8. Lärarna och eleverna – en avstämning
En del av mitt syfte utgörs av att undersöka i vilken utsträckning gymnasieelevers förståelse av matematiska begrepp motsvarar vad högskolelärare anser att studenter bör kunna när de kommer till högskola eller universitet. När det gäller enhetscirkeln och trigonometri pekar högskolelärarna på flera enskilda moment som är viktiga, men diskuterar också om mer övergripande frågor när det gäller matematik och skillnader mellan matematikstudier på gymnasiet och högskolan. Därför kommer jag att diskutera hur elevernas matematiska kunskaper förhåller sig till lärarnas önskemål om vad nyblivna studenter bör kunna. Jag kommer även att diskutera likheter och skillnader när det gäller synen på matematik och matematikstudier ur ett mer generellt perspektiv.
Eleverna är väl förtrogna med det som Mats kallar en syntetisk definition av enhetscirkeln, dvs eleverna vet att enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Att
enhetscirkelns kan beskrivas med ekvationen x2+y2=1, som utgör en analytisk definition av cirkeln, är dock främmande för eleverna. Cirkelns ekvation förekommer inte i de flesta av gymnasieskolans läromedel i matematik (Skolverket, 1998) och därför är eleverna inte vana vid den. Cirkelns ekvation och Pythagoras sats är dock intimt förknippade med varandra. Att eleverna hanterar punktuppgiften med Pythagoras sats visar att eleverna kan undersöka om en punkt ligger på cirkeln även om de inte känner till dess ekvation.
När det gäller olika begrepp som har med enhetscirkeln att göra, t ex vinkel, koordinater och punkt, visar eleverna i undersökningen prov på att de kan använda begreppen när de löser uppgifterna. Det tyder på att de har vad Mats kallar en algoritmisk förståelse för begreppet. Christian säger att studenterna förutsätts vara bekanta med sinus- och cosinusbegreppet när de kommer till universitetet. Min uppfattning är att eleverna i undersökningen uppfyller även detta önskemål när det gäller sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar, samt att de även har en viss känsla för hur enhetscirkeln kan användas för att ta reda på sinus- och cosinusvärdet för en vinkel.
Har eleverna då den formella och djupare begreppsförståelse som lärarna efterlyser? Jag anser att svaret skiljer sig mellan de olika grupperna. Medan flickgruppen visar flera prov på en god känsla för både begreppens innebörd och deras roll i ett större sammanhang, ger pojkgruppen och delar av blandgruppen flera exempel på motsatsen. Svårigheten att hålla isär olika begrepp kan tolkas som att eleverna i pojk- och blandgruppen delvis saknar en formell begreppsförståelse, eftersom de inte har klart för sig hur de olika begreppen definieras. Då är det även svårt att skapa sig en intuitiv bild av begreppet och sätta in det i ett större
sammanhang. Därför drar jag slutsatsen att det även finns brister i den djupare förståelsen av begreppen.
Både högskole- och universitetslärarna samt läromedel i gymnasiematematik påpekar att enhetscirkeln spelar en nyckelroll när det gäller att studera sinus och cosinus för vinklar som är större än 90 grader, samt för att definiera de trigonometriska funktionerna. Enhetscirkeln blir en brygga mellan det specifika och det generella. Mats understryker hur viktigt det är att eleverna förstår den abstrakta idén med enhetscirkeln eftersom den idén är transfererbar mellan olika matematiska sammanhang. Lyckas eleverna med detta? Jag menar att flick-gruppen gör det när de löser triangeluppgiften. De lyfter ut vinkelbegreppet från trianglarna till enhetscirkeln, som utgör deras redskap för att lösa uppgiften. Flickornas sätt att hantera uppgiften visar att de har lyckats fånga den abstrakta idén med enhetscirkeln där ett specifikt problem ersätts av ett mer generellt. I blandgruppen visar Jenny att hon kan använda
enhetscirkeln för att förklara för de övriga i gruppen att cos 90° = 0. Däremot har hon svårt att se att enhetscirkeln kan användas för att få fram cosinusvärdet för vilken vinkel som helst när enhetscirkeln får radien 5 cm. Den generella och transfererbara kunskapen försvinner i det specifika fallet.
Trots att eleverna i undersökningen ibland har en vag uppfattning om begreppens innebörd och definitioner samt att det kan vara svårt att sätta in begreppen i ett större sammanhang anser jag att det snarare handlar om brister i begreppsförståelsen, eller oförmåga att använda det eleverna förstår på rätt sätt och i rätt sammanhang, än om felaktigheter i begrepps-förståelsen. Så är dock inte fallet när det gäller Jennys och Björns uppfattning om cirkel-begreppet och hur de uppfattar en cirkel. Ur ett matematiskt perspektiv kan cirkeln beskrivas som en kurva av punkter på avståndet a le. från mittpunkten. Den definitionen överens-stämmer dock inte med deras bild av vad en cirkel är. Istället uppfattar de cirkeln som en platta bestående av de punkter som ligger på och innanför cirkelns rand. Denna ”platta” kallas i matematiska termer för cirkelskiva. Eleverna uppfattar alltså cirkeln som en cirkelskivan. Högskole- och universitetslärarna påtalar de skillnader som finns mellan matematikstudier på gymnasiet och högskolan. Deras bild av gymnasiematematiken är att den främst är inriktad på att räkna och att träna olika algoritmiska färdigheter, vilket hindrar elever från att se helheter och samband i matematiken. Detta kan beskrivas som att lärarna anser att nyblivna studenter främst besitter en operationell konception för matematiken. Samtidigt önskar de att
matematikundervisningen på gymnasieskolan i större utsträckning inriktas mot en strukturell konception för att underlätta stadieövergången mellan gymnasium och högskola.
Min slutsats är att eleverna i min undersökning i stor utsträckning bekräftar den bild lärarna har av gymnasieelevers kunskaper och syn på vad det innebär att arbeta med matematik. Eleverna har en operationell konception när det gäller trigonometri och enhetscirkeln,
eftersom de främst förknippar begreppen med olika beräkningar och handlingar. Uppgifterna i undersökningen angrips i rask takt. I blandgruppens arbete blir det tydligt att de drar sig för att diskutera och prova olika lösningsstrategier. I pojkgruppen vill eleverna varken diskutera eller räkna. De vill bara ha ett snabbt svar.
En formell förståelse för ett matematiskt begrepp innebär, enligt en av lärarna, att man kan använda matematiska definitioner och i dessa har språket en viktig roll. I matematiska sammanhang får varje ord en exakt innebörd, vilket är mer ovanligt i vardagligt språk. När pojkgruppen löser uppgifterna används genomgående ”den” istället för begreppens riktiga namn som ”sida” och ”katet”. Explicita beskrivningar av vad som görs ersätts av ”gör så”. Gruppen saknar förmåga eller vilja att använda språket på ett matematiskt korrekt sätt. Det framgår dock att eleverna även i andra avseenden saknar den exakthet i definitionerna som lärarna efterlyser. När eleverna skall använda begreppen ”cirkel” och ”cosinusvärde” tvingas de reflektera över begreppens exakta innebörd, vilken helt plötsligt inte framstår som
självklar. Min tolkning är att det belyser den skillnad som Christian anser finns mellan det matematiska språket på gymnasiet och på högskolan.
Studier i matematik på och universitet förutsätter att eleverna har förmåga att kunna följa ett matematiskt resonemang. Det största hindret, menar flera av lärarna, är att nyblivna studenter har brister i grundläggande algebraiska färdigheter. Eftersom uppgifterna i min undersökning inte krävde omfattande algebraiska manipulationer har jag svårt att dra några långtgående slutsatser om detta. Däremot kan det vara värt att påpeka att eleverna hade svårt att utföra vissa grundläggande beräkningar, exempelvis multiplikationsalgoritmen, för hand.
8. Lärarna och eleverna – en avstämning
Det är tydligt att avsaknaden av miniräknaren i mycket stor utsträckning påverkar elevernas arbete med uppgifterna, både när det gäller rutinmässiga beräkningar och begreppsförståelse. Grundläggande aritmetiska beräkningar ställer till problem för eleverna. För blandgruppen blir problemet riktigt svårt när de skall räkna med 2 . Det är även tydligt att de möjligheter som finns för att lösa en uppgift kan påverka elevernas förståelse. Eleverna anser att
uppgifterna hade varit lättare om de bara hade fått använda miniräknare. Då hade det varit enkelt att bestämma cosinusvärdet för vinklarna i trianglarna. Utan miniräknare blir problemen genast mycket svårare. Då är det inte lika uppenbart vad som egentligen menas med cosinusvärde. Jag anser att detta visar att miniräknaren hämmar elevernas begrepps-utveckling. Att detta generellt är en konsekvens av det intensiva användandet av miniräknare som förekommer på många gymnasieskolor idag tror också ett par av lärarna.