0 2 4 6 8 10 0
2 4 6 8 10
Tillämpad Matematik I Övning 4
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
Uppgifter
Typuppgifter i första hand
1. Bestäm a 44f x x b 44g x x c 44 f x g x x d 442 f x 3g x x e 44f2x x f 44sinΠg x x
4 2 2 4 x
3 2 1 1 2 3 4 f x
4 2 2 4 x
3 2 1 1 2 3 4 g x
2. Integrera a x3 x b x2 12 x c t t d x x e sin x x f cos x x g 1
t t t h x2x3 x i u2 4u u u
j 1
u2 1
u4 u k x2 12
x6 x
3. Integrera a 15x3 x b 010 1
x x c 15 1x x d 28 1
t3 t e 02 x x f 12s3 s 3 s g 0cx2 c2 x h 02s4 s3 2s2 2s 5 s i 0a y2 3 y j 02 x3 x k 11u 3u2 u
4.Integrera a sin 2x x b 23 x
x2 1 x
5. Integrera a x 2 x b Πx x c cosΠt t d sinu4 u e v
1
v2
mv v f sinΩt t g 0Πsin 2Πt t h 12 1u 1 u i 122 3x1 x j ab ua b u k uv x l 48 x m 12 x y2t t n 02Πcos2Θ Θ
6.Bestäm arean som innesluts mellan kurvorna f x x2och g x 3x2 2x då x 0, 2 .
0.5 1.0 1.5 2.0 x
2 4 6 8 y
7.Använd integral för att bestämma arean av triangeln med hörnen i 0, 0 , 5, 0 och 5, 3 .
5 x 3
y
8.Området under grafen y 1
x2för x 1, 4 delas i två lika stora delar av linjen x a. Sök a.
1 2 3 4 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 x2
a
9.För arean A x i figuren gäller för alla x 0 att A x arctan x2. Bestäm funktionen f för alla x 0.
x A x
y f x
10.Bestäm A x x4f t t, 4 x 4. Ange det analytiska uttrycket för A x i varje delintervall.
4 2 2 4 x
3 2 1 1 2 3 4 f x
11.Bestäm arean mellan graferna x y2 2 och y x.
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
x
y
y x x y2 2
12.Bestäm riktningskoefficienten för en rät linje l : y kx m som går genom 0, 1 så att området som innesluts av x–axeln, y–axeln, l och linjen 2y 3x 6 får arean 2.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x 0.0
0.5 1.0 1.5 2.0
y kx m,2 y 3x 6
13.Beräkna arbetet som krävs för att lyfta 1500 kg kol ur en 700 m djup gruva med en kabel som väger 3.5 kg m. Vid varje lyft kan man ta maximalt 800 kg kol i hisskorgen som väger 100 kg.
14.En modell för att beskriva volymen ved i ett träd gavs 2002 av Zhang, Borders och Bailey.
Om trädet är H högt så gäller för volymen upp till höjden h att V h k 0hH x3 2 x.
a Bestäm enheten på konstanten k så att modellen blir konsistent.
b Integrera fram ett slutet uttryck för V h .
c Bestäm volymen för hela trädet. Rita vedens utveckling med höjden
d Dela in höjden i tre lika långa delar och ange hur trädets volym fördelas över dessa.
15.Bestäm arean som innesluts mellan y sin x , y 1 cos x , 0 x Π2.
0.5 1.0 1.5 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y
16. Integrera a 05134 x y b 02014 x y x y c 03121 8xy x y d 13 212x2y3 x y 17. Bestäm 2x 3 y x y då är området som begränsas av olikheterna x 0, y 0 och x y 1.
18.Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som innesluts av x–axeln, linjerna x 0 och x 5 samt grafen till y 1 x , 0 x 5 roterar ett varv runt x–axeln.
0 2
4 2
0 2
2 0 2
19.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av x–axeln, linjerna x 1 och x 2 samt grafen till y 1x, 1 x 2 roterar ett varv kring y–axeln.
2 1 0 1 2 0.0
0.5 1.0
2 1 0 1 2
20.När det markerade området som begränsas av den räta linjen x–axeln, linjerna x a och x a 2 roterar ett varv runt x–axeln alstras en kropp. Sök a 0, 2 så att denna kropp får
volymenΠvolymenheter.
a a 2 4 x
1 y
21.När det markerade området i figuren roterar ett varv runt y–axeln alstras en kropp. Sök a så att denna kropp får volymen 30Πvolymenheter.
x a
a 2 y
6 y 36 x2
22.Bestäm med hjälp av integral volymen av en rak cirkulär cylinder med basradien R och höjden H. Genomför kalkylen både med små cylindrar och små lökringar
23.Bestäm med hjälp av integral volymen av en rak cirkulär kon med basradien R och höjden H. Genomför kalkylen både med små cylindrar och små lökringar
24.Bestäm med hjälp av integral volymen av ett klot med radien R. Genomför kalkylen både med små cylindrar och små lökringar Vilken integral blir enklast ?
25.En chokladpralin är formad som en stympad cirkulär kon med radierna R och 2R samt höjden 2R. Sök dess volym.
26.Bestäm med hjälp av integral längden av kurvan y 2x 1, x 0, 3 .
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 1
1 2 3 4 5 y
27.Bestäm med hjälp av integral arean av mantelytan hos en rak cirkulär kon med basradien R och höjden H.
28.Bestäm med hjälp av integral såväl area som omkrets för en cirkel med radien R. Genomför areakalkylen både med små lökringar och små rektanglar
29.Bestäm med hjälp av dubbelintegral och polära koordinater arean för en cirkel med radien R.
30.Vilket arbete krävs för att dra ut en fjäder201 m om man vet att kraften 400 N drar ut den1003 m ?
31.I en smal rak stång med längden L m är densiteten Ρkg m proportionell mot avståndet i kvadrat till stångens ena ändpunkt. Bestäm tyngdpunktens läge xGur
ekvationen mx xG m 0.
0 L x
32.I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρx kg m linjärt så att den ärΡ0vid ena ändpunkten och 2Ρ0
vid den andra. Bestäm tyngdpunktens läge xGom vi vet att denna bestäms av ekvationen m x xG m 0.
0 L x
Ρ0 2Ρ0 y
Ρx
33.En pappskiva i form av en rätvinklig triangel, med konstant ytdensitetΡ, är uppriggad enligt figur. Bestäm tyngdpunktens läge xG, yG, om vi vet att denna bestäms av ekvationen
mx xG m 0 och analogt i y riktningen.
a x b
y
34.Bestäm masströghetsmomentet mx2 m för en smal stång med längden L och massan m, med avseende på a en axel vinkelrät genom centrum,
b en axel vinkelrät genom ena änden.
0 L x
35.I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρx kg m linjärt så att den ökar frånΡ0vid ena ändpunkten till 2Ρ0vid den andra. Bestäm tröghetsmomentet mx2 m kring y–axeln samt kring en axel genom mittpunkten parallel med y–axeln.
0 L x
Ρ0 2Ρ0 y
Ρx
36.I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρx kg m parabelformat så att den är 2Ρ0vid ändpunkterna ochΡ0på mitten. Bestäm tröghetsmomentet mx2 m kring y–axeln samt kring en axel genom mittpunkten parallell med y–axeln.
Ρx
0 L x
Ρ0 2Ρ0 y
37.I en smal rak stång är densitetenΡx Ρ0 x L kg m.
Sök stångens längd L m om man vet att den väger M kg.
0 L x
Ρ0 y
Ρx
38.En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m2, där
y är djupet under vattenytan. Sök totala tryckkraften på luckan.
39.En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök tröghets–
momentet mr2 m då den roterar kring y–axeln.
a x
b y
40.På stranden sitter ett barn och bygger ett sandslott i form av en rak cirkulär kon av sand med densitetenΡkg m3. Vilket arbete har barnet uträttat då sista sandkornet placerats på toppen av konen om dess basradie då är R m och höjd H m ?Ledning :Att lyfta massan m höjden h kräver arbetet mgh. Betrakta sedan det uträttade arbetet som att lyfta många tunna cirkulära skivor på plats.
41.En rotationssymmetrisk tank y 9 x22, 0 y 8 som är helt fylld av en vätska med densitetenΡska tömmas med hjälp av en pump på taket. Vilket arbete kommer pumpen att uträtta ?
42.I en stad anser man att befolkningstäthetenΡr invånare per kvadratkilometer varierar enligtΡr 1000 r2, r 1, där r km är avståndet från centrum. Hur många personer bor det i staden som har mellan 1 och 5 km till centrum ?Ledning :Använd lökringar
43.Härled volymen13BH för en pyramid med kvadratisk basyta B a2och H den vinkelräta höjden mot denna.
x
y z
a a
H
44.Härled volymen13BH för en pyramid med triangulär basyta B och H den vinkelräta höjden mot denna.
x
y z
H
45.Från en ost formad som ett rätblock bortskäres med tråd en kil så att den kvarvarande ostbiten bildar en kropp där varje snitt vinkelrät mot z–axeln är en parallelltrapets;
urartad till en rektangel vid z 0 och en triangel vid z 2. Sök ostbitens volym.
x
y z
2, 0, 0 2, 1, 0 2, 0, 2
0, 1, 0 0, 1, 2 0, 0, 2
46.Bestäm med hjälp av dubbelintegral och polära koordinater volymen av läppstiftet som begränsas av x2 y2 4, z 0 och x z 8.
2 1 0 1 2 x
0 5 10
y 12 10 2
z
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid
47.Låt f vara den styckvis konstanta funktionen i figuren och beräkna 44 f x 5 x och 44cosΠf x x.
4 3 2 1 1 2 3 4 x
3 2 1 1 2 3 4 f x
48. Integrera a x4 x b x 12 x c t 12 t d x x e sin 2x x f cosx5 x g tt t h 02 2x x i 12 1u 2 u j 321
u2 1
u u k 0cx c x
49.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av x–axeln och grafen till
y sin x , 0 x Πroterar ett varv kring x–axeln.
0 1
2
3 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0
0.5 0.0 0.5 1.0
50.Bestäm den volym som innesluts då området som innesluts mellan y sin x , y 1 cos x , 0 x Π2, roterar ett varv kring x–axeln.
0.5 1.0 1.5 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y
51.En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m2, där
y är djupet under vattenytan. Sök totala tryckkraften på luckan samt det moment som trycket orsakar kring luckans upphängningsaxel vid vattenytan.
52.På ett reningsverk finns en bassäng för smutsigt vatten. Denna har höjden 4 m och cirkulärt tvärsnitt med radien r 2 y 1 , 0 y 4. Den är helt fylld med smutsigt vatten som beroende på partiklar har densitetenΡh 1 h2kg m3, där h är djupet under ytan. Bestäm vattnets totala massa.
53.En tunn tråd med densitetenΡböjs till en spiral med radien rΘ kΘ, 0 Θ 4Π. Bestäm spiralens masströghetsmoment kring origo. I figuren till höger är spiralen uppritad med k 0.05.
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0x
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 y
k 0.05
54.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av x–axeln, linjen x 2 samt grafen till y x2, 0 x 2 roterar ett varv kring linjen x 3.
0.5 1.0 1.5 2.0 x
1 2 3 4 y
55.Man vet att f ' x x x 1 och att f 1 1. Bestäm f 2 .
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 0.5
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y
Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 56. Integrera a 1
1 x2 x b 3 s2
1 s2 s c ln x x d 13xln x x e x x x f x x2 x g 2x
1 x2 2 x h xsin x x i x2
x3 1 x j xarctan x x k tan x x
57. Integrera a 0Πxcos x x b 122xsinΠx2 x c 32 x2 1 x d 01ln 1 x2 x e tan2x x f sin2x x g cos3x x h 01x2 1 x3 x i 02 x
4 x2
x j 02Πsin x x k 2x x
58.Genom centrum på ett klot borras ett hål som visar sig få längden 2a. Bestäm volymen av det material som återstår.
59.Bestäm den volym som innesluts då området som innesluts mellan y sin x , y 1 cos x , 0 x Π2, roterar ett varv kring y–axeln.
0.5 1.0 1.5 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y
60.Bestäm längden av Pascals snäcka rΘ 1 cosΘ, 0 Θ 2Π. Kurvan är uppkallad efter den berömde Blaise Pascals far Etienne Pascal.
0.5 1.0 1.5 2.0x
1.0 0.5 0.5 1.0 y
Θ rΘ
61.Härled volymen13BH för en pyramid med godtycklig basyta B och H den vinkelräta höjden mot denna.
x
y z
H
