LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS

V˚ARTERMINEN 2014

ERIK DARP ¨O

1. Utsagor, implikation och ekvivalens

En utsaga ¨ar en p˚ast˚aende, formulerat med matematiska formler eller vanlig text, som kan vara sant eller falskt, eventuellt beroende p˚a n˚agon ok¨and variabel. N˚agra exempel ¨ar:

a) 2 < 3;

b) 2 > 3;

c) 4x > 3;

d) jorden ¨ar rund;

e) det ¨ar m˚andag idag.

Nedanst˚aende exempel ¨ar inte utsagor:

f) 2;

g) x;

h) jorden;

i) m˚andag.

Observera skillnaden mellan de tv˚a typerna: Exemplen (a)–(e) ¨ar p˚ast˚aenden om n˚agonting, (f)–(i) ¨ar enbart namn p˚a saker eller f¨oreteelser. Emedan de f¨orra ¨ar antingen sanna eller falska, har de senare inget eget sanningsv¨arde.

Det som h¨ander n¨ar man l¨oser en ekvation ¨ar att man har en utsaga (ofta om ett tal x) som man steg f¨or steg omformulerar till “enklare” utsagor, s˚a att man till sist kan l¨asa ut vad v¨ardet av x m˚aste vara f¨or att utsagan skall vara sann. Till exempel:

x 2 +x

3 = 10 3x

6 +2x 6 = 10 5x

6 = 10 5x = 60 x = 12

I varje steg ers¨atter man den ovanst˚aende utsagan med en annan, som ¨ar sann om och endast om den ovanst˚aende ¨ar det. Exempelvis ¨ar den f¨orsta och den andra raden sanna f¨or samma v¨arden p˚a x, ty x/2 = 3x/6 och x/3 = 2x/6, s˚a v¨ansterleden

x 2 +x

3 och 3x

6 +2x

1 6

2 ERIK DARP ¨O

i de b˚ada utsagorna ¨ar lika med varandra. Likaledes g¨aller att exempelvis utsagorna 5x

6 = 10 och 5x = 60

¨ar sanna precis samtidigt, eftersom den ena ekvationen kan f˚as fr˚an den andra genom att multiplicera respektive dividera b˚ada led i den andra med talet 6.

Att tv˚a utsagor (om exempelvis variabeln x) ¨ar sanna precis samtidigt uttrycks i matema- tiken ofta med en s˚a kallad ekvivalenspil : “⇔”. L¨osningen av ekvationen ovan skulle allts˚a

¨

aven kunna skrivas som:

x 2 +x

3 = 10 ⇔ 3x

6 +2x

6 = 10 ⇔ 5x

6 = 10 ⇔ 5x = 60 ⇔ x = 12 . I exemplet ovan visar kalkylen att likheten ^x₂+^x₃ = 10 ¨ar uppfylld om och endast om x = 12.

Det ¨ar emellertid inte alltid som det typen av omskrivningar ¨ar de mest praktiska.

Vissa typer av utr¨akningar (bland annat l¨osningar av rotekvationer) kan ge upphov till s˚a kallade falska r¨otter. Betrakta nedanst˚aende ekvationsl¨osning:

x²− 4 x − 2 = 0 (1)

x²− 4 = 0 x² = 4

x = ±2

Eftersom v¨ansterledet den ursprungliga ekvationen inte ¨ar definierat f¨or x = 2, ¨ar detta v¨arde inte en l¨osning, trots att v˚ar kakyl verkar indikera just det. F¨orklaringen ligger i det f¨orsta steget i utr¨akningen, d¨ar ekvationen ^x_x−2²⁻⁴ = 0 ers¨atts med x²− 4 = 0 . F¨or att den f¨orsta likheten skall kunna vara sann, m˚aste den senare h˚alla (ty en kvot a/b ¨ar lika med noll endast om t¨aljaren a ¨ar lika med noll). Dock kan x²− 4 = 0 vara sant utan att den f¨orsta ekvationen

¨ar det; n¨amligen om x = 2: Det ¨ar klart att 2² − 4 = 0, medan uttrycket (x² − 4)/(x − 2)

¨ar odefinierat (och d¨armed i synnerhet inte lika med noll) f¨or x = 2. Ekvationerna ^x_x−2²⁻⁴ = 0 och x²− 4 = 0 ¨ar allts˚a inte ekvivalenta, d¨aremot g¨aller att om ^x_x−2²⁻⁴ = 0 ¨ar sann s˚a m˚aste

¨aven x²− 4 = 0 vara det. Detta f¨orh˚allande mellan tv˚a utsagor kallas inom matematiken f¨or implikation, och indikeras med symbolen “⇒”. V˚art sista exempel skulle allts˚a kunna skrivas som:

x²− 4

x − 2 = 0 ⇒ x²− 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2 .

Slutsatsen ¨ar att om x ¨ar en l¨osning till ekvation (1) s˚a m˚aste x vara lika med 2 eller −2, d¨aremot ¨ar det inte s¨akert att dessa tv˚a v¨arden verkligen ¨ar l¨osningar till ekvationen. F¨or att avg¨ora detta m˚aste vi s¨atta in dem i den ursprungliga ekvationen och testa, varvid vi ser att endast x = −2 ¨ar en l¨osning.

Sammafattningsvis anv¨ands allts˚a symbolerna “⇔” och “⇒” mellan utsagor, till skilland fr˚an exempelvis “=” och “>”, som s¨atts mellan termer som en del av en utsaga. L˚at p och q vara utsagor (som kan bero p˚a en eller flera variabler). D˚a skriver man

p ⇔ q ifall p och q ¨ar sanna precis samtidigt;

p ⇒ q ifall p ¨ar sann endast om q ¨ar sann.

Analogt skriver man ibland

p ⇐ q ifall p ¨ar sann om q ¨ar sann

(det vill s¨aga, q ¨ar sann endast om p ¨ar sann).

2. Funktioner

L˚at A och B vara m¨angder. En funktion f : A → B fr˚an A till B ¨ar en regel, som till varje element a ∈ A ordnar ett element f(a) ∈ B.

Notationen a 7→ b betyder att bilden a av under en given funktion ¨ar b. De b˚ada uttrycken f : A → B, f(a) = b

f : A → B, a 7→ b betyder allts˚a samma sak.

• M¨angden A kallas f:s definitionsm¨angd (domain). Ibland skriver man D^f f¨or att beteckna definitionsm¨angden av f .

• B ¨ar m˚alm¨angden (codomain) till f .

• V¨ardem¨angden (image) till f ¨ar V^f = {f(a) | a ∈ A} ⊂ B (skrivs ibland ocks˚a f (A) eller im(f )).

• Elementet f(a) ∈ B kallas f¨or bilden av a ∈ A under f.

• M¨angden f⁻¹(b) = {a ∈ A | f(a) = b} ⊂ A ¨ar urbilden (preimage) av elementet b ∈ B.

I m˚anga sammanhang anges funktioner av reella variabler enbart som formler, utan explicit angivelse av definition- och m˚alm¨angd. I dessa fall ¨ar det underf¨orst˚att att definitionsm¨angden

¨ar den st¨orsta m¨angd f¨or vilken funktionsuttrycket ¨ar definierat. N¨ar man till exempel st¨oter p˚a ett uttryck som

f (x) = x x + 1

skall man tolka det som att definitionsm¨angden ¨ar Df = {x ∈ R | x 6= −1} (eftersom funktionsuttrycket ¨ar inte definierat f¨or x = 1). V¨ardem¨angden best˚ar av alla tal y som kan skrivas som y = _x+1^x f¨or n˚agot x ∈ D^f. L¨oser vi ut x ur denna ekvation f˚ar vi:

y(x + 1) = x yx + y = x

y = x − yx y = (1 − y)x y

1 − y = x

Det sista uttrycket, x = y/(1 − y), ¨ar definierat och ing˚ar i Df om och endast om y 6= 1. I s˚a fall har vi att

f

 y 1 − y



=

y 1−y y

1−y+ 1 =

y 1−y y+(1−y)

1−y

= y

1 − y ·1 − y 1 = y

1 = y ,

det vill s¨aga, y ing˚ar i v¨ardem¨angden om y 6= 1. Om ist¨allet y = 1 s˚a implicerar likheten y = x/(x + 1) att x + 1 = x, vilket inte ¨ar uppfyllt f¨or n˚agot x, och talet 1 ligger d¨arf¨or inte i v¨ardem¨angden. Vi har allts˚a visat att Vf = {y ∈ R | y 6= 1}.

4 ERIK DARP ¨O

3. Blandade ¨ovningar

(1) S¨att in n˚agon av f¨oljande symboler i uttrycket, s˚a att det bildar en sann utsaga:

⇒ , ⇐ , ⇔ , = , 6 , , >

(a) 2 _... − 1,

(b) x > 2 ... x > −1, (c) x² = y ... x = √y,

(d) ^(x−2)(x+3)_x2

−4 = 0 _... x = −3, (e) x + 1 ... x − 1,

(f) z ∈ Q ... {z ∈ Q | x 6 2}.

(2) Ange i var och ett av nedanst˚aende fall vilken av de tre symbolerna ⇒, ⇐, ⇔ som passar in.

(a) x = 5 _... (x − 5)(x − 6) = 0 (b) x < 7 ... x < 6

(c) x² = 16 ... x = 4

(d) |x| < 2 ... x < 2 (e) |x| > 3 ^... x > 3

(f) (x−3)(x−11) ≤ 0 ^... |x−7| ≤ 4 (3) L¨os ekvationen genom att successsivt skriva om den som enklare, ekvivalenta uttryck.

[Mellan alla steg i l¨osningen skall allts˚a en ekvivalenspil, “⇔”, kunna skrivas.]

(a) ^x_x+2²⁻⁴ = 0 (b) −3x − 8 =√

12x + 29

(4) Best¨am definitions- och v¨ardem¨angder till f¨oljande funktionsuttryck:

(a) f (x) = ^x+2_x−2, (b) g(x) =√

x + 7, (c) h(x) = _x¹+√

x + 2,

(d) u(x) = (√

x om x > 0,

√−x + 1 om x < 0.

(5) Funktionerna f och g ¨ar relaterade genom sambandet f (x) = g(3x). Antag att definitions- och v¨ardem¨angderna f¨or funktionen f ¨ar

Df = {x : 0 ≤ x ≤ 4} respektive Vf = {y : 2 ≤ y ≤ 5} . Ange och f¨orklara definitions- och v¨ardem¨angderna f¨or g.

M¨alardalens H¨ogskola, UKK, Box 883, 721 23 V¨aster˚as

Hela kompendiet finns på kurshemsidan som extraläsning för den som är intresserad.

Några begrepp ur mängdläran

Mängdlära är en avancerad matematisk disciplin, införd av den tyske matematikern Cantor i slutet av 1800-talet. I denna teori används definitioner och beteckningar som är användbara även i mindre avancerade sammanhang. Några av dessa skall beskrivas i detta avsnitt.

I matematiken arbetar man med objekt av olika slag, t ex punkter, tal, räta linjer och polynom. Man har ofta anledning att intressera sig för en samling av objekt och betrakta denna samling som en enhet. En sådan samling av objekt kallas en mängd och objekten som samlingen består av kallas mängdens element.

Om man vill fortsätta ett resonemang kring en viss mängd är det bekvämt att ge den en beteckning.

Exempel 1

M={efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 1998-01-01 som fyller år i januari}

Detta läses ”mängden av efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 1998- 01-01 som fyller år i januari”. Klamrarna

{ }

kallas i detta sammanhang mängdklamrar. Elementen i mängden är efternamn. Nordin är ett element i mängden eftersom det 1998-01-01 fanns en person mantalsskriven i Västerås med födelsedag i januari som hette Clas Gustaf Nordin. Förmodligen är Andersson ett element i M.

Övning 2

a) Motivera förmodan att Andersson är ett element i M.

b) Kan du genom att bara utnyttja kunskap om dig själv avgöra om ditt eget efternamn är ett element i mängden M? Motivera!

c) Ange ett tal, så litet som möjligt, som är sådant att antalet element i M säkert är mindre än detta tal. Motivera ditt val.

Det finns ett bestämt ändligt antal element i M. Man säger att M är ändlig. Om en mängd ej är ändlig kallas den oändlig. Lägg märke till hur vi här definierar begreppet ändlig mängd och sedan använder detta begrepp för att definiera vad som menas med en oändlig mängd.

Övning 3

a) Ge ett exempel på en ändlig mängd.

b) Ge ett exempel på en oändlig mängd.

Talmängder

Nedan visas hur man kan beskriva den oändliga mängden N av naturliga tal.

N={naturliga tal} ={0, 1, 2, 3, ...}

Denna rad läses ”N är lika med mängden av naturliga tal är lika med mängden av talen 0,1,2,3 osv.”

Elementen i N består av alla naturliga tal 0, 1, 2, 3, ... . Efter trean finns ett kommatecken följt av fyra prickar. De tre första prickarna efter kommatecknet står för en konvention som innebär att uppräkningen skall fortsätta på det sätt som den påbörjade uppräkningen antyder. Den sista punkten, som föregås av ett mellanslag, är den vanliga punkt som man använder då man avslutar en mening.

En viktig symbol är ”tillhörtecknet” och ”tillhörintetecknet” . Man skriver

som läses ”7 tillhör N” med innebörden att 7 är ett element i N. Enklare säger man förstås att 7 är ett naturligt tal. Det är enkelt att inse hur man läser och vad detta innebär.

N är en standardbeteckning i all matematisk litteratur över hela världen på mängden av naturliga tal, eventuellt med undantag av äldre litteratur där talet 0 kan vara undantaget från mängden.

Resten av detta avsnitt definierar andra viktiga talmängder och anger deras standardbeteckningar. Beteckningarna är internationella. Det är en bra idé att lära sig dem och vad de står för så snart som möjligt.

Z={hela tal} ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}

Se ovan hur man läser beteckningen för naturliga tal och fundera ut hur man kan läsa ovanstående rad.

Q ={rationella tal}={tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och där b≠0}

Övning 4

a) Visa med hjälp av definitionen att 3,14 är ett rationellt tal.

b) Visa med hjälp av definitionen att 0∈Q.

c) Visa med hjälp av definitionen att –10 är ett rationellt tal.

d) Vilka av de hela talen är rationella?

e) Ge exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z.

f) Ge exempel på ett x som är sådant att ^{x∈Z men x∉N}.

Naturliga tal, möjligtvis med undantag av talet 0, är enkla att koppla till vardagslivet. De används när man räknar antal. De flesta människor känner inte heller något hinder att använda negativa tal, åtminstone inte i Sverige där temperaturer under noll grader betecknas med hjälp av ett minustecken. Rationella tal är inte heller svåra att koppla till vardagslivet. De flesta människor är medvetna av innebörden då man säger att någon skall ärva 2/7, ”två sjundedelar”, av den totala kvarlåtenskapen. Möjligtvis kan det ålderdomliga ordet kvarlåtenskap ställa till problem!

lättfattligt sätt kan ange vilket som helst rationellt tal. En fantastisk uppfinning!

Eftersom Q omfattar N och N är oändlig så är även Q oändlig.

Att det finns tal som inte är rationella insåg redan den grupp av grekiska matematiker som förknippas med Pythagoras och verkade i Grekland mellan 585 f kr och 400 f kr. Från denna tid finns ett bevis för att längden av diagonalen i en kvadrat där sidlängden är 1 enhet inte kan uttryckas på formen a/b där a och b är heltal och b inte lika med noll. Samma bevis används fortfarande när man bevisar att ₂ inte är rationellt.

Tal som inte är rationella kallas irrationella. Ir är en förled som betyder icke. Mängden av irrationella tal är också oändlig och man kan i en viss, här inte definierad mening, säga att de irrationella talen är fler än de rationella. Observera att ordet ”fler” här inte kan ha den vanliga innebörden eftersom de båda talmängderna bägge är oändliga.

För att namnge irrationella tal räcker det inte med de 12 symbolerna ovan.

Irrationella tal som man ofta refererar får egna beteckningar. π och e är två viktiga exempel på sådana tal.

Den talmängd som består av alla rationella och alla irrationella tal tillsammans kallas mängden av reella tal och betecknas R. Det är denna talmängd som du är van att illustrera på tallinjen.

Talmängden R kan utvidgas till en ”större” talmängd, C={komplexa tal, mängden av alla komplexa tal. Att talmängden är större innebär att den förutom alla reella tal också innehåller andra slags tal. Dessa andra tal kallas icke-reella. Ett av talen i denna talmängd betecknas i och uppfyller i² =−1. C illustreras i det komplexa talplanet.

Sammanfattning av viktiga talmängder N = {naturliga tal} = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {hela tal} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}

Q = {rationella tal} =

= {tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och b≠0}

R = {reella tal}

C ={ komplexa tal}

Övning 5

a) Ange minst tre reella tal som inte är rationella.

b) Ange minst ett rationellt tal som inte är ett heltal.

c) Ange minst ett heltal som inte är ett naturligt tal.

Övning 6

Med ett decimaltal avses reellt tal på formen a₁a₂...a_n,b₁b₂...b_m (m stycken decimaler) där alla talen a₁,a₂,...,a_n,b₁,b₂,...,b_mär naturliga tal och 0 och 0

1 ≠ bm ≠

a .

a) Visa med hjälp av definitionen att varje decimaltal är ett rationellt tal.

b) Ge exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal.

Illustration av mängder

När man skall illustrera samband och relationer mellan mängder använder man ofta plana rundade figurer.

Figuren illustrerar en mängd som betecknats med A. Man tänker sig att elementen i A ligger innanför den runda kurvan.

Nedanstående figur illustrerar att varje rationellt tal är reellt och att de irrationella talen består av de reella tal som inte är rationella. De irrationella talen skall tänkas ligga i den del som är innanför den innersta kurvan och utanför den yttersta kurvan.

Illustration av reella intervall

Nedan finns en vanlig variant av standardbeteckningar för de mängder av reella tal som kallas intervall. I figurerna bredvid visas en vanlig variant på hur de illustreras.

Eftersom dessa standardbeteckningar kommer att användas flitigt i flera kurser är det bra att lära sig dem utantill så snart som möjligt.

[ ]

^a,^b =

{

^x:^a≤x≤b

}

[

^a,^b

) {

= ^x:^a≤^x<^b

}

(

^a,b

]

⁼

{

^x:a<x≤b

}

( ) {

^{a,b = x:a<x<b}

}

[

^a,∞

)

^={x:x≥a}

(

^a,∞

) {

= ^x:^x>^a

}

(

−∞,^b

) {

= ^x:^x<^b

} (

^−∞,b

]

⁼

{

^x:x≤b

}

Anmärkning

I beteckningarna ovan så läser man tecknet : ”sådana att”. En annan vanlig beteckning för frasen ”sådana att” är (ett lodrät streck). Den första beteckningen kan fullständigt läsas ”mängden av x sådana att a är mindre än eller lika med x som är mindre än eller lika med b.

Övning 7

Illustrera intervallen a) (3,4)

b) [-1,0) c) (0,3]

d) (- ∞ ,-1) e) [2,5]

Övning 10

a) Vilka tal ingår i talmängden

{

x∈R:x=²k ^där k∈^Zoch k>⁰

}

? Hur utläser man beteckningen?

b) Beskriv med mängdlärans symboler mängden av alla udda tal.