7. ANALYS
7.5 DEN KOGNITIVA KONTEXTEN
I min undersökning utgörs den kognitiva kontexten av de uppfattningar och den förståelse som eleverna har av trigonometri och enhetscirkeln. När eleverna löser uppgifterna framgår det tydligt att de har skilda uppfattningar om vad begreppet ”cosinusvärde” står för. Enligt Bauersfeld (1998) beror det på att varje elev själv konstruerar sin förståelse för det
matematiska innehåll som ett begrepp representerar. Vilken begreppslig förståelse ger eleverna prov på i undersökningen?
Begreppsligt är det ingen skillnad på att bestämma en vinkels cosinusvärde och att bestämma cosinus för vinkeln. De båda uttryckssätten kan dock ge helt olika associationer om vad som skall göras. Hur eleverna löser triangeluppgiften är beroende av hur de tolkar innebörden av begreppet ”cosinusvärde”. De behöver också veta vad som skiljer det från andra begrepp, t ex vinkel, cosinus för en vinkel samt cosinusfunktionens invers. Elevernas angreppssätt av och diskussioner kring triangeluppgiften vittnar om oklarheter när det gäller samtliga begrepp. 7.5.1 cos 0 = 90
Björns och Jennys diskussion om huruvida cos 90 = 0 eller cos 0 = 90 kan framstå som en banal ordlek. Att Björn hävdar det senare behöver dock inte innebära att han har stora brister när det gäller uppfattningen av hur vinklar och dess cosinusvärde är kopplade till varandra. Snarare kan hans sätt att uttrycka sig vara exempel på brister i att hantera det matematiska språket, vilket medför ett felaktigt resultat. En tänkbar förklaring till Björns resonemang är att han ställer sig frågan ”För vilken vinkel är cosinus noll?” för att sedan svara ”Jo, cosinus är lika med noll, när vinkeln är 90°. När detta skall uttryckas i skrift skrivs det hela ner i den ordning saker och ting kommer, vilket resulterar i det inkorrekta uttrycket ”cos 0 = 90”. Björns uttryckssätt kan även vara ett uttryck för flera olika brister i den kognitiva kontexten. En omedelbar, men mindre sannolik, tolkning av hans utsaga är att han helt enkelt har förväxlat vinkelns värde med dess cosinusvärde. Björns resonemang kan också tyda på en förväxling mellan cos och arccos. Cos0 ≠ 90, men däremot är arccos0 = 90. Cosinus är en funktion, vars värdemängd är mellan –1 och 1. Därför kan cosinusvärdet inte bli 90. Arccos är cosinus inversa funktion. En omatematisk, men intuitiv beskrivning är att det är ”cosinus tvärt om”. När eleverna beräknar dess värde på räknaren används en knapp med texten ”Inv”,
7. Analys
”Shift”, ”2nd” eller liknande för att komma åt funktionen cos−1. Begreppsmässigt är det lätt att blanda ihop dem om eleverna endast memorerat hur man gör, men inte förstår begreppens egentliga innebörd och hur de hänger ihop.
Björn kan rita enhetscirkeln och när gruppen löser punktuppgiften konstaterar han att punkter mellan noll och ett ”måste vara med”. Trots det reflekterar han inte över att uttrycket
” cos 0 = 90” motsäger det tidigare påståendet. Ur ett metakognitivt perspektiv kan det tolkas som att Björn har en kunskapsbas med flera olika redskap. Dessa har han dock svårt att använda utanför det sammanhang i vilket han har tillägnat sig dem. Han har även svårt att använda flera redskap samtidigt. Det gör att han inte kan se sambandet mellan enhetscirkelns konstruktion, värdemängden för cosinusfunktionen och det felaktiga uttrycket cos 0° = 90. Varför håller Björn fast vid att cos 0 = 90° trots att Jenny visar i enhetscirkeln att hans resonemang inte stämmer? Min tolkning är att det rent visuellt kan vara vanskligt att skilja mellan värdet på vinkeln och dess cosinusvärde i en figur där enhetscirkeln är inritad i ett koordinatsystem. I enhetscirkeln kommer vinklarna 0° och 90° att följa koordinataxlarna. Då kan det vara svårt att få en exakt uppfattning om vilket värde som är noll. För en vinkel som är 90° kommer cosinusvärdet att visuellt hamna i origo vilket lätt kan förväxlas med vinkelns storlek som också ”befinner” sig där.
Ur ett konstruktivistiskt perspektiv kommer varje elev att själv skapa en innebörd och förståelse för den matematiska terminologin och dess symbolspråk. I
matematik-undervisningen eftersträvas att elevernas förståelse för den matematiska terminologin skall ligga så nära den formellt korrekta definitionen som möjligt. Det är dock inte fallet för Björn. Istället ger han uttryck för sin intuitiva uppfattning av ett matematiskt begrepp som just då tycks mest passande. Som Fischbein (1994) förutspår uppstår motstridigheter när Jennys formella kunskap konfronteras med Björns mer intuitiva kognition av vinkeln och dess cosinusvärde.
7.5.2 Miniräknarens inflytande över begreppsuppfattningen
Gruppernas arbete med triangeluppgiften visar också att begreppsuppfattningen präglas av hur elevernas tror att de kan lösa problemet. Vad cosinusvärdet egentligen är diskuteras i alla grupperna. Flickgruppen undrar om cosinusvärdet är att bestämma ”vad cos typ 30 är”. Pojkgruppen konstaterar att om man sätter ”cos” framför vinkeln får man cosinusvärdet, något som blandgruppen instämmer i. Är då cos143° vinkelns cosinusvärde? Om eleverna hade haft miniräknare hade eleverna kunnat få fram ett närmevärde, som hade representerat vinkelns cosinusvärde. För eleverna blir handhavandet av miniräknaren en del av
begrepps-uppfattningen. Att få fram cosinusvärdet innebär att slå in uttrycket på miniräknaren och få ut ett svar. Då eleverna berövas möjligheten att använda räknaren stympas också en del av deras förståelse för begreppet. När vinkeln är 90° är det ingen grupp som tvekar inför att bestämma cosinusvärdet eftersom de vet hur man gör och vad det skall bli. Ett matematiskt begrepp har dock alltid samma innebörd, oavsett hur det bestäms eller hur ett exempel är konstruerat. För eleverna har dock cosinusvärdet delvis en annorlunda innebörd för vinklarna i de olika trianglarna, trots att uppgiften är exakt lika formulerad.
7.5.3 Cosinus som en etikett
Att bestämma sinus och cosinus är starkt förknippat med kvoter mellan sidorna i rätvinkliga trianglar. Om kvoten sin−1
( )
6 8 hade varit rätt uppställd, dvs som sin−1( )
6 10 hadekan cosinus för en vinkel i princip uttryckas som − n hypotenusa katet motstående sin cos 1 , vilket
pojkarnas intention tycks vara att göra.
När Niklas får Daniel att ta bort inversen för sinus, blir dock uttrycket matematiskt felaktigt eftersom cos
( )
8 6 är ett uttryck för cosinusvärdet för vinkeln 1,333... mätt i grader eller radianer. Samtidigt gör pojkarna en egen tolkning av hur cosinusvärdet skall uttryckas. När de har beräknat cosinusvärdet skrivs ”cos” framför resultatet för att markera vad det är de just har beräknat. Det kan jämföras med hur butikerna exempelvis skriver ”Pris: 10 kr” för att berätta för kunden vad siffran anger. Cosinus betraktas alltså som en etikett eller en enhet för att ange vad det är som har beräknats.Varför förstår då gruppen inte att kvoten är cosinusvärdet? En förklaring kan vara att elevernas förståelse av cosinusvärdet främst är av algoritmisk karaktär. I de uppgifter som eleverna stött på i gymnasiet har oftast vinkeln varit given och eleverna skall räkna fram sidornas längder. Algoritmen för hur man räknar med cosinus har varit i centrum istället för begreppet cosinus och vad det står för. Att för en rätvinklig triangel ange cosv som kvoten mellan närliggande katet och hypotenusan är egentligen den enklaste övning på cosinus en elev kan stöta på. Detta inses dock inte utan eleverna gör det hela onödigt krångligt. 7.5.4 Är enhetscirkeln en ring eller en platta?
I samband med att blandgruppen löser punktuppgiften deklarerar Björn att han aldrig betraktat enhetscirkeln som ett streck, utan som en platta. Elevens intuitiva uppfattning av vad en cirkel är präglas i stor utsträckning av hur skolmatematiken hanterar cirkeln, vilken skiljer sig från dess matematiska definition där cirkeln och cirkelskivan är två olika matematiska objekt. Cirkeln är en kurva som satisfierar x2 +y2 =1 medan cirkelskivan utgörs av hela den skiva som ligger på och innanför cirkelkurvan. I matematikundervisningen och i sammanhang utanför skolan är det dock vanligt att man inte särskiljer dessa begrepp. Exempelvis står det i tabell- och formelsamlingen för gymnasieskolan att arean av en cirkel ges av formeln
2 r
A=π (Ekbom m fl, 1997).
Alla grupperna kommer fram till att punktuppgiften kan lösas genom att beräkna avståndet från origo till punkten. Om eleverna likställer cirkeln med cirkelskivan kommer en punkt vars avstånd till origo är mindre än eller lika med ett att ligga på enhetscirkeln. Detta är innebörden av Evelinas resonemang när hon menar att de skall beräkna detta avstånd för att se om det blir mer än ett. Om så är fallet ligger punkten inte på enhetscirkeln. Jenny vittnar om liknande tankegångar, men efter att ha läst uppgiften mer noggrant drar hon slutsatsen att punkter som ligger på enhetscirkeln är de punkter som ligger exakt på cirkeln, dvs vars avstånd till origo är exakt 1 le.
Björns idé om hur de kan verifiera att en punkt ligger på
enhetscirkeln visar att när elever sammanfogar delar till helheter där väsentliga bitar saknas genereras felaktiga resultat. Av utdragen kan man utläsa att Björns uppfattning är att båda punkterna i punktuppgiften ligger på enhetscirkeln eftersom koordinaterna är större än noll men mindre än ett. Uttalandet är relevant eftersom värdemängderna för cosv ligger mellan noll och ett i första kvadranten (se figur 5). Det är dock inget
7. Analys
Då krävs det att punkten satisfierar cirkelns ekvation, x2+ y2 =1, vilket endast de punkter gör som ligger exakt på linjen. Björns resonemang omfattar dock alla punkter som ligger inom en kvadrat i första kvadranten. Därför drar Björn felaktigt slutsatsen att punkten (0,71; 0,71) ligger på enhetscirkeln.
Ett annat exempel på svårigheten att använda den kunskap man har på ett relevant sätt ger Jenny då hon konstaterar att 0,707
4 cosπ ≈
utan att egentligen reflektera över hur hon kan använda sin kunskap. Den punkt på enhetscirkeln som motsvarar
$
45 rad
4 =
π
måste alltså ha samma x- och y-koordinat (se figur 6). Det kan endast finnas en sådan punkt, nämligen
2 2 , 2 2
. Det ger att punkten (0,71; 0,71) inte ligger på enhetscirkeln. Eftersom 0,707 < 0,710 måste uppgiftspunkten
ligga utanför. Figur 6