Exponent

I Exponent beskrivs funktioner inledningsvis som en avbildning från en mängd till en annan. Detta visas med ett exempel där ett antal namn paras ihop med antalet bokstäver i namnet. Genom denna inledning görs direkt tydlig skillnad på funktionsregeln och funktionsvärdet. I efterföljande exemplen visas på fler samband mellan mängder och dimensionen att det är

skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln öppnas. Detta görs i exemplen genom att

funktionsregeln hålls konstant och varierande funktionsvärden tas fram för den givna regeln. Skillnaden görs även tydlig i ett senare avsnitt där f(x) används som ett element i

31

genomgången förklaras även begreppen definitions- och värdemängd, vilket blir tydligt då namnen och antalet bokstäver i namnen beskrivs som mängder. Här kontrasteras direkt vad elementen i mängderna kan vara. Dimensionen att definitions- och värdemängderna kan vara

annat än tal öppnas genom att dragen namn och tal används som element i mängderna inom

samma exempel.

I det första lösta exemplet ges tre par av mängder där regeln samt definitions- och värdemängden ska bestämmas. Inom dessa kontrasteras beskrivningen av funktionen

samtidigt som funktionsregeln är konstant. Därmed öppnas dimensionen samma funktion kan

beskrivas med olika representationsformer, om än bara mellan mängdrepresentationen och

den algebraiska representationen. Genom upprepade exempel kan det även ses som att

dimensionen generaliseras. Detta eftersom de båda representationsformerna fortsätter att visas upp för olika funktionsregler. I ett av de tre mängdparen tillordnas ett tal i definitionsmängden två tal i värdemängden. Sambandet utgör därmed inte en funktion. Detta exempel är ett sätt att öppna dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Denna variation sker dock mellan olika exempel, som är väldigt lika i utformning men som ändå skiljer sig i vilka tal som utgör mängdelementen. Kontrasteringen anses vara möjlig att uppfatta även om den skulle kunna göras ännu tydligare genom att visa på en funktion och en icke-funktion med samma mängder.

De efterföljande uppgifterna inleds med att eleverna får göra precis det som beskrivits i exemplen och får därmed möjlighet att själva uppleva samma variation. De sista uppgifterna skiljer sig dock något. I en uppgift ges fyra exempel på grafer där eleverna ska avgöra vilka som beskriver en funktion. Med denna uppgift kontrasteras grafer som utgör funktioner med grafer som inte beskriver funktioner. Denna uppgift anses vara ytterligare ett sätt att öppna upp dimensionen att alla samband inte behöver utgöra funktioner. Som avslutande uppgift är en funktion given på algebraisk form och f(a), f(2a) och f(g(x)) ska bestämmas. Därmed öppnas dimensionen definitions- och värdemängderna kan vara annat än tal ytterligare, denna gång genom att dragen mängderna som algebraiska uttryck och andra funktioner antas. I dessa uppgifter har funktionsuttrycket och frågeformuleringen varit konstant och variationen har endast skett i det som vill fokuseras, vad definitions- och värdemängderna kan vara. Därmed underlättas för eleverna att faktiskt urskilja det som vill fokuseras. Med tanke på att uppgiften ligger sist och anses vara ”extra svår” är risken stor att dimensionen inte öppnas för många elever. I några av uppgifterna används mängder med dagar och namn som

32

definitionsmängder. Detta öppnar inte bara för variation i definitions- och värdemängd utan också i hur funktionsregeln anges. Dessa specialfall blir en kontrast mot övriga uppgifter där funktionen beskrivs som en algebraisk regel. Denna variation möjliggör för eleverna att urskilja att funktionsregeln inte alltid går att beskriva med en ”enkel” algebraisk formulering. Om eleverna endast får uppleva funktioner som kan beskrivas ”enkelt” kan denna aspekt felaktigt generaliseras.

Rubriken för nästa stycke i boken är “olika sätt att beskriva funktioner” och inleds med ett exempel på en cykeltur med konstant hastighet. I samband med detta visas att andra

bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen genom att sträckan

beskrivs som en funktion av tiden, s(t). Detta sker i kontrast mot samtliga fall så långt, där en funktion än så länge varit synonymt med f(x), med undantag för sista uppgiften i exemplet ovan där f(g(x)) skulle bestämmas. I de exempel och uppgifter som ges är det dock endast i situationer där en sträcka beror på tiden som s(t) används. För cykelexemplet visas även hur funktionen kan beskrivas med olika representationsformer. Dimensionen samma funktion kan

beskrivas med olika representationsformer utvidgas här ytterligare. Från att tidigare ha

varierats genom att representeras som mängder och på algebraisk form beskrivs funktionen här även i ord, i tabellform och grafiskt. Detta görs för samma situation så urskiljandet av variationen underlättas. Den grafiska representationen beskrivs som att värdena från tabellen prickas in i koordinatsystemet och punkterna sammanbinds med en linje. Att sammanbinda punkter på detta viset kan leda till en övergeneralisering att alla funktioner kan beskrivas med sammanhängande grafer om inte dimensionen funktioner kan inte alltid beskrivas med

sammanhängande grafer öppnas. De uppgifter som följer denna förklaring har alla samma

tema. En representationsform är given i uppgiftstexten och sedan blir uppgiften att beskriva sambandet med en annan representationsform och i vissa fall ta reda på något utifrån den nya representationsformen. Även om uppgifterna skiljer sig något i formulering så anses ändå dimensionen samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer öppnad. Frågorna är i princip likadana, bortsett från själva kontexten, och detta gör det möjligt att fokusera på variationen i representationsform. Men det skulle kunna gjorts tydligare

genom upprepade frågor på samma situation. Det uppvisas en stor variation i vilka övergångar mellan representationsformer som används i uppgifterna. Flera av uppgifterna har potential för att visa på andra aspekter, exempelvis det ovan nämnda om grafer av funktioner, men som uppgifterna är formulerade är det långsökt att de skulle leda till att några nya dimensioner av variation öppnas.

33

Därefter följer ett avsnitt där begreppen definitions- och värdemängd förklaras ytterligare. En löprunda ges som exempel, med sträckan som en funktion av tiden. Definitions- och

värdemängden beskrivs här som intervall med hjälp av olikheter. I och med detta kan ytterligare en dimension anses öppnad, nämligen att definitions- och värdemängderna kan

anta olika former. Med detta avses att det visas på att mängderna kan vara både kontinuerliga

och diskreta. Denna aspekt varieras dock samtidigt som frågeformuleringen varieras. Flera saker som varierar samtidigt kan göra det svårare för eleverna att urskilja det som avses att fokuseras på. I detta fall så är formen på mängderna dock beroende på situationen så att denna aspekt också varieras är svårt att undgå. Det skulle däremot vara möjligt att kontrastera det kontinuerliga mot det diskreta i samma uppgift genom att exempelvis fråga efter vilket sätt som bäst beskriver en viss situation. Detta görs dock inte någonstans i boken.