Dimensionerande egenskaper för korslimmade träskivor och val av hållfasthetsklasser för

Dimensionerande egenskaper för korslimmade träskivor och val av hållfasthetsklasser för

lameller

Structural properties of cross laminated timber panels and choice of strength classes for lamellae

Författare: Fredrik Ström Handledare: Anders Olsson

Handledare företag: Anders Olsson Examinator: Thomas Bader

Termin: VT20 Kurskod: 2BY04E

Examensarbete i byggteknik

Sammanfattning

Under 2017 härrörde 19 procent av de totala utsläppen av växthusgaser i Sverige från byggsektorn. Från denna sektor stod byggverksamheten för 50 % av utsläppen. De utsläpp som kan härledas till byggverksamheten kommer främst från produktionen av cement- och stålprodukter. För att minska utsläppen av växthusgaser är ett mer

miljövänligt alternativ att använda trä från hållbart skötta skogar som byggnadsmaterial.

Under de senaste 15 åren har det skett en stor ökning i användningen av korslimmade träskivor (KL-trä) för bärande konstruktioner. Samtidigt sker det en snabb utveckling av bostadsbehovet i Sverige. För att möta detta behov kommer utnyttjandet av KL-trä troligen att fortsätta öka. Då användningen av KL-trä ökar snabbt blir det allt mer väsentligt att på ett effektivt sätt utnyttja trämaterialet. Detta arbete avser att undersöka om KL-trä kan användas ännu mer effektivt med avseende på de ingående skiktens virkeskvalitéer.

De KL-träelement som studerades var 3- och 5-skiktsskivor till bjälklag och väggar.

Utifrån en parameterstudie var det tänkt att slutsatser skulle kunna dras kring vilka materialegenskaper hos lameller som är avgörande för kapaciteter hos vägg- och

bjälklagselement. För att parameterstudien skulle vara användbar krävdes det dock att den begränsande kapaciteten för KL-träelementet först klargjordes. För att utreda vilka hållfasthetsklasser som med hänsyn till tillgängligt material är lämpliga att använda för de ingående lamellerna i en KL-träskiva användes resultatet från parameterstudien i

kombination med tidigare forskningsresultat om möjliga utbyten i hållfasthetsklasser för granvirke från de nordiska länderna.

Undersökningen visade att deformationskrav normalt bli dimensionerande för

bjälklagsplattor bestående av tre eller fem skikt. Den dimensionerande egenskapen hos lamellerna är elasticitetsmodulen för de yttre längsgående skikten. Rullskjuvmodulen för de tvärgående skikten kan i speciella fall ha en stor inverkan på kapaciteten men dock inte för de höjd-längd-förhållanden som är vanligt förekommande i flerbostadshus. Vidare kan låga hållfasthetsklasser användas till de inre skikten utan att kapaciteten påverkas på något väsentligt sätt. För en bjälklagsplatta bestående av 5 skikt kan tillgången på virke utnyttjas effektivt om C35 används till yttre längsgående skikt och C18 till resterande.

För denna platta ökar böjstyvheten (EI) med 17 % och den maximala tillåtna spännvidden med 4.4 % jämfört med fallet då C24 används i samtliga skikt.

För en väggskiva bestående av både 3 och 5 skikt är längsskjuvhållfastheten den viktigaste egenskapen för de tvärgående skikten. Detta medför att en högre

hållfasthetsklass än C24 inte ökar de tvärgående skiktens kapacitet mot panelskjuvning i planet. För att utifrån parameterstudien kunna visa vilka egenskaper som är

dimensionerande behöver fortsatta studier göras. Dessa innefattar att avgöra om böjknäckning- eller panelskjuvningskapaciteten blir begränsande för skivan.

Resultaten indikerar även att det finns möjligheter att tillverka KL-träelement med större kapacitet än vad som gäller för idag rådande hållfasthetsklasser, eftersom

elasticitetsmodul snarare än hållfasthet hos lameller är avgörande för KL-träelementens kapacitet. Även här behöver fortsatta studier göras. Sådana studier skulle exempelvis kunna resultera i förslag på egendefinierade hållfasthetsklasser.

Abstract

I arbetet undersöktes det om KL-trä kan användas ännu mer effektivt än vad som är fallet idag genom sortering och utnyttjande av lamellerna med bäst mekaniska egenskaper i de delar av KL-träelementen där lamellegenskaperna har störst betydelse.

Syftet med arbetet var att bidra till ökad kunskap om effektivt materialutnyttjande för skivor och plattor av KL-trä som används i bärande stommar till flerbostadshus.

Undersökningen visade att för en bjälklagsplatta bestående av tre eller fem skikt blir deformationskraven dimensionerande. Den dimensionerande egenskapen är

elasticitetsmodulen för de yttre längsgående skikten. Rullskjuvmodulen för de tvärgående skikten kan ha en stor inverkan på kapaciteten men dock inte för de höjd-längd-

förhållanden som är vanligt förekommande i flerbostadshus. Vidare kan den lägsta hållfasthetsklassen användas till de inre skikten utan att kapaciteten påverkas. För en bjälklagsplatta bestående av 5 skikt kan tillgången på virke utnyttjas effektivt om C35 används till yttre längsgående skikt och C18 till resterande skikt.

För en väggskiva bestående av tre eller fem skikt är längsskjuvhållfastheten den viktigaste egenskapen för de tvärgående skikten. Detta medför att en högre

hållfasthetsklass än C24 inte ökar de tvärgående skiktens kapacitet mot panelskjuvning i planet. För att utifrån parameterstudien kunna visa vilka egenskaper som är

dimensionerande behöver fortsatta studier göras. Dessa innefattar att avgöra om böjknäckning- eller panelskjuvningskapaciteten blir begränsande för skivan.

Nyckelord: Korslimmat trä, KL-trä, Optimering, Parameterstudie, Hållfasthetssortering

Abstract

In this work, it was examined whether Cross laminated timber (CLT) can be used even more efficiently with respect to the wood quality of the constituent layers and the availability of wood sorted into different strength classes.

The purpose of this work was to contribute to increased knowledge of efficient material utilization for CLT boards and slabs used in load-bearing frames for apartment buildings.

The study showed that for CLT floors with three or five layers, the deformation requirements is limiting the capacity. The decisive material property is the modulus of elasticity of the outer longitudinal layers. The rolling shear modulus of the transversal layers can have a large impact on capacity, but not for the height-to-length conditions that are common in apartment buildings. Furthermore, the lowest strength class can apply to the inner layers without affecting the capacity. For CLT floors consisting of five layers, the supply of wood can be utilized effectively if C35 is used for outer longitudinal layers and C18 for the other layers.

For CLT walls consisting of three or five layers, the longitudinal shear strength is the most important property of the transverse layers. This means that a higher strength class than C24 does not increase the transverse layers' capacity against panel shear in the plane.

In order to be able to show, based on the parametric analysis, the material properties that are decisive for the capacities of wall and floor elements, further studies need to be done.

These would include determining if the flexural buckling or panel shear capacity is the limiting factor.

Key words: Cross laminated timber, CLT, Optimization, Parametric study, Strength grading

Förord

Detta examensarbete ingår i den treåriga högskoleingenjörsutbildningen i byggteknik vid Linnéuniversitetet. Idén till arbetet uppkom i samband med ett större forskningsprojekt som Linnéuniversitetet just nu genomför tillsammans med flera olika företag inom bygg- och sågverksindustrin. Projektet omfattar bland annat frågor kring hur KL-trä effektivt kan användas i flerbostadshus.

Ett stort tack riktas till Anders Olsson på Linnéuniversitetet som har varit handledare för det här examensarbetet. Din vägledning och ditt engagemang har betytt mycket i det här arbetet.

Fredrik Ström Växjö, 17 maj 2020

Innehållsförteckning

1 Introduktion ... 1

1.1 Bakgrund och problembeskrivning ... 1

1.2 Syfte och mål ... 2

1.3 Avgränsningar ... 2

2 Teoretiska utgångspunkter ... 3

2.1 Begreppsförklaringar ... 3

2.2 Dimensioneringsgrunder ... 4

2.2.1 Klassificering av laster ... 4

2.2.2 Lastkombinationer ... 4

2.2.3 Klimat- och lastvaraktighetsklasser ... 5

2.2.4 Dimensionerande bärförmåga ... 5

2.2.5 Nedböjning ... 6

2.3 KL-trä ... 7

2.3.1 Uppbyggnad ... 7

2.3.2 Definition av beteckningar och riktningar ... 7

2.3.3 Tvärsnittsegenskaper ... 9

2.3.4 Gamma-metoden ... 10

2.3.5 Moment- och tvärkraftskapacitet ... 12

2.3.6 Panelskjuvningskapacitet ... 13

2.3.7 Tryckkraft- och böjknäckningskapacitet ... 14

2.3.8 Deformation av bjälklag enligt Gamma-metoden ... 15

2.4 Bisektionsmetoden ... 16

2.5 Hållfasthetssortering ... 17

3 Metod ... 19

3.1 Litteraturstudie ... 19

3.2 Beräkningar ... 19

3.2.1 Normer ... 19

3.2.2 Parameterstudie ... 19

3.3 Optimerad användning av hållfasthetsklasser ... 20

4 Genomförande ... 21

4.1 Litteraturstudier ... 21

4.2 Laster och lastkombinationer ... 21

4.3 Parameterstudie ... 21

4.4 Optimerad användning av hållfasthetsklasser ... 24

5 Resultat ... 25

5.1 Parameterstudie ... 25

5.1.1 Bjälklag ... 25

5.1.2 Väggskiva ... 27

6 Analys ... 29

6.1 Parameterstudie ... 29

6.1.1 Bjälklag ... 29

6.1.2 Väggskiva ... 30

6.2 Optimerad användning av hållfasthetsklasser ... 30

6.2.1 Bjälklag ... 30

6.2.2 Väggskiva ... 31

6.3 Metod ... 32

7 Diskussion ... 33

7.1 Metod ... 33

7.2 Resultat ... 33

8 Slutsatser... 35

Referenslista... 37

1 Introduktion

Sverige har som klimatmål att utsläppen av växthusgaser ska sjunka till netto noll år 2045 (Naturvårdsverket 2019). För att klara av detta mål behöver minskningstakten av

utsläppen uppgå till 5-8 procent per år.

Eftersom Sverige är medlem i EU är landet även kopplat till internationella planer och mål gällande klimatet (Svenskt Trä 2020). En av de planer som finns för att minska utsläppen är Roadmap 2050. I denna plan som fastställdes 2009 beslutade EU att utsläppen ska minska med 80 – 90 % till 2050. Detta för att kunna begränsa den globala uppvärmningen till maximalt två grader. För att uppfylla målet för Roadmap 2050 konstaterade EU att det krävs en grundlig förändring av energisystemen. Därför kommer bland annat behovet av förnybara och energieffektiva byggnadsmaterial, med låg

koldioxidbelastning även relaterat till transport, att öka.

Under 2017 stod byggsektorn för 19 % av de totala utsläppen av växthusgaser i Sverige (Boverket 2017). Detta motsvarar cirka 12.2 miljoner ton koldioxidekvivalenter. För byggsektorn härrörde 50 % av utsläppen från byggverksamheten. Dessutom var ökningen av utsläppen jämfört med 2016 störst inom denna verksamhet. De utsläpp som kan härledas till byggverksamheten sker främst vid produktionen av byggnadsmaterial och då framför allt av cement- och stålprodukter (Boverket 2020).

Eftersom användningen av fossila bränslen vid el- och fjärrvärmeproduktion sannolikt minskar, som ett resultat av en allmän anpassning till förnybara energikällor, kommer utsläppen från driften troligen att sjunka till noll (Boverket 2020). Dessvärre är det svårare att minska utsläppen av växthusgaser vad gäller tillverkning av cement och stål.

Den energi som går åt vid utvinning och bearbetning består till största delen av fossila bränslen (Svenskt Trä 2020). Vid cementproduktionen härrör dessutom ca 60 % av koldioxidutsläppen från den kemiska reaktion som inträffar när kalkstenen hettas upp (Cementa 2018).

Ett miljövänligt alternativ är att använda trä från hållbart skötta skogar som

byggnadsmaterial (Svenskt Trä 2020). Till skillnad från betong och stål är trä förnybart och träbaserade produkter kräver förhållandevis lite energi vid framställning, vilket ger ett mindre koldioxidutsläpp. En stor del av energin för tillverkning av trämaterial kommer dessutom från de egna biprodukterna. Vid sågverk i Sverige uppgår denna andel till 80 %.

1.1 Bakgrund och problembeskrivning

Användningen av korslimmat trä (KL-trä) för bärande konstruktioner har ökat mycket de senaste 15 åren både i Sverige och internationellt (Svenskt Trä 2017). Samtidigt växer behovet av nya bostäder i Sverige (Boverket 2018). För att tillgodose det bostadsbehov som finns idag kommer utnyttjandet av KL-trä sannolikt att fortsätta öka.

Ett vanligt användningsområde för KL-trä är vägg- och bjälklagselement i flerbostadshus (Lundblad och Stjärnborg 2019). Att använda KL-trä som byggnadsmaterial är ur miljösynpunkt fördelaktigt eftersom trä är förnybart och binder koldioxid i stommen under hela byggnadens livslängd. Andra fördelar med KL-trä är att hållfastheten är hög i förhållande till egenvikten vilket medför lägre transportkostnader. Dessutom ger den flexibla produktionen av KL-träelement och egenskaperna hos elementen möjligheter att skapa intressanta arkitektoniska uttryck.

Då tillverkning och användningen av KL-trä ökar snabbt blir det allt mer väsentligt att utnyttja trämaterialet på ett optimalt sätt. Med optimalt utnyttjande menas t.ex. att tjockleken för skivor och plattor ska minimeras samtidigt som de uppfyller alla krav på bärförmåga och styvhet. Ingvarsson och Kvist (2019) i en studie flera förslag på hur KL- trä kan optimeras. Dock beaktas inte vilka hållfasthetsklasser som ger ett effektivt utnyttjande av virket. Därför finns det anledning att undersöka om KL-trä kan användas ännu mer effektivt med avseende på virkeskvalitén hos de ingående lamellerna och tillgången till virke i sorterat i olika hållfasthetsklasser. Detta arbete bygger delvis vidare på studien av Ingvarsson och Kvist (2019).

1.2 Syfte och mål

Syftet med arbetet är att bidra till ökad kunskap om effektivt materialutnyttjande för skivor och plattor av KL-trä som används i bärande stommar till flerbostadshus.

Följande mål ingår:

 Visa hur olika ändringar i materialegenskaper hos lameller påverkar kapaciteter och begränsningar för vägg- och bjälklagselement i KL-trä.

 Avgöra vilka hållfasthetsklasser som är lämpliga att använda för de ingående lamellerna i en KL-träskiva då tillgången till virke, sorterat i olika

hållfasthetsklasser, beaktas.

1.3 Avgränsningar

Eftersom det vanligaste användningsområdena för KL-trä är planelement till bjälklag och väggar begränsas arbetet till analys av endast dessa två byggnadselement.

Endast symmetriska tvärsnitt studeras. Osymmetriska tvärsnitt förekommer knappast i praktisk användning då sådana skulle ge osymmetriska deformationer och fuktrörelser (Svenskt Trä 2017).

För bjälklagsskivan omfattar parameterstudien beräkning av moment- och tvärkraftskapacitet samt maximal spännvidd med beaktande av krav på maximal nedböjning samt vibration. För vibrationsberäkningarna tas det dock ingen hänsyn till impulshastighetsresponsen. Vidare antas bjälklagsskivan vara enkelspänd vilket betyder att den endast har en bärriktning.

För väggskivan görs beräkningar av kapaciteter för tryckkraft, böjknäckning och panelskjuvning. Upplagsförhållanden i form av pelarstöd beaktas inte.

Skivor med enbart tre och fem skikt studeras. Teorin för att ta hänsyn till skjuvdeformationer blir mer komplex då elementet har fler än fem skikt.

Krav avseende brand och akustik beaktas inte, eftersom arbetets omfattning då hade blivit för stor. Av samma anledning tas det heller ingen hänsyn till systemfaktorn.

2 Teoretiska utgångspunkter

2.1 Begreppsförklaringar

Bjälklag - bärande konstruktionselement som avgränsar olika våningar i en byggnad.

Kan överföra både horisontella och vertikala laster. Benämns även för platta.

Bärriktning - den lastupptagande riktningen för ett byggnadselement.

Egenfrekvens - svängningsfrekvensen hos ett system efter att det, till följd av

begynnelsevillkor, satts i svängning. Om en periodisk yttre last verkar på systemet vars frekvens är samma som systemets egenfrekvens uppkommer resonans (Heyden et al.

2017).

Hållfasthetsklass - en klassificering av material med hänsyn till dess

hållfasthetsegenskaper. För konstruktionsvirke finns bl.a. hållfasthetsklasserna C14, C18, C24, C30, C35 och C40. Siffran anger den karakteristiska böjhållfastheten i enheten MPa (Träguiden 2017b).

KL-trä - korslimmat trä. Är ett konstruktionsmaterial uppbyggt av korsvis lagda brädor.

Vanliga användningsområden är skivor till bjälklag och väggar i flerbostadshus (Svenskt Trä 2017).

Knäckning - ett instabilitetsbrott som kan inträffa då ett byggnadselement utsätts för stora normalkrafter (Heyden et al. 2017).

Lameller - de skikt som KL-träskivan är uppbyggd av.

Längsskjuvning - skjuvspänning parallellt med fiberriktningen.

Panelskjuvning - skjuvspänning i KL-träskivans plan. Kan uppkomma då en väggskiva utsätts för vindlaster.

Rullskjuvning - skjuvspänning vinkelrät fiberriktningen.

Spännvidd - avståndet mellan upplagen för ett byggnadselement.

2.2 Dimensioneringsgrunder

2.2.1 Klassificering av laster

Laster klassificeras utifrån deras varaktighet i tiden (Johansson 2018). Följande lasttyper används:

Permanenta laster: betecknas 𝐺 och är alltid rumsligt bundna. Om variationen anses liten används det karakteristiska värdet 𝐺_𝑘. Om 𝐺 anses ha stor variation anges ett övre och undre värde. Vanligt förekommande permanenta laster är egenvikt av byggnadselement och installationer.

Variabla laster: betecknas 𝑄 och kan antingen vara fria eller bundna. Vanligt förekommande variabla laster är vind-och snölaster samt nyttiga laster.

Olyckslaster: betecknas 𝐴 och innefattar exempelvis explosioner och påkörningar.

2.2.2 Lastkombinationer

En konstruktion utsätts vanligen för olika typer av laster (Svenskt Trä 2017). Eftersom sannolikheten är liten att samtliga laster verkar med sitt fulla värde behövs olika lastkombinationer undersökas vid dimensioneringen. Kombinationsregler för laster är definierade i Eurokod 0 (SIS 2002a). Ett dimensionerande lastfall ges genom att kombinera en huvudlast med övriga laster vars värden är reducerade.

En konstruktion dimensioneras vanligen för olika gränstillstånd. Ett gränstillstånd definierar de prestandakrav som en konstruktion måste uppfylla (Träguiden 2017a). De gränstillstånd som anges i Eurokod 0 är brott- och bruksgränstillstånd.

Brottgränstillståndet behandlar säkerheten för personer vilket kan relateras till kollaps av konstruktionen (Johansson 2018). Bruksgränstillståndet behandlar komfort för personer vilket kan relateras till funktion och utseende av konstruktionen under normal

användning.

I arbetet används kvasi-permanent lastkombination i bruksgränstillstånd i samband med beräkning av maximal spännvidd med beaktande av krav på nedböjning.

Lastkombinationen används vid kontroll av långtidseffekter, vilket kan exempelvis röra sig om slutgiltig deformation i material med hänsyn till krypning. Formler för

lastkombinationer är hämtade ur Eurokod 0 (SIS 2002a). Lastkombinationen beräknas enligt ekvation (1):

∑ G_k,j

j≤1

+ ∑ Ψ_2,i∙ Q_k,i

i≥1

(1)

där:

G_k,j är permanent last, Q_k,i är variabel last och

Ψ_2,i är kvasi-permanent lastkombinationsfaktor för lasten Q_k,i.

Lastkombinationen STR(b) används i samband med beräkning av maximala spännvidder i brottgränstillstånd. Om partialkoefficientmetoden enligt EKS 10 (Boverket 2015) tillämpas vid dimensionering i brottgränstillståndet beaktas säkerhetsklassen med en partialkoefficient γ_d. Om samtliga laster är ogynnsamma beräknas lastkombinationen enligt ekvation (2):

𝛾_𝑑∙ 1.20 ∙ G_k,j+ 𝛾_𝑑∙ 1.50 ∙ Q_k,1+ ∑ 𝛾_𝑑∙ 1.50 ∙ Ψ_0,i∙ Q_k,i

i>1

(2)

där:

G_k,j är permanent last, Q_k,1 är variabel huvudlast, γd är partialkoefficient,

Q_k,i är samverkande variabel last och

Ψ_0,i är kombinationsfaktorn för samverkande last Q_k,i.

2.2.3 Klimat- och lastvaraktighetsklasser

För en träkonstruktion är bärförmågan beroende av varaktigheten hos de laster som verkar på den (Svenskt Trä 2017). Därför görs en indelning av laster utifrån deras varaktighet. Permanenta laster, till exempel egentyngd, är konstanta i tiden. Laster med varierande intensitet delas in i momentanlaster, kortvariga laster, laster med medellång varaktighet och långvariga laster. Lastvaraktighetsklassen bestäms utifrån lasten med kortast varaktighet i den lastkombination som är dimensionerande.

Bärförmågan hos träkonstruktionen beror till stor del på fuktkvoten (Svenskt trä 2017).

Fuktigt trä har sämre hållfasthet och styvhet än torrt trä. För att hantera denna effekt har ett antal klimatklasser definierats. Varje klass är representerad av ett fuktkvotsintervall som är vanligt förekommande för byggnadskonstruktioner. Klimatklass 1 definieras av att träets maximala fuktkvot inte bör överskrida 12 % över en längre period. Hit härrör bland annat vindsbjälklag i ventilerade utrymmen. För klimatklass 2 gäller istället fuktkvoten 20 %. Denna klass används vanligen för KL-träkonstruktioner. Klimatklass 3 används generellt inte för KL-träkonstruktioner eftersom dessa vanligen är CE-märkta.

2.2.4 Dimensionerande bärförmåga

I brottgränstillståndet beräknas bärförmågan utifrån det dimensionerande

hållfasthetsvärdet 𝑓𝑑 (Svenskt trä 2017). Detta värde beräknas genom modifiering av det karakteristiska hållfasthetsvärdet 𝑓_𝑘 enligt ekvation (3):

𝑓_𝑑= 𝑘_𝑚𝑜𝑑∙𝑓_𝑘

𝛾_𝑚 ⁽³⁾

där 𝑓_𝑑 är dimensionerande hållfasthetsvärde, 𝑓_𝑘 är karakteristiskt hållfasthetsvärde, γ_m är en partialkoefficient som tar hänsyn till osäkerhet i materialegenskaper och k_mod är en modifikationsfaktor som beror på både klimat- och varaktighetsklass. I Tabell 1 visas ett antal värden på k_mod som används vid dimensionering.

Tabell 1. Värden på modifikationsfaktorn 𝑘_𝑚𝑜𝑑 för olika klimat- och lastvaraktighetsklasser.

Klimatklass Permanent (P) Långtid (L) Medellång (M) Korttid (S) Momentan (I)

1 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1

2 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1

3 - - - - -

2.2.5 Nedböjning

Under en konstruktions livslängd kan det förekomma höga belastningstoppar vilket leder till initialnedböjningen 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡} (Svenskt Trä 2016). Av den last som kvarstår uppkommer deformationen 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝} till följd av krypning hos materialet (se Figur 1). Om lasten är konstant beräknas 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝} enligt ekvation (4):

𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝} = 𝑘_𝑑𝑒𝑓∙ 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡} (4)

där 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡} är initialutböjning, 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝} utböjning orsakad av krypning och 𝑘_𝑑𝑒𝑓 är en faktor som beror på trämaterialets fuktkvot.

Figur 1. Definition av nedböjningar. Hos limträbalkar kan även en överhöjning 𝑤_𝑐 förekomma. Figuren är hämtad från Svenskt trä (2017). Publiceras med medgivande av upphovsrättsinnehavaren.

Ett bjälklag belastas vanligtvis med både permanenta och variabla laster. Då permanenta laster är konstanta över tid beräknas den slutgiltiga deformationen 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝐺} enligt ekvation (5):

𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝐺}= 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺}+ 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝,𝐺}= 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺}∙ (1 + 𝑘_𝑑𝑒𝑓) (5) där 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝐺} är den slutgiltiga deformationen orsakad av permanenta laster, 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺} är initialutböjning och 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝,𝐺} är utböjning orsakad av krypning.

Krypningen beror även på belastningens varaktighet. För att ta hänsyn till effekten reduceras det karakteristiska värdet för variabla laster med faktorn Ψ_2,i. Den slutgiltiga deformationen 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑖} för variabla laster beräknas enligt ekvation (6):

𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑖}= 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄𝑖}+ 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝,𝑄𝑖}= 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄𝑖}∙ (1 + Ψ_2,i∙ 𝑘_𝑑𝑒𝑓) (6) där 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑖} är den slutgiltiga deformationen orsakad av variabla laster, 𝑤_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄𝑖} är initialutböjning, 𝑤_{𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝,𝑄𝑖} är utböjning orsakad av krypning och Ψ_2,i är det kvasi- permanenta lastkombinationsvärdet. Den totala deformationen 𝑤_𝑓𝑖𝑛 hos bjälklaget blir således summan av 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑖} och 𝑤_{𝑓𝑖𝑛,𝐺}.

Nedböjningsgränsen för bjälklag i bostäder har satts till L/300. Vid utformning av bjälklag för lagerutrymmen är det emellertid tillåtet med en nedböjningsgräns av storleksordningen L/200-L/150.

2.3 KL-trä

2.3.1 Uppbyggnad

KL-trä är uppbyggt av korsvis lagda brädor där tvärsnittet består av ett udda antal skikt (Svenskt Trä 2017). Det gör att skivan kan ta upp last i två riktningar. Vanligtvis sammanbinds brädskikten genom limning men ibland används även spikar och

dymlingar. Tvärsnittet består vanligtvis av tre, fem eller sju lameller. Tjockleken för de olika brädskikten är oftast samma men det kan förekomma variationer. Det material som används i störst utsträckning är barrträ.

2.3.2 Definition av beteckningar och riktningar

Det finns tre huvudbärriktningar för en KL-träskiva där laster kan tas upp och fördelas.

Dessa är x-, y- och z-riktningen (se Figur 2). Enligt den rådande standarden SS-EN 16351 definieras riktningarna på följande vis:

 x-axeln är parallell med fiberriktningen i yttersta brädskiktet.

 y-axeln är vinkelrät mot det yttersta brädskiktets fiberriktning.

 z-axeln är parallell med skivans tjockleksriktning.

Figur 2. Definition av riktningar för en KL-träskiva. Figuren är hämtad från Svenskt trä (2017). Publiceras med medgivande av upphovsrättsinnehavaren.

Varje skikt numreras nedifrån och upp. Genom att summera tjockleken för de ingående lamellerna fås KL-träskivans tjocklek enligt ekvation (7):

ℎ_𝐾𝐿𝑇 = ∑ 𝑡_𝑖

𝑛

𝑖=1

(7)

där ℎ_𝐾𝐿𝑇 är KL-träskivans tjocklek och 𝑡_𝑖 är de ingående lamellernas tjocklek. Om tvärsnittet är symmetriskt beräknas KL-träskivans neutrallager enligt ekvation (8):

𝑧_𝑠=ℎ_𝐾𝐿𝑇

2 ⁽⁸⁾

där 𝑧_𝑠 anger positionen för KL-träskivans neutrallager. Avstånden 𝑎_𝑖 beräknas enligt ekvation (9):

𝑎_𝑖 = |𝑜_𝑖− 𝑧_𝑠| ⁽⁹⁾

där 𝑎𝑖 är avståndet mellan brädskiktens mitt och skivans neutrallager 𝑧𝑠 och 𝑜𝑖 är tyngdpunkten för varje skikt från tvärsnittets underkant.

Elasticitets- och skjuvmodulen för varje lamell betecknas enligt följande:

 𝐸_𝑥,𝑖 är elasticitetsmodulen i x-riktning för lamell i.

 𝐸_𝑥,𝑗 är elasticitetsmodulen i y-riktning för lamell j.

 𝐺_𝑥,𝑖 är skjuvmodulen i x-riktning för lamell i.

 𝐺_𝑥,𝑗 är skjuvmodulen i y-riktning för lamell j.

Elasticitetsmodulen vinkelrät mot fiberriktningen försummas vilket ger följande:

 𝐸_𝑥,2 = 𝐸_𝑥,4= 0

 𝐸_𝑦,1 = 𝐸_𝑦,3 = 𝐸_𝑦,5 = 0

2.3.3 Tvärsnittsegenskaper 2.3.3.1 Nettostatiskt moment

Då skivans tvärkraftsbärförmåga med avseende på rullskjuvning ska beräknas används ekvation (10) för det nettostatiska momentet.

𝑆_{𝑅,𝑥,𝑛𝑒𝑡} = ∑ 𝐸_𝑥,𝑖 𝐸𝑟𝑒𝑓

∙ 𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖∙ 𝑎_𝑖

𝑚_𝐿

𝑖=1

(10)

där 𝑆_{𝑅,𝑥,𝑛𝑒𝑡} är det nettostatiska momentet i x-riktningen, 𝐸_𝑥,𝑖 är elasticitetsmodulen i x- riktningen, 𝐸_𝑟𝑒𝑓 är referensvärdet för elasticitetsmodulen, 𝑏_𝑥 är lamellens bredd och 𝑚_𝐿 är beteckningen för den tvärgående lamellen närmast skivans tyngdpunkt.

Då tvärkraftsbärförmågan med avseende på längsskjuvning ska beräknas används ekvation (11) eller (12) för det nettostatiska momentet. Om skivans tyngdpunkt ligger i den lamell som betraktas används (11). Om så inte är fallet används (12).

𝑆_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}= ∑ 𝐸_𝑥,𝑖

𝐸_𝑟𝑒𝑓∙ 𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖∙ 𝑎_𝑖+ 𝑏_𝑥∙(𝑡_𝑘− 𝑎_𝑘)² 2

𝑘_𝐿

𝑖=1

(11)

𝑆_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}= ∑ 𝐸_𝑥,𝑖

𝐸_𝑟𝑒𝑓∙ 𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖∙ 𝑎_𝑖

𝑘_𝐿

𝑖=1

(12)

där 𝑆_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} är det nettostatiska momentet i x-riktningen, 𝑘_𝐿 är beteckningen för den längsgående lamellen närmast skivans tyngdpunkt, 𝑎_𝑘 är avståndet från betraktad lamells tyngdpunkt till neutrallagret och 𝑡_𝑘 är betraktad lamells tjocklek.

2.3.3.2 Nettotröghetsmoment och elastiskt böjmotstånd

För en skiva med bärriktningen i x-led beräknas nettotröghetsmomentet enligt ekvation (13):

𝐼_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}= ∑ 𝐸_𝑖

𝐸_𝑟𝑒𝑓∙𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖³

12 + ∑ 𝐸_𝑖

𝐸_𝑟𝑒𝑓∙ 𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖∙ 𝑎_𝑖² (13) där 𝐼_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} är det nettostatiska tröghetsmomentet för rotation kring y-axeln och 𝐸_𝑖 är den enskilda lamellens elasticitetsmodul.

Det elastiska böjmotståndet för en symmetrisk skiva beräknas enligt ekvation (14):

𝑊_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}= 2 ∙ 𝐼_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}

ℎ_𝐾𝐿𝑇 ⁽¹⁴⁾

där 𝑊𝑥,𝑛𝑒𝑡 är det elastiska böjmotståndet.

2.3.3.3 Nettoarea

Skivans medverkande area i x- respektive y-riktningen beräknas enligt ekvation (15) och (16):

𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}= 𝑏_𝑥∙ ∑𝐸_2∙𝑖−1 𝐸_𝑟𝑒𝑓 ∙ 𝑡_2∙𝑖−1

𝑛

𝑖=1

(15)

𝐴_{𝑦,𝑛𝑒𝑡}= 𝑏_𝑦∙ ∑𝐸_2∙𝑖 𝐸_𝑟𝑒𝑓∙ 𝑡_2∙𝑖

𝑛

𝑖=1

(16)

där 𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} och 𝐴_{𝑦,𝑛𝑒𝑡} är medverkande area i x- respektive y-riktningen.

2.3.4 Gamma-metoden

För KL-träplattor utgör skjuvdeformationen från tvärkrafter en stor del i den totala deformationen (Svenskt Trä 2017). Det finns ett antal beräkningsmodeller som tar hänsyn till detta (Buka- Vaivade et al. 2016). I Eurokod 5 används Gamma-metoden där det effektiva tröghetsmoment 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓} beräknas. Metoden var från början tänkt att användas till beräkning av kompositbalkar med T eller I – tvärsnitt. Metoden bygger på antagandet att det finns basskikt som intilliggande skikt är flexibelt kopplade till. Detta leder till att respektive skikts ”Steinerdel” från parallellaxelteoremet minskas med en faktor 𝛾_𝑖 som beror på skivans spännvidd och materialegenskaper.

Det effektiva tröghetsmomentet beräknas enligt ekvation (17):

𝐼_{𝑥,𝑒𝑓}= ∑ 𝐸_𝑥,𝑖 𝐸𝑟𝑒𝑓

∙𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖³

12 + 𝛾_𝑖∙ 𝐸_𝑥,𝑖 𝐸𝑟𝑒𝑓

∙ 𝑏_𝑥∙ 𝑡_𝑖∙ 𝑎_𝑖^{2 (17)}

där 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓} är det effektiva tröghetsmomentet och 𝛾_𝑖 är gammavärdet för skikt i. Eftersom 𝐸_𝑥,𝑖 = 0 för de tvärgående skikten beräknas gammavärdet endast för de längsgående skikten.

2.3.4.1 Gammavärden för en 3-skiktsskiva

För en 3-skiktsskiva beräknas gammavärdena enligt ekvation (18) och (19):

𝛾₁= 1 ⁽¹⁸⁾

𝛾₃= 1

1 +𝜋²∙ 𝐸_𝑥,3∙ 𝑡₃∙ 𝑡₂ 𝑙_𝑟𝑒𝑓²∙ 𝐺_𝑥,2

(19)

där 𝛾₁ är gammavärdet för skikt 1, 𝛾₃ är gammavärdet för skikt 3, 𝑙_𝑟𝑒𝑓 är en referenslängd och 𝐺_𝑥,2 är skjuvmodulen i x-led för de tvärgående skikten (rullskjuvmodulen). För en fritt upplagd balk är 𝑙_𝑟𝑒𝑓 = L.

2.3.4.2 Gammavärden för en 5-skiktsskiva

För en 5-skiktsskiva beräknas gammavärdena enligt ekvation (20), (21) och (22):

𝛾₁= 1

1 +𝜋²∙ 𝐸_𝑥,1∙ 𝑡₁∙ 𝑡₂ 𝑙𝑟𝑒𝑓2

∙ 𝐺𝑥,2

(20)

𝛾₃= 1 ⁽²¹⁾

𝛾₅= 1

1 +𝜋²∙ 𝐸_𝑥,5∙ 𝑡₅∙ 𝑡₄ 𝑙_𝑟𝑒𝑓²∙ 𝐺_𝑥,4

(22)

2.3.4.3 Rullskjuvmodulens inverkan på böjstyvheten

Enligt ekvation (17) är det tydligt att böjstyvheten för tvärsnittet beror på

rullskjuvmodulen för de tvärgående skikten men däremot inte till vilken grad. Larsson och Lindstam (2019) visade att rullskjuvningen har en stor inverkan på böjstyvheten, speciellt för stora höjd-längd-förhållanden (skivans tjocklek i förhållande dess

spännvidd). Beräkningarna utgick ifrån Hooke’s generaliserade lag och gjordes för en 160 mm tjock platta utsatt för trepunktsböjning med lasten 50 kN. Då spännvidden var 1 meter blev nedböjningen 56 % större när rullskjuvmodulen ändrades från 200 till 50 MPa.

Motsvarande ändring blev 20 % då spännvidden var 2.5 meter.

Enligt Mayencourt och Mueller (2018) används materialet till KL-träelement ineffektivt.

Det eftersom tvärsnittets kärna fungerar i princip som endast en avskiljare mellan de yttre

längsgående skikten. I studien provades en ny metod att minska materialåtgången genom att skapa hålrum i de tvärgående skikten. Beräkningar begränsandes till enkelspända skivor utsatta för böjning i en riktning. Detta eftersom skivor vanligen används som enkelspända element på grund av svårigheten att skapa bra anslutningar i den veka riktningen. Resultatet av studien visade att 20 % av materialet kan sparas utan att större ändringar sker i den strukturella prestandan.

2.3.5 Moment- och tvärkraftskapacitet

Beräkningen av moment – och tvärkraftskapacitet utgår ifrån linjär elasticitetsteori (Lu et al. 2018). Teorin säger att när en KL-träskiva böjs uppkommer töjningen 𝜖_𝑥 som varierar linjärt och kontinuerligt över tvärsnittet. Motsvarande spänning 𝜎_𝑥 blir 𝐸 ∙ 𝜖_𝑥 enligt Hooke’s lag och kan vara diskontinuerlig beroende på om skikten har olika

elasticitetsmodul. Momentkapaciteten för rotation kring y-axeln beräknas enligt ekvation (23):

𝑀_𝑅𝑑= 𝑓_𝑚𝑑∙ 𝑊_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} 𝐸_𝑖

𝐸_𝑟𝑒𝑓

⁄ ⁽²³⁾

där 𝑀_𝑅𝑑 är momentkapaciteten, 𝐸_𝑖 är elasticitetsmodulen för den yttersta lamellen och 𝑓_𝑚𝑑 är dimensionerande böjhållfasthet. För att ekvation (23) ska gälla förutsätts det att styvheten för de yttersta lamellerna i förhållande till övriga är tillräckligt stor för att den största normalspänningen ska uppstå där.

Det dimensionerande momentet för en fritt upplagd platta beräknas enligt ekvation (24):

𝑀_𝑑 = 𝑞𝑑∙ 𝑙²

8 ⁽²⁴⁾

där 𝑀_𝑑 är det dimensionerande momentet, 𝑞_𝑑 är dimensionerande last och 𝑙 är plattans längd.

Tvärkraftskapaciteten med avseende på rullskjuvning beräknas enligt ekvation (25):

𝑉_{𝑅𝑣,𝑅𝑑} = 𝑓_{𝑅𝑣,𝑑}∙ 𝐼_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}∙ 𝑏_𝑥 𝑆𝑅,𝑥,𝑛𝑒𝑡

(25)

där 𝑉_{𝑅𝑣,𝑅𝑑} är tvärkraftskapaciteten med avseende på rullskjuvning och 𝑓_{𝑅𝑣,𝑑} är dimensionerande rullskjuvhållfasthet.

Tvärkraftskapaciteten med avseende på längsskjuvning beräknas enligt ekvation (26):

𝑉𝑣,𝑅𝑑 = 𝑓_𝑣,𝑑∙ 𝐼_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}∙ 𝑏_𝑥

𝑆_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} ⁽²⁶⁾

där 𝑉_{𝑣,𝑅𝑑} är tvärkraftskapaciteten med avseende på längsskjuvning och 𝑓_𝑣,𝑑 är dimensionerande längsskjuvhållfastheten.

Den dimensionerande tvärkraften för en fritt upplagd platta beräknas enligt ekvation (27):

𝑉_𝑑 = 𝑞_𝑑∙ 𝑙

2 ⁽²⁷⁾

där 𝑉_𝑑 är den dimensionerande tvärkraften, 𝑞_𝑑 är dimensionerande last och 𝑙 är plattans längd.

2.3.6 Panelskjuvningskapacitet

Eftersom KL-trä vanligen används som stabiliserande skivor uppkommer tvärkrafter, orsakade av exempelvis vindlaster, i skivans plan (Svenskt Trä 2017). Om de

längsgående skikten har samma längsskjuvhållfasthet kan panelskjuvningskapaciteten för skjuvning i xy-planet beräknas enligt ekvation (28):

𝑉_{𝑥𝑦,𝑅𝑑} = 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑}∙ 𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} (28)

där 𝑉_{𝑥𝑦,𝑅𝑑} är tvärkraftskapaciteten med avseende på panelskjuvning i xy-planet, 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑} är dimensionerande längsskjuvhållfasthet och 𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} är skivans verksamma area.

Motsvarande beräkning för skjuvning i yx-planet görs enligt ekvation (29):

𝑉_{𝑦𝑥,𝑅𝑑} = 𝑓_{𝑣,𝑦𝑥,𝑑}∙ 𝐴_{𝑦,𝑛𝑒𝑡} (29)

där 𝑉_{𝑦𝑥,𝑅𝑑} är tvärkraftskapaciteten med avseende på panelskjuvning i yx-planet, 𝑓_{𝑣,𝑦𝑥,𝑑} är dimensionerande längsskjuvhållfasthet och 𝐴_{𝑦,𝑛𝑒𝑡} är skivans verksamma area.

I KL-trähandboken framgår det inte hur beräkningen görs om de ingående skikten i samma riktning har olika värden för längsskjuvhållfastheten. För att ändå kunna få fram rimliga värden görs antagandet att längsskjuvhållfastheten för hela tvärsnittet kan beräknas som ett viktat medelvärde av de ingående lamellernas längsskjuvhållfastheter.

Varje lamells hållfasthetsvärde viktas mot dess tjocklek. För en 5-skiktsskiva beräknas i så fall panelskjuvningskapaciteten för skjuvning i xy-planet enligt ekvation (30):

𝑉_{𝑥𝑦,𝑅𝑑}=(2 ∙ 𝑡_𝑖1,5∙ 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑,1,5}+ 𝑡_𝑖3∙ 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑,3})

2 ∙ 𝑡_𝑖1,5+ 𝑡_𝑖3 ∙ 𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡} (30) där 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑,1,5} är längsskjuvhållfastheten för skikt 1 och 5, 𝑓_{𝑣,𝑥𝑦,𝑑,3} är

längsskjuvhållfastheten för skikt 3, 𝑡_𝑖1,5 är tjockleken för skikt 1 och 5 och 𝑡_𝑖3 är

tjockleken för skikt 3. I det fall då de längsgående skikten har samma hållfasthet övergår ekvation (30) till (28).

2.3.7 Tryckkraft- och böjknäckningskapacitet

Om väggskivan endast utsätts för en tryckande normalkraft i x-led kan tryckkraftskapaciteten i skivans plan beräknas enligt ekvation (31):

𝑁_{𝑐,𝑅𝑑}= 𝑓_𝑐,0,𝑑∙ 𝐴_{𝑥,𝑛𝑒𝑡}∙ 𝑘_𝑐,𝑦 (31)

där 𝑁𝑐,𝑅𝑑 är tryckkraftskapaciteten i x-riktningen, 𝑓𝑐0𝑑 är tryckhållfastheten i x-riktningen och 𝑘_𝑐,𝑦 är en reduktionsfaktor för hållfastheten.

Böjknäckningskapaciteten beräknas utifrån linjär knäckningsteori. Andra ordningens effekter beaktas med reduktionsfaktorn 𝑘_𝑐,𝑦 som beräknas enligt ekvation (32) – (36):

𝑘_𝑐,𝑦 = 1

𝑘_𝑦+ √𝑘_𝑦²− 𝜆_{𝑟𝑒𝑙,𝑦}^{2 (32)}

𝑘_𝑦= 0.5 ∙ (1 + 0.1 ∙ (𝜆_{𝑟𝑒𝑙,𝑦}− 0.3) + 𝜆_{𝑟𝑒𝑙,𝑦}²) ⁽³³⁾

𝜆_{𝑟𝑒𝑙,𝑦}=𝜆_𝑦

𝜋 ∙ √𝑓𝑐,0,𝑘

𝐸_𝑥,05 ⁽³⁴⁾

𝜆_𝑦= 𝐿

𝑖_{𝑥,𝑒𝑓} ⁽³⁵⁾

𝑖_{𝑥,𝑒𝑓}= √ 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓} 𝐴𝑥,𝑛𝑒𝑡

(36)

där 𝑘𝑐,𝑦 är reduktionsfaktorn, 𝜆𝑟𝑒𝑙,𝑦 är den relativa slankhetsfaktorn, 𝜆𝑦 är slankhetsfaktorn, 𝐿 är väggskivans höjd och 𝑖_{𝑥,𝑒𝑓} är slankhetsradien.

De laster som vanligtvis verkar på en väggskiva är vertikal och horisontell last. För att väggskivan ska klara av den spänning som uppstår när dessa laster kombineras måste ekvation (37) uppfyllas:

𝑁_𝑑

𝑁_{𝑐,𝑅𝑑}+ 𝑀_𝑑

𝑀_𝑅𝑑≤ 1 (37)

där 𝑁_𝑑 är den dimensionerande normalkraften och 𝑀_𝑑 är det dimensionerande momentet.

För att beräkna böjknäckningskapaciteten gjordes samma antagande som i arbetet av Kvist och Ingvarsson (2019) att momentet är proportionellt mot normalkraften enligt ekvation (38):

𝑀_𝑑 = 𝑘 ∙ 𝑁_𝑑 ⁽³⁸⁾

där k är en proportionalitetsfaktor, 𝑀_𝑑 är maxmomentet och 𝑁_𝑑 är normalkraften.

Böjknäckningskapaciteten beräknas således enligt ekvation (39) genom att kombinera ekvation (37) och (38) :

𝑁_{𝑑,𝑚𝑎𝑥}= 𝑁_𝑑 = 𝑁_{𝑐,𝑅𝑑}∙ 𝑀_𝑅𝑑

𝑀_𝑅𝑑+ 𝑘 ∙ 𝑁_{𝑐,𝑅𝑑} ⁽³⁹⁾

där 𝑁_{𝑑,𝑚𝑎𝑥} är böjknäckningskapaciteten. Enligt Kvist och Ingvarsson (2019) är 𝑘 = 0.03 ett rimligt värde för proportionalitetsfaktorn.

2.3.8 Deformation av bjälklag enligt Gamma-metoden

2.3.8.1 Nedböjning

Den maximala nedböjningen för en fritt upplagd balk vars bärriktning är i x-led kan beräknas med Gamma-metoden enligt ekvation (40):

𝑤_𝑚𝑎𝑥 = 5 ∙ 𝑞 ∙ 𝐿⁴

384 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓}≤ 𝐿

300 ⁽⁴⁰⁾

där 𝑤_𝑚𝑎𝑥 är maximal nedböjning, q är jämnt utbredd last, 𝐿 är balkens fria spännvidd och 𝐸 är elasticitetsmodulen i x-led för de längsgående lamellerna. Om de längsgående skikten har olika värden för elasticitetsmodulen används 𝐸_𝑟𝑒𝑓 istället för 𝐸.

2.3.8.2 Vibration och svikt

Ett vanligt problem i bruksskedet är dynamiska effekter som uppstår i samband med människors rörelser (Svenskt Trä 2017). Eftersom människor upplever vibrationer under 8 𝐻𝑧 som störande bör den lägsta egenfrekvensen för ett bjälklag inte understiga detta värde. I Eurokod 5 beräknas den lägsta egenfrekvensen utifrån balkteori enligt ekvation (41):

𝑓₁= 𝜋

2 ∙ 𝐿²∙ √𝐸 ∙ 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓}

𝑚 ⁽⁴¹⁾

där 𝑓₁ är bjälklagets lägsta egenfrekvens, m är bjälklagets massa i [𝑘𝑔 𝑚⁄ ] och L är bjälklagets spännvidd. Om de längsgående skikten har olika värden för

elasticitetsmodulen används 𝐸_𝑟𝑒𝑓 istället för 𝐸.

Även styvheten med avseende på svikt behöver kontrolleras. Detta görs genom att den initiala nedböjningen för en punktlast av 1 kN beräknas. Nedböjningen jämförs sedan med rekommenderat värde enligt ekvation (42):

𝑃 ∙ 𝐿³

48 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼_{𝑥,𝑒𝑓}≤ 𝑎 ⁽⁴²⁾

där 𝑃 är punktlasten och 𝑎 är nedböjningskravet. Om de längsgående skikten har olika värden för elasticitetsmodulen används 𝐸_𝑟𝑒𝑓 istället för 𝐸. Enligt KL-trähandboken ger Boverket rekommendationen att 𝑎 = 1.5 𝑚𝑚.

2.4 Bisektionsmetoden

Bisektionsmetoden är en algoritm som används för att numeriskt bestämma rötter till icke-linjära ekvationer (Megbil 2018). För att använda metoden behöver funktionen vara kontinuerlig och ändra tecken inom ett intervall [a, b]. Om dessa villkor uppfylls finns det minst en rot i intervallet, enligt satsen om mellanliggande värden (Bolzanos sats).

Beräkningen (se Figur 3) görs enligt följande:

1. Först väljs ett intervall med kravet att ändpunkterna 𝑥_𝑝 och 𝑥_𝑛 ska ge olika tecken för funktionen 𝑓(𝑥). Punkten 𝑥_𝑝 definieras för att ge ett positivt värde för 𝑓(𝑥) och 𝑥_𝑛 definieras för att ge ett negativt värde.

2. Medelpunkten 𝑥_𝑚𝑝 = ^{𝑥𝑝+𝑥𝑛}

2 beräknas.

3. Ett nytt intervall skapas genom att uppdatera en av punkterna utifrån Bolzanos sats. Om 𝑓(𝑥_𝑚𝑝) > 0 sätts 𝑥_𝑝= 𝑥_𝑚𝑝. Annars om 𝑓(𝑥_𝑚𝑝) < 0 sätts 𝑥_𝑛= 𝑥_𝑚𝑝. Steg 2 och 3 upprepas ända tills 𝑓(𝑥_𝑚𝑝) är tillräckligt litet.

Figur 3. Numerisk beräkning av en rot med Bisektionsmetoden. Intervallet halveras vid varje iteration.

2.5 Hållfasthetssortering

Träets materialegenskaper varierar i stor omfattning (Oscarsson 2014). Detta gäller främst densiteten, hållfastheten och styvheten. Eftersom materialet används i bärande

konstruktioner är det viktigt att dess egenskaper kontrolleras på ett noggrant sätt. Då det inte är möjligt att i tillverkningsprocessen kontrollera egenskaperna görs istället en uppskattning och klassificering av virke i olika hållfasthetsklasser (se Tabell 2). Enligt standarden EN 14081-2 ska 95 % av de brädor som tilldelas en viss hållfasthetsklass ha en böjhållfasthet och densitet som överstiger klassen karakteristiska värde (se Figur 4).

Virket ska även ha ett medelvärde för elasticitetsmodulen vid böjning som överstiger 95

% av klassens värde. Utifrån dessa värden uppskattas de övriga materialparametrarna som anses gälla för respektive hållfasthetsklass vilka specificeras i standarden EN 338 (2016).

Figur 4. Uppdelning i tre olika hållfasthetsklasser utifrån ett osorterat mateiral. Figuren är hämtad från Svensk Trä (2016). Publiceras med medgivande av upphovsrättsinnehavaren.