Van Hiele nivåerna i matematikläromedlen

I en kategorisering av van Hiele- nivå 1: igenkänning genom visualisering vilket är att geometriska objekt kan identifieras genom uppfattningsförmåga av eleven. Exempelvis kan eleverna identifiera en rektangel genom att den liknar ett fönster eller att en kub liknar en tärning. I van Hiele- nivå 1 är inte eleverna medvetna om egenskaperna utan bara helheten.

Uppgifter som handlar om att man ska känna igen ett geometriskt objekt har vi kategoriserat uppgifterna utifrån van Hiele- nivå 1. Ett exempel på en sådan uppgift i “Koll på matematik” 4a är att eleven ska se sig omkring och ge exempel på saker som har formen av en rektangel, cirkel, triangel och kvadrat. Det syns att eleven känner igen formen på det geometriska objektet genom visualisering genom att titta runt i sin omgivning (figur 37 nedan). Det finns liknande uppgifter i “Koll på matematik” 4b fast som introducerar de tredimensionella geometriska objekt.

Figur 37. Exempel på van Hiele- nivå 1: Igenkänning genom visualisering i Koll på matematik 4a (2015), s. 34. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Kategorisering av van Hiele- nivå 2: Analys, ska eleven som befinner sig i denna nivå dels känna igen geometriska objekt genom uppfattningsförmåga och även analysera egenskaper hos dessa objekt empiriskt, exempelvis vika papper, mäta, rita på rutat papper eller använda geobräde. De kan alltså känna igen egenskaperna hos exempelvis en kvadrat – att figuren har fyra hörn och fyra sidor. Ett exempel på en uppgift som vi har kategoriserat som van Hiele- nivå 2 är - “vad är det för likheter och skillnader mellan en kvadrat och en rektangel?” (se figur 38 nedan). För att kunna lösa uppgiften krävs det att man har en uppfattning om vad en rektangel och en kvadrat är och ha kunskapen om vilka egenskaperna dessa har. När vi kategoriserade uppgiften efter nivå 2 utgick vi från att eleverna har denna förkunskap, - objektens egenskaper - därför kan eleven lösa uppgiften.

37

Eleven behöver dock inte kunna att en rektangel är en kvadrat, vilket är en egenskap som tillkommer i van Hiele- nivå 3: Abstraktion.

Figur 38: Exempel på van Hiele- nivå 2: Analys i Koll på matematik 4a (2015), s. 34. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Kategoriseringen av van Hiele- nivå 3: Abstraktion utgick vi från att eleven kan logiskt ordna figurer och förstå sambandet mellan egenskaperna hos geometriska figurer, exempelvis “att alla kvadrater är rektanglar, men att alla rektanglar inte är kvadrater” (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén, 1992, s.28). På van Hiele- nivå 3: Abstraktion krävs tidigare erfarenhet från nivå 1: igenkänning och nivå 2:

Analys som stöd för elevens kognitiva tänkande. Eleven kan nu också se sambandet mellan

geometriska objektens egenskaper. Ett exempel på en uppgift som vi kategoriserade som van Hiele-nivå 3: Abstraktion är problemlösningsuppgifter som handlar om att eleven ska konstruera tredimensionella geometriska objekt med hjälp av tändstickor och häftmassa. En elev som befinner sig på van Hiele-nivå 3: Abstraktion kan tänka abstrakt och känner till dels egenskaperna samt sambandet mellan egenskaperna hos geometriska objekt. Det är en förutsättning för att kunna lösa uppgifter på van Hiele-nivå 3 (se figur 39 åt vänster nedan). Ett annat exempel på en sådan uppgift är att eleven ska rita en kub som är utvikt på olika sätt. En elev som befinner sig på nivå 3 förstår sambandet mellan en kvadrat och en kub och kan därför lösa uppgiften (se figur 40 åt höger nedan).

Figur 39 och 40: Exempel på van Hiele- nivå 3: Abstraktion i Koll på matematik 4b (2015), ss. 116–117. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

38

Kategorisering av van Hiele- nivå 1: igenkänning genom visualisering har vi följt de som utmärker nivå 1. Även här har uppgifter som handlar om att man ska känna igen ett geometriskt objekt kategoriserats efter van Hiele- nivå 1. Exempel på en sådan uppgift i “Matte Direkt Borgen” 4a är att eleven ska ange formen på verklighetsbaserade objekt. Eleven känner igen formen och kan identifiera den geometriska formen genom uppfattningsförmåga (se figur 41 nedan åt vänster). En annan uppgift i 4b boken är att eleven ska identifiera rätt månghörning och därefter rita en månghörning efter antalet hörn (se figur 42 nedan åt höger). På van Hiele- nivå 1: igenkänning genom

visualisering känner eleven till hur en månghörning ser ut och förstår att man ska räkna hörnen.

Figur 41 och 42: Exempel på van Hiele- nivå 1: Igenkänning genom visualisering i Matte Direkt Borgen (2012) 4a s. 80 och 4b s. 72. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Kategorisering av van Hiele- nivå 2: Analys, har vi utgått efter de som utmärker nivå 2. Eleven kan känna igen geometriska figurer genom uppfattningsförmåga och kan även analysera egenskaper hos figurer empiriskt. De kan alltså känna igen egenskaperna hos exempelvis en kvadrat – att figuren har fyra hörn och fyra sidor. Ett exempel på en uppgift (se figur 43 nedan åt vänster) som har kategoriserats som van Hiele- nivå 2 är att eleven ska tala om hur många sidor och vad formen på sidorna kallas på en kub, rätblock och en tetraeder. För att kunna lösa uppgiften krävs det att eleven har en uppfattningsförmåga om att det är tredimensionella geometriska objekt samt känna till egenskaperna sida och formen på en sidoyta. Exempel på två uppgifter ur 4b ska eleven tala om vilka beskrivningar som passar till triangeln på bilden (se figur 44 nedan åt höger). När vi kategoriserade uppgifterna efter van Hiele- nivå 2, utgick vi från att eleverna har denna förkunskap, - objektens egenskaper - därför kan eleven lösa uppgifterna.

Figur 43 och 44: Exempel på van Hiele- nivå 2: Analys i Matte Direkt Borgen (2012) 4a s. 81 och 4b s. 84. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

39

Kategoriseringen av van Hiele- nivå 3: Abstraktion utgick vi från att eleven kan logiskt ordna figurer och förstå sambandet mellan egenskaperna hos geometriska figurer. På van Hiele- nivå 3 krävs tidigare erfarenhet från nivå 1; igenkänning och nivå 2: Analys som stöd för elevernas kognitiva tänkande. Eleverna kan nu också se relationer mellan geometriska objektens egenskaper. Ett exempel på en uppgift som vi kategoriserade som van Hiele-nivå 3: Abstraktion handlar om att eleven ska rita av en kub som är utvikt och låta sidorna vara fem centimeter långa och sedan klippa och vika ihop till en kub (se figur 45 nedan).

En elev som befinner sig på van Hiele-nivå 3 Abstraktion, kan tänka abstrakt och känner till dels egenskaperna hos geometriska objekt men även sambandet mellan egenskaperna hos geometriska objekt. Därför kan eleven konstruera tredimensionella geometriska objekt. Eleven förstår sambandet mellan en kvadrat och en kub och kan därför lösa uppgiften.

Figur 45: Exempel på van Hiele-nivå 3: Abstraktion i Matte Direkt Borgen 4a (2011), s. 95. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

I en kategorisering av van Hiele nivå 1: Igenkänning genom visualisering, finns en uppgift i “Alfa Matematikboken” där eleven ska namnge olika figurer genom att se en bild på dessa. På denna nivå lär sig elever att använda visuell uppfattning och icke-verbalt tänkande. De känner igen geometriska figurer som en helhet men de tar inte hänsyn till egenskaperna hos geometriska figurer. De kan jämföra figurerna med deras prototyper, exempelvis ”det ser ut som en triangel”, (se figur 46 nedan åt vänster).

Figur 46 och 47: Exempel på van Hiele- nivå 1: Igenkänning genom visualisering och van Hiele- nivå 2: Analys i Alfa Matematikboken (2011), s. 213 och s. 210. Liber AB.

40

I boken inleds kapitlet om geometriska former med en aktivitet som eleverna ska göra med hjälp av papper, penna och sax. Denna uppgift kan kategoriseras till van Hiele- nivå 2: analys då eleven får analysera egenskaper hos figurer empiriskt genom att vika papper, mäta och rita på rutat papper (se figur 47 ovan åt höger).

Eleven har under kapitlets gång fått veta att ”om alla fyra sidorna i en rektangel är lika långa är det en kvadrat”. Det innebär att eleven har fått kännedom kring kvadratens egenskaper och bör därmed kunna besvara frågan på uppgift 872 (se figur 48 nedan) och hamna på nivå 3: Abstraktion av van Hiele som innefattar att eleven kan logiskt ordna figurer och förstår sambandet mellan egenskaperna hos geometriska figurer, exempelvis “alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater”.

Figur 48: Exempel på van Hiele- nivå 3: Abstraktion i Alfa Matematikboken (2011), s. 216. Liber AB.

Vi kunde inte identifiera några uppgifter som kunde kategoriseras enligt van Hieles nivåer fyra:

Deduktion och fem: Stringens. Vi antar att det är på grund av att nivåerna ligger på en mer avancerad

nivå.

7.4 Variationens betydelse för tydliggörande av kritiska aspekter – på olika van Hiele- nivåer

Alfa matematikboken visar i uppgiften som handlar om månghörningar att eleven får sedan innan veta om figurens kritiska egenskaper vilket leder till att eleven med hjälp av dessa egenskaper kan svara att det är en månghörning men ändå veta att det även kan vara en kvadrat och rektangel. Detta på grund av att figurer som har flera hörn kallas med ett gemensamt namn för månghörningar. En elev som har löst dessa uppgifter och gått igenom förklaringen i boken hamnar därmed i nivå 2: Analys av van Hiele. På så vis kan eleven analysera och namnge egenskaper för vissa geometriska figurer. I uppgiften där eleven ska rita en kvadrat med sidan 7 cm och därefter beräkna omkretsen behöver eleven sedan tidigare ha koll på begreppen hörn och sida samt vart dessa begrepp befinner sig i en figur då detta är något som inte nämns i läroboken. Exempelvis står det i uppgifterna för geometriska figurer att en triangel har ”tre hörn”, det står dock inte vad hörn i en triangel är. Det förekommer däremot att en kvadrat har fyra lika långa sidor vilket kan hjälpa

41

eleven att förstå uppgiften på ett annat vis. En elev som dock inte tidigare fått en undervisning kring begreppen hörn och sida kommer ha svårt att förstå nivå 2: Analys och nivå 3: Abstraktion av van Hiele. Detta nämns även på tidigare forskning där elever som hoppat över nivå 1: igenkänning

genom visualisering har haft svårt med nivå 2: analys och nivå 3: abstraktion, detta på grund av att

undervisningen startar på en hög nivå (Hedrén, 1992).

“Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” har flera uppgifter som handlar om att eleverna ska känna igen geometriska objekt. En elev som har löst dessa uppgifter hamnar på van Hiele-nivå 1: Igenkänning genom visualisering. Ett exempel på sådan uppgift är i “Matte Direkt Borgen” är att eleven ska känna igen geometriska objekt med hjälp av bilder på verklighetsbaserade föremål exempelvis ett paket som ska föreställa en kub eller att en trafikskylt ska föreställa formen på en triangel. Detta lär sig elever i skolan redan i förskoleklass, att känna igen objekt men har inte förståelsen av betydelsen av figurer och deras egenskaper tills senare år i grundskolan (Löwing & Kilborn, 2010, s. 10).

För att kunna klassificera geometriska figurer, till exempel avgöra skillnaden mellan en kvadrat och en rektangel, räcker det inte med att bara känna igen figurerna. Eleverna behöver en varierad undervisning och språk som är kopplad till geometriska begrepp för att förstå exempelvis kvadratens egenskaper (Löwing, 2011, s. 23). Variation behövs även för att synliggöra lärandeobjektet på olika sätt för att uppnå full förståelse för det. Genom variation kan innehållet mötas ur olika perspektiv och därmed kan dess olika aspekter uppmärksammas (Lo, 2014, s.122). Det är här eleven hamnar på van Hiele- nivå 2 som handlar om att kunna analysera de geometriska figurernas egenskaper. Det krävs att eleven har förståelse för begreppen sida, vinkel och hörn för att förstå vad geometriska objekt är. Dessa begrepp blir därför kritiska aspekter eftersom man kan med hjälp av dessa begrepp kan synliggöra likheter och skillnader mellan olika geometriska objekt (ibid., 2011, s. 25). Ett exempel är att man ska belysa vad som definierar samt inte definierar en rektangel, detta förekommer exempelvis i en uppgift i “Koll på matematik” där eleven ska jämföra två objekt med varandra.

I både “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” finns det bilder och begrepp där det visar tydligt definitionen av egenskapen som det geometriska objektet har, exempelvis vad ett hörn på en kvadrat är, sidoytan på en kub osv. De kritiska aspekterna synliggörs här genom fusion då de sammanför begrepp till en djupare förståelse. Eleven får syn på variationen mellan olika objekt och av det enskilda objektet. Det är viktigt att synliggöra både likheter och skillnader hos ett geometriskt

42

objekt för att uppnå en full förståelse (Lo, 2014, ss.117–122). Ett exempel på en sådan uppgift från boken “Matte Direkt Borgen” handlar om att eleverna ska exempelvis tala om hur många sidor och vad sidorna heter på det geometriska objektet kub. Ett ytterligare exempel på en sådan uppgift i “Koll på matematik” är att eleven ska tala om vilka likheter och skillnader det finns mellan en kvadrat och en rektangel. För att kunna lösa uppgiften krävs det att man har en uppfattning om vad en rektangel och en kvadrat är och ha kunskapen om vilka egenskaperna dessa har. Vidare har eleverna möjlighet att arbeta med de geometriska objekten på van Hiele- nivå 3: Abstraktion. Eleven behöver tänka abstrakt på denna nivå vilket innebär, förutom att ha kunskaperna från de två tidigare van Hiele nivåer, behöver eleven även känna till relationerna mellan egenskaperna hos geometriska objekt. Ett exempel på en uppgift i “Matte Direkt Borgen” handlar om att eleven ska rita av en kub som är utvikt vars sidor är fem centimeter långa och sedan klippa och vika ihop till en kub. Eleven som har löst denna uppgift förstår att det finns ett samband mellan egenskaperna hos en kvadrat och en kub och kan därför lösa uppgiften. Ett liknande uppgift fanns även i boken “Koll på matematik” som handlar om att eleven ska konstruera tredimensionella geometriska objekt med hjälp av tändstickor och häftmassa.

Förutom begreppen sida, vinkel och hörn behöver eleven kunna identifiera ett objekt oavsett dess läge eller position. Denna kritiska aspekt som är kopplad till geometriska objekt kallas för rumsuppfattning (Löwing, 2011, s. 27). Eleverna behöver känna till olika objekt ur olika perspektiv, vilket innebär att oavsett om ett objekt är stående, liggande, vridet eller är vänt upp och ner, är det fortfarande samma objekt (Ibid.). Att eleven möter objekten i olika positioner, läge och former, exempelvis i ett liggande eller stående position, gör att elevens förståelse utvidgas (Resnick et al. 2016). Ett exempel på en uppgift är att trianglar antar olika positioner och lägen. I koll på matematik förekommer likbenta och rätvinkliga trianglar men definieras som trianglar. Eleven kan förstå att oavsett om trianglarna ser ut på olika sätt, räknas alla inom kategorin trianglar. Här synliggörs de kritiska aspekterna av geometriska objektet triangel genom generalisering som används för att lyfta fram likheter inom ett specifikt geometriskt objekt för att eleverna ska få en djupare förståelse (Lo, 2014, ss.113–116).

Kontrastering används i uppgifterna genom att de geometriska objekten ställs i kontrast till varandra

genom olika färger. Genom att sätta två objekt mot varandra kan man se dess olikheter. Ett sätt för att förstå vad någonting är kan det jämföras med något som det inte är (Lo, 2014, ss.104–108). Ett exempel på en uppgift i “Matte Direkt Borgen” 4a är att både två- och tredimensionella objekt sätts i kontrast till varandra och eleven ska tala om vilken objekt som har respektive färg.

43