2 Geometri - Volym

Volym

Matteord

– rymdgeometrisk kropp

– volym – basyta

– sidoyta prisma – rätblock – kub – cylinder – hörn – sida

– kubikmeter – begränsningsyta – mantelyta – volymskala

2 Geometri - Volym

VAD SKA DU ARBETA MED?

Geometri är ett område inom matematiken där det är enkelt att koppla det abstrakta till det konkreta. I det här kapitlet handlar mest om volymbegreppet. Här ska du lära dig att det som har en volym har tre dimensioner. Du kommer att lära dig att rita tredimensionella figurer.

Du bör få göra volymmätningar både i litersystemet och i metersystemet för att få en storleksuppfattning för de olika enheterna.

CENTRALA INNEHÅLL

Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

Avbildning och konstruktion av geometriska objekt.

Metoder för beräkning av area, omkrets, och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta.

Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.

MÅL

När du har arbetat det här kapitlet ska du kunna:

> förstå vad volym är för något

> ge namn på och känna igen olika rymdgeometriska kroppar som rätblock, kub och cylinder.

> använda olika enheter för volym

> beräkna volymen för rätblock och cylinder

> beräkna arean av en begränsningsyta

> förstå area- och volymskala

UPPVÄRMNING

Geometri - Volym

1- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

4 cm 3 cm

a) b)

2- En kvadrat har omkretsen 36 cm.

Hur stor är kvadratens area?

3- Arean av en kvadrat är 144 cm².

Vilken är kvadratens omkrets?

Exempel :

1 m³ = 1 · 1 000 dm³ = 1 000 dm³ 5 m³ = 5 · 1 000 dm³ = 5 000 dm³ 13 dm³ = 13 · 1 000 cm³ = 13 000 cm³ 25 000 dm³ = 25 000/1 000 = 25 m³

Volym Volym är ett mått på hur mycket ett kropp innehåller. Alla geometriska

kroppar har en volym.

Det finns två olika system för volymenheter. Litersystem brukar vi använda t.ex i köket som dl och cl. Metersystem brukar vi använda när vi arbetar med vetenskapliga formler som m³, cm³ där utgår vi från sträckor.

Alla kroppar har tre dimensioner, alltså längd, bredd och höjd.

Det är därför vi skriver enheterna i kubik, som dm³, m³.

Volym - Volymenheter Teori

Mattebegrepp

– geometrisk kropp

– kubikmeter - dimension - litersystem - metersystem

I det här kapitlet handlar mest om volymbegreppet.

Här ska du lära dig att det som har en volym har tre dimensioner.

Du kommer att lära dig att rita tredimensionella figurer.

Du bör få göra volymmätningar både i litersystemet och i metersystemet för att få en storleksuppfattning för de olika enheterna.

Du lär dig!

Volym är ett mått på hur mycket ett kropp innehåller.

1

Metersystem - m³, dm³, cm³, mm³

Enhetskuben

V = 1 dm · 1 dm · 1 dm = 1 dm³ V = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1 000 cm³ 1 dm³ = 1 000 cm³

1 cm3

- - - 1 dm = 10 cm - - - - - - - 1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm

kubikmeter kubikdecimeter kubikcentimeter kubikmillimeter Från större till mindre enhet multiplicera med 1 000

Från mindre till större enhet dividera med 1 000

m3 dm3 cm3 mm3

Hur hänger metersystem ihop med litersystem?

2

10 9 8 7 6 5 4 3

2 1 ^{- - - - -} _{- - - -}

- - - 1 dm = 10 cm - - - - - - - 1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm

1 dm 3 = 1 000 cm 3

109 87 65 43 21

1dl

1 L

1 dl

1 l = 10 dl

1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml

1 dl = 10 cl

1 cl = 10 ml

- - - - - - - - - - 1cl

- - - - - - - -

1ml

=

1 L = 1 dm3

1 cl =

1 ml = 1 cm3

Volymenheter - Liter

meter

(m) decimeter (dm) centimeter (cm) millimeter (mm)

Från större till mindre enhet multiplicera med 10

Från mindre till större enhet dividera med 10

1- Skriv som liter

a) b) c)

______ liter _______ liter _______ liter

2- Skriv som deciliter

a) b) c)

______ dl _______ dl _______ dl

Skriv som deciliter

3- a) 3 liter = ______ dl b) 15 liter = ______ dl c) 125 cl = ______ dl 4- a) 30 cl = ______ dl b) 9 cl = ______ dl c) 50 ml = ______ dl 5- a) 2,5 liter = _____ dl b) 42 cl = ______ dl c) 12 ml = ______ dl

Skriv som liter

6- a) 3 dl = ______ liter b) 34 dl = ______ liter c) 125 dl = ______ liter 7- a) 375 cl = _____ liter b) 75 cl = ______ liter c) 300 ml = ______ liter 8- a) 12,5 dl = ____ liter b) 40 dl= ______ liter c) 90 cl= ______ liter

Skriv som milliliter

9- a) 2 cl= _______ ml b) 5 liter = ______ ml c) 50 cl = ________ ml 10- a) 5 dl = _______ ml b) 0,05 dl = ______ ml c) 0,7 cl = ________ ml 11- a) 3,5 liter = _____ ml b) 0,5 cl = _______ ml c) 0,25 dl = _______ ml

1 L

Läsk Läsk

33 cl

20 cl

250 ml

Mjölk

1,5 L 20 dl

Uppgifter

3

Volymenheter - Meter

4

Uppgifter

1- Skriv som kubikdecimeter a) 4 000 cm³ = _________ dm³ b) 8 000 cm³ = _________ dm³ c) 400 cm³ = _________ dm³ d) 4 liter = _________ dm³ e) 2,5 liter= _________ dm³ f) 75 liter= _________ dm³

Skriv som kubikcentimeter

2- a) 8 dm³ = _________ cm³ b) 25 dm³ = _________ cm³

3- a) 0,5 m³ = _________ cm³ b) 1,5 dm³ = _________ cm³

4- a) 2 liter = _________ cm³ b) 2,5 liter = _________ cm³

Skriv som kubikdecimeter

5- a) 7 m³ = _________ dm³ b) 4 m³ = _________ dm³

6- a) 0,5 m³ = _________ dm³ b) 0,1 m³ = _________ dm³

kubikmeter kubikdecimeter kubikcentimeter kubikmillimeter

Från större till mindre enhet multiplicera med 1 000

Från mindre till större enhet dividera med 1 000

m3 dm3 cm3 mm3

- - - 1 dm = 10 cm - - - - - - - 1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm

1 dm 3 = 1 000 cm 3

1 L = 1 dm3

V = 1 dm · 1 dm · 1 dm = 1 dm³ V = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1 000 cm³

Skriv som liter (l).

7- a) 400 dm³ =_______ L b) 5 m³ = _______ L c) 1,5 m³ = _______ L Skriv som kubikmeter (m³).

8- a) 3 000 l = ______ m³ b 300 l =______ m³ c) 30 l =________ m³ Skriv som kubikcentimeter (cm³).

9- a) 5 dl = ________ cm³ b) 5 cl = ______ cm³ c) 5 ml = ______ cm³ 10- En oljetank rymmer 3 000 liter. Skriv volymen i kubikmeter (m³).

Viktig!

Rätblock och kuber

En kub är en tredimensionell figur som har längd, bredd och höjd som är lika långa.

En vanlig sexsidig tärning är ett exempel till kub som har sex kvadratformade sidor.

Volymen av ett rätblock

Teori

Mattebegrepp

· rättblock

· kant

· hörn

· summa

· basyta

· sidoyta

Här får du möta och bekanta dig med de platonska kropparna.

I det här avsnittet ska du lära dig mer om kuber och rätblock.

Du ska även lära dig att beräkna volymen av ett rätblock.

Du lär dig!

*Kuber är också en typ av rätblock.

*Alla kanterna i en kub är lika långa.

5

längd

bredd höjd

Ett rätblock är också en tredimensionell figur som kuber. Ett rätblock har sex rektangelformade sidor.

Ett rätblocks längd, bredd och höjd behöver inte vara lika långa.

I ett rätblock är alla hörn vinkelräta.

Exempel på rätblocksformade föremål i vardagen som har formen av ett rätblock är ett mjölkpaket och en tegelsten.

- - - - - - - - - -

- - --

- - - - - - - - - - - -

basyta

sidoyta hörn kant

För att beräkna volymen av rätblocket ska vi ta reda på hur många kuber som har 1 cm³ får plats inuti det här

rätblocket. I bottenlagret ryms det 3 stycken rader med 4 kuber. Då får 12 kuber plats i botten. 5 lager med 12 kuber får det 60 kuber plats på vårt rätblock.

Man får samma resultat om man multiplicerar sidornas längder med

varandra.

4 cm 3 cm

5 cm

Vi kan skriva formeln så här:

V = l · b · h

Ett tredimensionellt föremåls botten kallas för basyta.

För att beräkna volymen på ett rätblock multiplicerar vi basytans area med höjden.

V = basytan • höjden

V = B · h

Volym av rätblock

Volym = basytan · höjden V = l · b · h

2- Beräkna:

a) basytans area

b) rätblockets volym 5 cm 2 cm 3 cm

3- Beräkna volymen av ett rätblock med basytan 50 cm² om höjden är

a) 4 cm b) 10 cm

4- Beräkna höjden av ett rätblock om basytan är 40 cm² och volymen är

a) 80 cm³ b) 200 cm³

5- Beräkna volymen

5 cm 4 cm

4 cm

6- Beräkna volymen

14- Räkna ut volymen.

13- Beräkna volymen i kubikcentimeter.

12- Hur högt är ett rätblock med volymen 48 cm³ om arean av basytan är

a) 6 cm² b) 12 cm²

11- Hur många liter rymmer poolen som är 50 m lång, 20 m bred och 2 m djup?

10- Hur många liter rymmer badkaret?

7- Beräkna volymen av en kub med kanten 3 cm.

6 cm 10 cm 4 cm

8 dm 20 dm

5 dm

B = 25 cm²

(cm)

Volymen av ett rätblock _Uppgifter

6

1- Hur många småkuber rymmer rätblocket?

a) b) c)

8- Beräkna volymen av ett rätblock med längden 5 cm, bredden 3 cm och höjden 4 cm.

9- Beräkna volymen i kubikdecimeter.

10 5

3 (cm)

Begränsningsarea Med begränsningsarea menas summan av arean hos alla sidoytor

som begränsar kroppen.

Mattebegrepp

· begränsningsarea

· sidoytor

Här får du möta och bekanta dig med begränsingsarea.

I det här avsnittet ska du lära dig att beräkna begränsningsytan av en ett rätblock.

Du lär dig!

Med begränsningsarea menas summan av arean hos alla sidoytor som begränsar kroppen.

1- Arean av en orange (A & C) sidoyta 4 cm · 5 cm = 20 cm²

Det finns två lika stora ytor (Vänster och höger) 20 cm² + 20 cm² = 40 cm²

2- Arean av en blå (B & D) sidoyta:

8 cm · 5 cm= 40 cm²

Det finns två lika stora ytor (Fram-och baksidor.) 40 cm² + 40 cm² = 80 cm²

3- Arean av en grön (E & F) basyta:

8 cm · 4 cm = 32 cm²

Det finns två lika stora ytor (botten och toppen.) 32 cm² + 32 cm² = 64 cm²

Begränsningsarea:

40 cm² + 80 cm² + 64 cm² = 164 cm²

- - -

- - - - - -

(cm)

8

5

4

8

4 4

8

5 5

4

A

5 4

A & C

B C D

8

B & D

E

F

8

E & F

7

Rätblockets begränsningsarea

Teori

Vi kan beräkna arean av alla ytor så här:

Alla kroppar är tredimensionella men deras ytor är tvådimensionella.

En kubs begränsningsarea består av sex lika stora kvadratområden.

Viktig!

8

Uppgifter

a) Hur många sidor har figuren?

b) Bestäm arean av varje sida.

c) Vad är kubens begränsnings area?

(cm)

5 5

5

1- a) Bestäm arean av toppen på figuren.

b) Bestäm arean av framsidan på rätblocket.

c) Bestäm arean av högersidan på rätblocket.

d) Vad är rätblockets begränsnings area?

2- a) Bestäm arean av toppen på figuren.

b) Bestäm arean av framsidan på rätblocket. (A)

c) Bestäm arean av högersidan på rätblocket. (B)

d) Vad är rätblockets begränsnings area?

(cm)

(cm) 4

6 4 9

3

- - -

- - - - - -

- - - -

- - -

3- Beräkna begränsnings arean av rätblocket.

8- Räkna ut begränsningsarean av kuben.

7- Bestäm begränsningsarean av rätblocket.

6- Beräkna begränsning arean av rätblocket.

5- Beräkna begränsnings arean av ett rätblock med längden 5 cm, bredden 3 cm och höjden 4 cm.

4- Beräkna begränsnings arean av en kub med kanten 3 cm.

10

7 6

10 5

3 (cm)

- - -

- - -

(cm)

2 3

4

- - -

- - -

B = 25 cm²

cm

Rätblockets begränsningsarea

Diskutera

A B

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

9

Räkna mer

Uppgifter

1- Det här föremålet ska vridas till en annan position.

4- Om mallen ovan viks ihop, så bildas en rektangulär låda. Vilken volym har lådan? (TIMSS 2007)

Vilket av alternativen skulle kunna vara föremålet efter att det vridits? (TIMSS 2007)

5- Vilket är det största antalet böcker som får plats inuti lådan? (TIMSS 2011)

6 cm 20 cm

15 cm

20 cm 36 cm 30 cm

Bok

Låda

3- Rätblockets volym är 200 cm³. Vilket värde har x?

5 cm

4 cm x cm

2- Figuren nedan visar en form, uppbyggd av lika stora kuber. Det finns ett hål tvärs genom hela formen.

Hur många kuber skulle behövas för att fylla hålet?

(TIMSS 2011) (TIMSS 2011)

5 cm

2 cm 2 cm

3 cm

2 cm 5 cm

6- Vilken figur kan vikas ihop till en kub? (TIMSS 2007)

inlämningsuppgift 1 Geometri - Volym

1- Omvandla enheter till varandra a) 350 ml = _______ l

b) 0,02 m³ = ____ dm³ c) 7 dl = ____ cm³

2- Omvandla enheter till varandra a) 2,5 dl = ______ ml

b) 60 dm³ = ______ m³ c) 200 dl = _____ cm³

3- En kvadrat har omkretsen 36 cm.

Hur stor är kvadratens area?

4- Arean av en kvadrat är 144 cm².

Vilken är kvadratens omkrets?

5- Hur stor är arean i cm² av det skuggade området i figuren nedan? (TIMMS 2011)

6- I mitten på kuben finns ett kvadratiskt hål som går rakt igenom kuben. Kanten på kuben är 6 cm och längden på en sida av den kvadratiska hålet är 3 cm.

Beräkna volymen av det som är kvar av kuben.

7- Bilden visar en plåtlåda utan lock. Hur stor area har plåten som gått åt för att tillverka den här lådan?

8- Den här plåtbiten kan vikas ihop till en kub.

(sidorna är 2 cm)

a) Hur stor area har plåtbiten?

b) Hur stor volym får kuben?

Namn: ________________________ Klass: __________ Datum: ______________

Säker Jag kan

Ganska säker Jag behöver öva lite mer Osäker Jag behöver lära mig

Bedöm dina kunskaper om algebra

Geomteri - Volym

Säker Ganska säker Osäker

Självbedömning

ÅRSKURS 8

Fråga 1

Fråga 2

Fråga 3

Fråga 4

Fråga 5

Fråga 6

Fråga 8 Fråga 7

10

Räkna mer _Uppgifter

T. ex

7- Vilken av kuberna A–D kan man bygga med

den här figuren? 10- Hur många av formerna A, B, C och D behöver du

för att bygga föremålen?

Exempel:

a)

b)

c) A B C D

A B

C D

8- Markera på ett sätt de ytorna som kommer att ligga mitt emot varandra när du viker ihop rutnät ett till en kub.

9- En sida på en kub har längden 2a. Vilket uttryck beskriver kubens volym? Ringa in ditt svar.

6a 8a 4a³ 2a³ 8a³

11- Vilka av figurerna har

X X

O O

A

kräver 2 A, 4 B, 0 C, 0 D

B C D

- - -

a) längd, bredd och höjd b) endast längd och bredd c) endast längd

a) b) c) d)

Viktig!!!

En cylinder är en kropp som begränsas av en s.k. mantelyta och två plana och parallella basytor (botten och locket). Konservburk är ett exempel till en cylinder.

Om du har förstått hur du räknar ut volymen av ett rätblock och arean av en cirkel så kommer du att kunna beräkna volymen av en cylinder utan några problem.

Cylinder har en cirkel som basyta och volymen beräknas med samma formel som rätblocks volym.

Volym = basytans area · höjden V = B · h

Eftersom basytan är en cirkel blir arean:

B = π · r²

Exempel: Hur mycket rymmer hinken?

Lösning: V = B · h

Vi behöver beräkna basarean först.

r = d/2 = 20/2 = 10 cm B = π · r²

B = 3,14 · 10² = 3,14 · 100 = 314 cm² V = B · h

V = 314 · 40 V = 12 560 cm³

Cylinders volym

Teori

Mattebegrepp

· cylinder

· mantelyta

I det här avsnittet ska du lära dig om de kropparna som vi kallar cylindrar.

Du ska även lära dig att beräkna volymen för cylinder.

Du lär dig!

Basytan av en cylinder är en cirkel.

11

- - - -

B r

h

20

40 (cm)

4

10 (m)

a) Vilken geometrisk form har oljetanken?

b) Hur stor är basytan?

c) Vilken volym har tanken?

Du kommer väl ihåg?

Arean = π · radien · radien A = π · r · r = π · r²

Diskutera

Cylinders volym _Uppgifter

12

1- Beräkna (π ≈ 3) : a) basytans area

b) cylinders volym

- - - -

6 2

(cm)

11- En cylinder har diametern 5 cm och en kub har sidan 5 cm. Båda figurerna har samma höjd.

a) Uppskatta vilken figur som har störst volym.

b) Motivera ditt svar med beräkningar.

2- Beräkna figurernas volym.

6

a) b)

B = 15 cm² B = 45 cm²

4

18

8 (cm)

(cm)

(cm)

24 80

(cm) 4- En cylinderformig figur har diametern 6 cm och

höjden 12 cm. Ett rätblocksformad figur har basytan 6 x 6 cm och höjden 10 cm. Vilken figur (kropp) har störst volym. Motivera ditt svar.

3- Diametern på en cylinder är 14 cm och höjden är 18 cm. Beräkna volymen i liter.

(Skriv med en decimal.)

5- Hur mycket rymmer grytan? Svara i liter.

Avrunda till heltal.

16

19 (cm)

6- En cylindrisk behållare har basytan 40 cm². Hur högt är behållaren om den rymmer 1 liter vatten.

7- Vad är gemensamt för rätblock, kub och cylindrar när du beräknar volymen.

8- Beräkna volymen.

3

1,2

(m)

9- Hur mycket rymmer den cylinderformade termosen?

10- Beräkna volymen. (Svara i hela kubikdecimeter.)

Du kommer väl ihåg?

Omkrets = π · diameter O = π · d

Mantelyta En cylinder är en kropp som begränsas av en s.k. mantelyta och två

plana och parallella basytor (botten och locket).

Arean av den böjda ytan hos en cylinder kallas mantelyta.

Vi viker upp cylindern och rullar ut mantelytan för att se

begränsningsarean bättre eller du kan rulla ihop ett A4-papper till en cylinder. A4-pappersarea (rektangel) är arean av cylinders mantelyta.

Begränsningsyta och mantelyta

Teori

Mattebegrepp

· Cylinder

· mantelyta

· begränsningsarea

· diameter

· radie

· cirkel

I det här avsnittet ska vi undersöka mantelyta och begränsningsarea, och hur vi beräknar dem.

Du lär dig!

Arean av den böjda ytan hos en cylinder kallas mantelyta.

A = π · d · h

13 Arean av mantelytan = basen · höjden

Längden på rektangelns bas är lika med omkretsen på cirkeln.

Rektangelns höjd är lika med höjden på cylinder.

A = π · d · h

Begränsningsarea

Begränsningsarean består av en en rektangel med arean π · d · h och och två cirklar med den totala arean 2 · π · r² Begränsningsarea = mantelyta + basareor

A = π · d· h + 2 · π · r²

Exempel: Beräkna begränsningarea.

Lösning:

Vi beräknar mantelytan först.

Mantelyta = π · d · h = 3,14 · 6 · 10 = 188,4 cm² Nu ska vi beräkna arean av botten/locket.

A(botten) = π · r² = 3,14 · 3² = 28,26 cm² A(locket) = 28,26 cm²

Begränsningsarea = π · d · h + 2 · π · r² A = 188,4 + 56,52 = 244,92

A ≈ 245 cm²

- - - -

d

h h

- - - - - -

π · d mantelyta

botten lock

10 cm

6 cm

- - -

π · d mantelyta

botten lock

1- Beräkna (π ≈ 3):

a) radien

b) omkretsen på botten

c) basarean

d) mantelytan

2- Beräkna (π ≈ 3):

a) basarean

b) omkretsen på botten

c) mantelytan

d) begränsningsarea

9- En cylinder har diametern 8 cm och en kub har sidan 8 cm. Båda figurerna har samma höjd.

a) Uppskatta vilken figur som har störst begränsningsarea.

b) Motivera ditt svar med beräkningar.

Begränsningsyta och mantelyta _{Testa dig}

14

16

10

(cm)

(cm)

r = 4

10

- - - -

3- Beräkna burkens mantelyta.

14

8

(cm)

10

a) b)

r = 4 cm d = 12 cm

9 (cm)

- - - - - - -

5- Beräkna begränsningsarea av figurer.

4- En cylinderformig figur har diametern 6 cm och höjden 12 cm. Beräkna begränsningsarea.

6- Vilken eller vilka påstående är sant?

a) Man kan rulla ihop ett rektangel till mantelytan av en cylinder.

b) Formel för mantelytans area är π · r² · h

c) Begränsningsarea räknas så här : π · d · h + 2π·r²

7- Vad är skillnaden mellan mantelyta och begränsningsarea hos en cylinder?

8- Hur stor är oljetunnans begränsningsarea?

3

1,2

(m)

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

15

Läxa 1

Uppgifter

1- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

2- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

3- Beräkna figurens färgade area. ( π≈3)

4- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

5- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

6- Beräkna arean och omkretsen. ( π≈3)

3 cm 5 cm

4 cm

a) b)

a) b)

12 cm

2 cm

3 cm

a) 5 cm b)

2 cm

4 cm

8 cm

inlämningsuppgift 2 Geometri - Volym

1- Beräkna cylinderns volym. Räkna med π ≈ 3

3- Beräkna cylinderns a) begränsningsarea.

(Svara i hela kvadratdecimeter.) b) volym. (i liter)

4- Vad är volymskalan när skalan är:

a) 1:4?

b) 5:1

5- Hur många gånger mer soppa ryms i den större burken jämfört med den andra?

2- Beräkna cylinderns volym. Räkna med π ≈ 3

6- Vilken förpackning har störst begränsningsarea?

Motivera ditt svar.

13

5 12 6

5

(cm)

Namn: ________________________ Klass: __________ Datum: ______________

Säker Jag kan

Ganska säker Jag behöver öva lite mer Osäker Jag behöver lära mig

Bedöm dina kunskaper om algebra

Geomteri - Volym

Säker Ganska säker Osäker

Självbedömning

ÅRSKURS 8

Fråga 1

Fråga 2

Fråga 3

Fråga 4

Fråga 5

Fråga 6

16

Läxa 2 _Uppgifter

1- Biljetterna till en konsert kostar antingen 10 zed, 15 zed eller 30 zed.

Av de 900 sålda biljetterna kostade 1/5 av biljetterna 30 zed styck och 2/3 kostade 15 zed styck.

Hur stor ANDEL av biljetterna såldes för 10 zed styck?

2- På en skolresa fanns det 1 lärare per 12 elever.

Om 108 elever åkte på resan, hur många lärare var det med på resan?

3- En buss körs med konstant fart, så att den

tillryggalagda sträckan är direkt proportionell mot restiden. Om bussen hinner 120 km på 5 timmar, hur många kilometer hinner den då på 8 timmar?

5- En rock kostar i vanliga fall 60 zed. Allan köpte rocken när priset hade sänkts med 30%.

Hur mycket sparade Allan?

6-

7- 3(2x − 1) + 2x = 21 Vilket värde har x?

8- I guren har 13 tändstickor använts till att lägga 4 kvadrater i en rad. Hur många kvadrater i en rad kan man lägga på detta sätt om man använder 73 tändstickor? Visa hur du kom fram till svaret.

4- Sätt antingen + eller - i rutorna för att det här uttrycket ska bli så stort som

Skala Skalan 2:1

När sträckan förstoras i skala 2:1 blir sträckan 2 gånger längre.

Längd har en dimension.

Längdskala = Skala

När sidorna förstoras

i skala 2:1 blir kvadratens area 2² = 2 · 2 = 4 gånger större.

Area har 2 dimensioner.

Areaskalan = Skalan · Skalan Areaskalan = Skalan²

När kantlängden förstoras i skala 2:1 blir kubens volym 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 gånger större.

Volymskalan = Skalan³

Volymskala

Teori

Mattebegrepp

· skala

· volymskala

· förstoring

· förminskning

Här ska du lära dig sambandet mellan längdskala, areaskala och volymskala.

Du lär dig!

Med skala menar man vanligtvis längdskalan.

*** Volymskalan är lika med längdskalan i kubik.

17 Exempel: Hur många gånger mer

soppa ryms i den större burken jämfört med den andra?

Lösning:

Den stora burkens diameter och höjd är dubbelt så stor som den lilla.

Då kan man skriva skalan = 2:1.

Volymskalan är:

Volymskala = Skalan³ = (2:1)³ = 8:1.

Volymen är 8 gånger större.

Längdskala = Skalan Areaskala = Skalan² Volymskala = Skalan³

1 cm 2 cm

1 1

2

(cm) (cm)

2 1 cm2

1 1

2 2

2 1

4 cm2

8 cm3

1 cm3

10 20

15

30 (cm)

Regel

1- Vad är volymskalan på ett föremål om om föremålet avbildas i skala:

a) 2:1? b) 3:1? c) 1:4?

2- Skalan är 3:1. Vad är :

a) areaskalan? b) volymskalan?

Volymskala _{Testa dig}

18

6- Vad är volymskalan när skalan är:

a) 1:4? b) 5:1

7- Vad är skalan när volymskalan är:

a) 1:1 000? b) 27:1

8- Vad är skillnader mellan skala, längdskala och volymskala?

3- a) Hur lång blir sträckan om den förstoras i skala 2:1?

b) Hur stor blir arean om kvadratens sidor förstoras i skala 2:1?

c) Hur stor blir volymen om kubens kanter förstoras i skala 2:1?

(cm)

3 3

3

3

3 3

4- Hur många gånger större volym har den större byrån än den andra.

9- Glasen är likformiga. Det stora glaset är dubbelt så högt som den lilla.

Hur stor volym har det stora glaset?

(m)

0,3 1

1,5

0,6 2

3

5- Hur många gånger mer vatten får det plats i den större hinken än den andra.

12

15

4

5

10- Motivera ditt svar.

a) Hur förändras en cylinders volym om du fördubblar höjden?

a) Hur förändras en cylinders volym om du fördubblar basytans radie?

V = 3 dl

(cm)

12

24 http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

Volymenheter

Spår 1

19 1- Skriv rätt enhet.

a) Ett badkar rymmer ungefär 180 ….

b) En flaska med läsk rymmer ca 200 ….

c) Simbassäng rymmer ca 500 ….

2- Skriv som liter (l)

a) 20 dl b) 4 dl c) 125 dl

3- Skriv som liter (l)

a) 200 cl b) 45 cl c) 1 500 cl

4- Skriv som liter (l)

a) 2 000 ml b) 500 ml c) 5 ml

5- Skriv som kubikdecimeter (dm³)

a) 2 m³ b) 15 m c) 0,2 m³

6- Skriv som kubikcentimeter (cm³)

a) 4 dm³ b) 0,8 dm³ c) 300 mm³

7- Omvandla enheter till varandra a) 15 ml = …...… l

b) 0,02 m³ = ....….. dm³ c) 0,07 l = …... cl

8- Skriv som deciliter (dl)

a) 35 cl b) 3 l c) 120 ml

9- Skriv som milliliter (ml)

a) 1,5 l b) 7 dl c) 0,4 cl

10- Skriv som kubikmeter (m³)

a) 250 dm³ b) 20 dm³ c) 600 l

11- Skriv som liter (l)

a) 2 dm³ b) 5 m³ c) 200 cm³

12- Skriv som deciliter (dl)

a) 2 dm³ b) 8 m³ c) 400 cm³

13- Skriv som kubikcentimeter (cm³)

a) 15 ml b) 4 dl c) 50 cl

14- Inför OS i Turin var det snöbrist. I Pragelato där längdskidåkningen skulle genomföras behövde banan förbättras. Man transporterade dit 3 000 m³ snö med hjälp av lastbilar.

En lastbil kan lasta ungefär 15 m³ snö per lass.

Hur många lass behövdes?

Rätblock _{Spår 1}

20

1- Ange ett föremål som har formen av a) Rätblock

b) Kub

2- a) Hu många sidor har en kub?

b) Hur många hörn har ett rätblock?

c) Hur många kanter har en kub?

A B

D C

3- Vilken eller vilka av figurerna kan vikas till en kub?

4- Hur många sidoytor har tältet?

5- Beräkna resväskans volym.

6- Beräkna volymen av ett rätblock med basytan 50 cm² om höjden är 15 cm.

7- Beräkna volymen av rätblocket.

8- Beräkna höjden av ett rätblock som har basytan 40 cm² och volymen

a) 80 cm³ b) 400 cm³

9- Beräkna volymen.

(skriv i liter)

7 dm

B= 36 dm²

10

9

5 4 6

5

(cm)

a) (cm) b)

80 50

40 (cm)

Rätblock

Spår 1

21 10- Ett rätblock har längden 8 cm, bredden 6 cm och

höjden 5 cm. En kub har sidan 5 cm. Vilken kropp har störst volym. Visa med beräkning.

11- Ett rätblock rymmer 4 m³. Kroppen är 4 m lång och 0,5 m bred. Hur hög är rätblocket?

12- En förpackning rymmer 4 dm³. Ge två olika förslag på vilka mått förpackningen kan ha.

10

9

5 4 6

5

(cm)

a) (cm) b)

70 cm 1,2 m

50 cm

14- Beräkna begränsningsarea.

15- Beräkna begränsningsytan på en kub med sidan 5 cm.

16- Beräkna begränsningsytan av kartongen när den är stängd.

17- Begränsningsytan av en kub är 384 cm².

Hur lång är sidorna?

40

20 30

(cm)

13- När akvariet är fyllt med vatten väger det 336 kg.

Hur mycket väger akvariet när det är tomt?

( En liter vatten väger ett kilogram.)

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

Cylinder _{Spår 1}

22

1- Beräkna figurernas volym.

2- Beräkna cylindrarnas volym.

4 12

9 10

(cm)

- - - - - - - -

5

a) b)

a) b)

B = 4 cm² B = 30 cm²

8 (cm)

4- Burken rymmer 200 cl. Vilken basarea har burken?

5- Får all juice plats i de två glasen?

6- Daniel och Sara vaskar guld till Saras förlovningsring.

Ringen ska vara 5 mm bred och 2 mm tjock och ha en innerdiameter på 18 mm.

a) Hur stor volym kommer Saras ring att ha?

b) Hur många gram rent guld behöver Sara och Daniel vaska fram till Saras ring om den ska innehålla 75 % rent guld? 1 cm³ guld väger 19,32 g.

10 cm

7

10 (cm)

1 L

3- Marc köper en pool som är cylinderformad. Nu vill han fylla den men undrar om hur mangå hinkar vatten han behöver hämta för att fylla poolen helt.

En hink rymmer 20 liter. (π ≈ 3)

1,2 1

(m)

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

Clylinder Volymskala

Spår 1

23 9- Vilken förpackning har störst begränsningsarea?

Motivera ditt svar.

7- Beräkna mantelytan.

8- Beräkna begränsningsarea.

10- En vatten flaska rymmer 1 liter och är 20 cm hög.

Hur stor basyta har den cylinderformig flaska ? 14

8

(cm)

4 12

9 10

(cm)

- - - - - - - -

a) b)

11

6 14 7

6

(cm) 4-

1- Rita rätblocket i skala 2:1. Hur har volymen förändrats?

2- Vad är volymskalan när skalan är:

a) 1:3? b) 4:1?

3- Vad är skalan när volymskalan är:

a) 1:8? b) 64:1?

6 6 12

8 4 8

A B C

5 cm 2 cm

3 cm

a) Jämför volymerna på cylinder A och B. Vad drar du för slutsats?

b) Jämför volymerna på cylinder B och C. Vad drar du för slutsats?

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

24

Rätblock

Spår 2

25 1- Hur många små kuber med kanten 2 cm behöver du

för att göra en större kub med volymen 1000 cm³.

2- Ett kylskåp har Invändiga måtten på ett kylskåp är bredden 6 dm, djupet 40 cm och höjden 1,2 meter.

Beräknas kylskåpets volym. Svara i hela liter.

3- Beräkna volymen på huset.

3 2

(m)

7 4

4- Vilka mått har en kub som har volymen

a) 27 cm³ b) 1000 dm³

5- Inför OS i Turin var det snöbrist. I Pragelato där längdskidåkningen skulle genomföras behövde banan förbättras. Man transporterade dit 3 000 m³ snö med hjälp av lastbilar.(Np)

a) En lastbil kan lasta ungefär 15 m³ snö per lass.

Hur många lass behövdes?

b) Den bana som skulle förbättras var 5 km lång och i genomsnitt 4 m bred. Hur djupt snölager räckte snön till?

6- På Nya Zeelands västkust regnar det mycket.

I området faller i genomsnitt 7 500 mm regn per år.

En familj samlar in det vatten som faller på taket till bostadshuset för att använda i hushållet. Takets mått kan du se på ritningen. Hur mycket vatten kan familjen samla in på ett år? (Np-2007)

7- Sveriges yta är cirka 450 000 km². I ett år faller ca 7 500 mm regn. Beräkna hur många kubikmeter vatten regnade ner i Sverige under ett år.

Skriv i grundpotensform.

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

Rätblock _{Spår 2}

26

8- En låda har volymen en kubikmeter. Vilka mått kan lådan ha? Ge minst två förslag.

9- Du har ett akvarium med måtten:

1,1 m x 60 cm x 75 cm. När det är fyllt med vatten väger akvariet 600 kg. Hur mycket väger det när det är tomt. (En liter vatten väger ett kilogram)

10- När olja från fartyg läcker ut i havet bildas en tunn hinna på vattnet som i genomsnitt har tjockleken 0,002 mm. Ett fartyg läcker ut 6 m³ olja.

Hur många kvadratkilometer täcker oljan?(Np – 2012)

11- Vilken begränsningsarea har ett rätblock med måtten 4 cm x 6 cm x 5 cm?

13- Sidorna på en kub fördubblas. Hur många gånger större blir då begränsningsarea?

14- Beräkna byggnadens totala begränsningsarea.

12 30

(dm)

28 20 10

12- Familjen Chang har ett risfält med arean 1,5 hektar. Risplantor måste växa på fält som är täckta med vatten. Därför vill man höja vattennivån med 12 cm på sitt risfält.

Hur många kubikmeter vatten behövs då? (Np) 1 hektar = 10 000 kvadratmeter

Cylinder

Spår 2

27 5- En cirkelformad vattentank har diametern 8 m

och 2 m hög.

a) Hur mycket vatten rymmer vattentanken?

Räkna med π =3

b) Hur många liter vatten rymms i den?

c) Det tar 25 timmar att tömma vattentanken med en slang. Med hur många liter per minut rinner vattnet ut från slangen?

1- Hur hög måste vattentunnan vara?

2- Får all juice plats i de två glasen?

3- Hanna ska göra mörk chokladmousse enligt (Np) detta recept från chokladfabriken:

Mörk chokladmousse (6 personer) 230 g mörk choklad

1 1/2 dl vispgrädde att koka 3 3/4 dl vispgrädde att vispa 1/2 dl socker

35 ml vatten 3 äggulor

a) Hur många gram mörk choklad behöver hon om hon ska göra chokladmousse till 15 personer?

b) Chokladmoussen ska serveras i glas som är 5 cm höga och har en diameter på 6 cm. När Hanna är klar med smeten har hon 2 liter mousse. Får all Hannas mousse plats i 15 glas?

Motivera din slutsats med resonemang och beräkningar.

4- En läskburk som rymmer 500 ml har basdiametern 6 cm. Hur hög är läskburken?

7

10 (cm)

1 L V = 200 l

6 dm

- - - - - - - -

24 12

10

16

(cm) 6- Vilken förpackning har störst begränsningsarea?

Motivera ditt svar.

Rekna mer _{Spår 2}

28

3- Vilken cylinder har störst volym?

Motivera ditt svar.

5- Två tomatpuréer på burk som har formen av en cylinder har samma höjd, men den stora har dubbelt så stor diameter som den lilla.

Den stora kostar 45 kr och den lilla kostar 15 kr.

Ska de köpa en stor eller tre små burkar för att få så mycket tomatpuré som möjligt för 45 kr?

Motivera ditt svar.

1- Är cylinderns omkrets vid basytan längre än

cylinderns höjd? Motivera ditt svar.

2- Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kvadrater. Varje liten kvadrat har sidan 1 cm.

2 3

1

2 3

1

Vilken area har figurnummer a) 5

b) 10 c) 100

d) Visa sambandet mellan figurens nummer och antalet kvadrater med ord eller formel.

4- Detta är de tre första figurerna i ett mönster med kuber.

Antalet sidoytor (kvadrater) hos de olika figurerna visar en talföljd.

a) Hur många sidoytor (kvadrater) har figur 1?

a) Hur många sidoytor (kvadrater) har figur 2?

a) Hur många sidoytor (kvadrater) har figur 5?

b) Visa sambandet mellan figurens nummer och antalet kvadrater med ord eller formel.

d) Använd ekvation och lämpligt uttryck för att beräkna vilken figur som har 322 sidoytor.

! 2x

x

x

2x (cm)

- - - - - - - - B A

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

http://matterummet.se/

mattebok-filmer/

Facit

1- a) 4 b) 8

c) 0,4 d) 4 e) 2,5 f) 75 2- a) 8 000 b) 25 000 3- a) 500 000 b) 1 500 4- a) 2 000 b) 2 500 5- a) 7 000 b) 4 000 6- a) 500 b) 100 7- a) 400 b) 5 000 c) 1 500 8- a) 3 b) 0,3 c) 0,03 9- a) 500 b) 50 c) 5 10- 3

Volymenheter - Meter Volymen av rätblock Cylinders volym

Rätblockets begräns.

Clylinders begränsningsyta Volymenheter - Liter

1- a) 2 b) 0,33 c) 0,25 2- a) 10 b) 2 c) 15 3- a) 30 b) 150 c) 12,5 4- a) 3 b) 0,9 c) 0,5 5- a) 25 b) 4,2 c) 0,12 6- a) 0,3 b) 3,4 c) 12,5 7- a) 3,75 b) 0,75 c) 0,3 8- a) 1,25 b) 4 c) 0,9 9- a) 20 b) 5 000 c) 500 10- a) 500 b) 5 c) 7 11- a) 3 500 b) 5 c) 25

1- a) 16 b) 36 c) 64

2- a) 10 cm² b) 30 cm³ 3- a) 200 cm³ b) 500 cm³ 4- a) 2 cm b) 5 cm 5- 80 cm³

6- 240 cm³ 7- 27 cm³ 8- 60 cm³

9- 150 cm³ = 0,15 dm³ 10- 800 liter

11- 2 000 m³ = 2 000 000 liter 12- a) 8 cm b) 4 cm 13- 18 dm³ = 18 00 cm³ 14- 125 cm³

1- a) 12 cm² b) 72 cm³ 2- a) 90 cm³ b) 180 cm³ 3- 2,8 liter

4- Kubens volym = 360 cm³ Cylinders volym = 339,12 cm³ Svaret är kub

5- 4 liter (3 818,24 cm³) 6- 25 cm

7- V= B · h 8- 3 391 liter

9- 904,32 cm³ ≈ 0,9 liter 10- 18 dm³

11- Kub = 125 cm³ Cylinder = 98,13 cm³ Kub har störst volym

1- a) 5 cm b) 30 cm c) 75 cm² d) 480 cm² 2- a) 48 cm² b) 24 cm

d) 240 cm² c) 336 cm² 3- 351,68 cm²

4- 282,6 cm²

5- a)351,68 cm² b) 565,2 cm² 6- a och c

7- Förklara för din lärare.

8- 13,56 m²

9- Visa din lösning för din lärare 1- a) 12 cm² b) 32 cm²

c) 24 cm² d) 136 cm² 2- a) 24 cm² b) 54 cm²

c) 36 cm² d) 228 cm² 3- 344 cm²

4- 54 cm² 5- 94 cm² 6- 190 cm² 7- 52 dm² 8- 150 m²

29

Facit

Volymskala Spår 1 - Volymenheter Spår 1 - Rätblock

1- a) 180 dm³ b) 200 cm³ c) 500 m³

2- a) 2 l b) 0,4 dl c) 12,5 l

3- a) 2 l b) 0,45 l c) 15 l 4- a) 2 l b) 0,5 l

c) 0,005 l 5- a) 2 000 dm³

b) 15 000 dm³ c) 200 dm³ 6- a) 4 000 cm³

b) 800 cm³ c) 0,3 cm³

7- a) 15 ml = 0,015 l b) 0,02 m³ = 20 dm³ c) 0,07 l = 7 cl

8- a) 3,5 b) 30 c) 1,2 9- a) 1 500 b) 700 c) 4 10- a) 0,25 b) 0,02 c) 0,6 11- a) 2 b) 5 000 c) 0,2 12- a) 20 b) 80 000 c) 4 13- a) 15 b) 400 c) 500 14- 200 st

1- a) — b)-

2- a) 6 b) 8 c) 12 3- A och D

4- 5

5- 252 dm³ = 252 liter 6- 750 cm³

7- a) 200 cm³ b) 270 cm³ 8- a) 2 cm b) 10 cm 9- 160 000 cm³ = 160 dm³

= 160 liter

10- Rätblockets volym: 240 cm³ Kubens volym: 125 cm³ Rätblocket har störst volym 11- 2

12- T.ex. 1 dm x 1 dm x 4 dm eller 2 dm x 2 dm x 1 dm 13- 84 kg

14- a) 220 b) 258 15- 150

16- 52 000 cm³ = 52 dm³ 17- 8cm

1- Volymskala = skalan³ a) (2:1)³ = 8:1 b) (3:1)³ = 27:1 c) (1:4)³ = 1:64

2- a) (3:1)² = 9:1 b) (3:1)³ =27:1 3- a) 6 cm b) 36 cm²

c) 216 cm³

4- (2:1)³ = 8:1 8 gånger 5- 27 gånger

6- a) 1:64 b) 125:1 7- a) 1:10 b) 3:1

8- Förklara muntligt för din lärare 9- 24 dl

10- a) fördubblas b) 4 gånger större

30

Facit

Spår 2 - Rätblock

Spår 1 - Volymskala

Spår 2 - Cylinder

1- 125 st 2- 288 liter 3- 70 m³

4- a) 3 cm x 3 cm x 3 cm b) 10 dm x 10 dm x 10 dm 5- a) 200 b) 0,15 m = 15 cm 6- 285 m³ = 285 liter

7- 3,375 · 10¹²

8- 1 m x 1m x 1m eller 0,5 m x 1 m x 2 m elller 0,25 m x 2 m x 2 m 9- 105 kg

10- 3 km² 11- 148 cm² 12- 1 800 m³

13- 4 gånger 14- 2 376 dm²

1- 8 gånger större 2- a) 1:27 b) 64:1 3- a) 1:2 b) 4:1 4- a) 2 gånger större.

b) 4 gånger större.

1- ≈ 7,1 dm

2- Nej, motivera ditt svar med lösning och visa varför inte.

3- a) 575 g

b) Ja, det får plats.

Visa med beräkning.

4- ≈ 17,7 cm

5- a) 100,48 m³ b) 100 480 liter c) ≈ 67 liter

6- ≈ 7 cm 1- a) 20 cm³ b) 240 cm³

2- a) 113,04 cm³ b) 1130,4 cm³ 3– 180

4- 200 cm²

5- Nej, motivera ditt svar med beräkningar och visa varför inte.

6- a) Svar: 630 mm³ ; 628 mm³ b) Svar: 9 g; 9,1g

7- 351,68 cm²

8- a) 138,16 cm² b) 602,88 cm² 9- cylinder.

Cylinders begränsningsarea

= 571,48 cm²

Rätblockets begränsningsarea

= 370 cm² 10- 50 cm²

31

Cylindrar

Här ser du figuren av en cylinder.

Denna cylinder har botten men inget lock.

Här ser du en ritning på cylinderns båda delar. Ritningen används när man ska tillverka den här cylindern i plåt.

I. En cylinder har höjden 12,8 cm och basytans radie är 5,0 cm. Beräkna volymen av cylindern.

II. Man ska klippa ut denna cylinders båda delar från en rektangulär plåtbit. Vilka mått bör denna plåtbit ha? Motivera ditt svar.

III. Du har en plåtbit som är 6 cm bred och 24 cm lång. Av den här plåtbiten ska du tillverka ett decilitermått i form av en cylinder. Måttet ska ha volymen 1 dl.

Undersök om det är möjligt. Redovisa din undersökning och dina slutsatser med beräkningar och resonemang.

1 dm³ = 1 liter 1 cm³ = 1 milliliter

Cylinderformat decilitermått

Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till

• vilka matematiska kunskaper du har visat

• hur väl du har ritat dina figurer och redovisat ditt arbete

• hur väl du har motiverat dina slutsatser.

Äp9Ma06 B2/V1

© Skolverket

32

O = π · d

A = π · r · r = π · r²

höjd bas

A = b · h 2

bas höjd

Rektangels area:

A = b · h

Triangelns area :

längd

bredd höjd

Volym = basytan · höjden V = l · b · h

- - -

- - - - - -

(cm)

8

5

4

8

4 4

8

5 5

4

A B C D

E

F

Begränsningsarea = A + B + C + D + E + F

Arean av mantelytan = basen · höjden A = π · d · h

Begränsningsarea = mantelyta + basareor A = π · d· h + 2 · π · r²

- - - -d

h h

- - - - - -

π · d mantelyta

botten lock

Längdskala = Skalan Areaskala = Skalan² Volymskala = Skalan³

Sammanfattning

V = π · r² · h

- - - -

B r

h