1 , y ). och i varje D väljer en godtycklig punkt (x DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

1

DUBBELINTEGRALER.

Rektangulära (xy) koordinater

Definition. Låt z=f(x,y) vara en reell funktion av två variabler x och y. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) D i ändligt antal mätbara delmängder Di och i varje Di väljer en godtycklig punkt (xi, yi).

Dubbelintegral definieras med hjälp av gränsvärdet

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

≝_max lim

𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐷𝐷_𝑖𝑖)→0� 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑑𝑑, 𝑦𝑦𝑑𝑑)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷𝑑𝑑)

𝑑𝑑

(om gränsvärdet existerar)

• Om funktionen 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≥ 0 (alltså endast för en icke-negativ funktion) då är

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑲𝑲)

där 𝐾𝐾 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧): (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)} d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden D och ytan 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ( se bilden ovan).

Man använder dubbelintegralens definition för att härleda formler inom matematik, fysik och tekniska tillämpningar, men själva beräkning utför man oftast genom upprepad (itererad, successiv) integration.

Beräkning av dubbelintegraler genom upprepad (itererad) integration ---

Om integrationsområde D är definierad med

𝐴𝐴 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑢𝑢1(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑢𝑢2(𝑥𝑥), d. v. s x mellan två tal, y mellan två funktioner (av x),

beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration

2

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑢𝑢2(𝑥𝑥)

𝑢𝑢1(𝑥𝑥) 𝑏𝑏

𝑑𝑑

Anmärkning:

∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫_𝑑𝑑^𝑏𝑏 _{𝑢𝑢1(𝑥𝑥)}^{𝑢𝑢2(𝑥𝑥)}𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 är en kortare beteckning för ∫ �∫_𝑑𝑑^𝑏𝑏 _{𝑢𝑢1(𝑥𝑥)}^{𝑢𝑢2(𝑥𝑥)}𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦� 𝑑𝑑𝑥𝑥 ,

alltså vi integrerar på y först, substituerar y-gränser, och därefter integrerar vi på x.

--- Om integrationsområde D är definierad med

𝑜𝑜 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑, 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣1(𝑦𝑦) ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑣𝑣2(𝑦𝑦), d. v. s y mellan två tal, x mellan två funktioner (av y),

beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration

∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷 = ∫ 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∫_𝑐𝑐^𝑑𝑑 _{𝑣𝑣1(𝑦𝑦)}^{𝑣𝑣2(𝑦𝑦)}𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥, alltså , i detta fall, först på x och därefter på y .

====================================================================

Exempel 1.

Beräkna dubbelintegral

x x y dxdy

D

) (

^{2 2}

∫∫ ⁺

då D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ 2 Lösning:

dxdy y x x

D

) (

^{2 2}

∫∫ ⁺

⁼

=

∫ ∫

¹

+

0 2 0

2

2

)

( x x y dy dx

[ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar x tillfälligt som en konstant.]

3

y dx

x xy

0 1

0

2 3

∫ ^ _ ^{ +} 3 ^ _ ^

[Vi substituerar y- gränserna 2 och 0]

=

∫

¹

^ _ ^{ + } _ ^

0

2

3

2 x 8 x dx

[Till slut integrerar vi med avseende på x.]

9 17 9 1 8 9

8

¹

0

2 3

 = + =



 



 x + x

===========================================================

Exempel 2.

Beräkna dubbelintegral

x y dxdy

D

) 4

∫∫ ( ⁺

då D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ x + 1

.

Lösning:

∫∫ ⁺

D

dxdy y x 4 )

(

=

=

∫ ∫

^{1 +}

+

0 1 0

) 4

x

(

dy y x dx

[ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar x tillfälligt som en konstant.]

[ xy y ] dx

x 1 0 1

0

2

2 +

∫ ⁺

Vi substituerar gränserna

=

_∫

¹

[ ^{+ + +} ]

0

)

2

1 ( 2 ) 1

( x x dx

x

, förenklar

[ ]

∫

¹

^{+ +}

0

2

5 2

3 x x dx

, och till slut integrerar med avseende på x

2 2 11 2 1 5 2 2

5

¹

0

3 2

 = + + =



 



 x + x + x

.

======================================================

Uppgift 1.

Beräkna dubbelintegral

f x y dxdy

∫∫

D

^{( , )}

^om

a)

f ( x , y ) = x + 2 y

och D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ 2

4

b)

f ( x , y ) = x + y

²

+ 2

och D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ x

c)

f ( x , y ) = 2 x + 2 y

och D definieras genom

1 ≤ x ≤ 2

,

− x ≤ y ≤ x

d)

^{f ( x , y ) =} e

^x+y och D definieras genom

2 ≤ x ≤ 3

,

0 ≤ y ≤ 1

e)

^{f ( x , y ) =} e

^x+y och D är triangeln med hörnen i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1) f)

f ( x , y ) = sin( 2 x + 2 y )

och D definieras genom

0 π 2

≤

≤ x

,

0 π 2

≤

≤ y

Tips: Eftersom variabeln x ligger mellan två konstanter integrerar vi först på y och därefter på x, d.v.s. ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫_𝑑𝑑^𝑏𝑏 _{𝑢𝑢1(𝑥𝑥)}^{𝑢𝑢2(𝑥𝑥)}𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 .

Svar:

a) 5 b) 17/12 c) 28/3 d)

e

⁴

− 2 e

³

+ e

² e) 1 f) 0

Uppgift 2.

Beräkna dubbelintegral

f x y dxdy

∫∫

D

^{( , )}

^om

a)

f ( x , y ) = x + 3 y

och D definieras genom

0 ≤ x ≤ y

,

0 ≤ y ≤ 1

b)

f ( x , y ) = x + y

² och D definieras genom

0 ≤ x ≤ y

,

0 ≤ y ≤ 2

c)

^{f ( x , y ) =} e

^x+y och D definieras genom

0 ≤ x ≤ y + 2

,

0 ≤ y ≤ 1

Tips: Eftersom variabeln y ligger mellan två konstanter integrerar vi först på x och därefter på y,

alltså ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷 = ∫ 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∫_𝑐𝑐^𝑑𝑑 _{𝑣𝑣1(𝑦𝑦)}^{𝑣𝑣2(𝑦𝑦)}𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥,

Svar:

a) 7/6 b) 16/3 c)

1 2

2

2

4

− e − e +

e

5

Uppgift 3. (TEN aug. 2019)

Beräkna dubbelintegral x y dxdy

∫∫

D

^{sin( ) ,}

då D definieras genom 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ π .

Lösning:

[ ] ∫

∫

∫ ∫

∫∫ ^{= = − =}

³

^{− −}

0 3

0 3

0 0

] 0 cos 0 [cos

cos )

sin(

)

sin( y dxdy dx x y dxdy x y dx x dx

x

D

π π

π

[ ] 9

0

2

²

3

3 0

=

=

= ∫ ^{xdx x .}

Svar: 9.

Uppgift 4. (TEN Juni 2019)

Beräkna dubbelintegral

x y dxdy

D

) 1 4 2

∫∫ ( ^{+ +}

^,

då D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ 2

.

Lösning:

[ ] 12

0 10 1 2

) 10 4 2 (

4 2 )

1 4 2 ( )

1 4 2 (

2

1 0 2 0 1

0 2 2

0 1

0

= +

=

+

 =



 



 + +

= + +

= +

+ ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

x x

dx x

dx y y

xy dy

y x dx dxdy y

x

D

Svar: 12

6 Uppgift 5. (TEN feb 2019)

Beräkna dubbelintegral

x y dxdy

D

) 3 2

∫∫ ( ⁻

^,

då D definieras genom

0 ≤ x ≤ 1

,

0 ≤ y ≤ 2 x + 1

. Lösning:

y dx xy dy

y x dx dxdy y x

x x D

1 2 0 1

0 1 2

2 0 1

0

( 2 3 ) 2 3 2

) 3 2 (

+ +

∫

∫

∫

∫∫ ^{− = − = } _ ^{ − } _ ^

6 25 2

2 3 2 3 2 )

4 3 2 (

1 0 3 2

1 0

2

 = −



 



 − − −

=

−

−

−

= ∫ ^{x x dx x x x}

Svar:

6

− 25

.