1 TrIgonomeTrI och formler

TrIgonomeTrI och

formler

1

centralt innehåll

✱ Trigonometriska uttryck.

✱ Bevis och användning av trigonometriska formler.

✱ Olika bevismetoder inom matematiken.

✱ Algebraiska metoder för att lösa trigono- metriska ekvationer.

✱ Strategier för problemlösning.

7

1

15343274

894789475849 777 7547 112 894789475849

55 482398678567

23 887 6744

Inledande aktivitet

1

1 60°

30°

1/2

3/2

a) sin 30° c) tan 30°

b) cos 60° d) sin 30°

cos 30°

2

x y

P (0,39; 0,92)

(1, 0) 67°

a) sin 67° c) sin (180° – 67°) b) cos 67° d) cos (180° – 67°)

3

x y

v v

Q (b, a) P (a, b)

a) cos v b) sin (90° – v ) c) sin (v + 360° ) d) cos (v – 360° )

TRIANGLAR OCH CIRKLAR

Arbeta tillsammans två och två.

Bestäm, var och en, värdena med hjälp av figurerna. Jämför era svar och diskutera eventuella skillnader. Kontrollera sedan svaren till uppgift 1 och 2 med räknare.

1.1 Trigonometri och trianglar

enhetscirkeln och trianglar

I kurs 3c arbetade vi i trigonometriavsnittet med enhetscirkeln och olika triangelsatser. Vi repeterar här några viktiga begrepp och samband innan vi går vidare.

rätvinkliga trianglar sin A = a b





motstående katet hypotenusan



 cos A = c

b





närliggande katet hypotenusan



 tan A = a

c





motstående katet närliggande katet



 ^{A B}

C

c b a

vinkel A = sin ^–1 (a/b) = cos ^–1 (c/b) = tan ^–1 (a/c)

enhetscirkeln Med enhetscirkeln kan vi utöka de trigonometriska kvoterna till att gälla även trubbiga vinklar.

x y

P (cos v, sin v)

v

(1, 0) (0, 1)

(–1, 0) O

sin v = y-koordinaten för P cos v = x-koordinaten för P tan v = sin v

cos v då cos v ≠ 0

I figuren till höger ser vi att sin v = b och sin (180° – v) = b cos v = a och cos (180° – v) = – a Symmetrin i enhetscirkeln ger oss två viktiga samband för vinklar

sin v = sin (180° – v) cos v = – cos (180° – v)

x y

P (a, b)

v

(1, 0) Q (–a, b)

v 180°–v

1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr 9

Areasatsen: arean = a b sin C

2 Sinussatsen: sin A

a = sin B b =sin C

c Cosinussatsen: a² = b²+ c² – 2bc cos A

1101

1102 satser för godtyckliga

trianglar

x y

P

(1, 0) v

Punkten P har koordinaterna (-0,57; 0,82). Bestäm a) sin v b) cos v c) tan v d) v

a) sin v är punktens y-koordinat, 0,82 sin v = 0,82 b) cos v är punktens x-koordinat, – 0,57 cos v = – 0,57 c) tan v = sin v

cos v = 0,82

–0,57 ≈ –1,44 d) v = cos ^–1 (–0,57) ≈ 125°

eller

sin^–1 (0,82) ≈ 55°

och v > 90° ger

v = 180° – 55° = 125° sin v = sin (180° – v) Svar: a) sin v = 0,82 c) tan v = –1,44 b) cos v = – 0,57 d) v = 125°

En triangel har två sidor som är 5 cm och 10 cm med mellanliggande vinkel v. Triangelns area är 20 cm². Beräkna vinkeln v.

Areasatsen ger:

20 = 5 · 10 · sin v sin v = 0,82

v1 = sin ^–1 (0,8) ≈ 53°

v₂ ≈ 180° – 53° = 127°

Svar: Vinkeln v är 53° eller 127°.

A B

C

c b a

1103 Bestäm sin v, cos v och tan v om punkten P har koordinaterna

a) (0,559; 0,829) b) (0,34; 0,94)

x y

P

(1, 0) v

1104 För vilka vinklar i intervallet 0° ≤ x ≤ 180° är

a) sin x = 0,56 c) sin x = – 0,13 b) cos x = 0,12 d) cos x = – 0,89 ?

1105 För att beräkna höjden på Hanö fyr mätte en grupp elever upp sträckan 19,0 m på marken enligt figur. Fyrens diameter mättes till 5,0 m och vinkeln v uppskattades till 37°

med hjälp av en stor gradskiva och en käpp.

Beräkna fyrens höjd h.

1106

A B

C

D

4,0 8,5

6,0

7,0

a) Gör en enkel uppskattning av fyrhörningens area.

A = 110,6°

C = 77,6°

(cm)

1107 Sant eller falskt? Motivera.

”När vi bestämmer en vinkel i en triangel med sinussatsen så kan vi få två fall medan cosinussatsen alltid ger ett fall för vinkeln.”

1108 Beräkna triangelns

A

B

18 C 24

56,4°

h

a) höjd h b) area

c) omkrets. (cm)

1109 Bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180° som är lösningar till

ekvationen a) sin v = sin 56°

b) cos v = – cos 40°

c) sin v = – sin 58°

Motivera dina svar.

1110

x y

P (a, b)

(1, 0) Q

v

a) Vilka koordinater har Q, om P = (a, b)?

b) Vilka samband kan du visa med hjälp av koordinaterna för P och Q?

1111 Visa att sambandet (sin v)² + (cos v)² = 1 gäller för alla vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr 11

Aktivitet ✽

^Undersök

Materiel: Gradskiva, linjal, räknare

Lös uppgifterna med hjälp av enhetscirkeln ovan.

1 I enhetscirkeln kan vi införa godtyckliga vinklar. Om v > 360° så är vridningen av radien större än ett varv och om v < 0° så har radien vridits i negativ riktning.

Bestäm värdet med din räknare och motivera resultatet med enhetscirkeln.

a) sin 30° c) cos 30° e) sin 750°

b) sin 390° d) cos –30° f) sin –330°

2 a) Vilket är det största respektive minsta värdet sin v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden?

b) Vilket är det största respektive minsta värdet cos v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden?

0,5 1

1

–0,5

0,5

–0,5

v = 30°

–30°

390°

P Q

R S

Enhetscirkeln och symmetrier

3 Med hjälp av y-koordinaterna för punkterna P och Q (eller R och S) kan vi motivera sambandet sin v = sin (180° – v).

Med hjälp av vilka punkter och koordinater kan vi motivera sambandet

a) cos v = cos (– v)

b) sin v = – sin (180° + v) ?

4 Studera punkterna P, Q, R och S och deras symmetrier. Hitta och beskriv så många trigonometriska samband som möjligt med hjälp av punkternas koordinater.

1.2 Trigonometriska formler

enhetscirkeln och formler

Sambanden y = sin v , y = cos v och y = tan v är exempel på trigonometriska funktioner. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi införa trigonometriska funktioner för godtyckliga vinklar.

x y

v₁

(1, 0) O

P (cos v₁, sin v₁)

x y

v₂

(1, 0) P (cos v₂, sin v₂)

O

x y

(1, 0)

P (cos v₃, sin v₃) v₃

O

Vinkel i tredje kvadranten Vinkel större än ett varv Negativ vinkel

180° < v < 270° v > 360° v < 0°

Definition

Om radien OP vridits en vinkel v i positiv eller negativ riktning gäller

sin v = y - koordinaten för P cos v = x - koordinaten för P tan v = sin v

cos v där cos v ≠ 0

Om vi vrider radien OP ett helt varv i positiv eller negativ riktning så är vi tillbaka i samma läge, vilket t ex ger att

sin 40° = sin (40° + 360°) = sin (40° + 2 ∙ 360°) = . . . cos 150° = cos (150° – 360°) = cos (150° – 2 ∙ 360°) = . . . Sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska med perioden 360°.

period

sin (v + n ∙ 360°) = sin v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . ) cos (v + n ∙ 360°) = cos v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . ) Period

sin v, cos v

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 13 Symmetrin i enhetscirkeln ger oss

x y

v v

v

Q (b, a)

R (–a, b) P (a, b)

några viktiga samband.

P och R ger sin (180° – v) = sin v cos (180° – v) = – cos v P och Q ger sin (90° – v) = cos v cos (90° – v) = sin v

I figuren intill utgår vi ifrån punkten P = (x, y).

Symmetri ger koordinaterna för punkterna Q, R och S.

x y

(1, 0)

Q (–x, y) P (x, y)

R (–x, –y) S (x, –y)

v v

P och S ger sin (– v) = – sin v y-koordinaterna har motsatta tecken x-koordinaterna är lika

cos (– v) = cos v P och R ger sin (v + 180°) = – sin v

Både y- och x-koordinaterna har motsatta tecken

cos (v + 180°) = – cos v

Några formler

Av formlerna får vi följande samband:

tan (v + 180°) = sin (v + 180°)

cos (v + 180°) = – sin v – cos v = tan v Detta betyder att tangensfunktionen har perioden 180°.

Om cos v = 0, dvs då v = 90° + n ∙ 180°, är tan v inte definierad.

Tangensfunktionen är periodisk med perioden 180°.

sin (–v ) = – sin v sin (v + 180°) = – sin v cos (–v ) = cos v cos (v + 180°) = – cos v

tan (v + n ∙ 180°) = tan v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . ) Period tan v

1201 Anta att du vet att sin 20° ≈ 0,34, cos 20° ≈ 0,94 och tan 20° ≈ 0,36.

Bestäm utan räknare värdet av

a) cos 740° b) tan (–160°) c) sin (–380°) a) Vi drar bort 2 perioder.

cos 740° = cos (740° – 2 · 360°) = cos 20° ≈ 0,94 b) Vi lägger till 1 period.

tan (–160°) = tan (–160° + 180°) = tan 20 ° ≈ 0,36

c) sin (–380°) = sin (–380° + 360°) = sin (– 20°) = – sin 20° ≈ – 0,34

sin (–v ) = – sin v

1202 Använd enhetscirkeln för att bestämma a) sin 90° c) sin 270°

b) cos 180° d) cos (–270°) 1203 Förklara varför sin 50° = sin 410°.

1204 Vad menas med att tangensfunktionens period är 180°?

1205 Bestäm utan räknare värdet av a) sin 750° om sin 30° = 0,5 b) cos (–302°) om cos 58° ≈ 0,53 c) tan 400° om tan 220° ≈ 0,84.

1206

x y

(0,91; 0,42) O

25°

(1, 0)

Bestäm med hjälp av figuren a) sin 25° e) sin 155°

b) sin (–25°) f) cos 205°

1207 Undersök påståendet med hjälp av räknare.

Om det är sant, motivera varför.

a) sin 30° är lika med sin 210°

b) cos 70° är lika med cos 290°

c) tan 270° är ej definierat d) sin 550°

cos 550° är lika med tan 10°

1208 sin 60° = 3

2 och cos 60° = 12 Beräkna exakt värdet av a) sin 60° + sin 60°

b) sin (– 60°) – cos 30°

c) sin 60° · sin 60° + cos 60° · cos 60°

d) tan 600°

1209 I figuren har P koordinaterna (a, b).

x y

(1, 0) P (a, b)

S Q

O

a) Bestäm koordinaterna för Q och S.

b) Visa att tan ( – v) = tan (180° – v).

1210 Visa sambanden med hjälp av enhetscirkeln.

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 15

Trigonometriska identiteter

En cirkel med radie r och medelpunkt i (a, b) har ekvationen cirkelns ekvation r² = (x – a)² + (y – b)²

(0, 0) x y

v P (cos v, sin v)

O 1

Enhetscirkeln, som har medelpunkten i origo, har ekvationen (OP)² = (cos v – 0)² + (sin v – 0)²

Eftersom OP är 1 får vi att 1 = (cos v)² + (sin v)²

Istället för (cos v)² och (sin v)² brukar man skriva cos² v och sin² v som uttalas ”cosinuskvadrat v”

och ”sinuskvadrat v”.

Vi får en formel som gäller för alla vinklar v:

”Trigonometriska ettan”

Sambandet, som brukar kallas den ”trigonometriska ettan”, kan också skrivas

sin² v = 1 – cos² v cos² v = 1 – sin² v

identitet Den ”trigonometriska ettan” är ett exempel på en identitet, dvs det är en ekvation eller formel som gäller för alla värden på variabeln.

”Trigonometriska ettan” kan användas för att

◗ bestämma cos v om sin v är givet

◗ bestämma sin v om cos v är givet

◗ visa nya identiteter (formler) sin² v + cos²v = 1

1211

1212

1213

Figuren visar en vinkel i

x (1, 0) y

v

tredje kvadranten.

Bestäm värdet av sin v om cos v = – 24

25

Trigonometriska ettan på formen sin² v = 1 – cos² v ger

sin² v = 1 – 

– 24 25





2 = 49 625 sin v = ±

√

^{62549 = ±}

^{√ √}

^{625 49 = ± 725}

I tredje kvadranten är sin v < 0.

Vi väljer därför det negativa värdet.

Svar: sin v = – 7 25

Visa att 1

cos ² v = 1 + tan² v Bevisteknik:

Förenkla det ena ledet så att det blir lika med det andra ledet.

Börja med det led som ser mest komplicerat ut.

Ersätt tan v med sin v cos v

Högra ledet (HL) =

Trigonometriska ettan

= 1 + tan² v = 1 + sin² v

cos² v = cos² v + sin² v cos² v = 1

cos² v =

= vänstra ledet (VL) V.S.V. (vilket skulle visas)*

Visa att 1 – (sin x – cos x)² = (sin x + cos x)² – 1

Här kan det vara lämpligt att förenkla VL och HL var för sig tills vi ser att de är lika.

VL = 1 – (sin x – cos x)² = 1 – (sin² x – 2 sin x cos x + cos² x) =

= 1 – (1 – 2 sin x cos x) = 2 sin x cos x Trigonometriska ettan

HL = (sin x + cos x)² – 1 = sin² x + 2 sin x cos x + cos² x – 1 =

= 1 + 2 sin x cos x – 1 = 2 sin x cos x

* för denna typ av ”visa att”-uppgifter används ofta avslutningstexten V.S.V. (vilket skulle visas) för att visa att uppgiften är klar. Vi har tidigare infört förkortningen V.S.B.

(vilket skulle bevisas) som också kan användas eftersom vi använder bevistekniker.

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 17 1214 Beräkna de möjliga värdena för sin v

om cos v = 4/5.

1215 Vi vet att sin v = 6/10 och att 0° < v < 90°.

Bestäm det exakta värdet av cos v med hjälp av

a) Pythagoras sats och figuren

v

10 6

b) trigonometriska ettan.

1216 Beräkna det exakta värdet av cos v om a) sin v = 513

och v ligger i första kvadranten b) sin v = – 941

och v ligger i fjärde kvadranten.

1217 Visa att

sin x 1

sinx −sinx

 

 = cos² x 1218 Visa att

cos² v (tan² v + 1) = 1

1219 Kan både sin v och cos v ha positiva värden om v är en trubbig vinkel?

1220 Beräkna det exakta värdet av sin v och tan v om cos v = –1/3 och 90° < v < 180°.

1221 Förenkla uttrycken a) 1− sin²

cos x

x c) 1

cos x2 – tan² x b) sin x + cos² x

sin x d) 1 – sin cos

2

1 x

x +

1222 a) Beräkna för x = 0° och x = 30°

värdet på uttrycken sin² x + tan x och 1 – cos x . b) Kan sin² x + tan x förenklas till

1 – cos x ? Motivera.

1223 Har de räknat rätt?

a) My fick:

sin x + cossin

2x x

och rätt svar angavs till 1 sin x b) Steve fick:

cos (sin tan ) cos

x x x

x +

+1

och rätt svar angavs till cos x.

1224 Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.

a) cos ² x – sin² x b) cos x + sin x ∙ tan x 1225 Visa att

a) tan² v = sin sin

2

1 2

v

− v

b) (1 – sin² A)(1 + tan² A) = 1

1226

Visa att tan

x cos

+ 1 x ²



 

 =

1 1+ sin

sin x

− x

Vi börjar med VL, som ser mest komplicerat ut:

VL = 

tan x + 1 cos x





2 = 

 sin x cos x + 1

cos x





2 = 



sin x + 1 cos x





2 = (1 + sin x)² cos² x =

= (1 + sin x)²

1 – sin² x = (1 + sin x)²

(1 + sin x) (1 – sin x) = 1 + sin x

1 – sin x = HL V.S.V.

Trigonometriska ettan konjugatregeln förkorta med (1 + sin x )

Visa att följande samband gäller.

1227 1 – cos sin

2

1 x

x

+ = sin x

1228 (3 + cos x)(3 – cos x) = 8 + sin² x

1229 1+

+ tan sin cos

x

x x = 1cos x

1230 cos sin

x x

1− – cos

sin x x

1+ = 2 tan x

1231 1 − sin cos

x

x = cos sin

x x 1+

1232 sin cos

cos sin

x x

x x

2 − 2 = tan tan

x x 1− ²

1233 tan cos

2

1 x

− x = 1cos x + 1 cos x2

1234 1

sin x – 1

tan x = sin cos

x x 1+

1235 1

1− sin v + 1

1+ sin v = 2₂ cos v

1236 tan sin sin

x x

x

−

3 = 1

cosx+cos2x Tips!

Att lösa ”visa att”-uppgifter kan kräva olika strategier beroende på hur uppgiften ser ut, och övning ger färdighet. Ofta är det enklast att först förenkla det led som ser krångligast ut.

Ibland är det enklast att skriva om båda leden och sedan visa det ”nya” sambandet. Som i all problemlösning är det viktigt att kunna stanna upp och utvärdera om man är på rätt väg.

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 19

Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus

När vi i nästa kapitel ska härleda derivator för trigonometriska funktioner behöver vi formler för sin (u + v) och cos (u + v).

Exempel Kan sin (u + v) vara lika med sin u + sin v?

Sätter vi u = 60° och v = 30° ser vi direkt att vi inte har likhet:

sin (u + v) = sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 sin u + sin v = sin 60° + sin 30° = 32 + 1

2 ≈ 1,37 Vi behöver formler för sin (u ± v) och cos (u ± v).

Formlerna kallas additions- och subtraktionsformlerna och vi ger ett bevis för dem på nästa sida.

Additions- och subtraktions- formlerna

sin (u + v ) = sin u · cos v + cos u · sin v sin (u – v ) = sin u · cos v – cos u · sin v cos (u + v ) = cos u · cos v – sin u · sin v cos (u – v ) = cos u · cos v + sin u · sin v

Med additions- och subtraktionsformlerna kan vi

◗ bestämma exakta sinus- och cosinusvärden

◗ härleda nya samband.

Vi kan då använda formlerna tillsammans med följande exakta värden för sinus och cosinus.

v sin v cos v

0° 0 1

30° 1

2

√3 2

45° 1

√2 = √2 2

√2 2

60° √3

2

1 2

90° 1 0

Härledning av I figuren låter vi radien OP i enhetscirkeln vrida sig vinkeln v i positiv formeln för cos (u – v ) riktning och radien OQ vinkeln u, också i positiv riktning.

x y

v

P (cos v, sin v)

O (1, 0)

u–v u Q (cos u, sin u)

1 1

Vinkeln mellan OP och OQ blir då u – v.

1 Vi kan uttrycka ( PQ )² på två olika sätt.

Avståndsformeln: d =

√

^{(x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2 ger}

(PQ)² = (cos u – cos v)² + (sin u – sin v)²

Cosinussatsen: a² = b² + c² – 2bc cos A ger (PQ)² = 1² + 1² – 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ cos (u – v)

2 Uttrycken för ( PQ )² sätts lika.

(cos u – cos v)² + (sin u – sin v)² = 1 + 1 – 2 · cos (u – v) 3 I vänstra ledet utvecklar vi kvadraterna.

cos² u – 2 cos u · cos v + cos² v + sin² u – 2 sin u · sin v + sin² v = = 2 – 2 cos (u – v)

4 Vi utnyttjar ”trigonometriska ettan”.

1 – 2 cos u · cos v + 1 – 2 · sin u · sin v = 2 – 2 cos (u – v) 2 cos (u – v) = 2 cos u · cos v + 2 sin u · sin v

5 Formeln kan skrivas

cos (u – v) = cos u ∙ cos v + sin u ∙ sin v

De övriga formlerna för cos (u + v) och sin (u ± v) kan härledas med hjälp av subtraktionsformeln för cosinus och sambanden nedan som vi visat tidigare.

sin (– v) = – sin v sin v = cos (90° – v) cos (– v) = cos v cos v = sin (90° – v)

Vi lämnar härledningarna för de övriga formlerna som övningar.

1237

1238

Allmänt om formler Inom trigonometrin finns en mängd olika samband, satser och formler som du behöver lära dig att använda och hitta. I sammanfattningen sist i kapitlet (s. 43) finns de samlade.

Några av de vanligaste formlerna kan vara bra att kunna utantill.

Formlerna är alltid lättare att komma ihåg om man förstår varifrån de kommer och hur de hänger ihop. Läs därför gärna igenom motiveringar och härledningar en extra gång.

Använd också formelbladet till det nationella provet när du övar så du lär dig hitta i det.

Visa sambandet cos (x + 270°) = sin x

med additionsformeln för cosinus.

cos ( u + v) = cos u cos v – sin u sin v

cos ( x + 270°) = cos x cos 270° – sin x sin 270°

Enhetscirkeln ger

cos 270° = 0 och sin 270° = –1

cos (x + 270°) = cos x · 0 – sin x · (–1) = sin x

x y

(1, 0)

P (0, –1) 270°

Förenkla

sin ( x + 45°) – sin ( x – 45°) Svara exakt.

sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v och sin (u – v) = sin u cos v – cos u sin v sin (x + 45°) – sin (x – 45°) =

= sin x cos 45° + cos x sin 45° – (sin x cos 45° – cos x sin 45°) =

= 2 cos x sin 45° = 2 cos x · 1

√

^{2 =}

√

^{2 · cos x}

Tabell ger sin 45° = 1

√ 2 (eller √ 2

2 ) 2

√ 2 = √ 2

1239 Vad ska det stå i stället för A och B?

a) sin (x + 25°) = A · cos 25° + B · cos x b) cos (35° + y) = cos 35° · A – sin y · B 1240

1 1

a) Motivera med hjälp av enhetscirkeln att sin 180° = 0.

b) Visa med additionsformeln för sinus att sin (90°+ 90°) = 0.

1241 Förenkla och svara med två decimaler.

a) sin x ∙ cos 12° + sin x ∙ cos 12°

b) a + cos x ∙ sin 24° – (a – cos x ∙ sin 24°) 1242 Förenkla med hjälp av additions-

och subtraktionsformlerna.

Svara med två decimaler.

a) sin (x + 50°) – sin (x – 50°) b) sin (43° + x) + sin (43° – x) c) cos (x + 79°) + cos (x – 79°) 1243 Förenkla

a) sin (u + v) + sin (u – v) b) sin (u + v) – sin (u – v) c) cos (u + v) + cos (u – v) d) cos (u + v) – cos (u – v) 1244 Visa att

cos (60° + x) + cos (60° – x) = cos x

1245 Visa med hjälp av subtraktionssatserna a) cos (270° – v) = – sin v

b) sin (360° – x) = – sin x

1246 Använd formeln för cos (u – v) för att visa cos (–v) = cos v .

1247 Bestäm det exakta värdet av cos 315° med hjälp av omskrivningen

cos 315° = cos (360° – 45°).

1248 Bestäm det exakta värdet av a) sin 135°

b) sin 75°

1249 Beräkna cos (x – x) med hjälp av subtraktionsformeln.

Förklara ditt resultat.

1250 Bestäm det exakta värdet av sin (A + B) om

sin A = 3

5, 90° < A < 180° och sin B = – 513, 180° < B < 270°

1251 Härled formeln för cos (u + v) genom att byta v mot –v i formeln för cos (u – v).

1252 Visa att

sin (x h) sin ( )x h

+ −

kan skrivas sin x · cos h

h− 1 + cos x · sin h h

1253 a) Härled formeln för sin (u + v) genom att i cos (u – v) ersätta u med 90° – u.

b) Hur får du sedan formeln för sin (u – v)?

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 23

Aktivitet ✽

^Undersök

Exakta trigonometriska värden

halv kvadrat halv liksidig triangel

45°

halv kvadrat1 1 45°

2

60°

30°

halv liksidig triangel 1

2 3

enhetscirkeln formler

0,5 1

1

–0,5 0,5

–0,5

cos (180° – v ) = –cos v sin (v + 180°) = – sin v sin (180° – v ) = sin v cos (v + 180°) = – cos v sin (–v ) = –sin v cos v = sin (90° – v ) cos (–v ) = cos v sin v = cos (90° – v ) sin (u + v ) = sin u · cos v + cos u · sin v sin (u – v ) = sin u · cos v – cos u · sin v cos (u + v ) = cos u · cos v – sin u · sin v cos (u – v ) = cos u · cos v + sin u · sin v

Arbeta i par eller grupp

Hjälpmedel: Trianglarna, enhetscirkeln och formlerna ovan.

vinkel, v 0 ° 15° 30° 45° … 315° 330° 345° 360°

sin v cos v tan v

2 Använd figurerna, enhetscirkeln och dess symmetrier samt formlerna och försök fylla i hela tabellen med exakta värden.

3 Jämför med en annan grupp. Har ni samma värden? Diskutera och motivera.

1 Gör en tabell, lik den nedan, med v, sin v, cos v och tan v.

Låt värdet på vinkeln öka med 15° i taget från 0° till 360°.

formler för dubbla vinkeln

Om vi i additionsformlerna låter de två vinklarna vara lika stora, får vi några nya formler.

sin (u + u) = sin u · cos u + cos u · sin u cos (u + u) = cos u · cos u – sin u · sin u Efter förenkling får vi

Formler för

”dubbla vinkeln”

sin 2u = 2 sin u · cos u cos 2u = cos² u – sin² u

”Trigonometriska ettan” sin² u + cos² u = 1 kan skrivas cos² u = 1 – sin² u och sin² u = 1 – cos² u

Använder vi detta kan vi skriva formeln för cos 2u på två andra sätt:

cos 2u = cos² u – (1 – cos² u) = 2 cos² u – 1 cos 2u = 1 – sin² u – sin² u = 1 – 2 sin² u

1254 Bestäm det exakta värdet av sin 2v om cos v = – 3 och v ligger i andra kvadranten. 5

sin 2v = 2 sin v cos v

Vi vet cos v och kan då beräkna sin v med trigonometriska ettan.

sin² v = 1 – cos² v = 1 – 

– 3 5





2 = 16 25 sin v = ± 4

5

Vi väljer det positiva värdet eftersom sin v > 0 i andra kvadranten.

sin 2v = 2 sin v cos v = 2 · 4 5 · 

– 3 5



 = – 24 25

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 25 1255 För en vinkel x gäller

sin x = 0,6 och cos x = 0,8

Bestäm följande värden utan att först bestämma x.

a) sin 2 x c) tan x b) cos 2 x d) tan 2 x 1256 a) Bestäm med trigonometriska ettan

möjliga värden på sin v om cos v = 0,5.

b) Bestäm möjliga värden på sin 2v om cos v = 0,5.

1257 Vi vet att sin v = – 1

3 och v ligger i fjärde kvadranten.

a) Bestäm cos v.

b) Bestäm sin 2v.

1258 Bestäm cos 2x om

a) cos x = 0,5 b) sin x = 2 3 1259 Fördubblas värdet på sinus om

vinkeln fördubblas? Motivera.

1260 Punkten P på enhetscirkeln har x-koordinaten – 20

29 x

y v

P Bestäm exakt

a) cos 2v b) sin 2v 1261 Beskriv sambandet mellan

additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln.

1262 Visa att tan x = sin 2 x 1 + cos 2 x genom att använda a) formler

b) figuren nedan.

A O

B

x

x 1

(l.e.)

1263 Visa att sin sin

2x x – cos

cos 2x

x = 1 cos x 1264 Uttryck sin 3x i sin x, dvs skriv om sin 3x

så det bara innehåller sin x.

1265 Visa att

sin 4 x + 2 sin 2 x = 8 sin x cos³ x 1266 Visa att

a) cos 2 x = 1 1

2 2

− tan tan

x + x b) sin 2 x = 2

1 ²

tan tan

x + x c) tan 2 x = 2

1 ²

tan tan

x

− x

1.3 Bevis och bevismetoder

Direkta bevis

bevis Ett bevis är ett logiskt resonemang som syftar till att visa att ett påstående är sant. I det här avsnittet ska vi titta närmare på några olika bevismetoder.

logik Matematisk argumentation bygger på logik. Logik, som är ett annat ord för slutledningskonst, är en gren både inom filosofi och matematik.

Du har tidigare mött de två logiska symbolerna ⇒ och ⇔.

De kan användas mellan två påståenden P och Q.

implikation P ⇒ Q P medför Q (men inte nödvändigtvis tvärtom) t ex x = 3 ⇒ x ² = 9 ( x ² = 9 ger även x = – 3) ekvivalens P ⇔ Q P är ekvivalent med Q ( P medför Q och Q medför P )

t ex x = 3 ⇔ x + 7 = 10

direkt bevis Den vanligaste formen av bevis kallas direkt bevis och utgår från ett antagande P och kommer fram till en slutsats Q via ett logiskt resonemang i ett eller flera steg.

Exempel Vi ska bevisa att kvadraten på ett jämnt tal är delbar med 4.

Vårt antagande är påstående P : x är ett jämnt tal Vår slutsats är påstående Q: x² är delbart med 4 Vi ska visa att vår slutsats är sann, d v s att P ⇒ Q Bevis

Ett jämnt tal kan skrivas x = 2n där n är ett heltal x² kan då skrivas x² = (2n)² = 4n² vilket är delbart med 4 x är ett jämnt tal ⇒ x ² är delbart med 4

V.S.B.

allmänt om bevis Inom matematiken har bevis en viktig roll.

En sats som är bevisad gäller så länge inte förutsättningarna ändras.

Till exempel så vet vi att alla möjliga trianglar i planet har vinkelsumman 180°, eftersom den satsen är bevisad. När en sats är bevisad kan den användas för att bevisa nya satser och på så vis föra matematiken framåt. Det finns

1.3 BeViS Och BeViSmeTOder 27 1301

1302

Ska det vara en implikationspil (⇒) eller en ekvivalenspil (⇔) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar.

a) x = 4 x² = 16 b) 2x +3 = 9 x = 3 a) x = 4 ⇒ x² = 16

Motivering:

x = 4 medför att x² = 16 men omvändningen gäller inte eftersom x² = 16 medför att x = 4 och x = – 4

b) 2x + 3 = 9 ⇔ x = 3 Motivering:

2x + 3 = 9 medför att x = 3 och x = 3 medför att 2x + 3 = 9

Sats: Ett jämnt tal och ett udda tal har en produkt som är ett jämnt tal.

a) Undersök satsen med några exempel.

b) Bevisa satsen med ett direkt bevis.

c) Gäller satsens omvändning?

a) T ex 2 ∙ 3 = 6 eller 6 ∙ 15 = 90

b) Ett jämnt tal kan skrivas 2n där n är ett heltal Ett udda tal kan skrivas 2k + 1 där k är ett heltal Produkten kan då skrivas

2n ∙ (2k + 1) = 2 ∙ n (2k + 1) vilket är ett jämnt tal eftersom n (2k + 1) är ett heltal.

V.S.B.

c) Satsens omvändning blir:

Om produkten av två heltal är ett jämnt tal så är faktorerna ett jämnt tal och ett udda tal.

För att visa att satsens omvändning inte gäller räcker det med att hitta ett motexempel, t ex 8 = 2 ∙ 4.

Omvändningen gäller inte, vi har inte en ekvivalens.

1303 Ska det vara en implikationspil (⇒) eller en ekvivalenspil (⇔) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar.

a) x > 0 x² > 0

b) n är udda n = 2k + 1, k heltal c) y = x + 2 y ′= 1

d) lg x = 2 x = 100 1304 P: 3x + 7 = x + 1

Q: x = – 3

a) Bevisa att P ⇒ Q b) Bevisa att Q ⇒ P

c) Gäller ekvivalensen P ⇔ Q ? 1305 Bevisa att

a) summan av ett udda tal och ett jämnt tal är udda

b) produkten av två udda heltal är udda.

1306 Avgör om påståendet är sant och bevisa ditt svar.

Tre på varandra följande heltal har en summa som är delbar med a) 3 b) 6.

1307 Sant eller falskt?

Om P ⇒ Q och Q ⇒ R så innebär det att P ⇒ R.

1308 Visa att sin (A + B) = 1

A B

C

1309 Pythagoras sats lyder:

Om en triangel är rätvinklig så är summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.

Låt A vara den räta vinkeln och bevisa med hjälp av cosinussatsen a² = b² + c² – 2bc cos A

a) Pythagoras sats

b) omvändningen till Pythagoras sats.

1310 Triangeltalen är 1, 3, 6, 10, 15, …

1 3 6 10

Kvadrattalen är 1, 4, 9, 16, 25, …

1 4 9 16

a) Skriv ett uttryck för det n:te triangeltalet och ett för det n:te kvadrattalet.

b) Undersök summan av två på varandra följande triangeltal. Formulera en slutsats.

c) Bevisa din slutsats.

1311 Bevisa att två på varandra följande jämna tal har en produkt som är delbar med 8.

1312 Nedan följer ett ”bevis” för att 4 = 3.

Kan du hitta felet?

Anta att a + b = c.

Detta ger:

4a – 3a + 4b – 3b = 4c – 3c 4a + 4b – 4c = 3a + 3b – 3c 4(a + b – c) = 3(a + b – c) 4 = 3

1313 Bevisa att n³ – n är delbart med 3

1.3 BeViS Och BeViSmeTOder 29

Indirekta bevis

Många gånger kan ett direkt bevis vara svårt att genomföra.

Därför kan vi också behöva andra bevismetoder.

indirekt bevis I ett indirekt bevis utgår man från att det som ska bevisas är falskt och visar med hjälp av ett logiskt resonemang att antagandet då också måste vara falskt.

I indirekta bevis är det ofta praktiskt att använda ”motsatsen till ett påstående P” vilket betecknas ¬ P och utläses ”icke P”. Att P är falskt motsvaras då av att ¬ P är sant.

Man kan med grundläggande logiska regler visa att P ⇒ Q ⇔ ¬ Q ⇒ ¬ P

Exempel Anta att följande är sant:

P: ”Det regnar” ⇒ Q: ”Jag är inne.”

Regeln ovan ger oss då att detta motsvarar:

¬ Q: ”Jag är ute” ⇒ ¬ P: ”Det regnar inte.”

Istället för att direkt bevisa att P medför Q kan vi visa att ¬ Q medför ¬ P .

1314 Bevisa med hjälp av ett indirekt bevis satsen:

”Om n² är ett jämnt tal, så är n ett jämnt tal.”

Antagandet är P: n² är jämnt.

Slutsatsen är Q: n är jämnt.

Vi bevisar P ⇒ Q genom att visa att ¬ Q ⇒ ¬ P , dvs vi ska visa att ¬ Q: n är ett udda tal medför ¬ P: n² är udda.

n udda ger: n = 2k + 1 (k heltal)

n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2m + 1 vilket är udda då m är ett heltal.

V.S.B.

     m

När man ska bevisa en ekvivalens eller ett påstående används ibland en annan typ av bevis som liknar det indirekta beviset och kallas

motsägelsebevis. Man utgår då från att påståendet eller satsen är falsk och visar att detta leder till en motsägelse.

Exempel Sats: Antalet primtal är oändligt många.

Bevisidé: Utgå ifrån att satsen är falsk och visa att det ger en motsägelse.

Bevis: Anta att antalet primtal är ändligt många: p₁, p₂, … , p_n Bilda talet N = p₁ ∙ p₂ ∙ . . . ∙ p_n + 1.

Dividerar vi N med p₁ ger det p ₁ · p ₂ · p ₃ · . . . · p _n + 1

p ₁ = p₂ · p₃ · . . . · p _n + 1

p ₁ vilket inte är ett heltal!

På samma sätt kan vi se att inget av våra primtal är delare till N.

Om talet N inte är delbart med något primtal så måste N vara ett primtal.

Detta ger en motsägelse mot att p₁, p₂, . . . , p_n är alla primtal.

Vårt antagande är felaktigt, antalet primtal är oändligt många.

V.S.B.

1315 motsägelsebevis

a, b och c är tre reella tal så att abc = –10.

Visa med ett motsägelsebevis att minst ett av talen a, b eller c måste vara negativt.

Motsatsen till att minst ett av talen är negativt är att inget av talen är negativt.

Om vi antar att alla talen är positiva ger det abc ≥ 0 vilket motsäger att abc = –10.

Vi får motsägelse varför vårt antagande att alla talen är positiva är felaktigt. Minst ett av talen är negativt.

V.S.B.

Direkt bevis: Visa direkt att antagandet ger slutsatsen.

P ⇒ Q

Indirekt bevis: Visa att om slutsatsen är falsk så är också antagandet falskt.

¬ Q ⇒ ¬ P ⇔ P ⇒ Q

Motsägelsebevis: Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att det leder till en motsägelse.

Sammanfattning

1.3 BeViS Och BeViSmeTOder 31 1323 Visa med motsägelsebevis att

om x är lösning till ekvationen x³ + 3x² + 7x + 2 = 0

så är x < 0.

1324 Pythagoras sats lyder:

Om en triangel är rätvinklig så är

summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.

Låt A vara den räta vinkeln och använd cosinussatsen

a² = b² + c² – 2bc cos A

för att bevisa Pythagoras sats med ett indirekt bevis.

1325 Bevisa att om

a ² – 2 a + 7 är ett jämnt tal så är a ett udda tal.

1326

√

2 är ett irrationellt tal, dvs kan inte skrivas som ett rationellt tal a

b . (a, b heltal, b ≠ 0)

Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis.

Anta att

√

^{2 = a}_b ^{där a}_b är heltal och förkortat så långt det går.

Kvadrering av uttrycket ger: 2 = a ² b ² , vilket ger 2b² = a² dvs a² och a är delbara med 2.

Sätter vi a = 2k ger det 2b² = 4k² vilket kan skrivas b² = 2k², dvs också b måste vara delbart med 2.

Vi får en motsägelse mot vårt antagande,

√

2 måste vara irrationellt.

a) Förklara varför både a² och a är delbart med 2 om 2b² = a² (a, b heltal).

b) Varför får vi en motsägelse?

1327 a och b är heltal. Bevisa att a² – 4b ≠ 2.

1316 Vad är motsatsen, ¬P , till påståendet a) P: n är jämnt

b) P: x + y ≥ 4 c) P: x = 2

d) P: minst ett barn är en flicka e) P: alla kor kan flyga ? 1317 Antag att

P: Det är sommar ⇒ Q: Vi spelar fotboll.

Formulera ¬ Q ⇒ ¬ P med ord.

1318 P: 0,5 x + 2 ≤ 6 ⇒ Q: x ≤ 8 a) Formulera med matematiska

symboler ¬ Q ⇒ ¬ P .

b) Bevisa indirekt Q ⇒ P genom att bevisa att ¬ Q ⇒ ¬ P .

1319 ”Om produkten av två positiva reella tal är större än 100 medför det att minst en av faktorerna är större än 10.”

Satsen ovan är skriven på formen P ⇒ Q . a) Formulera med ord satsen ¬ Q ⇒ ¬ P b) Formulera med matematiska symboler

¬ Q och ¬ P

c) Bevisa med ett indirekt bevis att P ⇒ Q . 1320 Bevisa med ett indirekt bevis att

om 3n +2 är udda så är n udda.

1321 Bevisa med ett motsägelsebevis att om a) 22 godisbitar fördelas i 7 påsar så

är det minst en påse som innehåller 4 godisbitar eller fler.

a) ab < 0 så är a eller b negativ.

1322 Beskriv skillnaden mellan ett direkt och ett indirekt bevis.

Historik

Grekerna införde beviset i matematiken

Thales från Miletos (ca 600 f Kr) är en av de första matematikerna i historien som vi vet namnet på. Han inte bara noterade matematiska fakta, som att bas- vinklarna i en likbent triangel är lika stora, han bevisade det också. Thales metoder utvecklades av Euklides på 300-talet f Kr.

Euklides berömda bok, Elementa, sammanfattade sin tids matematiska vetande. Med några självklara grundsatser (axiom) som utgångspunkt, ger Euklides bevis för ett stort antal satser, bl a Pythagoras sats och att antalet primtal är oändligt.

Euklides axiom gällande parallella linjer har genom historien varit omdiskuterat och väckt nyfikenhet.

Genom att byta ut parallellaxiomet skapade man på 1800-talet nya geometriska system med andra regler. Ett av dessa visade sig lite oväntat bilda ramen för Einsteins relativitetsteori i början av 1900-talet.

Logikens gränser

Euklides metod, med några få axiom och en handfull logiska regler som alla satser kan härledas från, är tilltalande enkel. Metoden har i årtusenden varit en modell för matematiker inom olika områden.

Kan all matematik härledas från en samling axiom?

Svaret kom som en chock när den 25-årige österrikiske mate matikern Kurt Gödel 1931 visade att svaret är nej. Han visade att varje axiomsystem är ofullständigt, dvs innehåller påståenden vars sanningshalt inte går att avgöra inom systemet. För det krävs en mänsklig hjärna som kan gå utanför systemet och välja nya

utgångspunkter. Kurt gödel (1906–1978) var en av

1900-talets stora matematiker.

Den första svenska översättningen av elementa gavs ut 1744.

Från Euklides till Gödel

1 Om vi ändrar på förutsättningarna så förändras också satserna. Gör följande tankeexperiment:

Gå från en punkt på ekvatorn rakt norrut till

går rakt ner till ekvatorn och sedan rakt tillbaka till den punkt du startade.

a) Vilken figur beskriver din vandring?

1.4 TrigOnOmeTriSkA ekVATiOner 33

1.4 Trigonometriska ekvationer

grundekvationer

Med hjälp av enhetscirkeln har vi tidigare visat att de trigonometriska funktionerna kan ha samma värde för flera olika vinklar. Det måste vi ta hänsyn till när vi löser trigonometriska ekvationer.

Exempel 1 Vi undersöker ekvationen sin x = 0,721

x (1, 0) x₁

y = 0,721 x₂

Q P

O I enhetscirkeln finner vi i intervallet

0° ≤ x < 360° två lösningar, x₁ och x₂. Med hjälp av räknare får vi x₁. x₁ = sin^–1 (0,721) ≈ 46,1°

Sambandet sin (180° – v) = sin v ger oss sedan x₂.

x₂ ≈ 180° – 46,1° = 133,9°

För båda radierna OP och OQ gäller att de hamnar i samma läge om vi vrider dem ett godtyckligt antal hela varv i positiv eller negativ riktning.

Har vi inga begränsningar för vinklarnas storlek får ekvationen därför ett obegränsat antal lösningar.

Samtliga lösningar till ekvationen sin x = 0,721 kan skrivas:

x ≈ 46,1° + n ∙ 360° eller x ≈ 133,9° + n ∙ 360°, n är ett heltal.

Exempel 2 Vi undersöker ekvationen cos x = 0,659

x y

(1, 0) 48,8°

x = 0,659

–48,8°

Räknaren ger x₁= cos ^–1 (0,659) ≈ 48,8°

Sambandet cos (–v) = cos v ger x₂ ≈ – 48,8°

De två lösningarna är markerade i enhetscirkeln intill.

Lägger vi till eller drar ifrån ett godtyckligt antal hela varv får vi alla lösningar:

x ≈ 48,8° + n ∙ 360° eller x ≈ – 48,8° + n ∙ 360°

Kortare skrivsätt: x ≈ ± 48,8° + n ∙ 360°

Grundekvation för sinus

Allmänt gäller: Exempel

sin x = k, –1 ≤ k ≤ 1 sin x = 0,721

Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v ≈ 46,1°.

Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är x = v + n · 360° x ≈ 46,1° + n · 360°

eller eller

x = 180° – v + n · 360°, n heltal x ≈ 133,9° + n · 360°, n heltal

Grundekvation för cosinus

Allmänt gäller: Exempel

cos x = k, –1 ≤ k ≤ 1 cos x = 0,659

Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v ≈ 48,8°

Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är x = ± v + n · 360° x ≈ ± 48,8° + n · 360°

n heltal n heltal

Ekvationen tan x = k behandlas i nästa kapitel.

När vi löser trigonometriska ekvationer är det naturligt att använda räknare och t ex sin ^–1 k för att hitta en vinkel.

De flesta räknare har också olika solve-funktioner, och kraftfulla symbolhanterande räknare kan t o m lösa trigonometriska

ekvationer fullständigt.

Använd gärna sådana funktioner för att kontrollera svaret

eller komma vidare om du kör fast, men träna på lösningsmetoderna och försök förstå dem, så att du kan lösa ekvationerna utan hjälpmedel.

1.4 TrigOnOmeTriSkA ekVATiOner 35 1401

1402

Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer a) sin x = 0,293 b) sin x = – 0,331

a) sin x = 0,293 Vi får två fall.

Fall 1: Räknaren ger x = sin ^–1 (0,293) = 17,037...° ≈ 17,0°

x ≈ 17,0° + n ∙ 360°

Fall 2: x ≈ 180° – 17,0° + n ∙ 360°

x ≈ 163,0° + n ∙ 360°

Svar: x ≈ 17,0° + n ∙ 360° eller x ≈ 163,0° + n ∙ 360°

b) sin x = – 0,331

Fall 1: x = sin ^–1 (– 0,331) ≈ –19,3°

x ≈ –19,3° + n ∙ 360°

Fall 2: x ≈ 180° – (–19,3°) + n ∙ 360°

x ≈ 199,3° + n ∙ 360°

Svar: x ≈ –19,3° + n ∙ 360° eller x ≈ 199,3° + n ∙ 360°

x y

(1, 0) –19,3°

199,3°

340,7°

Om vi i det första fallet vill svara med en positiv vinkel så kan vi lägga till en period.

x ≈ – 19,3° + 360° = 340,7°

Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer a) cos x = 0,369 b) cos x = – 0,369

a) cos x = 0,369 b) cos x = – 0,369

x = cos ^–1(0,369) ≈ 68,3° x = cos ^–1(– 0,369) ≈ 111,7°

Vi får två fall.

x = ± 68,3° + n ∙ 360° x = ± 111,7° + n ∙ 360°

Svar: a) x = ± 68,3° + n ∙ 360° b) x = ± 111,7° + n ∙ 360°

1403

1404

Undersök om ekvationen sin x = 0,42 har några lösningar i intervallet 720° < x < 900°. Arbeta med hela grader.

sin x = 0,42 ger

x ≈ 25° + n ∙ 360° eller x ≈ 155° + n ∙ 360°

För att hitta eventuella lösningar i intervallet 720° < x < 900°

kan vi välja olika värden på n bland heltalen: . . . –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . . Här prövar vi med n = 1, 2, 3, . . .

x ≈ 25° + n ∙ 360° ger då vinklarna 385°, 745°, 1 105°, . . . x ≈ 155° + n ∙ 360° ger då vinklarna 515°, 875°, 1 235°, . . .

Svar: Inom intervallet 720° < x < 900° finns lösningarna 745° och 875°.

Lös ekvationerna och svara med en decimal.

Använd räknarens samtliga decimaler eller minst en extra jämfört med noggrannheten i svaret.

a) sin x

2 = – 0,520 b) cos (3x – 41,2°) = 0,316 a) sin x

2 = – 0,520

Fall 1 Fall 2

x

2 ≈ –31,33° + n · 360°

x ≈ – 62,66° + n ∙ 720°

x

2 ≈ 211,33° + n · 360°

x ≈ 422,66° + n ∙ 720°

Båda leden (även perioden) multipliceras med 2.

Svar: x ≈ –62,7° + n ∙ 720° eller x ≈ 422,7° + n ∙ 720°

b) cos (3x – 41,2°) = 0,316 ger 3x – 41,2° ≈ ± 71,58° + n ∙ 360°

Fall 1 Fall 2

3x – 41,2° ≈ 71,58° + n ∙ 360°

3x ≈ 112,78° + n ∙ 360°

x ≈ 37,6° + n ∙ 120°

3x – 41,2° ≈ –71,58° + n ∙ 360°

3x ≈ –30,38° + n ∙ 360°

x ≈ –10,1° + n ∙ 120°

Svar: x ≈ 37,6° + n ∙ 120° eller x ≈ –10,1° + n ∙ 120°

Båda leden (även perioden) divideras med 3.

1.4 TrigOnOmeTriSkA ekVATiOner 37 1405

41°

–41°

139°

1

1 0,66

0,75

Använd figuren och ange två olika vinklar som ger att a) sin x = 0,66 b) cos x = 0,75 Ange samtliga lösningar till ekvationen c) sin x = 0,66 d) cos x = 0,75 Ange med en decimal samtliga lösningar till ekvationen.

1406 a) sin x = 0,789 b) sin x = – 0,342 1407 a) cos x = 0,439 b) cos x = – 0,780 1408 a) cos x = 0,351 c) 2 sin x = – 0,44

b) sin x = 0,351 d) 0,5 cos x = – 0,32 1409 a) cos 3x = 0,40 b) sin 2x = – 0,60 1410 a) cos x

3 = – 0,28 b) sin x 2 = –1 1411 Motivera med hjälp av enhetscirkeln

varför ekvationerna sin x = 1,4 och sin x = –2 saknar lösningar.

1412 Jonna löser ekvationen cos 2 x = 0,5 och glömmer två saker. Vilka?

cos 2x = 0,5 2x = 60° + n ∙ 360°

x = 30° + n ∙ 360°

1413 Ekvationen cos x = 1 har lösningen x = 0° + n ∙ 360°. Ange alla lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 1 000°.

1414 Lös ekvationen fullständigt.

Svara med en decimal.

a) sin (x – 51,0°) = 0,700 b) cos (x + 51,0°) = 0,700 c) sin (5x – 71,3°) = – 0,370 d) cos (0,5x + 33,3°) = 0,740

Undersök om ekvationen har någon lösning i det angivna intervallet. Arbeta med hela grader.

1415 a) cos x = 0,80 270° < x < 360°

b) sin x = – 0,70 0° < x < 270°

1416 a) sin x = 0,85 600° < x < 720°

b) 1 + cos x = 0,28 – 600° < x < – 480°

1417 Ange en ekvation som har a) en lösning x ≈ 760°

b) samtliga lösningar x = ±30° + n ∙ 180°.

1418 Har sin 4 x = 0,5 fyra gånger så många lösningar som sin x = 0,5 i intervallet 0° ≤ x < 360° ? Motivera.

1419 Bestäm ekvationens lösning i det angivna intervallet. Svara i hela grader.

a) sin 2x = 0,61 450° ≤ x ≤ 900°

b) cos (4x + 11°) = 0,42 –90° ≤ x ≤ 90°

c) 14 – 2 cos 2x = 12,38 360° ≤ x ≤ 720°

1420 Undersök för vilka vinklar x som a) sin 2 x = sin 70°

b) sin x = sin 3x c) cos 2 x = cos (x – 30°)