1 1 1/ ) e

y dy y y

e

   

 

        

    



V22 Den nedre parabeln kan ses som funktionen

2

36 y x . Dess

volym är

1

0

36ydy 9

  



. Från början är burkens volym 6 5² . Efter jäsning är burkens totala volym = 2 9   6 5 198²   .

198 1,10

180  . Alltså har burkens volym ökat med 10%.

V23

V24 Välj ett x-värde mellan 0,5 och 1,5. Rita en rektangel med höjden f(x) och bredden x i punkten x och rotera denna runt y-axeln.

2 2

4 7 7

2 2 3 1 4 4

3 2

0

0 0

4 4 2

( ) 6, 04( . .)

4 1 7 7

3

x x

x dx    v e



    

   

      



(20)

Vi får då en mycket tunn cylinder med omkretsen 2 x , höjden f(x) och tjock- leken x. Alltså är dess volym

2 ( )

V  x f x x

     . Om vi nu delar in sträckan mellan x = 0,5 0ch x = 1,5 i n delar så blir summan av alla

cylindrarna 2 ( )

n

V  x f x x

 



   ^. Låter vi nu antalet cylindrar växa över alla gränser så blir ”sockerkakans”

volym =

1,5

0,5

2 ( )



^{xf x dx} ⁼ ^{21 ( . .)}¹₃ ^{v e}

V25 Volymen mellan kurvorna och gränserna x = 0 och x = 1 är:

1 1 4 5 1

3 4

0 0 0

2 [ ( ) ( )] 2 [ ] 2

4 5

2 (1/ 4 1/ 5) ( . .) 10

x x x f x g x dx x x dx

v e

  

 

 

       

 

  

 

V26 Antag att höjden och radien är h resp. r cm. Alltså gäller

2 2

144r h . Detta innebär att r 144h² . Alltså blir konens volym

2 (144 2) (144 3)

3 3 3

r h h h h h

V     

(144 3 2)

' 3

 

 h

V vilket ger V´ = 0 för h = 486, 9. EftersomV' 2h²0 får vi maximal volym för höjden

486, 9. Volymen blir då

cm³ 48(144 48) 32 48 696

V  3     .

V27 a) ( y0 1, x²) b)  y

0 1dy

0 14 4

,



, ^eller ² ^{14 4} ^{0 1} ²

0 12

x( ,  , x )dx



) = 3,3 (liter)

(21)

c) ¹² ² ² ^14,4

 

3 0

8 24

t.ex. 2 eller 12 14,4 9,375 0,96

75 25

V x x dx V   y dy

           

   

   



 



Godtagbart tecknad funktion för vattenytans höjd



^y^^{0 107}^, ^x² ^^{0 96}^,



V28

1 2 1 2

2 0 0

3e 3e 3

3 9,6( . .)

2 2 2

x x

e dx     v e



V29 A(x)= 400 ger:

190 4 3

0

400 400 190 7,6 10 (m ).

V 



dx   

V30 Antag att en skiva med bredden x befinner sig på avståndet x från y-axeln. Dess volym är  _V _{(2 1}_x^{2 2}₎  _x ₄₍₁_x²₎_x. Alltså är

1 3 1

2

0 0

2 4(1 ) 4 2(4 1/ 3) 7 ( . .)1

3 3

V x dx  x x  v e

       

 



V31 a)En tvärsektion på avståndet x från origo, längst fram, har höjden x och basen 1 och alltså arean x/2.

dm2

2 2 2

0 0

1( )

2 4

x x

V 



dx      ^.

b) Cirkelns ekvation är x²y² 36. Vi lägger origo mitt i basytan och x-axeln vinkelrät mot tvärsektionerna. Antag att en

godtycklig tvärsektion har avståndet x från origo. Om bassidan är 2s så är höjdens 3och arean av sektionen s² 3 och dess volym 3(36x²)x. Alltså är hela kroppens volym:

6 3 6 3 3

2

6 6

2

6 6

3(36 ) 3 36 3[36 6 36 6 ]

3 3 3

36 8 3 288(cm ) x dx x x



 

           

  



c) Vi lägger origo enligt samma principer som i b. Radien är 6 cm.

Alltså är hela kroppens volym:

6 3 6 3

2

6 6

2 2

4 (36 ) 4 36 4 [36 6 2 2 6 ] 1152

3 3

3619(cm ) 3,6(dm ) x dx x x

   





 

          

 



(22)