Proceduriell och begreppslig variation

I detta avsnitt ges exempel på situationer där respektive lärobok använder sig av proceduriell och/eller begreppslig variation. Situationerna beskrivs och analyseras utifrån de kriterier som diskuterats i metoddelen.

38

6.3.1 Exponent

Funktionsbegreppet introduceras i Exponent med sambandet mellan ett antal namn och antalet bokstäver i respektive namn. I denna framställningen används mängder vilket gör kopplingen mellan begreppen funktion samt definitions- och värdemängd tydlig. Symbolen f(x) och användningen av mängdklamrar tillämpas på detta inledande exempel och utvidgas sedan till situationer där mängderna är tal och regeln är ett algebraiskt uttryck. Detta upplägg innebär en tydlig övergång från ett konkret inledande exempel till den matematiska beskrivningen av en funktion och användningen av samma principer i mer abstrakta sammanhang. Ett sådant sätt att närma sig ett begrepp är alltså i enighet med kriterierna för begreppslig variation.

Det visas även exempel på vad som inte är funktioner, både genom mängder och grafer. Exempelvis ges samband mellan mängder där ett element i definitionsmängden kopplas till två i värdemängden och en uppsättning grafer där enbart vissa är funktioner. Detta utgör exempel på hur exempel och motexempel kan användas för att belysa viktiga egenskaper hos ett begrepp. I en del som kallas ”utmaningen” och ligger utanför de vanliga uppgifterna får eleverna en tabell med sambandet mellan portot och ett pakets vikt. De olika priserna gäller upp till en viss högsta vikt på paketet. Eleverna får sedan frågorna vad det innebär att rita grafen som en sammanhängande linje eller som en trappa med vågräta streck. I uppgiften efterfrågas också vilken av modellerna som beskriver sambandet på ett riktigt sätt. I denna uppgift visas på skilda sätt att beskriva en situation och eleverna tvingas genom frågorna att reflektera över vad deras svar innebär. Denna sorts uppgifter, där specialfall används för att utmana elevernas förståelse är precis vad som framhävs i beskrivningar av begreppslig variation. Denna uppgift ligger dock som en extrauppgift, benämns som en utmaning och det är troligt att många elever inte tar sig an den utan en uppmaning från läraren. Det är även det enda exemplet på en situation där elevernas förståelse utmanas på detta sätt.

Uppgifterna är ofta upplagda på samma sätt men tillämpas i olika situationer. Detta gör att eleverna får uppleva hur begreppen kan användas på olika sätt samtidigt som eleverna får använda samma procedurer till att lösa olika problem, vilket är en av idéerna med proceduriell variation. Ett extremfall på denna typ av variation ges i avsnittet om definitions- och

värdemängd. Där finns sju uppgifter på rad som alla har följande upplägg: först ges en beskrivning av en verklig situation och sedan efterfrågas, a) en funktion som beskriver

39

situationen, och b) funktionens definitions- och värdemängd. Denna situation kan lätt avfärdas som typiskt repetitionstragglande men analyseras uppgifterna närmare finns det en del viktiga skillnader mellan dem. Dessa skillnader ligger exempelvis i hur funktionen kan bestämmas utifrån den givna informationen eller hur definitions- och värdemängden beror på situationen. Detta gör att uppgifterna har potential att bidra till en ökad förståelse hos eleverna men det är ändå ett gränsfall om de viktiga delarna kommer fram när upplägget är så pass omfattande. Här är det just bristen på systematisk variation som gör uppgiften till ett tveksamt fall av proceduriell variation.

6.3.2 Matematik 5000

I och med att det finns ett relativt stort kapitel där eleverna får arbeta med olika samband före funktionsbegreppet introduceras kan inledningen inte bedömas helt fristående från detta. När funktionsbegreppet introduceras ges direkt definitionen följt av en kort beskrivning av hur arean av en kvadrat kan beskrivas med olika representationsformer samt definitioner av definitions- och värdemängd. Just denna del är väldigt komprimerad och ger inte möjlighet att förstå dessa begrepp utifrån mer konkreta situationer. Däremot har samband beskrivits, till stor del med grafer av vardagliga situationer, i föregående avsnitt. På så sätt har eleverna fått en del av den konkreta upplevelsen av funktionsbegreppet innan det egentligen introduceras. Detta kan ses som ett sätt att använda begreppslig variation till att förklara ett matematiskt begrepp. Det görs dock en tydlig skillnad i den grafiska representationen när

funktionsbegreppet introduceras som eventuellt skulle kunna påverka elevernas förmåga att koppla samman det konkreta med det abstrakta. I den inledande delen är samtliga grafer som presenteras “oregelbundna”, det vill säga att de består av både vertikala, horisontella och sneda linjesegment kopplade till varandra. När funktioner sedan introduceras används endast räta linjer och ett par andragradsfunktioner. När det blir en så drastisk skillnad i hur

“samband” och funktioner presenteras är det inte självklart att eleverna överför det de insett rörande den konkreta beskrivningen till den mer abstrakta.

I uppgifterna är det inte möjligt att identifiera några exempel som kan sägas använda proceduriell variation för att förbättra elevernas förståelse. Alla uppgifter är korta och fokuserar på att repetera standardprocedurer. Dessutom finns det inte någon tydlig struktur i

40

ordningen uppgifterna presenteras i så risken är stor att eleverna upplever att uppgifterna helt saknar koppling till varandra.

6.3.3 M-serien

Att introducera funktionsbegreppet med att gå igenom olika representationsformer för ett konkret exempel (kostnaden för att köpa räkor som en funktion av hur mycket man köper) är ett sätt att använda begreppslig variation för att introducera ett begrepp. På detta sätt går man från den konkreta beskrivningen av situationen till mer abstrakta beskrivningar av sambandet i form av den grafiska och algebraiska representationen. Därefter ges den formella

definitionen av en funktion, vilken i högsta grad kan ses som abstrakt men som det är möjligt för eleverna att förstå med hjälp av det föregående exemplet. Även i introduktionen till definitions- och värdemängd utgår man från en konkret situation, ett område som ska

inhägnas med en viss mängd staket. Utifrån detta diskuteras vilka värden som är möjliga och som slutligen leder fram till en mer strikt matematisk definition av begreppen.

I ett exempel och även i en av uppgifterna visas egenskapen att ett x-värde ska ge precis ett y- värde genom att två grafer ställs mot varandra. Den ena har denna egenskap och den andra har den inte. Detta kan ses som en situation där begreppslig variation, i form av exempel och motexempel, används för att visa på viktiga egenskaper hos ett begrepp. Detta är dock det enda exemplet på denna typ av variation, även om det finns fler situationer där det skulle kunna vara användbart.

Det enda exemplet på proceduriell variation i någon utsträckning fås från en uppgift där volymen V i en vattentank avtar med tiden x enligt formeln V(x)=9000-50x. Frågorna är sedan i tur och ordning att beräkna V(0), tolka V(0), beräkna V(150), beskriva sambandet med en värdetabell, rita en graf över sambandet och bestämma efter hur långt tid tanken är tom. I denna uppgift får eleven genom en serie frågor möjlighet att se hur funktioner kan användas och reflektera över hur situationen kan förstås utifrån olika representationsformer. Uppgiften skulle dock kunna utvecklas till att visa på ännu fler kopplingar mellan

representationsformerna genom att ställa frågor kopplade till de representationsformer som eleverna ska skapa. Det skulle exempelvis kunna handla om vilka värden som kan beräknas i värdetabellen eller om grafen kan ritas som en oändligt utsträckt rät linje. Som uppgiften är

41

formulerad i nuläget finns möjligheten att eleven kommer till nya insikter själv men det är långt ifrån självklart.

6.4 Sammanfattning av resultat

Utifrån analysen av läroböckerna går det att dra en hel del övergripande slutsatser. För det första kan det konstateras att böckerna använder sig av begreppslig och proceduriell variation i begränsad utsträckning. Den begreppsliga variationen återfinns i något fler situationer, t.ex. används principer som är i enighet med begreppslig variation i samband med introduktionen till funktionsbegreppet. Böckerna använder sig av konkreta situationer som inledande exempel och utgår sedan från detta när de redogör för de mer abstrakta matematiska beskrivningarna av begreppet.

Exempel/motexempel används för att illustrera att ett element i värdemängden endast får lov att svara mot ett element i definitionsmängden. Användandet av exempel/motexempel är dock begränsad till detta fall. Även användandet av icke-standard situationer är i princip helt frånvarande. Definitions- och värdemängderna samt utseendet på grafer av funktioner är exempel på egenskaper som skulle kunna varieras med icke-standard situationer. Det finns alltså möjlighet att använda sig av denna slags begreppslig variation i flera situationer i böckerna men dessa möjligheter tas inte tillvara på.

I samtliga böcker saknas möjligheter för eleverna att upptäcka samband och strukturer genom större uppgifter eller aktiviteter, vilket är en av de centrala idéerna kring användandet av proceduriell variation. Det finns enstaka tillfällen där det skulle vara möjligt men det är långt ifrån självklart. När det dessutom saknas genomtänkt variation i dessa uppgifter är det svårt att identifiera någon slags proceduriell variation.

42

7. Diskussion

I detta kapitel diskuteras studiens resultat. Detta betyder att både själva resultaten av analysen tas upp men även att själva analysmetoden diskuteras, eftersom konstruktionen av den

utgjorde ett av studiens syften. Avslutningsvis presenteras några förslag till vidare forskning.

7.1 Resultatdiskussion

Analysen av läroböckerna ledde fram till att tio dimensioner av variation identifierades i böckerna. Av dessa var det vissa som var mer framträdande än andra. Flera av dimensionerna berörde olika representationsformer. Detta är kanske inte så konstigt eftersom det skrivs fram tydligt i det centrala innehållet att olika representationsformer ska vara en del av

undervisningen. Det är möjligt att en viss naturlig variation då uppstår som en följd av denna formulering och inte beror på ett mer ”avsiktligt” varierande från författarna. Detta syns t.ex. också genom den bristande variation som finns kring begreppen definitions- och

variationsmängd, vilka formuleras annorlunda i styrdokumenten. Att kontrastering är det vanligast förekommande variationsmönstret är inte så konstigt med tanke på att detta även enligt teorin anses vara det inledande mönstret. Problemet uppstår dock när det inte finns någon möjlighet att sammanföra olika aspekter genom generalisering och fusion. De

dimensioner som identifierats har stora likheter med de huvudsakliga delar som har beskrivits som problematiska i tidigare forskning. Att dessa delar tas upp är bra men samtidigt så är variationen i delarna relativt liten. Denna bristande variation är viktig att vara medveten om som lärare.

Svaret på frågan hur läroböcker använder sig av proceduriell och begreppslig variation beskrivs i analysen men den stora slutsatsen är ändå att det återfinns i liten utsträckning. Avsaknaden av begreppslig och framförallt proceduriell variation kan utifrån analysen uppfattas som något väldigt negativt. Men det bör tas i beaktande att dessa variationsformer syftar till att stärka elevernas förståelse för olika begrepp. Det kan finnas andra syften med matematikuppgifter än att just skapa ökad förståelse. Det kan exempelvis vara av intresse att eleverna behärskar vissa standardprocedurer och detta kan då försöka övas in genom att helt enkelt göra många liknande uppgifter. Problemet blir snarare när denna del av undervisningen blir den styrande. Läroböckernas användning av variation påminner om de beskrivningar av

43

amerikanska böcker som ges i annan forskning där de jämförts med kinesiska böcker (Ji-Won & Qintong, 2015; Yeap, Ferrucci & Carter, 2006).

Det ska även framhållas att denna studie varken syftar till eller kan göra anspråk på att dra några större slutsatser om t.ex. resultaten är generella drag för hela böckerna eller om någon viss bok är bättre än någon annan. Resultatet visar mer på vilka aspekter som bör tas i beaktande vid undervisning om funktionsbegreppet och bidrar även med idéer om hur undervisningen kan genomföras. Givetvis kan det också finnas viktiga aspekter och variationsmönster som inte finns med i böckerna eller som inte identifierats i analysen. En slutsats som jag tar med mig från detta arbete är vikten av att tänka igenom vad eleverna faktiskt lär sig när de arbetar med ett visst innehåll. Som konstaterades redan i inledningen är det viktigt att läraren själv reflekterar över hur läroboken ska användas i undervisningen (Johansson, 2006; Skolverket, 2015).

7.2 Analysdiskussion

Detta arbete visar på att det är möjligt att analysera den innehållsliga variationen i

matematikläroböcker. Ett av arbetets syften var just att skapa en metod för att genomföra denna analys, vilket har uppfyllts i och med att en metod presenteras och tillämpas. Dock kvarstår frågan huruvida den konstruerade metoden faktiskt är bra. Att flera av de aspekter som identifieras även återfinns som missuppfattningar i tidigare forskning pekar på att det finns något bra med metoden. Men för att säkerställa kvalitén i metoden skulle även andra jämförelser behövas. Exempelvis skulle undersökningen behöva upprepas för att testa om den då leder till liknande resultat. Metoden skulle även kunna tillämpas på andra områden för att se om den faktiskt går att generalisera till andra delar av gymnasiematematiken.

Under arbetets gång har själva upplägget i analysen justerats flera gånger. Användningen av proceduriell och begreppslig variation som en del i analysen var inte med i den ursprungliga idén till arbetet utan framkom utifrån studiet av tidigare forskning. Att kombinera

variationsteorin med begreppslig och proceduriell variation är något som har diskuterats (Gu, Huang & Marton, 2004). Utifrån hur detta arbete genomförts tror jag att det skulle vara möjligt att använda en mer enhetlig analysmetod som tar inspiration från båda perspektiven. Under analysen dök det upp flera situationer där en kombination av synsätten hade kunnat ge bättre verktyg för att beskriva situationen. Ett sådant analysverktyg skulle verkligen kunna

44

sätta fokus på vad som faktiskt lärs genom ett visst innehåll och även hur detta innehåll kan hanteras i undervisningen. Analyser av den innehållsliga variationen bortser från flera andra aspekter än just innehållet. Detta kan ses som en styrka för den enskilda analysen men samtidigt begränsar det möjligheten att säga något om lärande i ett större perspektiv.

Vid genomförandet av den här typen av analyser är forskarens roll viktig. Genom att ha formulerat en tydlig beskrivning av hur analysprocessen utfördes kan reliabiliteten i studien ses som stark. Trots detta är tolkningarna och analysen av innehållet beroende på den

specifika forskaren. Här spelar min egen kunskap inom området givetvis in. Dels påverkar det jag redan vet om funktionsbegreppet hur jag uppfattar innehållet i böckerna, även om jag också försökt inta ett elevperspektiv. Men även min egen begränsade erfarenhet, både gällande undervisning och användning av variationsteorin, påverkar antagligen hur jag uppfattar innehållet. Med en mer erfaren forskare som genomfört analysen är det möjligt att andra dimensioner av variation hade kunnat identifieras.

7.2 Vidare forskning

Under detta arbete har många nya idéer till vidare forskning dykt upp. Metoden som detta arbete genomförts utifrån är möjlig att tillämpa på andra delar av gymnasiematematiken. Undersökningar som denna kan hjälpa läraren att identifiera nya dimensioner av variation och även ge idéer kring hur variation i dessa kan genomföras. Men just läroboksanalyser skulle också behöva kompletteras med andra metoder, exempelvis klassrumsobservationer, för att faktiskt koppla variationen till riktiga elevgrupper. I princip samma metod skulle kunna användas men då med ett annat analysmaterial. En annan möjlighet är att konstruera

lektionssekvenser utifrån variationsteorin samt kombinera teorin med begreppen proceduriell och begreppslig variation.

Det hade varit intressant att intervjua läroboksförfattarna för att höra hur de resonerat när de designat böckerna. Att undersöka hur de tänkt kring sättet att introducera innehållet, vad de tänker sig att eleverna ska få ut av uppgifterna, hur materialet bör behandlas och i vilken utsträckning de använt sig av variation när de konstruerat böckerna hade alla varit intressanta frågor att få svar på.

45

Utifrån den litteratur som har studerats under arbetets gång hade det också varit intressant att undersöka asiatiska läroböcker, framförallt från de länder där variation är ett viktigt inslag i undervisningen. Att jämföra hur begrepp introduceras och vilka uppgifter som används i dessa länders läroböcker med hur samma saker presenteras i svenska böcker hade antagligen kunnat ge många nyttiga insikter. Problemet med detta är bara att det kan vara svårt att hitta ett innehåll som går att förstå, om man inte behärskar t.ex. kinesiska. Det är möjligt att det finns böcker översatta till engelska som skulle kunna användas men det skulle behöva undersökas närmare i en framtida studie.

46

8. Referenser

Alfredsson, L., Bråting, K., Erixon, P., & Heikne, H. (2011). Matematik 5000 Kurs 1c Blå

Lärobok. Stockholm: Natur & Kultur.

Bardini, C., Pierce, R., Vincent, J., & King, D. (2014). Undergraduate mathematics students’ understanding of the concept of function. Indonesian Mathematics Society - Journal on

Mathematics Education, 5, 85–107. Hämtad från: http://jims-b.org/

Bowden, J., & Marton, F. (1998). The university of learning. London: Kogan Page.

Cohen, L., Manion, L., & Morrison, K. (2011). Reasearch methods in education (7 uppl.). New York: Routledge.

Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: För småskaliga forskningsprojekt inom

samhällsvetenskaperna (3 uppl.). Lund: Studentlitteratur.

Gennow, S., Gustafsson, I-M., & Silborn, B. (2011). Exponent 1c [matematik för gymnasiet]. Malmö: Gleerups.

Gu, L., Huang, R., & Marton, F. (2004). Teaching with variation: A Chinese way of promoting effective mathematics learning. I L. Fan (Red.), How Chinese learn

mathematics: Perspectives from insiders (ss. 309–346). Singapore: World Scientific

Publishing Co. Pte. Ltd.

Holmström, M., Smedhamre, E., & Sjunnesson, J. (2012). Matematik M 1c (2 uppl.). Stockholm: Liber.

Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is

made possible to learn? (Göteborg studies in educational sciences, nr. 262).

47

Ji-Won, S., & Qintong, H. (2016). The initial treatment of the concept of function in the selected secondary school mathematics textbooks in the US and China. International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 47, 505–530. doi:

10.1080/0020739X.2015.1088084

Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks: A classroom and curricular

perspective (Luleå tekniska universitet, nr. 2006:23). Doktorsavhandling, Luleå: Luleå

tekniska universitet.

Lai, M.L., & Murray, S. (2012). Teaching with procedural variation: A Chinese way of promoting deep understanding of mathematics. International Journal for Mathematics

Teaching and Learning. Hämtad från: http://www.cimt.org.uk/journal/

Li, Y. (2000). A comparison of problems that follow selected content presentations in American and Chinese mathematics textbooks. Journal for Research in Mathematics

Education, 31, 234–241. doi: 10.2307/749754

Lo, M.L. (2014). Variationsteori - för bättre undervisning och lärande. Lund: Studentlitteratur.

Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. New York: Routledge.

Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.

Marton, F., Runesson, U., & Tsui, A. B. M. (2004). The space of learning. I F. Marton & A. B. M. Tsui (Red.), Classroom discourse and the space of learning (ss. 3–40). Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum.

Nitsch, R., Fredebohm, A., Bruder, R., Kelava, A., Naccarella, D., Leuders, T., & Wirtz, M. (2015). Students’ competencies in working with functions in secondary mathematics education - empirical examination of a competence structure model. International

Journal of Science and Mathematics Education, 13, 657–682. doi: 10.1007/s10763-013-

48

Nyikahadzoyi, M.R. (2015). Teachers’ knowledge of the concept of a function: A theoretical framework. International Journal of Science and Mathematics Education,13, 261–283. doi: 10.1007/s10763-013-9486-9

Pang, M.F., & Marton, F. (2007). The paradox of pedagogy: The relative contribution of teachers and learners to learning. Iskolakultura Online, 1, 1–28. Hämtad från: http://www.iskolakultura.hu/iol/iol2007_1_1-28.pdf

Pettersson, K. (2008). Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i

dynamiskt samspel (Doktorsavhandlingar vid Chalmers tekniska högskola).

Doktorsavhandling, Göteborg: Instutitionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola.

Runesson, U. (2005). Beyond discourse and interaction. Variation: A critical aspect for teaching and learning mathematics. Cambridge Journal of Education, 35, 69–87. doi: 10.1080/0305764042000332506

Sajka, M. (2003). A secondary school student’s understanding of the concept of function – a case study. Educational Studies in Mathematics, 53, 229–254. doi:

10.1023/A:1026033415747

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36. doi: 10.1007/BF00302715

Skolinspektionen. (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan (Skolinspektionens rapport, nr. 2010:13). Stockholm: Skolinspektionen.

Skolverket. (2003). Lusten att lära- med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. (2011a). Ämne- Matematik [Kommentarsmaterial till ämnesplanen]. Hämtad från: https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-

49

program/subject.htm?subjectCode=MAT&lang=sv&tos=gy

Skolverket. (2011b). Ämne- Matematik [Ämnesplan]. Hämtad från: https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-

kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/sok-amnen-kurser-och- program/subject.htm?subjectCode=MAT&lang=sv&tos=gy

Skolverket. (2015). På vilket sätt kan läromedel styra undervisningen? Hämtad från

https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/didaktik/tema-laromedel/pa-vilket-