M-serien

I M-serien inleds funktionskapitlet med ett exempel där kostnaden för att köpa räkor, f, sägs utgöra en funktion av hur många kilo räkor, x, man köper. Först beskrivs detta samband med ord. Därefter presenteras en värdetabell med sex värden på x och motsvarande y-värden. Sambandet tecknas sedan algebraiskt, f(x)=300x, och beteckningen förklaras genom att kostnaden räknas ut för ett par värden på vikten. Slutligen markeras punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem och en linje dras genom punkterna. I detta inledande exempel framhävs det tydligt att en funktion kan representeras på olika sätt. I och med detta blir det möjligt att urskilja att samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer. Variationen blir tydlig genom att representationsformerna kontrasteras för en situation där övriga aspekter är konstanta.

För att visa på vad som inte är en funktion presenteras två grafer tillsammans med frågan vilken av dem som visar hur temperaturen beror av tiden. Graferna utgörs av en ”vanlig” parabel och en parabel roterad 90 grader. Eftersom den andra grafen visar upp olika

temperaturer för samma tid konstateras att den inte uppfyller kravet på en funktion. Genom att kontrastera en graf av en funktion med en graf som inte är en funktion kan eleverna inse att

alla samband inte behöver utgöras av funktioner. I övningsuppgifterna finns ett ekvivalent

exempel men det erbjuder ingen utökad variation och är också begränsat till grafiska representationer.

I ett exempel ges funktionen f(x)=2x^3-3x+6 och funktionsvärdet beräknas för x=2, 3, -2 och 2a. Denna variation öppnar upp för att eleverna ska kunna urskilja att definitions- och

värdemängderna kan vara annat än tal. Genom att göra detta för samma funktion blir

kontrasten mellan när funktionsvärdet endast blir ett tal och när det blir ett algebraiskt uttryck tydlig. I exemplet efter visas istället hur funktionsvärden kan bestämmas utifrån en graf av funktionen. Därmed kan eleverna se att samma typ av problem kan lösas med olika

36

densamma. Detta är inte ett helt uppenbart exempel på variation i denna dimension då funktionen inte är densamma men exemplens utformning anses ändå tillräckligt bra för att aspekten ska vara möjlig att urskilja. I detta exempel bestäms också funktionsvärdet f(f(-2)), vilket öppnar dimensionen av variation som beskrevs ovan ytterligare. Dimensionen att

definitions- och värdemängderna kan vara annat än heltal öppnas i några av de följande

övningsuppgifterna där funktionsvärdet blir decimaltal. Detta görs dock i de sista uppgifterna och i ett läge där begreppen definitions- och värdemängd inte har introducerats. Detta gör att dessa uppgifter inte anses bidra till att öppna den ovan beskrivna dimensionen. I uppgifterna varieras dock bokstäverna som används för den beroende och oberoende variabeln, genom att bland annat g(t), P(x) och V(t) används. Denna variation, även om den sker mellan uppgifter med viss skillnad i frågeformulering, görs i flera lägen tydlig och anses öppna dimensionen att

andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen.

Bland övningsuppgifterna är annars den vanligaste variationen att sambandet mellan olika representationsformer fokuseras och eleverna får göra beräkningar av funktionsvärdet med olika form på den oberoende variabeln. I en uppgift som sticker ut lite ska en graf till

funktionen som uppfyller villkoren f(1)=2, f(4)=5, f(0)=3 samt har nollställena x=2 och x=3 ritas. Denna uppgift möjliggör för eleverna att uppfatta att en graf inte nödvändigtvis måste vara av standardformerna räta linjer eller andragradsfunktioner. Det går att skapa en

tredjegradsfunktion som uppfyller villkoren men det är mycket tveksamt om eleverna inser det i Matematik 1c. Därmed finns möjlighet för eleverna att urskilja att f(x) går inte alltid att

beskriva med en ”enkel” algebraisk formulering. Att eleverna gör kopplingen mellan den

grafiska representationen och en möjlig algebraisk beskrivning är dock långt ifrån självklar då detta inte uttryckligen efterfrågas. Men det är en uppgift med potential att utvecklas till att visa upp mer ovanliga grafer av funktioner som kan öka förståelsen för funktionsbegreppet.

När definitions- och värdemängd introduceras görs det genom ett exempel där ett rektangulärt område ska inhägnas med en viss mängd stängsel. Arean utgör då en funktion av längden på ena sidan och de tillåtna värdena på arean respektive sidans längd undersöks. Situationen diskuteras både utifrån en tabell med ett antal heltalsvärden på respektive variabel och en graf över funktionen. Definitions- och värdemängen beskrivs sedan med olikheter vilket även är det sätt som de beskrivs på i de efterföljande uppgifterna. Samtliga uppgifter handlar om att bestämma en funktion och sedan dess definitions- och värdemängd. I alla uppgifterna blir

37

mängderna kontinuerliga intervall som förväntas beskrivas med hjälp av olikheter. I och med detta öppnas aldrig dimensionen att definitions- och värdemängderna kan anta olika former.

6.2.5 Sammanfattning

Utifrån de ovan givna beskrivningar av variationen i läroböckerna presenteras i tabell 3 en sammanställning av vilka dimensioner av variation som öppnades i respektive bok. De dimensioner som identifierades som öppnade är markerade med ett kryss. Ringarna är dimensioner som diskuterats i analysen ovan men som av någon anledning inte anses öppnade. För de positioner som lämnats blankt förekom det ingen variation värd att nämna.

Tabell 3. Sammanställning av vilka dimensioner av variation som öppnades i respektive lärobok.

Dimensioner av variation. Exponent Matematik 5000 M-serien

- Definitions- och värdemängd kan vara andra tal än heltal.

- Definitions- och värdemängd kan var annat än tal.

- Definitions- och värdemängderna kan anta olika former (kontinuerlig, diskret). - Alla samband behöver inte utgöra

funktioner.

- Samma funktion kan beskrivas med olika representationsformer.

- Samma typ av problem kan lösas med hjälp av olika representationsformer. - Funktioner kan inte alltid beskrivas med

sammanhängande grafer.

- Det är skillnad på funktionsvärdet, f(x), och funktionsregeln.

- Andra bokstäver än f och x kan användas i den algebraiska representationen.

- Funktionsregeln går inte alltid att beskriva med en ”enkel” algebraisk formulering.

X X X X X O X X X O O O X X X O O X O X X X X O