En analys av vilka möjligheter för lärandet som skapas i matematikböcker

En analys av vilka

möjligheter för lärandet som skapas i

matematikböcker

- Med fokus på geometri i åk 4

Amani Syala Minna Selmansson

Handledare: Olov Virman Examinator: Anneli Dyrvold

Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Självständigt arbete 2 för grundlärare Fk-3 och 4-6, 15 hp

2

Sammanfattning

Syftet med denna studie är att undersöka hur och vilka geometriska objekt som framställs i uppgifter i läroböcker för matematik. Syftet är även att undersöka hur innehållet synliggörs utifrån variationsmönster samt hur dessa kan lyfta fram kritiska aspekter för geometriska objekt. Tre läroböcker har använts och dessa är riktade mot årskurs 4. Läroböckerna har analyserats genom en innehållsanalys utifrån från variationsteorin och van Hiele- nivåerna. Detta har genomförts genom att kategorisera uppgifterna efter van Hiele- nivåerna och genom kritiska aspekter för geometriska objekt. Van Hiele-teorin är en modell för hur elever kan lära sig geometri. Teorin består av fem hierarkiska nivåer där alla nivåer måste genomföras i en specifik ordning och ingen nivå kan hoppas över. Variationsteorin är en lärandeteori där lärande ses som en förändring och där kritiska aspekter är viktiga delar av ett lärandeobjekt. Resultatet visar att kontrast var det mest förekommande variationsmönster i läroböckerna. Fusion och generalisering fanns i mindre utsträckning i “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen”, medan i generalisering inte kunde hittas alls i “Alfa Matematikboken”. De geometriska begreppen sida vinkel och hörn kunde synliggöras genom kontrast och begreppet rumsuppfattning genom generalisering. Resultatet för van Hiele- nivåerna visar att alla läroböckerna innehöll tvådimensionella objekt men tredimensionella förekom inte i

“Alfa Matematikboken”. Uppgifterna kunde kategoriseras utifrån van Hiele- nivå 1: igenkänning genom visualisering och nivå 2: Analys i “Matte Direkt Borgen” 4a och 4b samt i “Koll på matematik”

4a och 4b, medan van Hiele- nivå 1 var svårare att hitta i “Matematikboken Alfa”. Däremot fanns det uppgifter som kunde kategoriseras efter nivå 2: Analys och nivå 3: Abstraktion i alla tre läroböcker. Det var ingen lärobok som kunde uppfylla alla van Hiele- nivåerna eftersom inga uppgifter kunde kategoriseras enligt van Hiele nivåer fyra: Deduktion och fem: Stringens. Studiens resultat ger ökad kunskap om hur van Hiele- nivåerna kan användas i granskning av läroböcker samt klargör hur kritiska aspekter kan lyftas fram i läroböcker och vad som eventuellt behöver kompletteras med i undervisningen.

Nyckelord: Läromedel, Van- Hiele, Variationsteori, Kritiska och icke kritiska egenskaper

3

Innehållsförteckning

Sammanfattning ... 2

1. Inledning ... 5

1.1 Arbetsfördelning ... 5

2. Bakgrund ... 6

2.1 Lärobokens roll i matematikundervisningen ... 6

2.2 Geometriska objekt i läroplanen ... 6

2.3 Kritiska aspekter och variation i geometriska objekt ... 7

2.4 Introduktion till Van Hieles teori ... 8

3. Syfte och frågeställningar ... 9

4. Tidigare forskning ... 10

4.1 Möjligheter till lärande ... 10

4.2. Tillämpning av variationsteori ... 12

5. Teoretiska utgångspunkter ... 13

5.1 Van Hiele Teori ... 13

5.2 Variationsteori ... 15

5.2.1 Lärandeobjekt ... 16

5.2.2 Kritiska aspekter ... 16

5.2.3 Variationsmönster ... 17

6. Metod ... 19

6.1 Urval, bortfall och avgränsning ... 19

6.2 Analysmetod ... 20

6.3 Validitet och reliabilitet ... 22

6.4 Etiska överväganden ... 23

7. Resultat och Analys ... 24

7.1 Kritiska aspekter i matematikläromedlen ... 25

7.2 Variationsmönster i matematikläromedlen ... 30

7.3 Van Hiele nivåerna i matematikläromedlen ... 36

4

7.4 Variationens betydelse för tydliggörande av kritiska aspekter - på olika van Hiele- nivåer

... 40

8. Diskussion ... 43

8.1 Resultatdiskussion ... 43

9. Konklusion ... 47

10. Referenslista... 48

5

1. Inledning

En viktig del av en lärares planering och genomförande av undervisning är valet av läromedel. Vi har därför valt att i denna studie göra en jämförande analys av tre olika läroböcker från olika läromedelsserier i ämnet geometri. Geometriska objekt och deras egenskaper är ett genomgående innehåll i alla årskurser. Det kan vara den enklaste nivån av geometri där man är medveten om olika former på föremål i sin omgivning till den mer avancerade där man formulerar satser om samband mellan geometriska objekt och bevisar dessa satser med hjälp av påståenden, definitioner och tidigare bevisade satser. Det är denna breda omfattning av geometri som troligen är anledningen till att lärare och elever missförstår eller talar förbi varandra i detta ämne. (Hedrén, 1992, s. 27).

Anledningen till att vi valt att skriva om det här ämnet är att vi under vår utbildning fått mycket information och många verktyg för att kunna hjälpa elever med svårigheter i geometri. Vi har lärt oss många av de orsaker som ligger bakom de grundläggande problem som kan uppstå för elever med svårigheter med geometri i skolan. Vi har under vår VFU-period upplevt att man använder sig mer av läroböcker i matematik än vad man gör i resterande ämnen. Därför har vi valt att med hjälp av informationen och verktygen vi fått under vår utbildning göra en läromedelsanalys, där vi studerar geometri i läroböcker för årskurs 4.

Eftersom läroböcker är vårt studieobjekt, preciserar vi de didaktiska frågorna till vad läroböckerna förmedlar och förväntas stimulera till, hur innehållet framställs i boken och varför stoffurval och framställning ser ut som det gör. Som hjälp har vi valt att använda oss av den didaktiska triangeln som är en modell där varje hörn representerar en aspekt som påverkar undervisningen. Vi kommer att ha fokus på hur innehåll presenteras i läromedel, som i sin tur knyter an till hur lärare förhåller sig till det och slutligen hur elever förhåller sig till innehållet de får av läraren (Ammert, s. 19–20).

1.1 Arbetsfördelning

Arbetet med studien har i huvudsak genomförts och skrivits gemensamt. Syala har haft huvudansvar för bakgrund, tidigare forskning, metod samt analys och resultat för

“Matematikboken Alfa” läroboken. Selmansson har haft huvudansvar för den teoretiska utgångspunkten, metod samt analys och resultat för läroböckerna “Koll på matematik" och “Matte Direkt Borgen”.

6

2. Bakgrund

I följande avsnitt presenteras lärobokens roll och dess betydelse i matematikundervisning inom geometri. Därefter presenteras geometriska objekt, dess egenskaper och relationer inom matematiska sammanhang i läroplanen. Det kommer även att presenteras hur geometriska objekt kan förstås med hjälp av kritiska aspekter och variationsmönster.

2.1 Lärobokens roll i matematikundervisningen

Enligt Skolverket (2003) tycks matematikundervisning vara det ämne som är mest beroende av en lärobok. Ett bra läromedel kan leda till en positiv utveckling i praktiken, medan en alltför ensidig lärobok användande leder till enformighet och att många elever inte begriper ämnet (Skolverket, 2003, s.40). Skolans undervisning bör i högre grad lära barn i tidig ålder om grundläggande begrepp och egenskaper hos exempelvis geometriska objekt. Detta läggs det inte fokus på i olika läromedel och det kan därför leda till att elever har bristande kunskaper i geometri (Löwing, 2011, s. 7–8).

Geometri är ett sådant område där till synes konkreta objekt, som trianglar och cirklar, visar sig ha många spännande egenskaper när de betraktas som abstrakta företeelser.

Därför bör dessa egenskaper beskrivas i läroböckerna redan från tidig nivå i skolan. Med hjälp av de konkreta objekten, som saker och bilder, kan vi lära oss mycket om de matematiska objekten samt den abstrakta kunskapen vi tillägnar oss. Vidare kan vi då förstå de konkreta objekten på ett djupare plan (Bråting m. fl. 2013, s. 2).

2.2 Geometriska objekt i läroplanen

I mötet med geometriska begrepp och objekt utgår progressionen från de konkreta formerna och dess egenskaper samt relationer till att stegvis övergå till objektets egenskaper och relationer inom matematiska sammanhang. I årskurs 4–6 ska undervisningen behandla grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Geometriska objekt och deras egenskaper är ett genomgående innehåll i årskurs 4–6 och dessa objekt ska elever möta tidigt för att få möjlighet att bekanta sig med objektens utseende och samband. Elever behöver även få tidig undervisning och förståelse om att positionen inte har någon betydelse för den geometriska formen, exempelvis en triangel är fortfarande en triangel även fast den ändrar läge eller intar en annan position än den man är bekant med. Elever får därmed möjlighet att utveckla kunskaper om de enskilda objekten och relationen mellan dessa (Skolverket, 2017, s. 16).

7

2.3 Kritiska aspekter och variation i geometriska objekt

Geometri är ett område i matematik som handlar om former och objekt och för att förstå egenskaperna i dessa behöver eleven behärska grundläggande begrepp och språk (Löwing, 2011, s.

21). För att läraren ska kunna synliggöra likheter och skillnader inom ett geometriskt objekt behöver läraren förstå vilka kritiska aspekter som hör till geometriska objekt (ibid.). Löwing (2011) identifierar begreppen sida, vinkel och hörn samt rumsuppfattning som de kritiska aspekterna med koppling till geometriska objekt. Det krävs att eleven har förståelse för begreppen sida, vinkel och hörn för att förstå vad geometriska objekt är. Dessa begrepp blir därför kritiska aspekter eftersom man kan med hjälp av dessa begrepp kan lyfta fram likheter och skillnader mellan olika geometriska objekt (ibid., 2011, s. 25). Ett exempel är att man ska belysa vad som definierar samt inte definierar en rektangel.

För att eleven ska kunna lära sig de geometriska objekt och förstå dessa i matematikböcker, bör läraren i första hand identifiera vilka svårigheter det finns med att förstå de geometriska objekten.

Det är dock viktigt att matematikuppgifterna från ett geometrikapitel i en lärobok är formade på ett sätt där det synliggörs för eleven vilka skillnader och likheter det finns hos de geometriska objekten (Löwing, 2011, s. 21).

Variation används i studien för att synliggöra de geometriska objekten på olika sätt. Genom att använda variationsmönster i studien kan innehållet i läroböckerna analyseras ur olika synvinklar, därmed kan dess olika aspekter upptäckas (Lo, 2014). För att kunna klassificera geometriska figurer, till exempel avgöra skillnaden mellan kvadrat och rektangel, räcker det inte med att bara känna igen figurerna. Eleverna behöver en varierad undervisning och språk som är kopplad till geometriska begrepp för att förstå exempelvis kvadratens egenskaper (Löwing, 2011, s. 23). Variation behövs även för att synliggöra lärandeobjektet på olika sätt för att uppnå full förståelse för det. Genom variation kan innehållet mötas ur olika perspektiv och därmed kan dess olika aspekter uppmärksammas (Lo, 2014, s.122). Vidare konstaterar Löwing (2011) att de flesta elever inte känner till namnet på olika figurer och vilka egenskaper de har. Lärare har då inte utnyttjat elevens förmåga att från tidig ålder lära sig ord som beskriver figurer, dess namn och egenskaper. När eleven börjar arbeta med geometri i bland annat läromedel är det viktigt att den lär sig namnen på olika delar av geometriska figurer såsom de geometriska begreppen sida, vinkel, och hörn. Med hjälp av dessa ord kan eleven gå från delar till helheter och omvänt och på så sätt urskilja olika objekt (ibid., 2011, s. 25). Exempelvis fyrhörningar, för att kunna se deras egenskaper samt skillnader mellan dem kan man utgå från de nämnda begreppen ovan som är bland annat sida,

8

vinkel och hörn. Om man kan skilja mellan tre grupper av figurer som alla har fyra sidor, fyra hörn och fyra vinklar: oregelbundna fyrhörningar, trapetser och parallellogrammer kan man klassificera de olika fyrhörningarna i familjer och avgöra såväl gemensamma egenskaper som vad som skiljer dem åt (ibid., 2011, s. 54–57). Förutom begreppen sida, vinkel och hörn behöver eleven kunna identifiera ett objekt oavsett dess läge eller position. Denna kritiska aspekt som är kopplad till geometriska objekt kallas för rumsuppfattning (Löwing, 2011, s. 27). Eleverna behöver känna till olika objekt ur olika perspektiv, vilket innebär att oavsett om ett objekt är stående, liggande, vridet eller är vänt upp och ner, är det fortfarande samma objekt (ibid.). Att eleven möter objekten i olika positioner, läge och former, exempelvis i ett liggande eller stående position, gör att elevens förståelse utvidgas (Resnick et al. 2016).

2.4 Introduktion till Van Hieles teori

För att kunna arbeta med att gå från det enkla till det mer generella och abstrakta, behöver man en teori för hur detta kan gå till. Van Hiele-teorin är en sådan struktur som man kan använda sig av under geometriundervisningen (Löwing, 2011, s.174). Van Hiele-teorin har ofta använts som exempel för hur man kan individualisera undervisningen. Tanken är att ett geometriskt problem kan beskrivas och uppfattas på olika sätt och olika nivåer. Elever kan när de behärskar en nivå, byta upp sig till och arbeta på en mer formell nivå. Ett problem, hävdar Löwing, är att van Hiele-teorin utgår från en äldre syn på geometri. Det innebär att man redan på den tredje nivån har passerat de formella krav på geometrikunskaper som ställs i dagens grundskola (ibid., 2011, s.173–174).

Sammanfattningsvis handlar van Hiele-teorin om hur elever lär sig geometri i fem hierarkiska nivåer.

• nivå 1: Igenkänning genom visualisering

• nivå 2: Analys

• nivå 3: Abstraktion

• nivå 4: Deduktion

• nivå 5: Stringens

Nivåerna kommer att förklaras mer ingående med exempel och tydligare definitioner i kapitel 4.

om teoretiska utgångspunkter.

9

3. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att undersöka hur geometriska objekt framställs i uppgifter och hur kritiska aspekter av geometriska objekt lyfts fram genom variationsmönster i läroböcker för grundskolans årskurs 4.

Arbetet utgår från följande frågeställningar:

1. På vilken van Hiele-nivå ges eleverna möjlighet att arbeta med de geometriska objekten såsom de framställs i läroböckerna?

2. Hur lyfts kritiska aspekter fram av geometriska objekt genom variationsmönster?

10

4. Tidigare forskning

I detta avsnitt presenteras forskning som anses relevant för denna studies undersökning. Matematik har alltid varit ett viktigt ämne och det är därför av hög prioritet att undersöka hur och vilka geometriska objekt som framställs i läroböckernas geometriska uppgifter. Avsikten är att med hjälp av denna forskning belysa på vilken van Hiele-nivå. eleverna ges möjlighet att arbeta med geometriska objekt, men även hur kritiska aspekter synliggörs genom variation.

4.1 Möjligheter till lärande

I boken “Geometri och statistik” beskriver Hedrén de två holländska forskarna Dina och Pierres van Hieles nivåer samt hur elevers tänkande i geometri utvecklas. Van Hiele beskriver mer hur inlärningens process bör struktureras än att ange ”mognad” för viss ålder. Det beskrivs fem nivåer som ökar succesivt där de anser att den mesta inlärningen följer dessa nivåer. Det går inte att hoppa över någon av nivåerna för att lära sig fortare utan att det får en negativ konsekvens för elevens geometriska utveckling. Tidigare studier har visat att elever som hoppat över nivå 1:

Igenkänning genom visualisering har haft svårt med nivå 2: Analys och nivå 3: Abstraktion, detta på grund av att undervisningen startar på en hög nivå (ibid., 1992).

Under en forskningscirkel som matematiska utvecklare deltagit i har Britt Holmberg undersökt hur lärare undervisar i geometri och jämfört detta med forskning om geometriundervisning. I undersökningen ingår 40 lärare från förskoleklass till årskurs 9. Studien visar att endast några av lärarna arbetar med beskrivning av geometriska formers egenskaper och relationer. Studien visar även att ingen av lärarna låter eleverna själva undersöka figurernas egenskaper och hur dessa förhåller sig till varandra. Detta på grund av att lärarna oftast använder läroboken. Holmberg menar att det i de flesta läromedel i matematik innehåller uppgifter där eleverna ska visa att de kan känna igen och namnge geometriska former. Det finns dock inte många uppgifter där objekten ska jämföras med varandra eller där deras egenskaper ska beskrivas (Holmberg, 2011, s. 11–12). Vidare skriver Holmberg att kompletterande forskning har visat att elever kan befinna sig på olika nivåer av van Hiele beroende på vilket moment i geometrin det är som behandlas. Under arbete med olika uppgifter ska eleven även kunna alternera mellan olika nivåer. Holmberg håller dock med om att för att lyckas på nästa nivå ska man ha tillägnat sig strategierna för den förra nivån. Om man ser den geometriska undervisningen med hjälp av van Hiele nivåerna kan man se på möjliga förklaringar för elevernas svårigheter. Holmberg skriver att forskning tyder på att elever inte får arbeta tillräckligt med att analysera de geometriska formernas egenskaper. Eleverna behöver med

11

hjälp av läromedel ägna mer tid till nivå 2: Analys (ibid., 2011, s. 13). Holmberg drar slutsatsen att om man skulle låta elever arbeta med analyserande uppgifter innan man går vidare till beräknande uppgifter skulle eleverna få större möjlighet att begripa geometri.

Författarna Bentley & Bentley tar upp fyrhörning som exempel och menar att det är en av de vanligaste fallgroparna för geometri i grundskolan. Många elever är inte säkra på om en kvadrat också kan vara en rektangel eftersom de saknar begreppsbeskrivning av fyrhörningarna (Bentley &

Bentley, 2016, s. 126). Om elever missuppfattar några viktiga begrepp i matematiken kan det blockera för fortsatt inlärning. Deras inkorrekta kunskaper kan förvränga förutsättningarna för förståelsen av ett senare moment. Det är därför nödvändigt att följa upp vad eleverna inte kan och på vilket sätt de missförstått ett begrepp (ibid., 2016, s. 8–9).

I Nämnaren nr 1, 2010 skriver Madeleine Löwing och Wiggo Kilborn om sin undersökning av 20 000 elevers kunskaper i geometri från förskoleklass till årskurs 8. Vid kartläggning av elevernas kunskaper har författarna använt två olika delar där den andra delen av kartläggningen omfattar mätning och geometri. Skälet till att man skapat den andra delen är för att geometri är ett område där svenska elever lyckas mindre bra på i internationella undersökningar som TIMSS (2007). Redan i samband med utprövning av den geometriska delen upptäcktes det allvarliga brister när det gäller elevers kunskapsutveckling i geometri. Många elever till och med högstadiet hade svårigheter med att hantera grundläggande geometriska begrepp. De saknade ett funktionellt språk för att kommunicera geometri då termer som romb och kon var okända för många elever. Författarna har diskuterat med lärare och kommit fram till att lärare ofta saknar didaktiska kunskaper. Detta beror på att lärare inte fått möta intressant geometriundervisning under sin skoltid eller haft en hållbar geometrididaktisk teori under sin lärarutbildning. Man borde redan då ha sett till att bygga upp ett hållbart alternativ för att undervisa om grundläggande geometri, exempelvis som van Hiele teorin (Löwing & Kilborn, 2010, s. 10). Författarna ger ett antal exempel som belyser deras resultat där de menar att elevernas förmåga att redan i unga år uppfatta begreppet symmetri inte har utnyttjats i undervisningen. Redan i förskoleklass lär sig eleverna att känna igen exempelvis en cirkel och kvadrat. Vad som däremot konstateras är att eleverna inte faktiskt vet innebörden av dessa figurer och deras egenskaper till och med senare år i grundskolan. Elever inser inte att kvadraten samtidigt är en parallellogram, en romb och en rektangel, eftersom kvadraten har alla dessa figurers egenskaper samtidigt. Vidare hävdar författarna: För elever som inte behärskar grundläggande geometriska begrepp är det givetvis omöjligt att analysera egenskaperna hos enkla figurer och

12

kroppar och de går därmed miste om väsentliga delar av geometriundervisningen. (Löwing &

Kilborn, 2010, s. 11).

4.2. Tillämpning av variationsteori

Marton och Morris (2002) har diskuterat hur olika lärare låter olika aspekter variera med samma ämnesinnehåll och kommit fram till att vad som varierar i en undervisning har stor betydelse för elevernas lärande. Författarna tar upp exempel om färgen blå och menar att om det skulle vara den enda färgen som fanns skulle man inte lära sig färgen. Kan man inte urskilja något från något annat kan man då heller inte erfara det (ibid., 2002). Eleverna kan inte lära sig att se de kritiska aspekterna i till exempel en fyrhörning om de endast får se en variant av den. För att finna de kritiska aspekterna i det geometriska objektet bör eleven ställa sig frågan: ”vad innebär det att förstå objektet?” (Wernberg, 2005). För att elever ska få ett mer abstrakt tänkande inom geometri behöver de möta ett varierat arbetsinnehåll. Elever ska få arbeta med hur geometriska former är uppbyggda och få beskriva figurernas utseende samt använda sig utav begrepp som exempelvis hörn, sida, vinkel och kant. Att kunna beskriva och redogöra för geometriska figurer, inbördes relationer och relationer mellan figurer är en grundförutsättning för att lösa problem kopplade till geometri. För att detta ska bli möjligt krävs det att eleverna har kunskap om figurernas struktur och inte enbart känner igen dem från deras utseende (Karlsson & Kilborn, 2015). Elever som kan bygga på sin tankegång på kritiska egenskaper befinner sig på den andra van Hiele-nivån. Om eleven sedan påpekar att en figur är en fyrkant för att den har fyra sidor och därför också har fyra vinklar och hörn, tyder detta på att eleven närmar sig nästa nivå enligt van Hiele (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008). För att förstå begreppen för de olika geometriska objekten, exempelvis romb, måste en elev ha en rad andra kunskaper och delar av andra begrepp som utnyttjas för att bygga upp begreppet romb. En viktig förutsättning för djupare förståelse är variation. Eftersom man i nivå 1 av van Hiele inte jämför romben med andra figurer är det då inte möjligt att skilja romben från andra figurer (Löwing, 2011).

Med bakgrund till detta är det intressant att undersöka om van Hiele nivåerna ger eleverna möjlighet att arbeta med geometriska objekt som de framställs i läroböckerna och hur kritiska aspekter synliggörs genom variation i böckerna.

13

5. Teoretiska utgångspunkter

Denna studie kommer utgå ifrån van Hiele teorin och variationsteorin för att få svar på frågorna i syftet. Frågorna är hur och vilka geometriska objekt som framställs i uppgifter och hur kritiska aspekter synliggörs genom variationsmönster i läroböckerna “Koll på matematik”, “Matte Direkt Borgen” och “Alfa Matematikboken” för grundskolans årskurs 4.

5.1 Van Hiele Teori

Van Hiele-teorin består av tre aspekter, dessa är förekomsten av nivåer, nivåernas egenskaper samt framsteg från en nivå till nästa. Hedrén (1992) nämner att van Hiele använde påståendet “Denna figur är en romb” för att illustrera olika nivåer. En elev som befinner sig på nivå 1 kommer inte att förstå någonting annat förutom att detta är en figur som kallas för en romb. En elev som befinner sig på nivå 2 kommer däremot att urskilja egenskaper som framträder hos figuren. Dessa egenskaper kan vara exempelvis att eleven förstår att det är en fyrhörning med lika långa sidor, att diagonalerna skär varandra vinkelrätt, även att diagonalerna skär varandra mitt itu et cetera. På nivå 3 kommer elevens helhetsförståelse för geometriska figurer göra att eleven kan se att en romb har samma egenskaper som en kvadrat och att det därför är praktiskt att en romb är en kvadrat. Som tidigare nämnt menar Hedrén i sin artikel att enligt van Hiele måste eleven gå igenom dessa nivåer i ordning för att tillägna sig strategierna för att succesivt skapa en förståelse.

På varje nivå är man sysselsatt med att skapa en inre ordning åt den föregående nivån. (1992, s.

29).

Det ingår fem nivåer av tänkande eller förståelse i geometri som beskrivs nedan.

• Nivå 1: Visualisering

• Nivå 2: Analys

• Nivå 3: Abstraktion

• Nivå 4: Deduktion

• Nivå 5: Stringens

14

5.1.1. Nivå 1: Igenkänning genom visualisering

Den första van Hiele- nivå benämns i denna studie Igenkänning genom visualisering. På denna nivå lär sig elever att använda visuell uppfattning och icke-verbalt tänkande. De känner igen geometriska figurer som en helhet men de tar inte hänsyn till egenskaperna hos geometriska figurer (se figur nedan). De kan jämföra figurerna med deras prototyper eller vardagliga saker, (“Det ser ut som en dörr”), kategorisera dem (“det är/ det är inte ett”). Eleverna använder ett enkelt språk (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén,1992, s. 28). På nivå 1 identifieras trianglar enbart med vågrät bas som trianglar.

NOT TRIANGELS. TRIANGELS.

Figur 1. Nivå 1-Igenkänning genom visualisering (modifierad efter Vojkuvkova, 2012).

5.1.2. Nivå 2: Analys.

Den andra van Hiele- nivå benämns i denna studie Analys. På denna lär sig eleverna att analysera och namnge egenskaper hos geometriska figurer. De kan ännu inte se sambandet mellan olika geometriska figurer, exempelvis sambandet mellan rektanglar och kvadrater men eleven förstår att motstående sidor på en rektangel är parallella och kongruenta. Eleven kan även analysera egenskaper hos figurer empiriskt genom att vika papper, mäta, rita på rutat papper eller använda geobräde (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén,1992, s. 28).

SQUARES NOT SQUARES

Figur 2. - Nivå 2: Analys (modifierad efter Vojkuvkova, 2012)

15

5.1.3. Nivå 3: Abstraktion

Den tredje van Hiele- nivå benämns i denna studie Abstraktion. På denna nivå kan eleven logiskt ordna figurer och förstår sambandet mellan egenskaperna hos geometriska figurer, exempelvis “alla kvadrater är rektanglar, men alla rektanglar är inte kvadrater”. Eleven kan skapa meningsfulla definitioner och kan ge enkla argument för att motivera deras resonemang samt rita logiska kartor och diagram (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén, 1992, s.28).

=

Figur 3. Nivå 3: Abstraktion. (Vojkuvkova, 2012)

5.1.4. Nivå 4: Deduktion

Den fjärde van Hiele-nivån benämns i denna studie Deduktion och är på en avancerad nivå. På denna nivå kan eleven ge deduktiva geometriska bevis och förstår rollen som definitioner, satser, axiom och bevis spelar i geometrin. De kan bevisa påståenden som exempelvis om trianglar genom att använda axiom men att tänkandet är i allmänhet inte så precist att eleven förstår nödvändigheten av axiom (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén,1992, s.28).

5.1.5. Nivå 5: Stringens

Den femte van Hiele- nivå benämns i denna studie Stringens och är också på avancerad nivå. På denna nivå förstår eleven hur matematiska system skapas och förstår vikten av precision, när man arbetar med geometrins grunder, som till exempel Hilberts axiomsystem för geometrin. De förstår euklidisk och icke-euklidisk geometri samt kan beskriva effekten av att lägga till eller ta bort ett axiom på ett givet geometriskt system (Vojkuvkova, 2012, ss. 72–73, Hedrén,1992, s.28).

5.2 Variationsteori

Variationsteorin har sitt ursprung ur fenomenografi och är en lärandeteori som innefattar hur vi människor upplever ett fenomen på olika sätt. Det finns tre centrala begrepp som ingår i variationsteorin; lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. (Lo, 2014, ss. 26–39).

Variationsteorin är en lärandeteori där lärandet ses ett sätt att utveckla förmågor och kompetenser.

Innehållet i undervisningen, det vill säga, lärandeobjektet står i fokus vilket innefattar det som ska

16

läras ut. Variationen av innehållet är viktigt i undervisningen för att kunskaperna hos elever ska fördjupas. Genom variation i undervisningen ges möjlighet för eleverna att få syn på lärandeobjektet på ett övergripande sätt samt att eleverna lär sig att skilja aspekter från varandra och förstå dess egenskaper (Marton & Booth, 2000, s. 156). Magnusson och Maunula upplyser att lärandet inom variationsteorin är en förändring i sättet att se på ett fenomen än att mata in nya faktakunskaper (2013, ss. 83–85). Vetskapen om vad som skiljer ett lärandeobjekt från ett annat stärker förståelsen för det specifika lärandeobjektet (ibid.). Ett exempel på ett lärandeobjekt kan vara “att kunna beskriva vilka skillnader och likheter det finns mellan likbenta och liksidiga trianglar”. Marton & Fai Pang nämner att man behöver jämföra figurens egenskaper med en annan geometrisk figur och dess egenskaper, för att ta reda på vad som kännetecknar en specifik figur.

Inom variationsteorin får alltså inte en geometrisk figur hela sin betydelse förrän de kritiska aspekterna synliggörs genom variation (2006, s. 3–8).

5.2.1 Lärandeobjekt

Ett lärandemål fokuserar på resultatet av lärandeprocessen och är förbestämt medan lärandeobjektet fokuserar mot början i stället för slutet av lärandeprocessen. Lärandeobjekt omfattar det eleverna ska lära sig för att uppnå lärandemålet (Lo, 2014, ss. 51–53). Eftersom alla elever förstår lärandeobjekt på olika sätt är det viktigt att läraren har en förståelse för vilka egenskaper lärandeobjektet har (Marton & Booth, 2000, s. 160). En lärare måste innan sin undervisning ställa sig frågan om varför eleven behöver lära sig just detta lärandeobjekt. Läraren behöver även fundera över vad eleven kan göra med kunskapen de får, vad kan denna kunskap ge för eleven i framtiden och vilka färdigheter eleven behöver utveckla genom att lära sig lärandeobjektet (Lo, 2014, s.59). Lärarens mål i undervisningen är dessutom att eleverna ska lära sig så mycket som möjligt och att det ska vara meningsfullt som möjligt. Detta bidrar till att läraren kan under lärandeprocessens gång omformulera lärandeobjektet, eftersom lärandeobjektet är dynamisk (Lo, 2014, ss. 34–35).

5.2.2 Kritiska aspekter

Kritiska aspekter handlar om de egenskaper som måste synliggöras hos ett lärandeobjekt, exempelvis geometriskt objekt, för att kunna förstå det (Lo, 2014, s. 80). Eleven måste få hjälp att känna igen de kritiska aspekterna hos ett lärandeobjekt för att de ska kunna ta till sig kunskapen och få en förståelse. Beroende på vilka aspekter som sätts i fokus kan ett lärandeobjekt ses på olika

17

sätt. Genom att förklara och separera de olika kritiska aspekterna hos det lärandeobjekt som ska förstås, förenklas lärandet (Lo, 2014, ss. 80–83). Det är även viktigt att vara medveten om vilka kritiska aspekter som kan framträda hos det utvalda lärandeobjektet eftersom lärare och elever kan se samma lärandeobjekt på olika sätt (Lo, 2014, s. 80, 85, 99).

5.2.3 Variationsmönster

Inom variationsteorin används de fyra variationsmönster; separation, kontrast, generalisering och fusion (Lo, 2014, ss .101–104). Genom att använda dessa i undervisningen kan skillnaderna mellan olika aspekter uppmärksammas. Det räcker inte att man har en förståelse för vad som gör aspekterna lika utan krävs även en kunskap om vad som skiljer dem åt för att få en full förståelse.

Genom att man använder variationsmönster kan man uppnå denna förståelse (Lo, 2014, ss .102–

104).

Separation handlar om att man separerar två lärandeobjekt, exempelvis två geometriska objekt. Detta sker genom att man sätter det ena objektet i förhållande till den andra och sedan ser aspekterna som skiljer sig mellan objekten (Lo, 2014, ss .110–112). Exempel på dessa aspekter kan vara stor och liten. Separation är ett begrepp som ingår i kontrast och generalisering eftersom man kan separera och variera aspekter genom generalisering och kontrast (ibid., 2014). I denna studie kommer separation definieras via generalisering och kontrast och kommer därför inte förekomma mer.

Kontrastering innebär att eleven har förståelsen för skillnaden mellan två olika egenskaper (Lo, 2014, ss. 104). Genom att sätta två objekt mot varandra kan man se dess olikheter. Ett sätt för att förstå vad någonting är kan det jämföras med något som det inte är. Ett exempel är att urskilja kvadrater och rektanglar, kvadrater har lika långa sidor men det har inte rektanglar. Att ha förståelse för skillnader mellan objekten är betydelsefullt för att förstå vad något är (ibid., ss. 104–108).

Generalisering innebär att ett objekt kan anta olika former (Lo, 2014, ss. 113–116). Ett exempel är att en triangel kan både vara rätvinklig och trubbig, vilket innebär att de är olika men båda är trianglar. En triangel kan alltså uppstå i olika former (ibid., 2014). För att eleverna ska få en förståelse kan man först urskilja en triangel genom separation och sedan visa olika slags trianglar.

Till sist förklarar man att alla är trianglar trots dessa skillnader.

18

Fusion innebär att man kan uppfatta flera kritiska aspekter samtidigt (Cheng & Ho, 2008, s. 15). Lo (2014) nämner att syftet är att skapa förståelse för relationen mellan de olika delarna och helheten (s.117). När eleven har förståelsen för delarna och helheten har de nått fusion. Fusion sammanför begrepp till en djupare förståelse, exempelvis när eleven kan koppla samman förståelsen av formen rektangel liknar en dörr. (Lo, 2014, ss. 117–122). Det är viktigt att ha en förståelse att variation i variationsteorin inte syftar på en variation av undervisningsstrategierna utan det riktas mot de kritiska aspekterna hos lärandeobjektet. När vissa aspekter hos lärandeobjektet behålls oförändrade medan andra aspekter varieras skapas ett variationsmönster (Lo, 2014, s. 122).

19

6. Metod

Under detta kapitel presenteras metoden för studien, urval, avgränsning och bortfall av läroböcker, analysmetod, validitet och reliabilitet samt etiska överväganden. Metoden som genomfördes för denna läromedelsanalys är en kvalitativ innehållsanalys med en teoretisk utgångspunkt på variationsteorin och Van Hiele- teorin. En kvalitativ Innehållsanalys innebär att man granskar innehållet i olika slags texter, däribland läroböcker, vilket är syftet med denna studie (Bergström &

Boréus, 2005, s. 44).

6.1 Urval, bortfall och avgränsning

Urvalet av tidigare forskning har vi tagit del från tidigare studiers referenslistor genom granskning och fokus på samma område. Fokus i tidigare forskning låg på läromedlets möjligheter till lärande och inte lärarens möjligheter för elevernas lärande. Referenserna har kvalitetssäkrats via Libris och vi har även sökt ytterligare forskning via söktjänsten Google Scholar. En viktig aspekt att nämna är att vi har analyserat fem läroböcker men som benämns som tre olika i denna studie. Detta eftersom både “Koll på matematik” och “Matte Direkt Borgen” består av 4a och 4b och

“Matematikboken Alfa” består av en lärobok som är avsedd för årskurs 4. Läroböckerna valde vi utifrån ett subjektivt urval som innebär att vi har medvetet valt ut dessa läromedel i förhoppning att de skulle ge en betydelsefull data för vår studie. Ett sådant urval kan användas när man redan vet i förväg vad som ska undersökas (Denscombe, 2009, s. 37). Genom att avgränsa materialet till tre läroböcker kunde vi göra ett djupare analys. Ett särskilt krav var att läroböckerna var grundade på den aktuella läroplanen (Skolverket, 2011) och att de skulle vara utgivna tidigast 2011, eftersom läroplanen är ett styrdokument som används i skolan idag. En viktig aspekt var också att de skulle användas ute i skolorna och att de var avsedda för årskurs 4. Det var även viktigt att läroböckerna skulle behandla geometriska objekt, så mycket som möjligt för att kunna göra en så djup innehållsanalys som möjligt. Gällande urvalet av uppgifter fokuserar vi på endast de uppgifter som berör två- och tredimensionella geometriska objekt. Anledningen till detta är att det framförs i läroplanen att eleverna ska lära sig tvådimensionella objekt såsom kvadrater, cirklar och trianglar men även lära sig de tredimensionella objekten såsom rätblock, kub, pyramider, kon osv.

Nedan presenteras de läroböcker som ska analyseras:

Koll på Matematik är ett läromedel som riktar sig från förskoleklass upp till årskurs 6. Den är skriven av lärarna Hanna Almström och Pernilla Tengvall. Den senaste upplagan för årskurs 4 pub- licerades år 2014. Det finns två olika böcker för samma årskurs där den första boken, A-

20

boken, är tänkt för det första halvåret i skolan medan den andra, B-boken, är menad för det andra halvåret. Geometriavsnitt kunde hittas både i lärobok A och B. Detta gjorde det möjligt för oss att få ett bredare geometriskt innehåll att arbeta med och analysera. I den här studien används läromedlets senaste upplaga av 4A och 4B, som gavs ut år 2014.

Matte Direkt Borgen Grundbok har en andra upplaga som är reviderad och anpassad till läroplanen 2011. Den är skriven av Margareta Picetti, Pernilla Falck och Kerstin Sundin. Boken finns i en A upplaga och en B upplaga, som båda är riktade för årskurs 4. A-upplagan är gjord första termin, medan B-upplagan är tänkt för andra termin. Geometriavsnitt finns i både A- och B-böckerna av läromedlet och vi har använt oss utav upplaga 2, som gavs ut år 2011 och är reviderad och anpassad efter läroplanen 2011.

Matematikboken Alfa Grundbok är ett ytterligare läromedel som kommer att ingå i analysen.

Den är skriven av Lennart Undvall. Denna grundbok ska kunna täcka för både höst och vårtermin och innehåller ett helt kapitel Geometri. Vi har använt oss av den reviderade serien som kom ut år 2011.

6.2 Analysmetod

Syftet med denna studie är att undersöka hur och vilka geometriska objekt det är som framställs i uppgifter och hur kritiska aspekter lyfts fram av geometriska objekt genom variationsmönster i läroböcker för grundskolans årskurs 4. Detta genomfördes genom att klassificera uppgifterna i läroböckerna utifrån van Hiele- nivåerna. Syftet är även att undersöka hur kritiska aspekter synliggörs genom variationsmönster i läroböckerna vilket genomfördes utifrån variationsteorin genom att bland annat utgå ifrån de kritiska aspekterna för geometriska objekt; sida, vinkel och hörn.

Läromedelsanalysen genomfördes utifrån ett antal frågor för att få en strukturerad analys som möjligt. Vi valde att titta på böckerna individuellt för att inte inkludera våra värderingar i analysen.

Frågorna vi valde att ställa böckerna mot relaterar till forskningsfrågorna. Fråga 1 bidrar till att besvara alla forskningsfrågor medan fråga 2 och 3 besvarar den andra forskningsfrågan:

1. Vilka geometriska objekt förekommer och vilka begrepp används i läroboken för att beskriva geometriska objekt?

2. Vilka av variationsmönsterna separation, kontrast, generalisering och fusion synliggörs i läroboken?

21

3. Hur lyfts de kritiska aspekter fram av geometriska objekt i läroboken?

4. På vilken van Hiele-nivå kan uppgifterna kategoriseras?

I vår analys har vi följt Wästerfors och Rennstams (2015) sätt att analysera kvalitativt material, där de lyfter fram tre sätt att göra det på; sortera, reducera och argumentera (s.220). Enligt Wästerfors och Rennstams (2015) möter man tre problem under processen. Första steget i vår process var att vi först sorterade vårt material och möte ett så kallad “kaosproblem”, som innebär att vi samlade vårt material men hade ingen ordning för det materialet. För att vi skulle lyckas sortera vårt material behövde vi utgå från vår teoretiska utgångspunkt för att sedan lyckas att skapa ordning i vårt material. För att underlätta för oss gjorde vi ytterligare frågor, som nämndes tidigare där vi utgick från studiens teoretiska utgångspunkt, inför vårt analysgenomförande. De tre första frågorna utgick vi från variationsteorin och den fjärde utgick vi från van Hiele- nivåerna. Andra steget i vår process var att reducera vår empiri och mötte ett så kallad “representationsproblem” som innebär att det är omöjligt att ta med allt material i detalj och “visa allt”. Därför valde vi bara det som berör det vi undersöker i vår studie, det vill säga uppgifter som berör två- och tredimensionella geometriska objekt. Det var här vår analys började och utgick från frågorna vi valde att ställa böckerna mot.

I vår studie har vi tolkat olika geometriska objekt och dess innebörd utifrån studiens teoretiska utgångspunkt. Analysfrågor och analysverktyg användes som hjälp vid sammanställningen av kritiska aspekter och förekommande variationsmönster i de analyserande läromedlen. De analysverktyg som vi använde i studien skrev vi som rubriker i analys och resultatdelen, dessa verktyg var kritiska aspekter, variationsmönster och van Hiele- teori. Detta hjälpte oss belysa hur uppgifter framställs i läroböcker för att möjligtvis övertyga läsaren om hur variationsmönster och kritiska aspekter framställs i matematiska läroböcker för åk 4. Genom kritiska aspekter av geometriska objekt har vi utgått från begreppen sida, vinkel, hörn och rumsuppfattning som utgångspunkt. När vi analyserade utifrån variationsmönster utgick vi från kontrast, generalisering och fusion. Som tidigare nämnt har vi definierat variationsmönstret separation genom generalisering och kontrast. Med hjälp av analysverktyget van Hiele har vi analyserat uppgifter och utgått efter vad som utmärker respektive nivå för att sedan kategoriserat uppgifterna.

Analysschemat för van Hiele nivåerna och hur vi skilde dessa ifrån varandra såg ut på följande sätt:

Nivå 1: Igenkänning genom visualisering - utgick vi från att uppgifterna handlade om att eleven ska känna igen geometriska objekt, exempel på en uppgift är att eleven ska se sig omkring i klassrummet eller koppla samman rätt objekt med rätt begrepp.

22

Nivå 2: Analys – utgick vi från uppgifter som handlade om att eleven ska analysera och känna till egenskaper, exempel på uppgift är att eleven ska resonera och jämföra två olika objekt med varandra utifrån dess egenskaper.

Nivå 3-Abstraktion – utgick vi från att uppgifterna handlar om att eleven ska tänka mer utförligt och att det krävs att eleven har både kunskaperna från tidigare nivåer och dessutom känner till olika samband kring egenskaperna.

Sista steget i vår process var att argumentera, som nämns som “auktoritetsproblem”, det innebär att vi behövde göra vår studie synlig i forskarsamhället. Med andra ord behöver man välja något som inte är vanligt bland de tidigare studierna och på så sätt göra studien hörd (Wästerfors och Rennstams, 2015, s. 220). Det finns många studier om läromedelsanalys men vi hittade få som hade ett fokus på både två- och tredimensionella geometriska objekt.

Alla tre stegen i processen var viktiga i vår studie. Vi har med hjälp av studiens teoretiska utgångspunkt och tidigare forskning analyserat, kopplat och diskuterat och på så sätt kommit fram till ett resultat. Vi vill även klargöra att vi endast valde att utgå från de delar av vårt material som vi ansett varit viktiga för studiens innehåll och som ansågs vara nödvändiga för att kunna ge svar på våra forskningsfrågor.

6.3 Validitet och reliabilitet

Validitet betyder tillförlitlighet och reliabilitet betyder trovärdighet. (Klapp, 2015, s. 82). Validitet handlar om huruvida studien mäter det som är tänkt att mätas. Reliabilitet betyder att kvalitén av studiens syfte är central. Det innebär att man ska kunna mäta studien flera gånger, ser man att mätresultatet inte ändras på ett särskilt sätt ökar reliabiliteten (Ibid., 2015, s. 81–83). Syftet med denna studie är att undersöka hur och vilka geometriska objekt det är som framställs i uppgifter och hur kritiska aspekter synliggörs genom variationsmönster i läroböcker för grundskolans årskurs 4. För att öka studiens validitet har vi valt att endast analysera böcker från åk 4 och inte från andra årskurser då vi har större chans att mäta det som är tänkt att mätas.

De tre läromedel som är avsedda för årskurs 4, bildar ett urval där innehållet således blir relevant för studiens syfte. Avgränsningarna har varit en viktig betydelse för att öka reliabilitet, för att ytterligare studier ska få samma resultat när de studerar innehållet i läroböckerna har det varit viktigt att teorierna som analysen gjorts är trovärdiga och använts upprepade gånger vid forskning.

23

6.4 Etiska överväganden

Vid forskning ska etiska beslut alltid övervägas, anledningen är bland annat för att man annars kan bryta mot etiska regler (Bryman, 2018). Det här är dock inget som denna studie berörts av eller behövt ta ställning till då etiska frågor berörs framförallt av de medverkande människorna i uppsatsen, exempelvis vid en intervju. Det enda materialet vi har använt oss av är olika läroböcker och har därför inte behövt skriva på någon form av exempelvis nyttjandekrav eller informationskrav. Däremot behövde vi bilder från läroböckerna för vår analysdel i studien och har därför kontaktat bokförlag Liber AB och Sanoma utbildning AB. Detta gjorde vi via mejl och därmed fått tillåtelse att publicera bilderna i studien.

24

7. Resultat och Analys

Kommande stycken presenterar urval av läroböcker. Underrubrikerna relaterar till forskningsfrågorna enligt följande; Den första forskningsfrågan (På vilken van Hiele-nivå ges eleverna möjlighet att arbeta med de geometriska objekten såsom de framställs i läroböckerna?) besvaras under punkt 7.3 medan den andra forskningsfrågan (Hur lyfts kritiska aspekter fram av geometriska objekt genom variationsmönster?) besvaras under punkt 7.1 och 7.2. Under rubrik 4 utvecklas svaren på forskningsfrågorna 1 & 2 och knyts samman. Efter punkt 7.1 och 7.2 finns det även en summerande tabell med en sammanfattande text för en överblick på resultatet. Inledningsvis kommer det förklaras hur läroböckerna är uppbyggda. Sedan följer en redogörelse för hur kritiska aspekter synliggörs i matematikläromedlen, variationsmönster som är fusion, separation, kontrast och generalisering samt van Hiele nivåerna. Slutligen beskrivs variationens betydelse för tydliggörande av kritiska aspekter – på olika van Hiele-nivåer. I några fall ligger referenser i resultatet som påminner om utgångspunkten för en viss kategorisering och dessa har lagts till då det förväntas göra resultatet mer lättillgängligt.

”Koll på matematik” består av två böcker; 4a och 4b. Geometri kapitlen innefattar olika moment från läroplanen. I 4a boken finns det ett kapitel som omfattar ”geometriska objekt, längd och omkrets” medan i 4b boken finns det ett kapitel som berör ”geometriska objekt, massa och volym”.

Skillnaderna mellan böckerna 4a och 4b är att den förstnämnda handlar om tvådimensionella geometriska figurer och den andra handlar om tredimensionella geometriska figurer. De geometriska objekt som framkommer i 4a boken är; kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb, parallellogram och parallelltrapets. I 4b boken framkommer rätblock, kub, klot, kon, pyramid och cylinder. I 4a och 4b böckerna lär man sig först att igenkänna geometriska objekts utseende och sedan dess egenskaper.

“Matte Direkt Borgen” består av två böcker, 4a och 4b. Boken är en kapitelbok och berör olika moment från läroplanen. Ett avsnitt i böckerna kallas för Bondgården där eleverna kan arbeta med de moment som beskrivs i målen. Sedan gör man en diagnos som finns i boken. Beroende på hur diagnosen gick får de antingen fortsätta med Rustkammaren; träna mer eller Tornet; med mer utmanande uppgifter. Båda böckerna; 4a och 4b har ett geometriskt kapitel, som presenterar olika moment. I 4a boken finns momenten Geometriska objekt, omkrets och gömda figurer och i 4b finns det momenten vinklar, månghörningar och skala. De geometriska objekt som framkommer i 4a boken är; kvadrat, rektangel, triangel, cirkel som är de tvådimensionella geometriska objekt. I

25

samma kapitel förekommer även cylinder, kub, rätblock, tetraeder, klot och korn som är de tredimensionella geometriska objekt. I 4b boken förekommer månghörningar. I båda böckerna lär man sig igenkänna objektens utseende först och sedan lär man sig egenskaperna.

”Matematikboken Alfa” är en lärobok där kapitlet för geometri inleds med olika mål som eleven ska arbeta med samt nå efter avslutat kapitel. Det geometriska kapitlet innehåller ämnesområdet längd, geometriska former, omkrets, sträcka och avslutas med area utifrån läroplanen. I analysen kommer det endast att vara fokus på avsnittet om geometriska objekt. Boken innehåller tre olika nivåer av svårighetsgrader, vilket gör det enkelt för eleverna att arbeta med den kunskapsnivå de befinner sig i. Idén med läroboken är att läraren ska kunna ha gemensamma genomgångar trots att eleverna arbetar med olika nivåer. I slutet av kapitlet finns det träna mera, fördjupning och problemlösning som återigen väljs utifrån elevernas kunskap.

De geometriska objekten behandlas i avsnitt 4 i kapitlet som heter ”geometriska former”. Fokus på kapitlet är att eleven ska känna igen och kunna beskriva vanliga geometriska figurer. Eleven ska även kunna beräkna omkretsen av månghörningar samt kunna beräkna arean av kvadrater och rektanglar. Boken tar upprepade gånger upp de geometriska objekten rektanglar, trianglar och månghörningar. Avsnittet innehåller totalt 9 sidor med uppgifter om geometriska objekt varav en sida som innehåller en uppgiftsaktivitet och heter ”geometripyssel”, tredimensionella objekt behandlas inte i analysen då det inte finns med i läroboken.

7.1 Kritiska aspekter i matematikläromedlen

De kritiska aspekter som beröres i de analyserade läromedlen summeras i tabell 1 nedan innan punkt 7.2. tillsammans med ett summerande text som sammanfattar analysen för punk 7.1.

Det geometriska objektet som framkommer i “Koll på matematik” 4a boken är; kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb, parallellogram och parallelltrapets. De geometriska begrepp som inträffar är sida, hörn och vinkel för att beskriva de geometriska objekten. Det finns även andra begrepp för att beskriva dem såsom parallella sidor och motstående sidor (se figur 4 och 5).

26

Figur 4 och 5: Exempel på kritiska aspekter i Koll på matematik 4a (2014), Sid. 34 och 36. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

De flesta geometriska objekt i 4a boken, ändrar inte läge utan befinner sig mestadels i samma position. De geometriska objekten triangeln och rektangeln presenteras ståendes, liggandes, upp och ner samt åt sidan. Enligt Löwing (2011) behöver eleverna lära sig att se geometriska objekt ur olika perspektiv och oavsett om objektet är stående eller liggande, vänt upp och ner etcetera, är det fortfarande samma objekt. Vilket innebär att eleverna får möta de geometriska objekten triangel och rektangel ur olika perspektiv i “Koll på matematik 4a (se figur 6 och 7 nedan).

Figur 6 och 7: Exempel på kritiska aspekter i Koll på matematik 4a (2014), Sid. 35 och 38. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

I Koll på matematik 4b förekommer de tredimensionella geometriska objekten; rätblock, kub, klot, kon, pyramid och cylinder. De geometriska begrepp som tas upp i denna bok är kant, sidoyta, hörn, basyta och mantelyta för att beskriva de geometriska objekten. Även begreppet tredimensionella objekt förekommer som beskriver dessa objekt som en kategori (Se figur 8 nedan).

Figur 8: Exempel på kritiska aspekter i Koll på matematik 4b (2014), s. 114. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

27

De geometriska objekten ändrar inte läge utan befinner sig mestadels i samma position. Resnick et al. (2016) nämner att det finns ett samband mellan de geometriska objekten och rumsuppfattning.

Rumsuppfattning är en kritisk aspekt för inlärning av de geometriska objekten och för att utvidga sin förståelse för ett objekt bör eleverna därför möta de ur olika perspektiv. Därför är det mer betydelsefullt för inlärningen att eleverna möter exempelvis trianglar i olika former och positioner än att bara möta flera likadana. Detta innebär att eleven inte får möta de geometriska objekten ur olika perspektiv i “Koll på matematik” 4b (se figur 9 nedan).

Figur 9: Exempel på kritiska aspekter i Koll på matematik 4b (2014), s. 130. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

De figurer som framkommer i “Matte Direkt Borgen” 4a boken är både de tvådimensionella och tredimensionella geometriska objekten. Dessa är kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, cylinder, kub, rätblock, tetraeder, klot och korn.

De begrepp som inträffar i 4a boken är sida och hörn för att beskriva både de tvådimensionella och tredimensionella geometriska objekten. Ett annat begrepp som förekommer i boken är kant. (se figur 10 och 11 nedan De geometriska objekten ändrar inte läge utan befinner sig mestadels i samma position. Det enda geometriska objektet som förekommer i ett ändrat läge är en triangel, som ska representera en trafikskylt (se figur 12 nedan åt höger). Som det tidigare har nämnts är rumsuppfattning en kritisk aspekt för inlärning av de geometriska objekten och för att utvidga sin förståelse för ett objekt bör eleverna därför möta de ur olika perspektiv. (Resnick et al., 2016).

Vilket innebär att eleverna inte får möta de geometriska objekten ur olika perspektiv i “Matte Direkt Borgen” 4a.

Figur 10, 11 och 12: Exempel på kritiska aspekter i Matte Direkt Borgen 4a (2011) s. 80. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

28

I “Matte Direkt Borgen” 4b förekommer geometriska objektet månghörning och även trianglar.

De geometriska begrepp som används för att beskriva dem är hörn, sida och vinkel. Begreppet vinkel används i samband med det geometriska objektet triangel och det nämns att en triangel består av tre vinklar (se figur 13 nedan åt vänster). Begreppen hörn och sida används i samband med att beskriva det geometriska objektet månghörning genom att förklara att den får sitt namn efter antalet hörn (se figur 14 nedan åt höger).

Figur 13 och 14: Exempel på kritiska aspekter i Matte Direkt Borgen 4b (2011) s. 70 och 72. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

De geometriska objekten som förekommer i 4b boken ändrar både läge och position. Triangeln presenteras ståendes, liggandes, upp och ner samt åt sidan och rektangeln ställs både ståendes och liggandes. När triangeln beskrivs i olika läge och positioner använder de begreppen rätvinklig, trubbig och spetsig triangel. Månghörning ändrar också läge och position genom att utgå ifrån hur många hörn figuren har (n-hörning). (se figur 20 och 22). Vilket innebär att eleverna får möta de geometriska objekten triangeln och månghörning ur olika perspektiv i “Matte Direkt Borgen” 4b (se figur 15 och 16).

Figur 15 och 16: Exempel på kritiska aspekter i Matte Direkt Borgen 4b (2011), s. 84. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

“Alfa matematikboken” representerar de geometriska objekten som geometriska figurer där rektangel, triangel, kvadrat och månghörning är de objekt som förekommer i boken genom kapitlets gång.

Innan uppgifter för varje figur förekommer finns det sedan innan en förklaring i boken kring vad som kännetecknar figurens kritiska aspekter. Exempelvis står det att trianglar kan se olika ut men de har alltid tre hörn och tre sidor, det är en viss egenskap som triangeln har och som kan gynna

29

eleven till att lära sig begreppet triangel. Trianglarna förekommer i olika positioner, på bilden nedan kan man se hur de ändrar position och läge (se figur 17 nedan).

En kritisk aspekt som en rektangel kan ha är att den har fyra räta vinklar. Den långa sidan kallas för längd medan den korta kallas för bredd. Även rektanglar och dess egenskaper beskrivs under kapitlets gång, (se figur 18 nedan).

Figur 17 och 18: Exempel på kritiska aspekter i Alfa Matematikboken (2011), s. 218 och s.212. Liber AB.

Månghörning förekommer i kapitlet med en förklaring kring vad som kännetecknar figuren.

Därefter är det en uppgift i boken om månghörning som relaterar till den fakta som tidigare getts ut kring vad för egenskaper som månghörningen har, (se figur 19 och 20 nedan).

Figur 19 och 20: Exempel på kritiska aspekter i Alfa Matematikboken (2011), s. 216 och s. 218. Liber AB.

Tabell 1: Kritiska aspekter i de analyserade läromedlen.

Koll på matematik Mate Direkt Borgen Alfa

matematikboken

4a 4b 4a 4b

30

Geometriska objekt:

Kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb,

parallellogram och

parallelltrapets.

Geometriska objekt:

Rätblock, kub, klot, kon, pyramid och cylinder.

Geometriska objekt:

Kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, cylinder, kub, rätblock, tetraeder, klot och korn.

Geometriska objekt:

Månghörningar och trianglar.

Geometriska objekt:

Rektangel, triangel, kvadrat och

månghörning.

Triangel och rektangel ändrar läge och

position.

Ändrar inte läge utan befinner sig mestadels i samma position.

Ändrar inte läge utan befinner sig mestadels i samma position.

Trianglar och månghörningar ändrar läge och position.

Triangel förekommer i olika positioner.

Geometriska begrepp:

Sida, hörn, vinkel, parallella sidor och motstående sidor.

Geometriska begrepp:

Kant, sidoyta, hörn, basyta och mantelyta.

Geometriska begrepp:

Hörn, sida och kant.

Geometriska begrepp:

Hörn, sida och vinkel

Geometriska begrepp:

Hörn, sida och vinkel.

Tabell 1 visar att den geometriska objekten triangeln ändrar både läge och position i böckerna ”Koll på matematik” 4a, ”Matte direkt borgen” 4b och i “Alfa matematikboken”. Desamma gäller för det geometriska objektet rektangeln. Där det minst förekommer att de geometriska objekten ändrar läge och position är i läroböckerna “Koll på matematik” 4b och “Matte Direkt Borgen” 4a.

Resultatet av tabellen visar även att flest geometriska begrepp benämns i ”Koll på matematik” 4a och 4b, men att begreppen som är kopplade till geometriska objekt enligt Löwing (2011) förekommer i alla läroböcker. Dessa är vinkel, hörn och sida.

7.2 Variationsmönster i matematikläromedlen

De kritiska aspekter som beröres i de analyserade läromedlen summeras i tabell 2 nedan innan punkt 7.3. tillsammans med ett summerande text som sammanfattar analysen för punk 7.2.

31

I “Koll på matematik” förekommer tre variationsmönster. Dessa är kontrast, generalisering och fusion.

Generalisering förekommer dock inte i “Koll på matematik” 4b. Som det tidigare har nämnts i studien kommer separation att definieras via generalisering och kontrast. Kontrast är det variationsmönster som förekommer i störst utsträckning. Genom att de geometriska objekten separeras från varandra och sätts mot varandra kan man se skillnaderna mellan objekten. Ett exempel på en uppgift i “Koll på matematik” 4a och 4b är att kvadraten och rektangeln sätts mot varandra för att eleven sedan ska resonera och jämföra kring skillnader och likheter objekten har.

Genom att man jämför det geometriska objektet kvadrat med något den inte är, kan man lättare förstå likheter och skillnaderna mellan objekten. Likadan uppgift förekommer för parallellogram och parallelltrapets, kvadrat och romb, kon och pyramid samt rätblock och kub. De tvådimensionella objekten förekommer i 4a boken och de tre dimensionella förekommer i 4b (Se figur 21 och 22).

Figur 21 och 22: Exempel på hur variationsmönstret kontrast förekommer i Koll på matematik 4a s. 34 och 4b, s. 113.

(2015), Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

En annan uppgift där kontrast förekommer är i 4b boken där eleven ska leta efter tredimensionella objekt i en bild och sedan beskriva objekten (se figur 23). Ytterligare en uppgift som finns i 4a boken handlar att eleven ska tala om vad det geometriska objektet heter efter respektive färg (se figur 24). Objekten har olika färger och ställs därför i kontrast till varandra.

Figur 23 och 24: Exempel på hur variationsmönstret kontrast förekommer i Koll på matematik (2015), 4b s..117 och 4a, s. 52, Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

32

Generalisering förekommer i läroboken 4a genom att trianglar urskiljs via separation och att det är olika former på trianglarna men att begreppen; likbent, liksidig osv. inte används. I boken kallas alla trianglar för trianglar trots skillnaderna. Ett exempel på en sådan uppgift är att eleven ska dra streck mellan geometriskt objekt, rätt bild och begrepp. På bilden nedan ser vi att det är en likbent triangel men att begreppet inte förekommer (figur 25 nedan). Generalisering förekommer inte i

“Koll på matematik” 4b.

Figur 25: Exempel på hur variationsmönstret generalisering förekommer i Koll på matematik 4a (2015), Sid. 34, Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Fusion innebär att man kan uppfatta flera kritiska aspekter samtidigt (Cheng & Ho, 2008, s.15). Lo (2014) nämner att syftet är att skapa förståelse för relationen mellan de olika delarna och helheten (s.117). Fusion sammanför begrepp till en djupare förståelse, exempelvis när eleven kan koppla samman förståelsen av att formen på en rektangel liknar en dörr. Fusion förekommer i både 4a och 4b boken. Ett exempel i på en sådan uppgift i 4a boken är att eleven ska använda en Tangrampussel (se figur 26 nedan) och sedan forma bitarna till tre geometriska figurer.

En annan uppgift där fusion förekommer är i 4b boken där eleven ska identifiera vilket geometriskt objekt man kan få genom att klippa och limma från de utvikta figurerna på bilden nedan. Dessa utvikta figurer ska formas till en tredimensionell figur (se figur 27 nedan). Ytterligare en uppgift är att eleven ska rita en kub som är utvikt på olika sätt (ibid.). Här sätts flera aspekter i förhållande till varandra för att skapa förståelse för relationen mellan de olika delarna och helheten. När eleven har förståelsen för både delarna och helheten har de nått fusion.

,

Figur: 26 och 27: Exempel på hur variationsmönstret fusion förekommer i Koll på matematik (2015), 4a, s.38 och 4b.

s.116, Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

33

I “Matte Direkt Borgen” 4a och 4b förekommer tre variationsmönster. Dessa är kontrast, fusion och generalisering, dock förekommer inte generalisering i 4a boken. Som vi tidigare har nämnt kommer separation att definieras via generalisering och kontrast.

Kontrast är det variationsmönster som förekommer i störst utsträckning. När de geometriska objekten separeras från varandra och sätts mot varandra kan man se skillnaderna mellan objekten.

Ett exempel på en uppgift i “Matte Direkt Borgen” 4a är att både två- och tredimensionella objekt sätts i kontrast till varandra och eleven ska tala om vilken objekt som har respektive färg. Två likadana uppgifter förekommer i 4b boken med tvådimensionella figurer och månghörningar.

Objekten har olika färger och ställs därför i kontrast till varandra (se figur 28 och 29 nedan).

Figur 28 och 29: Exempel på hur variationsmönstret kontrast förekommer i Matte Direkt Borgen (2012) 4a s.89 och 4b s. 72, Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Generalisering används för att lyfta fram likheter inom ett specifikt geometriskt objekt för att eleven ska få en djupare förståelse. Det kan vara att ett specifikt geometriskt objekt kan uppstå i olika former (Lo, 2014, ss.113–116). Generalisering förekommer i läroboken 4b genom att trianglar urskiljs via separation och att de övergår till olika former (se figur 30 nedan). Begreppen rätvinklig, spetsvinklig och trubbvinklig triangel används. Ett exempel på en sådan uppgift är att eleven ska identifiera rätvinklig triangel med rätt bild. Det specifika objektet triangeln övergår till olika former och därför sker en generalisering (se figur 31 nedan).

Figur 30 och 31: Exempel på hur variationsmönstret generalisering förekommer i Matte Direkt Borgen (2012) 4b s.84, Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

34

Fusion innebär att man kan uppfatta flera kritiska aspekter samtidigt (Cheng & Ho, 2008, s.15). Lo (2014) nämner att syftet är att skapa förståelse för relationen mellan de olika delarna och helheten (s.117). Ett exempel på en sådan uppgift i 4a boken är att eleven ska identifiera vilka geometriska objekt som har använts för att bygga en borg med klossar samt identifiera vilken form, sidorna på klossarna har (se figur 32 åt vänster nedan). Ett liknande uppgift fast om månghörningar förekommer i 4b boken, där eleven ska identifiera rätt månghörning med rätt beskrivning (se figur 33 åt höger nedan). I uppgifterna sätts flera aspekter i förhållande till varandra för att skapa förståelse för relationen mellan de olika delarna och helheten. Fusion sammanför begrepp till en djupare förståelse och när eleven har förståelsen för delarna och helheten har de nått fusion.

Figur 32 och 33: Exempel på hur variationsmönstret fusion förekommer i Matte Direkt Borgen 4a (2012), s.95 och 4b s. 65. Illustratör: Yann Robardey, Sanoma utbildning AB.

Kontrastering synliggörs i flera uppgifter i ”Alfa matematikboken”. Kontrastering innebär som tidigare nämnt i studien att eleven har förståelsen av skillnaden mellan två olika egenskaper (Lo, 2014, ss. 104). Genom att sätta två objekt mot varandra kan man se dess olikheter. Exempel från boken är att man har urskilt kvadrater och rektanglar, med förklaringen att kvadrater har lika långa sidor men inte rektanglar (se figur 34 nedan). Att ha förståelse för skillnader mellan objekten är betydelsefullt för att förstå vad något är.

Figur 34: Exempel på hur variationsmönstret kontrast förekommer i Alfa Matematikboken (2011), s. 212. Liber AB.