Nedan diskuteras resultat från analys utifrån studiens syfte och frågeställningar, detta med koppling till studiens tidigare forskning. I denna studie har vi undersökt hur geometriska objekt framställs i olika läromedel och hur kritiska aspekter synliggörs genom variationsmönster i läroböcker för grundskolans årskurs 4. Resultatet bidrar med en insikt om lärobokens kvalitet gentemot kursplanens mål, vad bokens geometriska uppgifter kring geometriska objekt behandlar och vad som behöver kompletteras.
8.1 Resultatdiskussion
I alla tre läroböcker har eleven möjlighet att arbeta med de geometriska objekten från första van Hiele-nivån till och med den tredje van Hiele-nivån. Inga läroböcker kunde uppfylla van Hiele- nivåerna fullt ut eftersom den fjärde- och femte van Hiele-nivån inte kunde identifieras i böckerna.
Resultatet av läromedelsanalysen visade att “Matematikboken Alfa” kunde kategoriseras utifrån van Hiele nivå 1–3 för att framställa geometriska objekt. Bokens uppgifter för geometriska objekt använder främst van Hiele- nivå 2: Analys men även uppgifter som är på väg mot nivå 3: Abstraktion av van Hiele nivåerna. Man har redan på den tredje nivån har passerat de formella krav på geometrikunskaper som ställs i dagens grundskola (ibid., 2011, s.173–174).
Som tidigare nämnt i analysen finns det uppgifter i läroboken som använder sig av begreppen
hörn och sida det står dock inte vart dessa begrepp befinner sig i en figur. Exempelvis står det i
uppgifterna för geometriska figurer att en triangel har ”tre hörn”, det står dock inte vad hörn i en triangel är. Elever som hoppat över nivå 1: Igenkänning genom visualisering har haft svårt med nivå 2:
Analys och nivå 3: Abstraktion, på grund av att undervisningen startar på en hög nivå (Hedrén,
1992). Om eleven inte har haft en genomgång av van Hiele- nivå 1: Igenkänning genom visualisering under sina tidigare år kan det skapa en negativ konsekvens för elevens geometriska utveckling (ibid., 1992). För att lyckas på nästa nivå ska man ha tillägnat sig strategierna för den förra nivån (Holmberg, 2011).
Vidare visade resultatet att egenskaperna för geometriska objekt synliggörs genom variationsmönster i “Matematikboken Alfa” som är kontrastering och generalisering. Att kunna beskriva och redogöra för geometriska figurer, inbördes relationer och relationer mellan figurer är
44
en grundförutsättning för att lösa problem kopplade till geometri. För att detta ska bli möjligt krävs det att eleverna har kunskap om figurernas egenskaper och inte enbart känner igen dem från deras utseende (Karlsson & Kilborn, 2015). Den kritiska aspekten hörn och sida kan missuppfattas i uppgifterna eftersom positionen för dessa begrepp i en figur som tidigare nämnt inte beskrivs. Om elever missuppfattar några viktiga begrepp i matematiken kan det blockera för fortsatt inlärning. Deras inkorrekta kunskaper kan förvränga förutsättningarna för förståelsen av ett senare moment. Det är därför nödvändigt att följa upp vad eleverna inte kan och på vilket sätt de missförstått ett begrepp (Bentley & Bentley, 2016, s. 8–9). För att urskilja de kritiska egenskaperna i Alfa matematikboken behöver eleverna uppleva variation i lärobokens uppgifter. Genom att använda sig av flera olika månghörningar till samma uppgift skapas en variation som väcker elevernas intresse till att förstå hur alla dessa figurer kan tillhöra samma kategori. Detta är det som Marton och Tsui (2003) kallar för generalisation. På så sätt har eleverna möjlighet att uppleva att en månghörning alltid är en månghörning oavsett om den ser ut som en kvadrat eller romb. Genom att man skapar uppgifter i läromedel med olika dimensioner av variation i innehållets egenskaper kan det gynna eleverna i deras lärande.
Resultatet av läromedelsanalysen på “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” visade att uppgifterna kunde kategoriseras utifrån van Hiele - nivåerna 1 till 3. Uppgifterna utgick framförallt utifrån nivå 1: Igenkänning genom visualisering då eleverna ska identifiera de geometriska former som finns i deras omgivning. Hedrén (1992) nämner att det är viktigt att eleven får börja på van Hiele- nivå 1: Analys eftersom det är grundläggande och att eleven behöver genomgå nivåerna i den ordning de är strukturerade efter. Däremot visar resultatet i denna studie att läroboken “Matte Direkt Borgen” har färre uppgifter som kan kategoriseras utifrån van- Hiele nivåerna 1: Igenkänning
genom visualisering. Eleverna behöver en varierad undervisning och språk som är kopplad till
geometriska begrepp för att förstå exempelvis kvadratens egenskaper (Löwing, 2011). Variation behövs även för att synliggöra lärandeobjektet på olika sätt för att uppnå full förståelse för det. Genom variation kan innehållet mötas ur olika perspektiv och därmed kan dess olika aspekter uppmärksammas (Lo, 2014).
För att kunna klassificera geometriska figurer, till exempel avgöra skillnaden mellan en kvadrat och en rektangel, räcker det inte med att bara känna igen figurerna (Löwing, 2011). Uppgifterna i “Koll på matematik” kunde även kategoriseras utifrån Van Hiele -Nivå 2: Analys genom att eleven ska jämföra och resonera mellan två geometriska objekt. Liknande uppgifter fanns i både boken 4a och 4b vilket kan vara positivt för eleverna vid användning av ”Koll på matematik” läroboken eftersom
45
tidigare studier tyder på att eleverna inte får arbeta tillräckligt med de geometriska objektens egenskaper (Holmberg, 2011).
I “Matte Direkt Borgen” fanns det också uppgifter som kunde kategoriseras utifrån van Hiele- nivå 2: Analys. Ett exempel på en uppgift som har kategoriserats som van Hiele- nivå 2 är att eleven ska tala om hur många sidor och vad formen på sidorna kallas på en kub, rätblock och en tetraeder. I “Matte Direkt Borgen” finns det inga uppgifter där objekten ska jämföras med varandra eller där deras egenskaper ska beskrivas vilket Holmberg (2011) tar upp att det är väldigt vanligt i läroböcker. Resultatet visar att det är få uppgifter som kunde kategorisera utifrån van Hiele- nivå 3: Abstraktion
i “Koll på matematik” och i “Matte Direkt Borgen”. Uppgifterna handlade om att eleven ska
konstruera tredimensionella objekt som är utvikta. För att lösa uppgiften behöver eleven förstå begreppen för de geometriska objekten och även ha en variation av begrepp för att skapa förutsättning för en djupare förståelse (Löwing, 2011). Eftersom dessa uppgifter definieras som mer “utmanande” i både “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” kan det hända att eleverna inte väljer att utmana sig själva och därför finns det risk för att elever kan befinna sig på olika nivåer av van Hiele. Under arbete med olika uppgifter ska eleven även kunna växla mellan olika nivåer (Holmberg). Om man skulle låta elever arbeta med analyserande uppgifter innan man går vidare till beräknande uppgifter skulle eleverna få större möjlighet att begripa geometri.
Enlig Löwing och Kilborn saknar många lärare didaktiska kunskaper gällande geometri vilket beror på att lärare inte fått möta intressant geometriundervisning under sin skoltid eller haft en hållbar geometrididaktisk teori under sin lärarutbildning. Här borde man välja ett hållbart alternativ för att undervisa grundläggande geometri, som exempelvis använda van Hiele - nivåerna. (Löwing & Kilborn, 2010).
Vidare visade resultatet att “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” använder olika variationsmönster för att framställa de geometriska objekten. I både “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” förekom alla tre variationsmönster, det vill säga kontrast, generalisering och fusion. Kontrast är det variationsmönster som förekommer i störst utsträckning i båda läroböckerna i både 4a och 4b. Däremot förekom fusion i mindre utsträckning i “Koll på matematik” 4a och 4b medan generalisering inte förekom alls i 4b men i mindre utsträckning i 4a.
I “Matte Direkt Borgen” förekom Generalisering i samma utsträckning som kontrastering i boken 4b. Fusion förekom i minst omfattning i 4a och 4b. Variation behövs för att synliggöra lärandeobjektet
46
på olika sätt för att uppnå full förståelse för det. Genom variation kan innehållet mötas ur olika perspektiv och därmed kan dess olika aspekter uppmärksammas (Lo, 2014, s.122).
Resultatet visade att de kritiska aspekterna av geometriska objekt förekom i “Koll på matematik "genom begreppen vinkel, hörn och sida i störst omfattning i böckerna 4a och 4b. För att förklara begreppen tydligt användes bildmodeller av geometriska objekt i samband med begreppen för att eleven ska nå en fullförståelse. Begreppen förekom även i “Matte Direkt Borgen” 4a och 4b, i samma utsträckning som i läroboken “Koll på matematik”. Det är viktigt att ha en förståelse vad ett begrepp betyder eftersom definition av ett begrepp innehåller de viktigaste egenskaperna som krävs för att förstå ett exempel inom ett begreppsområde (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008). Förutom begreppen sida, vinkel och hörn behöver eleven kunna identifiera ett objekt oavsett dess läge eller position (Löwing, 2011). Eleverna behöver känna till olika objekt ur olika perspektiv, vilket innebär att oavsett om ett objekt är stående, liggande, vridet eller är vänt upp och ner, är det fortfarande samma objekt (ibid.). Resultatet visade dock att endast det geometriska objektet triangeln ändrar både läge och position i böckerna ”Koll på matematik” 4a och ”Matte Direkt Borgen” 4b. Desamma gäller för det geometriska objektet rektangeln. Att eleven möter objekten i olika positioner, läge och former, exempelvis i ett liggande eller stående position, gör att elevens förståelse utvidgas (Resnick et al. 2016). Där det minst förekommer att de geometriska objekten ändrar läge och position är i läroböckerna “Koll på matematik” 4b och “Matte Direkt Borgen” 4a, vilket innebär att eleven inte möter alla geometriska objekt i olika perspektiv.
47